空间曲率解释重力的一个问题
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2楼 2010-12-09 16:52 chernsimons先来重复一下圆盘问题。对这个问题解释得较为通俗的一个版本见Brian Greene的The Elegant评论
Universe，中文译本为《优雅的琴弦》第三章，简述如下：在圆盘边缘速度较大，在圆盘内侧速度小，现在分别在径向和切向去测量圆盘半径和周长。按照爱因斯坦狭义相对论，垂直运动方向上长度没有变化，测量值与圆盘本身长度相同；而沿着运动方向上也就是径向尺子的长度缩小，圆盘边缘的时间流逝变慢，以此变形的尺去测量周长，结果大于半径的2Pi倍。从运动效果来看，所处的空间不再是平坦的时空---圆盘，而是等效于处于一个弯曲时空---马鞍面上了。也就是说，弯曲时空等效于加速运动。离圆盘越远，人所受到的离心力越大，加速度越大，对应与时空弯曲越厉害。而重力让我们加速运动，因此我们可以等效地说，重力是由于时空弯曲造成的，相应地爱因斯坦提出另一个假象实验：处在密闭无外界无联系的空间中时我们不能区分我们是在地球周围静止的电梯还是在外太空中以9.8米每秒匀加速运动的火箭内部。
现在说一下你为何有这样的困惑。主要原因在于没弄清楚什么叫做离心力和向心力。坐在光滑的圆盘上，我们会感受到一个由非惯性坐标系产生的离心力，从而被甩出去，这个力与万有引力是没有关系的。想象一下，如果圆盘以一定的角速度转动，离圆盘中心越远，所受到的离心力越大，因此对应于马鞍面（曲率为负）弯曲时空。我们知道，与此相反，离引力源越远，重力越小，因此引力对应于的不是马鞍面，而是球面，其上面的园周长小于半径的2Pi倍，曲率为正，这就是引力是“向内”而不是向外的原因。
下面的图给出了三种典型的二维面，分别为平面，球面和马鞍面。(待补)
从上面的图上我们可以一眼看出引力的方向吗？回答是不能。为什么呢？引力的方向与时空弯曲具体怎么对应起来呢？
原因是这样的：引力总是指向引力势能下降最厉害的方向。上图中我们只画出了一个曲面，在这些曲面上物体所具有的引力势能是相同的，只有再给出一些势能不同的曲面，才能找出势能下降最快的方向，也就是引力方向。那么，物理学上具体是如何计算的呢？物理学家用一个叫做度规的量描述时空，时空的弯曲是度规以及其导数，二次导数的函数，这个函数会给出势能的大小，从而给出引力的方向。
很多科普书中会有这样的比喻性解释：没有物体的情况下时空是平坦的，相应于一张平坦的水床，典型物体的万有引力对应的时空弯曲相当于在床上放置一个重球，球体把床面压弯。从这个简单的图像看上，引力与床面的弯曲时一致的，这只是巧合，认真分析就会发现真实的引力造成的时空弯曲与这张床面的弯曲并不相同。 -
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