，T(II ) μν 是黎曼时空中的张量且是正定的，所对应的引力场的能量
和动量是时空弯曲所储存的部分引力场源的物质，这十分类似于一个形变的弹簧中储存了系
统的部分机械能，更类似于电磁场中包含了体系的电磁能。
根据包含引力场贡献的引力场理论的宇宙学
娄太平
东北大学材料与冶金学院，沈阳（110004）
E-mail:loutaiping@yahoo.com.cn
摘 要：本文详细论述和完善了包含引力场贡献的引力场理论及其引力场量子化理论，并根
据该理论研究了具有Robertson-Walker 对称性的宇宙学。理论分析表明，建立在包含引力场
贡献的引力场理论上的宇宙是正曲率的，是普通物质(纯物质部分)存在的必要条件。所谓的
暗物质就是那些具有松散状态的纯引力场物质。物质间的引力相互作用破坏了局域时空上宇
宙所具有的Robertson- Walker 对称性，导致了纯引力场物质由相对论状态向松散状态转化，
从而使宇宙做加速膨胀。宇宙极早期引力场量子化理论表明，宇宙尺度因子是不为零的，宇
宙不存在时空流行的内禀奇点。宇宙是永恒的，其演化是周期性循环的。宇宙的每一个演化
周期构成了一个封闭的“磁滞回线”回路，并且以此方式不断地重复下去。
关键词：引力场方程;引力场量子化;暗物质; 宇宙加速膨胀
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根据包含引力场贡献的引力场理论的宇宙学
娄太平
东北大学材料与冶金学院，沈阳（110004）
E-mail:loutaiping@yahoo.com.cn
摘 要：本文详细论述和完善了包含引力场贡献的引力场理论及其引力场量子化理论，并根
据该理论研究了具有Robertson-Walker 对称性的宇宙学。理论分析表明，建立在包含引力场
贡献的引力场理论上的宇宙是正曲率的，是普通物质(纯物质部分)存在的必要条件。所谓的
暗物质就是那些具有松散状态的纯引力场物质。物质间的引力相互作用破坏了局域时空上宇
宙所具有的Robertson- Walker 对称性，导致了纯引力场物质由相对论状态向松散状态转化，
从而使宇宙做加速膨胀。宇宙极早期引力场量子化理论表明，宇宙尺度因子是不为零的，宇
宙不存在时空流行的内禀奇点。宇宙是永恒的，其演化是周期性循环的。宇宙的每一个演化
周期构成了一个封闭的“磁滞回线”回路，并且以此方式不断地重复下去。
关键词：引力场方程;引力场量子化;暗物质; 宇宙加速膨胀
中图分类号：O412.1; P159 文献标识码：A
1.引言
包含引力场贡献的引力场理论[1-3]就是通过对引力场源的重新认识来消除爱因斯坦引力
场方程中解的奇异性而作的尝试性研究，所得的结果不但能与原理论所揭示的物理现象完全
一致，如引力场红移、雷达延迟、光线偏析和水星进动问题等，而且还能消除爱因斯坦引力
场方程中解的奇异性[4]。实际上，关于引力场中存在能量和动量的思想早就被提出了，曾有
不少学者对这个问题进行了深入的探讨和研究，并提出了许多理论，象爱因斯坦[5]和
Tolman[6], Landau 和Lifshitz[7] ，Mφ& ller [8-10]，Duan[11,12]等，但所给出的引力场的能量-动量
张量均隐含在爱因斯坦张量R g R 2 μν μν − 中，不属于引力场源物质本身的一部分，而仅是
由于物质的存在导致了周围时空畸变，使引力场体现出了能量和动量的特征。Qian[13]给出的
引力场能量-动量张量，虽与包含引力场贡献的引力场理论给出的形式一样，但其物理量不
是描述引力场的度规形式，因而不具有一般性和协变性，且在操作过程中改变了爱因斯坦的
引力场方程的形式，这也就违背了体系的能量-动量守恒原理。包含引力场贡献的引力场理
论与前人所提出的理论有两点不同[3]：一是引力场中存在的能量和动量本身就是引力场源的
组成部分，即是爱因斯坦引力场方程中能量-动量张量的一部分；二是引力场的能量-动量张
量形式上是独立于爱因斯坦引力场方程形式的。
众所周知，建立在爱因斯坦引力场理论上的宇宙演化标准模型必定存在一个类空过去奇
点[14]。这一奇点的出现，并非是坐标选择不当所至，而是时空流行的一个内禀奇点。要避
免这个奇点的出现，必须考虑引力场的量子化。然而，爱因斯坦引力场理论不是量子化的，
难以对宇宙早期给出定量描述。用爱因斯坦引力场理论处理宇宙演化时，存在与直接观测到
的质量密度相矛盾的结论，即质量缺失问题[14]，同时还存在宇宙极早期平坦性问题和粒子
视界问题等。虽然这些缺失的物质归结为目前所谓的暗物质和暗能量，但还不能回答这些暗
物质和暗能量到底是什么，当然也不能说明是否是由于引力场理论本身出现的问题而导致的
结果。这些问题反映了广义相对论引力场理论某种的不完善，这种不完善也许来源于对产生
引力场源的能量-动量张量的解释不同所致。
本文将从引力场表征矢量的引入出发详细阐述和完善包含引力场贡献的引力场理论及
其引力场量子化理论，并阐述建立在包含引力场贡献的引力场理论上的宇宙学的标准模型，
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包括宇宙演化过程中暗物质可能的本质和宇宙加速膨胀的机理，给出宇宙存在形式和宇宙未
来可能的演化方式。
2. 包含引力场贡献的引力场理论
2.1 表征引力场的基本矢量
2.1.1 引力场的表征矢势
(α )
μ ω
广义相对论是引力场几何化的理论，该理论认为引力场与时空结构连接在一起，即时空
度规gμν 不仅描述了动力学的引力场，也描述了背景时空的结构。这样导致了在描述引力场
的性质和作用时，通常把背景时空同时也考虑在一起，这或许是引力场理论与量子场理论难
以相容的重要原因。因此，将描述引力场的表征矢量或表征张量从时空度规gμν 中分离出来
就变得有意义了。
包含引力场贡献的引力场理论认为引力场的物理性质可唯一由非对称半度规元素(α )
μ λ
来表征，其中(α )
μ λ 被定义为[14]
( )
( ) (β )
ν
α
μν αβ μ g = G λ λ (1)
这里， (αβ ) G 代表局域惯性时空（或称标架表象）的度规，并且在计算过程中利用了爱
因斯坦的指标求和规则。在广义坐标系中，半度规(α )
μ λ 对广义坐标指数μ 是协变的，而对指
标α 是一个标量函数。一个对广义坐标μ 是协变的引力场矢势函数定义为[4]
( ) ( ( ) (α ) )
μ
α
μ
α
μ ω ≡ −c λ −δ (2)
其中，
( )
⎩ ⎨ ⎧
≠
=
=
μ α
μ α
δ α
μ 0
1
(3)
由方程（1）定义可看到，非对称半度规元素
(α )
μ λ
实际上代表了gμν 与(αβ ) G 相对比值的
函数关系（也即gμν 和(αβ ) G 是在同一个坐标系中描述），因而也可称
(α )
μ λ
为相对半度规。因
此，从方程（2）所定义的引力场矢势可看到，引力场矢势实际上就是代表了相对半度规的
变化量。另外， gμν 和(αβ ) G 的独立变量数分别都是10 个。根据方程（1）所确定的关系，
我们可推断，
(α )
μ ω
独立变量数也应是10 个。还可看到，引力矢势函数
(α )
μ ω
本身是定域化的，
而且其各分量是相互对易的。因此，引力场本身的独立变量可选为gμν 、, gμν σ 、
(α )
μ ω
和
( )
,
α
μ σ ω
，即前两个变量表明了与引力场时空特性相关的背景特征，而后两个变量代表了与引
力场本身特性相关的物理特征。
2.1.2 引力场的反对称张量
(α )
μν D
为了表征引力场强度的特征，通过类比电磁场理论，文献 [3，4]定义了一个对广义坐
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标μ 和ν 具有协变性的引力场反对称张量(α )
μν D ，
( ) ( ) ( )
( ) ( )
μ
α
ν
ν
α
α μ
ν μ
α
μ ν
α
μν
ω ω
ω ω
x x
D
∂
∂
−∂
∂
≡ −= ; ; (4)
其中“；”代表协变导数。相应的(α )μν D 表示为[3,4]
( ) ( )
(β )
α μν αβ μν D ≡ G D (5)
显然，引力场的反对称张量(α )
μν D 满足恒等式[3,4]。
( ) ( ) ( ) 0 , , , + + α =
ρμ ν
α
νρ μ
α
μν ρ D D D (6)
2.1.3 引力场强度的四维表征矢量
Aμ
由方程（5）可看到，存在一个矢量
Aμ [4]
( )
(α )
σ
σμ
α
Aμ = cD λ (7)
该物理量Aμ 也是与引力场强度密切相关的四维矢量，可以与(α )
μν D 一样能够表征引力场
的强度特征，这在后面的计算中给出进一步说明。
2.2 引力场中粒子的四维动量与运动方程
2.2.1 引力场中粒子的四维动量
通过类比带电粒子在电磁场中的四维动量的形式，我们可给出引力场中粒子的四维动量
形式为
( )
( )
( )
( )
μ
α
α μ
α
μ α μ δ P ω mcu
c
P = P + 1 = (8)
这里，m代表粒子的质量， (α ) P 为粒子在局域惯性时空(αβ ) G （或标架空间）中的动量，
uμ = dxμ ds，其中( )
(α ) (β )
αβ
μ ν
μν ds2 = g dx dx = G dx dx 。应用关系μ = −1
μ u u [14]，我们可
得到
( )
( )
( )
P ( )u mc
c
P u = P u + α μ = −α μ
α μ
α μ
μ
μ δ 1 ω (9)
方程（8）两端同乘以( )
μ
α λ
，可得到(α ) P 的表示为
( ) ( )
σ
α σ α P = −mcu λ (10)
2.2.2 引力场中粒子的运动方程
粒子的运动轨道可由最小作用量原理给出。类比电磁场理论，可给出在引力场中运动粒
子的作用量为
= ( ) ∫( ( ) + ( ) )
b
a
c dx
c
P
S α μ
μ
α
μ
α δ ω (11)
其中a ， b 为积分的两端。利用方程（9），方程（11）可改写为
= ( ) ∫( ( ) + ( ) ) = −∫
b
a
b
a
ds mc ds
ds
c dx
c
P
S
μ
α
μ
α
μ
α δ ω (12)
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显然，上述方程即为自由粒子的运动作用量，这也表明了引力场完全几何化的物理特征。
由δS = 0，可给出粒子的运动方程（即爱因斯坦的测地线方程）为[14]
0 2
2
+ Γ =
ds
dx
ds
dx
ds
d x ρ σ
μ
ρσ
μ
(13)
这里μ
ρσ Γ 为仿射联络系数。由此可看到，在引力场中引入表征引力场矢势是合理的，并
且物理体系仍然服从爱因斯坦的等效原理和粒子运动的测地线方程。
2.3 包含引力场贡献的引力场方程
2.3.1 引力场的Lagrange 密度函数℘通过类比电磁场理论，一个引力场的拉氏密度函数℘可表示为，
g m m ℘ L + L + L′ (14)
这里g L 代表引力场的拉氏密度函数，Lm代表属于引力场源纯引力场部分物质（这部分
物质仅仅参与引力相互作用）的拉氏密度函数，而Lm′ 则代表属于引力场源纯物质部分物质
（或称普通物质，这部分物质除参与引力相互作用，还参与了其它的相互作用，如电磁相互
作用或弱相互作用或强相互作用等）的拉氏密度函数。其中g L 可表示为[ 14]，
( ( ) ( ) ) R
G
L L g g c g g π
ω ω α
μ σ
α
μν μν σ μ 16
, , ,
4
, , = = (15)
而引力场源纯引力场部分的m L 可表示为[3,4 ]
( ( ) ( ) ) ( )
( )
ρσ
α
α
ρσ
α
μ σ
α
μν μν σ μ π
ω ω D D
G
L L g g c m m 16
, , ,
2
, , = = −(16)
2.3.2 属于引力场源的纯引力场物质的能量-动量张量T (II ) μν
根据广义相对论公式及方程（16），可给出属于引力场源的纯引力场物质的能量-动量
张量T (II ) μν 为[3,4]
( ) ( ) ( )
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂
∂ −−∂
∂ −−= −τ
μν
τ
μν μν
, ,
2
g
g L
g
gL
g
T II m m
( )
( )
( )
( )⎟⎠⎞⎜⎝= ⎛−τγ
α
α
μν τγ
ρ
ν α
α
π μρ
D D g D D
G
c
4
1
4
2
(17)
由上述的结果可看到，T(II ) μν 是黎曼时空中的张量且是正定的，所对应的引力场的能量
和动量是时空弯曲所储存的部分引力场源的物质，这十分类似于一个形变的弹簧中储存了系
统的部分机械能，更类似于电磁场中包含了体系的电磁能。
2.3.3 变分原理及引力场方程
引力场的变分原理为
δ ∫ −g℘d 4 x = 0 (18)
根据方程（14）-（16），利用关系[7,14]，
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R Rg g gd x
G
gL d x c g
4
4
4
2
1
16
−⎟⎠⎞⎜⎝∫ −= ∫⎛−μν
μν μν δ
π
δ (19)
和方程（17），即
( )
( )
( )
D D g D D( ) g gd x
G
gL d x c m
4
2
4
4
1
2 4
1 −⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝∫ −= −∫ ⎛−τγ μν
α
α
μν τγ
ρ
ν α
α
μρ δ
π
δ (20)
并由δgμν 的任意性，可容易从方程（18）给出引力场方程为[3,4 ]
μν μν μν
π
T
c
R g R G4
8
2
−1 = (21)
这里,
T T (I ) T (II ) μν μν μν = + (22)
其中，
( ) ( ) ( )
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂
∂ −′
−∂
∂ −′
−= −τ
μν
τ
μν μν
, ,
2
g
g L
g
gL
g
T I m m (23)
方程（21）即为包含引力场贡献的引力场方程。可看到，它本身就是爱因斯坦引力场方
程的形式，差别仅仅是对引力场源μν T 的解释不同，即爱因斯坦引力场理论认为T T (I ) μν μν ≡
（即T (II ) ≡ 0 μν ）。
实际上，物理体系的能量-动量守恒定律是自然界中最基本的原理。在黎曼时空中，能
量-动量守恒定律的微分表述形式为[3,4]：
( ) ( ) 0 ; ; ; = + μν =
ν
μν
ν
μν
ν
T T I T II (24)
形式上对上述方程式两边在黎曼时空中积分，即变为方程（21）。因此可以这样理解，
方程（21）左侧的张量函数可解释为积分张量函数，这个积分的张量函数即为爱因斯坦张量。
这表明，爱因斯坦的引力场方程实质上是物理体系的能量-动量守恒定律在黎曼时空上的积
分表述，其中能量-动量张量Tμν 即为引力场的 “源”。方程（22）表明，引力场源物质可分
为两部分，一部分是纯物质(T(I ) μν )的，另一部分是纯引力场物质( ( ) T II μν )的，而且( ) T II μν 形式上
是独立于引力场方程（21）形式的[3,4]。
由上面的分析可知，包含引力场贡献的引力场理论的基础就是广义相对论的基础，而差
别仅仅是对引力场源的认识不同而已，因此，该理论并不违反爱因斯坦的等效原理、测地线
理论，也不会破坏引力场及背景时空所具有的对称性等。
2.4 自由引力场的量子化理论
2.4.1 自由引力场的量子算符
自由引力场是指 0 ≡ ′mL 时的引力场，即普通物质T (I ) ≡ 0 μν 。因此，自由引力场的引力
场源物质的量子化可通过把(α ) (x,t )
μ ω 处理成算符并且加上(α ) (x,t )
μ ω 和其正则动量
( )μ (x,t)
α π 之间的对易关系而进行的。根据量子力学理论和式（16），正则动量( )μ (x,t)
α π 为[3,4]，
( )( ) , ( ) 0
0,0
0 =
∂
∂
= α ω α
π m x t L
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( )( ) ( ) ( )
k
k
k m D
G
x t L c 0
,0 4
, α ω α π α
π = −∂
∂
= , (k = 1,2,3) (25)
2.4.2 Hamilton 密度Π
容易证明，所对应的自由引力场的能量-动量张量（17）可由下式给出
( ) ( )
( )
( )
( ) m
r
m
r
r
m
r
T II L L gν L
α μ
ν
α
α μ
ν
α
μ
ν
μ ω
ω
ω
ω +
∂
∂
−∂
∂
= −,
,
,
, (26)
利用（25）和（26），我们可得到自由引力场的Hamilton 密度Π （ ( )0
0
Π = −T II ）为
( )
[ ( ( ) ( ) )] m
i
i i
i L −−= Π Σ=
3
1
,0 0,
α α
α π ω ω (27)
相应的Hamilton 量为
H = ∫Π −gdV (28)
这里
dV = dx1dx2dx3 。
2.4.3 对易关系和测不准关系
遵循量子理论的正则方法， (α ) (x,t )
μ ω 和正则动量( ) μ (x,t)
α π 之间的对易关系是从等于零
的等时对易子出发得到[3,4]
( )( ) ( ) [ x,t , (x′,t)]= 0 ν β
α
μ ω ω ,
( )( ) ( ) [ x,t , ν (x′,t)]= 0
β
π μ α π ,
( )[ 0 (x, t), (β ) (x′, t)]= 0
α μ π ω . (29)
可看到，这与电磁场量子化类似。这个量子化方法也是以牺牲显示的协变性为代价而剔
除( ) (x,t) 0
ω α 。因为与( ) (x,t) 0
ω α 共轭的动量( ) 0 (x,t)
α π 为零， ( ) (x,t) 0
ω α 与所有算符对易，它因
此可以取成一个纯粹的数而不是一个算符，这与空间分量( ) (x t) i ω α , 不同。正是在这一点上
我们牺牲了显示的协变并采用量子化的正则形式。通过类比电磁场量子化理论， ( ) (x t) i ω β , 与
共轭动量( )kα (x,t ) π 间的等时对易可由正则方法导出[3,4]
( )[ ( ) ( )( )] ( )
x t x t i ( ) k (x x )
l l
π k ω ′ = −δ β δ −′
α
β
α , , , h , (k,l = 1,2,3) (30)
这里( )
(β)
α δ
为
( )
( )
⎩⎨⎧≠
=
=
β α
β α
δ β
α 0
1
(31)
方程（30）中的空间δ -函数i (x x )
j δ −′ 应具有如下基本性质，即对包含(x′1 , x′2 , x′3 )点
在内的任意空间体积满足如下关系
( ) k
l
k
l ∫∫∫ x −x′ −gdx dx dx = g δ 1 2 3 . (32)
上述的结果显示，自由电磁场的量子化方法可以移植到自由引力场中去，从而使自由引
力场量子化。根据测不准关系原理，下面的方程必须满足
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( )
( )
( )
[ (β ) ]
ν
μ
α
β
ν
μ
α π ω π ,ω
2
Δ Δ ≥1 . (33)
这里( )
μ
α Δπ
和(β )
ν Δω 分别代表( ) μ (x,t )
α π
和(β ) (x,t)
ν ω 的平方根误差。显然，方程（33）
是加于两个观测量
(α ) (x,t )
μ ω
、( ) μ (x,t)
α π
的测量误差之间的一个限制，并给出了式（29）和
（30）对易子在测量上的物理意义。
2.4.4 自由引力场量子化的弱极限的限制条件
在弱极限引力场的条件下，有关系[3]，
∇ ⋅( ) → 0 α π v v
(34)
这里( ) ( ) ( ) ( ) α ( 1α , 2α , 3α ) πv = π π π
表示在近平直时空中的矢量。因此，根据自由电磁场量子化
理论，方程中的δ -函数k (x x )
l δ −′ 在弱极限引力场中应满足如下关系[15]，
( )
( )
( )
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−′ → ⋅−′ −∫ 2
k
3
3
k
2 k
k k
x x d k e l
k
l
ik x x
l v
v v v
δ
π
δ (35)
其中l k 代表了近平直时空中的动量空间的矢量（目前在弯曲时空中，还无法用动量空
间的矢量来表述）。
可以看到，上述的限制条件仅仅是当引力场强度趋于零时的一个弱极限的限制条件。
2.4.5 静态球对称外部引力场（真空）的总能量及引力场强度
① 引力场的总能量
根据方程（25）-（28），我们考察静态球对称引力场的外部引力场中的纯引力场能量
特征。由包含引力场贡献的引力场理论给出的静态球对称引力场的外部度规为[1-4]
2 2
2
2
2 2 2 2 2 2
2
2
2 sin 1
1
1 c dt
c r
dr r d r d GM
c r
GM
ds ⎟⎠⎞⎜⎝−−+ ⎛−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−= −∞
∞
θ θ ϕ(36)
其中∞ M 是积分常数。可以利用牛顿万有引力定律，在r→∞的条件下确定∞ M ，这
表明∞ M 代表系统的总质量。由文献[3]给出静态球对称引力场的外部非零的半度规(α )
μ λ 为
(0) GM c2 r
0 1 ∞ λ = −， ( )
GM c2r
1
1 1
1
∞ −λ = ， (2) 1
2 λ = ， (3) 1
3 λ = . (37)
则非零的
(α )
μ ω
为
( )
cr
GM0 = ∞
0 ω ，
( )
GM c r
GM cr
2
1
1 1 ∞
∞
−ω = −， (2) 0
2 ω = ， (3) 0
3 ω = . (38)
非零的
(α )
μν D 为[3,4]
( ) ( )
2
0
10
0
01 cr
D = −D = −GM∞ , ( ) ( ) 2
10
0
01
0 cr
D = −D = GM∞ (39)
由（27）可给出静态球对称外部引力场源纯引力场部分的能量密度为
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4
2
8 r
Π = G ⋅M∞
π
(40)
因此，由方程（28）和（40）可获得静态球对称外部引力场的纯引力场总能量为
= ∞ ∫ −gd x
r
H GM 3
4
2 1
8π
∫ ∫ ∫ ∞
= ∞ π π θ θ ϕπ 0
2
2 0
2
1 sin
8 0
dr d d
r
GM
r
0
2
2
1
r
GM= ⋅∞ (41)
可以看到，采用精确的静态球对称外部度度规（36）式，所得到的球对称静态外部引力
场的总能量不发散，得到的结果是合理的。形式上与带电粒子所具有的“电磁场质量”类似，
式（41）给出的引力场的总能量是物体的“引力场质量”，是物体惯性质量的一部分（即纯引
力场部分）。实际上，“引力场质量”与物体本身的质量（即纯物质部分的）在效果上完全一
致，我们无法把它们分离开，除非我们知道纯物质的质量分布（或引力场分布，即给定度规
gμν ），这与带电粒子类似。显然，物体总质量∞ M 等于物体本身的质量与物体的“引力场
质量”之和。
由方程（36）和（41）表明，普通物质存在，必定会使其周围的时空产生弯曲，使其一
部分能量储存于弯曲的时空中，因此其总能量与它所处的时空结构是相关的。这与带电粒子
的质量随其所处的电磁环境有关是相似的。另一方面，普通物质的存在必定伴随着纯引力场
物质，而纯引力场物质可单独存在，这与带电粒子的情况也是相似的。因此，严格讲当普通
物质存在时，要准确划分普通物质与引力场物质是不可能的，除非预先已确定了引力场的度
规gμν 。而自由引力场，即普通物质（ ( ) ≡ 0 T I μν ）不存在的区域却可准确定义。
② 引力场强度
由方程（7）、（37）和（39），我们可得到矢量Aμ 为
( G M c r )
r
A GM 2
2
1 1 ∞
= ∞ −(42)
A0 = A2 = A3 = 0 (43)
可以看到，该结果完全与文献[4]所给出的沿径向的引力场强度完全一致（文献[4]中沿
其它方向的引力场强度也均为零），也就是说，矢量Aμ 是能够表征引力场强度的物理量。
另外，根据文献[4]的结果，由方程（42）和广义相对论定义，可给出的牛顿万有引力
定律及牛顿引力质量M = M(r)的表述分别为
2
1
r
GM
A = (44)
和
M M (1 GM c2 r) ∞ ∞ = −(45)
上述结果表明，由于属于引力场源物质一部分留存在引力场中，导致了牛顿质量M 不
是一个常数，即M 不代表体系的总质量（ ∞ M ≠ M ），而仅是体系在r处表现出来对动力
学有影响的一个有效质量。这类似于一个均质球体内某点所测到的（或由万有引力定律预测
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的）重力加速度，该测点加速度所对应的质量并不是球体总质量，而是该测点所对应半径球
体内的质量，其该测点球外质量对该测点重力加速度的贡献综合作用为零。
文献[4]的理论计算表明，由方程（45）和测地线线方程（13）可给出水星每百年进动
约43”的值，这与爱因斯坦的引力场方程所给出的结果完全一致。可以看到，牛顿质量
M = M(r)是与测量距离r相关的，这将是判断包含引力场贡献的引力场理论是否正确的重
要判断依据。例如，对太阳系而言∞ ⊕M = M （ ⊕M 为太阳的总质量），则太阳的牛顿质
量M 为
r
R
c r
GM
M
M ⊕−⊕⊕= −≈−× 6
2 1 1 2.143 10 (46)
这里， ⊕R 代表太阳的半径。可以看到，在太阳周围的引力场区，牛顿质量与其积分常
数几乎是一致的。目前，测量精度还不足以给出牛顿质量随距离变化的信息，这将有待于测
量技术的改进和测量精度的提高。
由方程（44）和（46）可推算，太阳的重力加速度随着与太阳中心的距离增加比牛顿万
有引力定律所预言的要增大。
③ 真空及真空能量动量
所谓的真空就是指不存在普通物质的区域——自由引力场区域，即普通物质T (I ) ≡ 0 μν 。
然而，真空的纯引力场物质却不为零，如方程（40）和（41）给出的结果。根据方程（17），
我们容易证明，
T (II ) = g T (II ) ≡ 0 μν
μν (47)
则根据方程（21），容易证明真空（或自由引力场）满足，
R ≡ 0 (48)
因此，我们给出一个结论，真空的能量和动量即为纯引力场物质的能量和动量。由于背
景时空就是引力场，因此，真空能无处不在。另外也说明，纯引力场物质就是时空背景的物
质。
3. 宇宙学
3.1 完全均匀和各向同性Robertson-Walker 宇宙
3.1.1 完全均匀和各向同性宇宙及其演化动力学
众所周知，一个符合完全均匀和各向同性宇宙学原理的时空可由Robertson-Walker 度规
描述[14]，即
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+ +
−= = −2 2 2 2 2
2
2
2 2 2 sin
1
θ θ ϕκ
μ ν
μν r d r d
r
ds g dx dx dt a dr . (49)
这里a = a(t)代表宇宙的尺度因子，κ 代表空间的高斯曲率。具有完全均匀和各向同性
的并具有Robertson-Walker 对称性宇宙学的一般演化方程为[14]
( c P)a
c
3a 4 G 2 3
4 = −ρ +
π
&& (50)
( 2 ) 2
4
2 2 2 4 c P a
c
aa + a + = G ρ −π
&& & κ . (51)
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这里ρc2和P分别代表宇宙的平均能量密度和平均压力。
3.1.2 纯引力场物质及其状态方程
根据定义（1）-（5）和（49），文献[3,4]给出了非零的(α )
μ λ
(0) 1
0 λ = ， ( ) = ( ) = (3) = a(t)
3
2
2
1
1 λ λ λ (52)
和非零的
(α )
μ ω
为
(0) 0
0 ω = ， ( ) ( ) (3) ( 1)
3
2
2
1
1 ω =ω =ω = −c a −. (53)
及非零的
(α )
μν D 和( )
μν
α D 为
D( ) = D( ) = D( ) = −D( ) = −D( ) = −D(3) = ca&
30
2
20
1
10
3
03
2
02
1
01
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2
30
3
20
2
10
1
03
3
02
2
01
1 a
D D D D D D ca& = = = −= −= −= (54)
其中a& = ∂a ∂t . 则由方程（17）和（54）给出了完全均匀和各向同性且处处具有
Robertson-Walker 对称性宇宙非零的纯引力场能量-张量T (II ) μν
[3,4]为，
( )
00
2
00 2 T II = −ρ c g , ( )
11 2 11 T II = P g , ( )
22 2 22 T II = P g , ( )
33 2 33 T II = P g . (55)
这里2 2 2
2 ρ = 3c a& 8πGa ， 4 2 2
2 8 Ga a c P π & = 。可以看到c
ρ ρ = 2 ，这里c
ρ 代表宇宙
的临界质量密度[14]。上述的结果表明，完全均匀且处处具有Robertson-Walker 对称性宇宙的
纯引力场物质状态是均匀和各向同性的，其状态属于纯相对论状态，即满足如下状态方程[4]，
2
2 2 3
P = 1 ρ c (56)
方程（55）也表明了，现实宇宙的真空能无处不在，且是宇宙的主宰。
3.1.3 普通物质及宇宙的高斯曲率κ
对于具有完全均匀和各向同性的并具有 Robertson-Walker 对称性宇宙所具有的非零的
普通物质的能量-动量张量可表示为[14]
( )
00
2
00 1 T I = −ρ c g , ( )
11 1 11 T I = P g , ( )
22 1 22 T I = P g , ( )
33 1 33 T I = Pg (57)
这里1 ρ 和1 P 分别代表普通物质的质量密度和压力。因此，具有完全均匀和各向同性的
并具有Robertson-Walker 对称性宇宙的平均能量密度ρc2和平均压力P分别为[3,4]，
2
2
2
1
ρc2 = ρ c +ρ c , (58)
1 2 P = P + P (59)
将（58）和（59）代入到（50）和（51），可得到[4]，
2
2
1 8
3
G a
c κ
π
ρ = (60)
方程（60）给出了完全均匀且处处具有Robertson-Walker 对称性宇宙中普通物质与宇宙
曲率κ 之间的关系，同时也给出了宇宙曲率κ 一个新的物理意义：即若κ = 0，则宇宙中将
不存在普通物质，因此宇宙中普通物质存在的必要条件就是κ ≠ 0。由于普通物质是正定的，
即0 1 ρ > ，因此可推断宇宙的空间曲率κ > 0，即我们的宇宙是正曲率的。这是包含引力场
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贡献的引力场理论的一个自然结论。由方程（55）、（57）和（58）的结果可知，宇宙的平
均能量密度ρ 必定大于其临界质量密度c
ρ ，这也表明了宇宙最终的膨胀速度必定会减弱和
消失而转为收缩，即宇宙是有限而无边的。
3.1.4 均匀宇宙有效的引力场强度
由方程（7）、（52）和（54），我们可得到矢量Aμ 为
a
A c a2 &
0 = 3 (61)
A1 = A2 = A3 = 0 (62)
上述结果表明，完全均匀的和各向同性的宇宙沿空间方向的引力场强度为零，这是合理
的，并且进一步表明了Aμ 是可以表征引力场的引力场强度。而沿时间轴方向不为零，这也
表明了宇宙本身是动态的而非静态的特征。由此可知，完全均匀的和各向同性的宇宙，其物
质分布就是完全均匀的，因此将不能表现出有引力的现象。
3.1.5 典型的理想化的宇宙演化动力学
若普通物质全部是由相对论性粒子和辐射构成，即2 3
1 1P = ρ c ，则可得到完全均匀和
各向同性的并处处具有Robertson-Walker 对称宇宙的能量密度满足完全相对论状态的
Friedmann 演化方程[14]，
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛= = + 2
2
2
4
4
2
8
3
a
a
G a
c
a
c A κ &
π
ρ (63)
这里A 代表积分常数。上述演化方程也可改写为[14]，
= −κ 2
2
a
a& C (64)
其中C = 8πGA 3c4 。可以推断，这种宇宙的演化方式应该出现在宇宙的极早期，因为
极早期宇宙的物质是以辐射的状态存在，且宇宙具有更均匀性和各向同性。
由关系式（55）、（60）和（63）可知，若a 足够大（即宇宙膨胀足够长的时间），则
纯引力场物质所占的比例将会变得很小而忽略，而普通物质变为主要的成分，且普通物质处
于纯松散状态（即0 1 P = ）。根据方程（50）和（51），可容易得到完全均匀和各向同性的
并具有Robertson-Walker 对称宇宙的能量密度满足下式完全松散状态的Friedmann 演化[14]，
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛= +
′
= 2
2
2
4
3
2
8
3
a
a
G a
c
a
c A κ &
π
ρ (65)
这里A′ 代表积分常数。上述演化方程也可改写为[14]，
−κ
′
=
a
a& 2 C (66)
其中C′ = 8πGA′ 3c4 。这种宇宙的演化方式应该出现在宇宙足够长的后期。
3.2 暗物质与宇宙加速膨胀
天文学家们发现，大型的星系团中的星系具有极高的运动速度，是可见物质（或
普通物质）的引力无法解释的。在星系团中，估计有90%以上的物质是非可见的。天
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文观测表明，这些暗物质（区别于冷暗物质）的基本特点是：一是不与辐射耦合的特
性，即暗物质既不放射光或射线也不反射光或射线，但是它有显著的引力效应；二是无碰撞
的特性，即暗物质相互之间及暗物质与普通物质之间均没有排斥力。总的来说，暗物质更像
是一种仅参与引力相互作用的背景场物质。关于暗物质的组成，有很多假设[16-24]。但直
到现在，仍未有合适的解释。另一个带有颠覆性的天文观测就是，现在的宇宙正在做
加速膨胀，似乎在宇宙中存在一种充满并占有绝对优势的参与相互排斥作用的“暗能
量”[25-27]，而且这部分物质正是宇宙缺失的那部分，关于暗能量解释也未有合适的
[28-33]。
本文将利用包含引力场贡献的引力场理论来考察实际宇宙的演化特点，基于该理论来阐
述暗物质的本质及宇宙加速膨胀的机理。
3.3.1 暗物质
实际上，方程（55）和（64）所表征的引力场物质及其演化对应于完全均匀和各向同性
且处处具有Robertson-Walker 对称性的宇宙。然而，在我们现实的宇宙中， 这种
Robertson-Walker 对称性仅仅是在大尺度上才能表现出来，在局域的区域上不具有
Robertson-Walker 对称性。这表明引力场物质并不是全部处于相对论状态，其中一部分由于
Robertson-Walker 对称性被破坏而以松散的非相对论状态存在。
由（55）和（56）可知，纯引力场物质的能量密度2 ρ 与2 P 始终是同号的，这表明纯
引力场物质仅参与引力相互作用，而不存在排斥相互作用。
另外，由（62）可知，完全均匀的和各向同性的宇宙，其物质分布是完全均匀的，因此
将不能表现出有引力的现象。而现实的宇宙，由于引力场物质和普通物质之间存在引力相互
作用，导致这些物质在局域空间上团聚，从而破坏了局部时空上的Robertson-Walker 对称性，
使局部空间上表上出了引力的特征。同时，局部时空上的Robertson-Walker 对称性的破坏导
致了纯引力场物质由相对论状态向松散状态转变。由于宇宙在大尺度上仍具有Robertson-
Walker 对称性，因此部分纯引力场物质仍然是相对论状态的。这部分相对论状态的引力场
物质在大尺度上是均匀的，因而也就不会对局域时空上的引力现象有贡献。也就是说，对局
域时空上引力现象有贡献的，除了松散状态的普通物质之外，就是那些具有松散状态的纯引
力场物质。
事实上，引力场物质仅仅是依赖于时空度规的物理量，属于背景场物质，因此这些松散
的纯引力场物质是背景场物质，其特点是：一是仅参与引力相互作用，能表现出显著的引力
特征，却无碰撞的特性；二是不表现出热的特征，即不与辐射耦合。这些特征均与天文观测
到的暗物质特征相一致。因此，我们可以推断，所谓的暗物质就应该是那些具有松散状态的
纯引力场物质，其产生的原因就是物质之间的引力相互作用破坏了局域时空上的
Robertson-Walker 对称性所致。这些松散的引力场物质是成团的，团与团之间是彼此松散的，
但在一个团之内却不是纯松散的。这也类似于普通物质，普通物质虽然是松散的，但其所形
成的星体中的普通物质却不是纯松散的，如太阳基本是由热气体氢和氦构成的，其内部的压
力是非零的。
3.3.2 宇宙加速膨胀的机理
图 1 给出了宇宙物质处于不同状态下演化的特征示意图。
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事实上，当宇宙处处具有完全的Robertson-Walker 对称性时，其引力场物质处于完全相
对论性状态。这种情况也只能出现在普通物质以辐射形态存在的宇宙极早期。此时的宇宙是
按着方程（64）的形式演化的，即图1 中的AB 段。如果，纯引力场物质与普通物质都属于
松散状态的，则处处均匀的宇宙将是按着方程（66）的形式演化的，而且这种情况将发生在
宇宙足够遥远的未来，即图1 中的CD 段。而现实的宇宙应是处于上述两种方式之间的中间
过程，即图1 中的BC 段。在这个阶段，尤其是对纯引力场物质而言，不但包含了部分的纯
相对论状态（因为在大尺度上，宇宙仍具有Robertson-Walker 对称性），也包含了部分的松
散状态的暗物质（因为在局部的时空上，宇宙的Robertson-Walker 对称性被破坏）。也就是
说，该阶段的引力场物质是处于包含相对论状态和松散状态的混合态。因此，为了更好的描
述宇宙的演化规律，引入一个与松散物质状态相关的参数η ，这个参数代表具有松散状
态的物质（包括普通物质和纯引力场物质）占总物质的比例分数。则宇宙演化的方程可表示
为，
η + ( −η ) −κ
′
= 2
2 1
a
C
a
a& C (67)
实际上，上述方程所表征的宇宙仍然是均匀的和各向同性的。由方程（67）可看到，物
质状态的改变会对宇宙演化过程产生重要影响，而且这种影响主要来源于纯引力场物质状态
的改变，因为目前宇宙的普通物质已基本变为了松散状态。
由方程（67）可容易给出宇宙膨胀的加速度a&&为
2 2 3 3
2
2
1
2
1
a
C
a
C
a
C
da
d
a
C
a
a C −⎟⎠⎞⎜⎝⎛−′
−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−′
= η
η
&& (68)
由此可看到，若参数η 满足下式
2 2 0
2 2 3 3 > −⎟⎠⎞⎜⎝⎛−′
−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−′
a
C
a
C
a
C
da
d
a
C
a
C η
η
(69)
或
( −1) −(Ba −2)−2 > 0
da
Ba a d η
η
(70)
0 2 4 6 8 10 12
0
20
40
60
80
100
D
C
B
A
完全松散状态
实际演化状态
完全相对论状态
a&2
a(t)
图 1 给出了宇宙物质处于不同状态下的宇宙演化的特征示意图
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其中B = C′ C = A′ A，则宇宙膨胀的加速度a&&将是大于零的，即宇宙做加速膨胀。
利用方程（50）和（51）可给出整个宇宙引力场的有效压力P 为
( ) ⎥⎦⎤⎢⎣= −⎡−1 + −1
3 4 η
η
da
Ba a d
a
P A (71)
上述的分析结果表明，现实的宇宙做加速膨胀不必引入所谓的“暗能量”来解释。可以看
到，宇宙做加速膨胀的原因来源于物质间的引力相互作用，即引力相互作用导致了局域时空
区域上的Robertson-Walker 对称性的破坏，而且随着时间的延长，局域时空区域上的
Robertson-Walker 对称性破坏将会变的更严重，所对应的松散物质将会快速增加，从而导致
了宇宙做加速膨胀。
因此可得出结论，宇宙做加速膨胀的根本原因是由于引力的作用破坏了局域时空区域上
的Robertson-Walker 对称性致使纯引力场物质由相对论状态向松散状态转变引起的。
3.3 极早期宇宙场的量子化理论
3.3.1 极早期宇宙的引力场特征
可以推测，当宇宙尺度因子a→0时，其场的量子效应应变得明显。由上述地分析表
明，在宇宙的极早期，其物质的状态应是相对论的，因此，由方程（55）和（60）可知，当
a → 0 时
0
8
3
3 8
3 8 2
2
4 2 2
2 2
2
1 ≈→
+
= a
GA
c
A a c Ga
c Ga
κ π π
κ π
ρ
ρ
(72)
这表明，在宇宙的极早期，物质的成分几乎是由纯引力场物质构成的，而普通物质可忽
略。因此在宇宙极早期，宇宙中的引力场可近似看作是自由的引力场[4]。
3.3.2 极早期宇宙引力场量子化及测不准关系
由于宇宙极早期的引力场近似是自由的，因此其量子特征可由自由引力场的量子化理论
描述。根据式（25）和（30），可给出宇宙极早期自由引力场量子化的对易关系为，
[ ( )( ) ( )( )] ( )
D x t x t i ( ) (x x )
G
c g k
l l
−k ′ = −−′
−ω δ δ
π
β
α
β
α , , , h
4
0
2
，(k,l =1,2,3) (73)
将方程（73）两边对宇宙中所有空间坐标积分，得到，
( )[ ( ) ( )( )] ( )
−∫∫∫ −ω ′ θ ϕ= −δ ( ) ∫∫∫δ ( −′) −θ ϕπ
β
α
β
α g D x t x t drd d i x x gdrd d
G
c k
l l
k , , , h
4
0
2
(74)
由于右侧的δ (x −x′)积分函数必定在宇宙中空间坐标的点上，而( )D0k (x,t )
α 和( ) (x t) l ω β ,
仅与时间有关，因此利用关系（32），方程（74）化为
( )
[ ( ) ] ( )
(β )
α
β
α ω θ ϕδ
π
k
l l
D k gdrd d i g
G
c
−, ∫∫∫ −= −h
4
0
2
(75)
方程（60）已表明κ > 0，因此对于κ > 0有[14]：
2
3
3 2 −∫∫∫ −gdrdθdϕ= a π κ (76)
利用式（76），方程（75）可表示为[4]
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( )
[ ( ) ] ( )
(β )
α
α
α ω δ
κ
π k
l l
D k i g
G
a c
−, = −h
4
0
3
3 2
(77)
由式（53）和（54）可以看到，上述方程仅与宇宙尺度因子a(t)及其对时间的导数a&相
关，而与空间坐标无关，因此方程（77）可称为宇宙场量子化的对易关系。相应的测不准关
系为[4]，
( )
( )
( )
(β )
α
α
α δ
π
κ
ω k
l l
k g
c a
D G 2 3
3
0 2 h Δ Δ ≥(78)
通过引力场的量子化（29）-（33），我们获得了宇宙场的量子化（77）和（78）。因
此，可用宇宙场量子化的测不准关系（78）来预测宇宙初期的状况。当宇宙尺度趋于零时
（a→0），由方程（53）和（54）可给出相应的估计值为[4]：
Δ ( ) = Δ ( ) = Δ (3) ≈ca
3
2
2
1
1 ω ω ω ，
( ) ( ) ( ) 2
03
3
02
2
01
1 a
D D D ca& Δ = Δ = Δ ≈(79)
则由测不准关系（78）可得到
4
3 2
2 2
c
a a G
π
hκ
& ≥(80)
这就是宇宙极早期宇宙尺度因子a(t)的限制关系，且这个关系是施加于整个宇宙的，而
非宇宙局部内某一空间。
3.3.3 宇宙尺度因子a
由于宇宙极早期，其物质的状态应是相对论的，其演化由方程（63）描述。因此，将（80）
代入（63）中可得到
2 8 6 2
2 2 3
4 4
4
3
8
c a a
G
c a
GA κ
π
π κ
≥+ h
(81)
可以看到，当a→0时，上述方程右边的第二项可忽略，计算得[4]
2
1
2 2
3
⎟⎠⎞⎜⎝≥⎛A
G
c
a
π
κ
π
hκ
(82)
这表明，宇宙尺度因子a(t)由于宇宙场的量子效应，不能为零，也就是说，宇宙初始奇
点由于宇宙场的量子效应而被抹平。式（82）表明宇宙初始尺寸是有限的，由此可断定时间、
空间和物质均是永恒的，空间是有限的但不为零，时间既没有起点也没有终点。
另外，由不确定关系（80）和（63），我们还可得到如下限制关系，
a
A a
&
&
h
κ
κ
π +
≥2
3 2
2
3
4
(83)
对于极早期宇宙，宇宙曲率所导致的能量可忽略，则上式可给出宇宙尺度因子的变化率
a&(t)满足如下关系，
3 2
2
3
4
κ
π
h
& a ≤A (84)
上式表明，宇宙尺度因子的变化率a&(t)存在一个上限，该上限与积分常数A成正比关
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系。
3.3.4 粒子视界和宇宙的平直性问题
①粒子视界
由于时间既没有起点也没有终点，同时宇宙因子a(t)有限，因此，当存在有讯号由世界
点( ) r1,t1 传播到观察者(r = 0,t)，若t1选择合理，则关系
∫ ∫ ( ′)
′
≤−t
t
r
a t
dt
r
dr
c 1
1
0 1 2
1
κ
(85)
总是能够成立的，且当→−∞ t1 时，上式右边的值是趋向无穷大的。这表明，由于宇宙
尺寸因子是有限的，且宇宙的时间没有起点，因此在宇宙中不存在粒子的视界。
②平直性
前面的研究已经表明（见方程（55）、（60）和（63）），宇宙极早期的物质几乎是由
纯引力场物质构成的，而与曲率κ 相关的普通物质可忽略不计，即
2
2
2 1
8
3 a
GA
c c
ρ π
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
ρ ρ
= ≈−=
−(86)
可以看到，当0 → a 时，上式趋于零（当然a有一个极小的下限，见式（82）），即c ρρ ≈，
也就是说极早期的宇宙几乎是平直的。
由此可知，建立在包含引力场贡献的引力场理论的大爆炸宇宙的标准模型，不但消除了
宇宙爆炸产生时的奇点，而且也消除了原标准模型中存在的视界问题和平直性问题。另外，
本量子场理论所描述的仅仅是我们所处的宇宙，因此也就不存在所谓的磁单极问题。这也表
明了，建立在包含引力场贡献的引力场理论的大爆炸宇宙标准模型无需再引入宇宙暴涨假设
来消除原标准模型中存在的视界问题、平直性问题及磁单极问题等[14]。
3.4 未来宇宙演化分析
3.5.1 宇宙物质状态参数η
方
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