phymath999: X 上的所有的「路徑」形成的空間具有我需要的所有的性質──祇要我敢把它看成「纖維空間 (fibre space)」，

Sunday, June 23, 2013

X 上的所有的「路徑」形成的空間具有我需要的所有的性質──祇要我敢把它看成「纖維空間 (fibre space)」，

X 上的所有的「路徑」形成的空間具有我需要的所有的性質──祇要我敢把它看成「纖維空間 (fibre space)」，

四維緊緻可微流形的漂亮定理，最近才由 S. Donaldson 加以證明。它說，這種流形在二維上同調群 (cohomology group) 的二次形受到很強的限制：若它是正定的，則它是平方合。

			首頁 \| 搜尋．原載於數學傳播十一卷二期
	謝爾訪問記 C.T. Chong;Y.K. Leong 呂素齡		首頁 \| 搜尋．原載於數學傳播十一卷二期

謝爾 (Jean-Pierre Serre) 1926年生於法國。在高等師範學校研讀數學。1954年，28歲時，他獲得國際數學協會的 Fields 獎，這是數學家的最高榮譽。兩年後，被任命為法蘭西學院的代數和幾何學教授，在那兒連續大約15年他一直是最年輕的教授。 1985年二月二日至十五日，他訪問新加坡國立大學數學系，這次訪問是由「法－新學術交流計劃」資助。在訪新期間，謝爾教授就定義於有限體的代數曲線演講了兩次，就 Ramanujan 函數演講一次。此外，他提供一場兩小時的討論會，談論 Faltings 對 Mordell 猜測的證明，和一場以虛二次體的類數為內容的學術發表會，題目是「 $\triangle=b^2-4ac$ 」。在1985年二月十四日，他讓我們作了一次訪談，說到他的種種數學生涯和數學觀。下面就是訪談本文，由 C.T. Chong 和 Y.K. Leong 編寫，並經謝爾校訂。問：什麼促使你選擇數學作為你一生的事業？答：我記得我開始喜歡數學大約是七、八歲時。在高中時代，我常常做比我高年級的問題。那時我住在 Nimes 城供膳的寄宿處，跟比我年長的孩子生活在一起，他們經常欺負我。為了討好他們，我常常替他們做數學作業。這跟其他任何的訓練方法一樣管用。我母親是位藥劑師（我父親也是），她喜愛數學。在她還是 Montpellier 大學藥學系的學生時，純為了好玩，她選修了大一微積分，並通過了考試。她小心地保存了微積分課本（如果我沒記錯的話，那是 Fabry 和 Vogt 所寫的）。在我十四、五歲時，我常常翻閱、研讀這些書。這就是我學習導數、積分、級數等等的經過（我是用完全形式化的方法學習──也就是 Euler 的方式：當時我並不喜歡，也不了解 ε、δ）。那時，我並不知道當數學家可以過活。一直到很久之後，我才知道光是做數學也有人會給你薪水。我最先想當個高中老師：對我而言，那是很自然的。那時，我19歲，我通過考試進入高等師範學校。一旦進了高師，愈清楚看出來將來想當的並不是高中老師，而是數學研究者。問：是否有其他的科目你曾經感興趣，譬如物理或化學？答：物理學不怎麼有興趣，但化學倒是很有興趣。我說過，我雙親是藥劑師，因此他們有許多化學藥品和試管，在我十五、六歲時，做數學之暇也玩了不少化學實驗。我還讀了我父親的化學課本（我仍保存其中很有趣的一本，是 Jacques Duclaux 所寫的《Les Colloides》）。然而，在懂得更多的化學後，我對化學那些仿數學的外表感到失望：一長串的有機化合物，像 CH₄、C₂H₆等，全部看起來都有些相似。我想，假若你非得應付級數的話，還是寧願做數學的級數！就這樣，我丟開化學-但不是全然放棄：我最後和一位化學家結婚。問：在學數學的過程，你是否受到任何一位學校老師的影響？答：我只有一位非常好的老師。這是在 Nimes 就讀高中的最後一年(1943-1944)。他被暱稱為「大鬍子」：那時留鬍子人還不多。他頭腦很清楚、嚴密，他要求每一個式子和證明都要清楚寫下。為了參加全國數學的「總競賽」，他嚴格訓練我。在那個競賽中，我終於獲得了首獎。說到「總競賽」，在同一年(1944)，我也在物理的競賽上試試我的身手。競試的問題全然是以我應該知道（事實不然）的某一個物理定律為依據。幸運得很，我覺得只有一條式子符合那個定律。我就假設它是對的，並且用整六小時的時間解這個問題。我甚至認為我會得獎。不幸我的式子是錯的，我什麼也沒有得到──本該如此！問：在發現定理過程中，靈感有多重要？答：我不知道「靈感」真正的意思是什麼。定理、理論以各種有趣的方式呈現。有時，你只是不滿意現有的證明，要找更好的，以便應用到不同的情境。我的一個典型的例子是，在處理 Riemann-Roch 定理（大約1953）的時候，我把它看成 Euler-Poincare 示性數（我那時並不知道 Kodaira [小平邦彥] 與 Spencer 已經有同樣的想法）。我第一件工作是證明代數曲線的情形──一種大約一世紀前已經知道的例子！但我想要一種特別方式的證明，當我著手去找它的時候，我記得我花不到一、兩個鐘頭就從那兒推到二維的情況（這種情況剛由 Kodaira 完成）。六個月以後，一般的情形由 Hirzebruch 證明，並且在他著名的教授就職演講發表。通常，你不真的是硬碰硬的想要解決一個特定的問題。相反的，你心中有某些概念，你覺得這些觀念很有用，但你不真正知道它們為什麼有用。所以，你四處瞧瞧，試著使用它們。這就像有一串鑰匙，你對著一些門試試看。問：你是否經歷過，在你發現一個問題不能解決的當兒，把它擱置一些時候，突然靈光一閃，解答出現了? 答：是的，當然這種現象經常發生。例如，大約在1950年，我做同倫群 (homotopy group) 時，我自己確信，對給定的空間 X，應該存在一個可縮的纖維空間 (fibre space)E，他具有基底 X；這樣的空間的確使我（應用 Leray 的方法）可以在同倫群和 Eilenberg-MacLane 的上同調群 (cohomology group) 做很多計算。但要如何找出它？我花了好幾個星期（非常長的時間，那時我還是……）才發現 X 上的所有的「路徑」形成的空間具有我需要的所有的性質──祇要我敢把它看成「纖維空間 (fibre space)」，而我確是如此。在代數拓樸，這是迴路空間 (loop-space) 方法的起始點，此後許多結果很快接連產生。問：你通常是一次只做一個問題，或是同時做好幾個問題？答：大約一次做一個問題，但不總是如此。而且我經常夜裏工作（在半睡眠狀態），事實上，那時你不需要寫下任何東西，而得以更集中心力，更為容易改變主題。問：物理學有很多意外的發現，像 X 光、宇宙射線等等。你在數學是否有同樣的遭遇？答：真正的意外很少。但有時你會很驚訝的發現，有些你為某種目的而作的討論碰巧解決了不同方向的問題；無論如何，我們幾乎不能把這種情形稱為「意外」。問：代數幾何或數論的中心問題是什麼？答：我無法回答這個問題。你知道，有些數學家有明確、長遠的計劃。例如，過去 Grothendieck 在代數幾何有這種大計劃；目前 Langlands 在表現論（與模函數、數論有關）也有這種大計劃。我從沒有這樣的大計劃，即使是小一點的也沒有，我只是做當下恰好感興趣的題目。（目前，我最有興趣的題目是計算定義於有限體的代數曲線的點的個數。這是一種應用數學：你使用你熟知的代數幾何和數論的工具……而你並沒有完全成功！）問：你想代數幾何或數論在最近五年最大的發展是什麼？答：這比較容易回答。Faltings 在 Mordell 猜測和 Tate 猜測證明是我首先想到的。我也應提一提 Gross-Zagier 在二次數體類數 (class number) 的工作（這些工作是以過去 Goldfeld 的定理為基礎），以及 Mazur 與 Wiles 使用模曲線 (modular curve) 探討 Iwasaua 理論的結果。（把模曲線和模函數應用到數論是非常有趣的：比如，你使用 $\mbox{GL}_2$ 去研究 $\mbox{GL}_1$ ！顯然從那個方向會得出更多的東西──甚至有一天可能得到 Riemann 假設的證明！）問：有些科學家在某個領域完成了決定性的成就，又很快轉到另一個領域。你在拓樸學作了三年後也改作其他的東西。這是怎麼回事？答：這是連續的過程，不是突然的改變，1952年，我寫完有關同倫群的博士論文後，就到普林斯頓，在那兒演講這個題目（及其續篇「C-理論」），同時參加著名的 Artin 與 Tate 合辦的類體論 (class field theory) 的研討會。然後，我回到巴黎，Cartan 的研討會正在討論多複變函數和 Stein 流形。總結是 Cartan-Oka 最近的結果如果使用上同調群和束論 (sheaf) 的方法來討論，會更有效率，並且更簡單。這很讓人吃驚，我在這個題目上花了短暫的時間，把 Cartan 定理應用到 Stein 的流形。然而，多複變很有趣的一部分是研究射影多樣體 (projective varieties)（相對於仿射 (affine) 多樣體──它對幾何而言是有些缺陷）；所以，我開始使用束論來探討這些複射影多樣體：這是我為何在1953年捲入以 Riemann-Roch 定理為中心的各種問題。但是複射影多樣體是代數多樣體（周煒良的定理），因此使用解析函數來研究這些代數的材料是有點兒不自然，因為這些解析函數可能有許多本質奇異點 (essential singularities)。顯然，有理函數應該夠用了──事實上也是如此。這使我（大約1954年）走進了定義在任何代數閉體 (algebraically closed field) 之上的抽象代數幾何。但為何要假設體是代數封閉？有限體會更有趣，如 Weil 猜測以及諸如其他的一些問題。從這兒到數論的領域是很自然的轉變……這多少是我所遵循的路線。另一個工作方向來自我和 Armand Borel 的合作。他教我許多李群 (Lie group) 的知識，他認識李群的方式簡直與眾不同。這些群和拓樸、代數幾何、數論……的關聯把我迷住了。且讓我為你舉個例（那是我在1968年左右才了解的）。考慮 $\mbox{SL}_2(R)$ 最簡單的一個離散子群，那就是 Γ= $\mbox{SL}_2(Z)$ 。我們可以計算它的 Euler-Poincare 示性數 $\chi (\Gamma )$ ，它是 $\frac{-1}{12}$ （不是整數，因為 Γ有 torsion）。現在 $\frac{-1}{12}$ 正巧是黎曼 Zeta 函數在點 ξ=-1 的值 ξ(-1)（Euler 已經知道的結果）。而且這不是巧合！它可以推廣到任何全實的數體 K，並且可以用來研究 $\xi_K(-1)$ 的分母。（後來發現，藉著使用模函數，可以得到更好的結果）這樣的問題不光是群論，不光是拓樸，也不光是數論，它們只能叫做數學。問：數學這麼多不同的領域達成統合的展望如何？答：我要說這種境界已經達到了。在前面我已經舉了一個典型的例子，其中李群、數論等已經合而為一，且無法彼此分離。讓我舉另一個這樣的例子（很容易再舉更多的例子）。有一個探討四維緊緻可微流形的漂亮定理，最近才由 S. Donaldson 加以證明。它說，這種流形在二維上同調群 (cohomology group) 的二次形受到很強的限制：若它是正定的，則它是平方合。而且證明的要點是去建立某些輔助的共邊流形作為一些偏微分方程（當然！是非線性的）的解集合！這是把分析應用到微分拓樸的一種全新應用。而它更引人注目的是，如果把可微的假設去掉，情形變得完全不同：由 M. Freedman 定理，則二維上同調群的二次形幾乎可以是任何東西。問：我們要如何才能趕得上數學知識的爆炸？答：你實在不必去追趕。當你對某一特別的問題有興趣時，你很難發現現成的東西跟你有任何關聯，而如果有某些東西確實跟你相關，你會學得很快，因為你知道要如何應用它。定期地看數學評論（特別是關於數論、群論等的集刊）也是個好習慣。你也可以從你的朋友那兒學到不少東西，在黑板講給你聽的證明是要比自己唸的容易得多。更重要的問題是關於所謂的「大定理」，它們一方面非常有用；一方面又長得無法檢驗（除非你為它們耗下一生相當多的時光）。一個典型的例子就是 Feit-Thompson 定理：秩為奇數的群是可解群。（Chevally 曾嘗試以它來作為討論會的主題，把它的證明予以完整的討論。兩年之後，他終於放棄了。）萬一我們要使用這樣的定理時該如何？信任的接受它們？大概吧！但這不是非常令人舒服的情況。我也對某些東西感到不安，主要是在微分拓樸方面，作者畫了一個複雜的二維圖形，要求你接受它是五維或是更高維的證明，只有專家才「看」得出來這樣的證明是對或錯──假若你稱它是一個證明的話。問：你認為電腦將來對數學發展的衝擊如何？答：電腦對數學某些部分已經有不少好的影響。例如在數論，人們以各種方式使用電腦。當然，首先是提供猜測或問題。此外，也用來檢驗一般性定理的特例──它對發現可能的錯誤很有幫助。要進行大型的分類時也有很大助益（例如，當你必須檢驗 10⁶ 或 10⁷ 種情況時）。著名的例子是四色定理的證明。不過這兒有一個問題，跟 Feit-Thomapson 定理的問題有點類似。這樣的證明無法用手檢驗，你需要一台電腦（以及非常巧妙的程式）。這也不怎麼令人舒服。問：我們要如何才能鼓勵年輕人唸數學，特別是在學校裏？答：我在這方面有個理論是起先最好不要鼓勵年輕人學數學，因為並不需要太多的數學家。但是，往後他們仍堅持學數學，就要確實鼓勵他們、幫助他們。就中學生來說，最主要的一點是讓他們了解數學的的確確存在著，它不是死的（他們有一種傾向，相信只有物理或生物有未解決的問題）。傳統數學教法的缺點是老師從不提及這些尚未解決的問題。真可惜！例如，在數論方面有許多問題是十多歲小孩可以了解的：當然費瑪定理是，Goldbach 定理也是，以及無限多 n²+1 形式的質數存在性。而我們不妨只敘述定理而不證明它們（例如 Dirichlet 關於等差數列中的質數數目的定理）。問：你認為數學在近三十年的發展要比過去三十年的發展來得快嗎？答：我不能確定是否如此。風格是不相同的。在五、六十年代，經常強調一般性的方法：廣義函數 (distributions)、上同調等等。這些方法非常成功，但現在人們做更具體的問題（通常，有些相當古老的問題：例如在複三維射影空間中代數曲線的分類！）他們應用過去發展完成的工具，這是相當好的。（而且他們也產生新的工具：微局部分析 (microlocal analysis)、超多樣體 (supervarieties)、相交上同調 (intersection cohomology)……）。問：鑑於數學知識的爆炸，你想一位研究生能夠在四、五、六年間吸收大量的數學，然後立刻展開原創性的工作嗎？答：為什麼不能？就一個特定的問題，通常你不需要懂得很多。此外，非常簡單的概念經常就能解決問題。有些定理被簡化了，有些只是被遺忘了。譬如，在1949年我記得我變得很沮喪，因為當時每期的《數學年刊》(the Annals of Mathematics) 都有一篇拓樸學的論文，並且一篇比一篇難。但現在沒有人再看這些論文了，它們被遺忘了（也該當如此：我不認為它們包含有任何深度的東西……）。遺忘是非常健康的。雖然如此，由於要使用繁重的技巧，有些題目真的還是比其他的題目需要更多的訓練。代數幾何就是這樣的例子，表現論也是。無論如何，我們顯然不會說：「我要開始做代數幾何了」或其它類似的話。對某些人而言，僅是跟隨討論會，讀東西，問自已問題；而後學習做問題所需要的知識就夠了。問：換句話說，我們應當首先針對一個問題，然後學習這個問題所需要的各種工具。答：有點類似這樣子。但因為我知道對自己都不能有好的建議，我也不可能給別人好的建議。我並沒有一副萬應靈丹。問：你提到被遺忘的論文。已出版的論文你認為有多少百分比不會被淘汰？答：我相信是非零的百分比。畢竟，我們仍然充滿喜悅的閱讀 Hurwitz、Eisenstein，或甚至高斯的論文。問：你想你將來會對數學史有興趣嗎？答：我現在就有興趣了。但這可不容易；例如，我沒有拉丁或希臘文的語文能力。而且我有自知之明，叫我寫數學史的論文比寫數學論文還要花時間。然而歷史是非常有趣的，它把事情看得更透徹。問：你相信有限單群 (finite simple group) 的分類嗎？答：多少相信──也比較傾向相信。假使有新的離散單群 (sporadic group) 被發現，我會很高興，但我擔心不會發生。更鄭重的說，這個分類定理是了不起的事情。我們現在只需利用通過有限單群的清單就可以檢驗許多性質。（典型的例子：對 $n \geq 4$ ，n 重可遷群 (n-transitive group) 的分類）。問：在有限單群分類後，你想到的新開端是什麼？答：你是暗指某些有限群理論家在分類完成後會變得沮喪的這件事實；有人說（或者我聽到的）：「在那之後，就沒有什麼事可做了。」我發覺這是很可笑的！當然有許多事要做！首先，簡化證明（就是 Gorenstein 說的「修正主義」）。還有尋找它在數學其他部分的應用；例如，已經有很奇妙的發現把 Griess-Fischer 怪物 (monster) 群與模函數聯繫起來。這就像在問 Faltings 對 Mordell 猜測的證明是否扼殺了曲線上有理點的理論。不會的！這只是一個開始。許多問題仍然未解。（有時候，也真的有些理論被消滅了。一個有名的例子是 Hilbert 的第五個問題：證明每一個局部歐氏的拓樸群是一個李群。當我是一位年輕拓樸學家時，那是我確實想去解的問題──但我一無所獲。解出這個問題是 Gleason、Montgomery 與 Zippin，而他們的解只是消去了這個問題。在這個方向還有什麼其他的問題呢？我只能想到一個問題：P-進整數群能有效的作用在流形上嗎？這似乎很難──但就我所知，這個解應該沒有其他任何的應用了）。問：但我們會假設大部分的數學問題都像這樣，即問題本身可能佷難且富挑戰性，不過當它們解決了以後就變得沒用了。事實上，很少問題像黎曼猜測一樣，甚至在未解之前，人們已經知道它的許多影響。答：是的，黎曼猜測是非常好的例子；它導出很多東西（包括純粹數字的不等式，譬如在數體的判別式）。但還有其他類似的例子：Hironaka [廣中平祐] 的奇異點消去定理算是一個；當然還有前面討論到的有限單群。有時，用來證明的方法有許多應用：我確信這種現象會在 Faltings 定理發生。有時，問題真的沒預計會有應用產生；他們是對現存定理的一種檢驗，迫使我們看得更深入。問：你仍會回到拓樸方面的問題嗎？答：不會的，我沒有繼續接觸最近的技巧，而且我不清楚圓的同倫群， $\pi_{n+k}(S^n)$ ，最新的計算值（我猜大約已算到 k=40或50。我一向只知道 k=10 左右）。但我仍然以更廣義的方式使用拓樸學的觀念，像上同調、障礙論 (obstructions)、Stiefel-Whitney 示性類等。問：Bourbaki 在數學方面所造成的影響如何？答：非常好！我知道把每件壞事都歸罪 Bourbaki（譬如「新數學」是一種時尚，但這是不公平的。Bourbaki 是不應負責任的。人們只是誤用 Bourbaki 的書，這些書從沒打算作大學教科書，更不必說高中了。問：或許應該有一些警告的訊息。答：這樣的警告訊息 Bourbaki 的確提過：那就是 Bourbaki 討論會。這個討論會一點都不像書本那麼正式；它包括各類的數學，甚至某些物理。假使你把討論會和書合起來，你會獲得更均衡的看法。問：你是否看到 Bourbaki 對數學的影響已減退？答：目前的影響有別於過去的。四十年前，Bourbaki 想作的論點是證明把數學予以組織化、系統化的闡述是可能的。現在這個想法已經做到了，而且 Bourbaki 也贏了。結果是，他們的書現在只剩下技術層次的意義；問題只是它們是否把主題好好的解說。有時它們做到了（有一本探討「根系 (root systems)」的已經成為這一領域的標準參考資料）；有時它們沒有做到（我不想舉例，這太牽涉到品味問題）。問：談到品味，你能否談談那一類型的書或論文，你最喜歡？答：嚴謹而不拘形式的！那是理想典型，就像是用來演講的。在像 Atiyah 或 Milnor 等少許作者，你可以看到這種令人愉快的溶合。但這種境界實在很難達到。例如，我發現很多法國人（包括我自己）有點太正式了，而有些俄國人又有點太不嚴謹了……。還有一點我想提的是論文應多包含些評注、未解問題等等。通常，這些比定理的證明更有意思。哎！大多數的人卻害怕承認他們不知道某些問題的答案，連帶地他們就避免提問題，即使是非常自然的問題。多遺憾啊！對我自己而言，我是以說「我不懂」為榮。