gr01 如何来判断时空的弯曲. 度规张量当然代表时空的几何，由于坐标系选用的任意性，很难从度规的各坐标分量判断时空是否平直.

如何来判断时空的弯曲. 度规张量当然代表时空的几何，

由于坐标系选用的任意性，很难从度规的各坐标分量判断时空是否平直. 度规的1阶偏导数组成的克氏符

号不是张量，也不能用作判断的根据，那么只有用度规的2阶偏导数组成的张量来判断

http://astronomy.nju.edu.cn/~tyhuang/jiaoxue/chapter5.pdf

曲率张量的定义到目前为止，判断时空是否平直可以用以下一些办法：(1)看向量平行移动的结

果是否与路径有关. 关于这一点在x4.2中已有比较详尽的讨论. (2)由3条测地线组成的三角形的内角和是

否等于¼. 一个明显的例子是球面上由3条大圆弧组成的球面三角形的内角和大于¼. (3)协变导数是否与

次序有关，亦即T¹

;®¯ 与T¹

;¯® 是否相等. 如所周知，普通偏导数与次序无关. 当然，判断时空弯曲的方法

绝对不止这3条，例如可以测量空间的圆周率，测量2条测地线之间距离随测地线长度的变化等等

第五章引力场方程

 

爱因斯坦等效原理告诉我们引力表现为时空的弯曲，并且告诉我们只要知道表示时空几何的度规，

 

就能计算物体如何在弯曲的时空中运动. 引力是由物质及其分布决定的，度规也应当由物质及其分布决

定. 等效原理并不能给出如何从物质及其分布来决定度规. 解决这一问题的是爱因斯坦的引力场方程，它

是牛顿力学中的泊松方程在广义相对论中的对应体. 等效原理和引力场方程是广义相对论理论的两个核

心部分.

5.1 曲率张量和爱因斯坦张量

为什么要引入曲率张量在牛顿力学中，从物质及其分布决定引力的方程是泊松方程

r2U = 4¼G½: (5.1)

方程的右边是质量密度½. 它在广义相对论中的对应体是能量动量张量T¹º. 方程的左边是牛顿引力势U

的2阶偏导数的组合. 在x3.2中说到克氏符号的物理意义相当于引力或惯性力，克氏符号是度规张量的1阶

偏导数的线性组合，可以猜测度规g¹º 相当于牛顿力学中的引力势. 广义相对论的引力场方程应当是从

物质T¹º 决定度规g¹º 的偏微分方程. 建立引力场方程需要1个由度规的偏导数组成的张量. 等效原理意

味着引力可以局部地去除，所以克氏符号不可能是张量，这就需要1个由度规的2阶偏导数组成的张量.

从另一个角度讲，迄今为止我们还不知道如何来判断时空的弯曲. 度规张量当然代表时空的几何，

由于坐标系选用的任意性，很难从度规的各坐标分量判断时空是否平直. 度规的1阶偏导数组成的克氏符

号不是张量，也不能用作判断的根据，那么只有用度规的2阶偏导数组成的张量来判断. 这正是本节要建

立的曲率张量.

曲率张量的定义到目前为止，判断时空是否平直可以用以下一些办法：(1)看向量平行移动的结

果是否与路径有关. 关于这一点在x4.2中已有比较详尽的讨论. (2)由3条测地线组成的三角形的内角和是

否等于¼. 一个明显的例子是球面上由3条大圆弧组成的球面三角形的内角和大于¼. (3)协变导数是否与

次序有关，亦即T¹

;®¯ 与T¹

;¯® 是否相等. 如所周知，普通偏导数与次序无关. 当然，判断时空弯曲的方法

绝对不止这3条，例如可以测量空间的圆周率，测量2条测地线之间距离随测地线长度的变化等等.

用上面给出的第3条方法容易导出曲率张量的定义公式. 经过比较繁复但并无困难的推导(见习

题5.1)，对1阶张量T¹ 进行2次协变导数，有

T¹;®¯ ¡ T¹;¯® = R½

¹®¯T½; (5.2)

其中

 

R½

¹®¯ = ¡¡½

¹®;¯ + ¡½

¹¯;® ¡ ¡º

¹®¡½

º¯ + ¡º

¹¯¡½º

®: (5.3)

在书写曲率张量的指标时，需要注意½ 是第一指标，而且是逆变指标，其它3个指标¹®¯ 是协变指标，

在这3个指标之前要留有空格，以明确各个指标的次序.

(5.2)式的两边，除R½

¹®¯ 外，都肯定是张量，所以R½

¹®¯ 也是1个张量，称为黎曼曲率张量，常简

称为曲率张量. 对于全局的或1个区域内平直的时空，可以选择坐标系使度规在该区域内处处成为闵可夫

斯基度规，在其中所有的克氏符号及其偏导数全为零，曲率张量就是1个零张量，而且在任意的坐标系中

所有的坐标分量都是零. 曲率张量可以用来判断时空是否平直.

1

 

2 第五章引力场方程

(5.3)式表明，曲率张量是度规及其1，2阶偏导数的函数，而且是度规2阶偏导数的线性函数. 在1个

时空点，如果选取局域测地线坐标系LGS，所有的克氏符号全为零，但它们的1阶偏导数并不一定为零，

在这个特殊的局域坐标系里，曲率张量的表达式简化为

 

R½

¹®¯ = ¡¡½

¹®;¯ + ¡½

¹¯;®: (5.4)

曲率张量的性质曲率张量是1个4阶张量，共有256个坐标分量. 然而，由于以下一些对称和反对

称的性质，这些分量并不完全是独立的. 下面先列出这些性质，然后再一一给出证明. 这些性质用协变的

曲率张量R¹º®¯ 来写出. 下面用的关于指标的圆括号和方括号运算的定义请参见附录A.

R(¹º)®¯ ´ 0; (5.5)

R¹º(®¯) ´ 0; (5.6)

R¹º®¯ ´ R®¯¹º; (5.7)

R¹[º®¯] ´ 0; (5.8)

R¹º[®¯;½] ´ 0: (5.9)

性质(5.5)表明曲率张量对前2个指标是反对称的，而(5.6)表明它对后2个指标也是反对称的. 如果把

前2个指标看成1对，后2个指标也看成1对，性质(5.7)表明曲率张量对这2对指标是对称的. 性质(5.8)称

为Ricci恒等式而性质(5.9)是著名的Bianchi恒等式.

显然，性质(5.5)，(5.6)和(5.7)是相互关联的. 例如，只要证明了后2式，第1式就不证自明了.

先来证明性质(5.6). 注意R¹º(®¯) 是1个张量，为证明它是1个零张量，只需在1个特殊坐标系里证明

就可以了，今后将经常采用这种方法. 在LGS里，根据(5.4)式，有

R¹º®¯ = ´¹½

³

 

¡¡½

º®;¯ + ¡½

º¯;®

  

´

 

: (5.10)

式中´¹½ 和以前一样表示闵可夫斯基度规. 上式对指标® 和¯ 是反对称的，所以对这2个指标加上圆括号

来取其对称部分的结果恒等于零.

再来证明性质(5.7). 同样选取局域测地线坐标系LGS，用(3.11)式将(5.10)中的克氏符号写成度规的

函数. 注意在LGS中度规可写成闵可夫斯基度规，度规的1阶偏导数全为零，所以只需保留度规的2阶偏

导数. 这样，在LGS中有

R¹º®¯ =

1

2

 

(g¹¯;º® + gº®;¹¯ ¡ g¹®;º¯ ¡ gº¯;¹®):

将指标对¹º 和®¯ 互换位置，上式保持不变，性质(5.7) 得证.

在LGS中Ricci恒等式的证明十分简单. 对(5.10)式