但路径积分不是
量子力學、費曼與路徑積分
210.60.224.4/ct/content/1995/00030303/0008.htm
由 高涌泉 著作
理查‧費曼 ．古典力學 ．最小作用量原理 ．量子世界 ．路徑積分 ．漢密爾頓量 ． ... 話說回來，讓費曼在物理界成名的，倒不是路徑積分而是他在量子電動力學上的貢獻- 共有1页
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理论伯爵6
这套由费曼想出的方法，对于理解量子力学是有利的，但是对于一些简单计算和了解量子力学发展历史确实不利的。
如果一个粒子从A点运动到B点，那么原则上，它可以选择无穷多种路径，当量子效应显著的时候，粒子的确是走过无穷多的路径。如果在A点的粒子状态是ψ(x0,t0)，运动到B点时的离子状态是ψ(x,t)，那么应当有这样一个函数K(x,t;x0,t0)，粒子状态通过它传播到ψ(x,t)，这过程只需要一个积分来完成，而它并不是很难理解：
ψ(x,t)=∫K(x,t;x0,t0)ψ(x0,t0)dx0…………（1）
K(x,t;x0,t0)也应当是一个波函数，一般的平面波是这个样子的：Cexp[i(px-Et)/h]（我们只考虑最简单的一维运动，此处的h是约化plank常数），如果仔细观察它指数的量纲，应该与能量×时间的相同。作用量S=∫Ldt不是正好有这样的量纲吗？我们受到这个东西的启发，把指数做替换：i(px-Et)/h→iS/h。当然，既然将路径积分引入到了传播函数中，那么对所有路径求和的步骤也应当在这里完成，我们把传播函数写成：
K=∑Cexp[iS/h]…………（2）
而且我们还知道S=∫Ldt=∫(p^2/2m-U(x))dt……（3）
现在将（1）两侧式对时间t求偏导数，并且利用（2）和（3）：
∂ψ(x,t)/∂t=∫i/h(p^2/2m-U(x))·K(x,t;x0,t0)ψ(x0,t0)dx0
=i/h(p^2/2m-U(x))·∫K(x,t;x0,t0)ψ(x0,t0)dx0
=i/h(p^2/2m-U(x))·ψ(x,t)…………（4）
我们早就知道，由于不确定性原理，在求动量平均值<p>时，是不能写成<p>=∫ψ(x,t)pψ*(x,t)dx的，因为在x确定的状态前乘以一个确定的动量p是没有意义的——动量和位置不能同时确定，所以就引入了一个动量算符p~=-ih∂/∂x来代替动量。也就是说，作用在ψ(x,t)前的动量算符必须是p~=-ih∂/∂x。所以应当把（4）式中的p换为p~=-ih∂/∂x，然后在式子两侧都乘以ih，我们就得到了schrodinger方程：
ih∂ψ(x,t)/∂t=-h^2/2mψ(x,t)+U(x)ψ(x,t)
好了，下面让我们再来谈谈，既然粒子实际上走过无穷多的路径，那么为什么经典粒子只走过一条？啊哈，这完全是传播子的相位在捣鬼！我们现在选择一条路径的传播子exp[iδ/h]，此处我们忽略了不重要的常系数，因为我们总是可以通过选取合适的单位来保证系数为1，在此不必过多考虑这些细节。好了，假设它就是经典粒子选择的那一条唯一的路径，那么此时退化到经典情况，h已经小得无足轻重，所以δ稍稍改变一些，相位都会产生很大变化，从而把相差较多的相位的相都抵消掉，而全部向exp[iδ/h]靠拢。现在让我们取那些变化的相位来参与运算，比如，一些可以是δ+ε或δ-ε的变化，其中ε只是一个小量：
……+exp[i(δ-ε)/h]+exp[iδ/h]+exp[i(δ+ε)/h]+……
=……+(1+2cosε)exp[iδ/h]+……（用到三角函数的欧拉定理）
≈……+3exp[iδ/h]+……
你们看，这简直是戏剧性的效果，在h小到无足轻重的时候，一些相位会趋向于同一个值，而其它相差过多的则抵消掉了。
好了，我已经讲的够多了，现在我要停下来了。虽然我在前面说它并不利于计算一些简单问题（只有高斯型积分可以手算出来），但当分析技术得到改观时，这应当能更多地得到应用。
如果一个粒子从A点运动到B点，那么原则上，它可以选择无穷多种路径，当量子效应显著的时候，粒子的确是走过无穷多的路径。如果在A点的粒子状态是ψ(x0,t0)，运动到B点时的离子状态是ψ(x,t)，那么应当有这样一个函数K(x,t;x0,t0)，粒子状态通过它传播到ψ(x,t)，这过程只需要一个积分来完成，而它并不是很难理解：
ψ(x,t)=∫K(x,t;x0,t0)ψ(x0,t0)dx0…………（1）
K(x,t;x0,t0)也应当是一个波函数，一般的平面波是这个样子的：Cexp[i(px-Et)/h]（我们只考虑最简单的一维运动，此处的h是约化plank常数），如果仔细观察它指数的量纲，应该与能量×时间的相同。作用量S=∫Ldt不是正好有这样的量纲吗？我们受到这个东西的启发，把指数做替换：i(px-Et)/h→iS/h。当然，既然将路径积分引入到了传播函数中，那么对所有路径求和的步骤也应当在这里完成，我们把传播函数写成：
K=∑Cexp[iS/h]…………（2）
而且我们还知道S=∫Ldt=∫(p^2/2m-U(x))dt……（3）
现在将（1）两侧式对时间t求偏导数，并且利用（2）和（3）：
∂ψ(x,t)/∂t=∫i/h(p^2/2m-U(x))·K(x,t;x0,t0)ψ(x0,t0)dx0
=i/h(p^2/2m-U(x))·∫K(x,t;x0,t0)ψ(x0,t0)dx0
=i/h(p^2/2m-U(x))·ψ(x,t)…………（4）
我们早就知道，由于不确定性原理，在求动量平均值<p>时，是不能写成<p>=∫ψ(x,t)pψ*(x,t)dx的，因为在x确定的状态前乘以一个确定的动量p是没有意义的——动量和位置不能同时确定，所以就引入了一个动量算符p~=-ih∂/∂x来代替动量。也就是说，作用在ψ(x,t)前的动量算符必须是p~=-ih∂/∂x。所以应当把（4）式中的p换为p~=-ih∂/∂x，然后在式子两侧都乘以ih，我们就得到了schrodinger方程：
ih∂ψ(x,t)/∂t=-h^2/2mψ(x,t)+U(x)ψ(x,t)
好了，下面让我们再来谈谈，既然粒子实际上走过无穷多的路径，那么为什么经典粒子只走过一条？啊哈，这完全是传播子的相位在捣鬼！我们现在选择一条路径的传播子exp[iδ/h]，此处我们忽略了不重要的常系数，因为我们总是可以通过选取合适的单位来保证系数为1，在此不必过多考虑这些细节。好了，假设它就是经典粒子选择的那一条唯一的路径，那么此时退化到经典情况，h已经小得无足轻重，所以δ稍稍改变一些，相位都会产生很大变化，从而把相差较多的相位的相都抵消掉，而全部向exp[iδ/h]靠拢。现在让我们取那些变化的相位来参与运算，比如，一些可以是δ+ε或δ-ε的变化，其中ε只是一个小量：
……+exp[i(δ-ε)/h]+exp[iδ/h]+exp[i(δ+ε)/h]+……
=……+(1+2cosε)exp[iδ/h]+……（用到三角函数的欧拉定理）
≈……+3exp[iδ/h]+……
你们看，这简直是戏剧性的效果，在h小到无足轻重的时候，一些相位会趋向于同一个值，而其它相差过多的则抵消掉了。
好了，我已经讲的够多了，现在我要停下来了。虽然我在前面说它并不利于计算一些简单问题（只有高斯型积分可以手算出来），但当分析技术得到改观时，这应当能更多地得到应用。
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理论伯爵6
这并不是严格的推导，我们只是半定量的研究了一下这个东西。对于整个推导过程我只能说，为了降低理解的难度，我们做了弊，但原则上它是正确的。希望能对希望了解这方面知识的初学者有有所帮助。
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理论伯爵6
注：当初写文的时候有一个错误，就是按照这计算步骤最后得到的薛定谔方程右侧第一项系数不是负的，而应当是正的，但这是不对的，错误的原因是S对t求偏导数而不是全导数，这样，还要利用哈密顿-雅可比方程才能得到争取的薛定谔方程。
我不明白你的意思，你所说的一个积分所具备的数学前提具体是指什么？
物理学中很多积分是物理学家造出来的，数学家不承认没关系。而且我觉得单就路径积分理论而言没有什么不正常的积分行为。你指的是不是希尔伯特空间完备性条件？
物理学中很多积分是物理学家造出来的，数学家不承认没关系。而且我觉得单就路径积分理论而言没有什么不正常的积分行为。你指的是不是希尔伯特空间完备性条件？
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- 无极自然
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理论骑士2
物理学家可以造出积分，但是一个很大的问题就是，可能不严格。比如路径积分，尽管可以借助其形式推导，但是一个显然的缺陷是“连最基本的氢原子解都算不出”，而这早已被薛定谔方程解决。
路径积分的积分区域是实数域，但是其有效测度确实复数域。只有维克旋转之后才能转化为维纳测度，而维纳测度就是一个勒贝格意义下的测度，是严格的。所以维纳测度之下的随机微积分理论是严格的。
但路径积分不是。
希望您在本吧能有一定甄别能力。
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