Friday, June 21, 2013

diffgeom01 manifold01 gr01 先理解"方向"，再用方向給出"距離"、"角度"; (不同坐標之間的轉換是"可微分"的，而且一對一。

不同坐標之間的轉換是"可微分"的，而且一對一。
http://www.phy.ntnu.edu.tw/wiki/index.php/%E5%BB%A3%E7%BE%A9%E7%9B%B8%E5%B0%8D%E8%AB%96


http://file.lw23.com/a/a3/a36/a3662b3e-eae9-4c46-a2b0-342b953498b8.pdf

廣義相對論

出自DemolabWiKi


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適合本文的讀者設定在對狹義相對論、時空、光、萬有引力、和牛頓運動定律有基本概念的高中讀者。

目錄

[隱藏]

概要

對愛因斯坦( Einstein )來說，相對論源於時間和距離測量的探討。他構思一種測量物理量的方式，並將測量方式視為此物理量的定義( 操作性定義 )。 為了完成時間距離的操作性定義(他的測量想法參見狹義相對論)，他提出狹義相對論的兩項基本公設。但狹義相對論只研究到互相均速運動的二( 慣性 )坐標系，對於天文學、加速運動的物體並不足夠。所以必須推廣相對性原理( 變成廣義協變性, General principle of relativity)以適用於任意互相運動的坐標系。經過更進一步的研究後，他發現相對性原理的擴充方式必須採取一種巧妙的迂迴:放棄傳統方法( 歐幾里得幾何；我們戲稱為"學校教的幾何" )描述時空的結構。在新的理論框架下，卻因廣義協變性，使用重力和使用"量尺機器"( 度規張量 Metric tensor ，用以定義"時空點"間距離、"夾角"的"函數)是一樣的。以通俗但不精準的話說，引力就是"時空的幾何"。關於"物質"的物理定律方面，根據牛頓重力方程式的形式和一些古典力學的觀念，愛因斯坦和希爾伯特( Hilbert )又提出了"物質"( 能量-應力張量 energy-stress tensor )決定了時空幾何的辦法( 愛因斯坦場方程式 )。
為總結廣義相對論的要點，我們引用費曼的老師惠勒(John Wheeler)的話:時空告訴物質如何運動( 在相信"學校教的幾何"的我們眼裡，如何不像"自由運動" )；物質告訴時空如何"彎曲"(度規張量顯現出時空和學校裡所學幾何的異同) ( 原文: Spacetime tells matter how to move; matter tells spacetime how to curve.)

推廣相對性原理

驅使愛因斯坦推廣相對性原理的理由，來自於解釋非慣性座標的觀察和慣性座標為何不同；牛頓把非慣性座標多出來的力解釋成，非慣性觀察者因自己的慣性而"幻想"出來的力。牛頓相信只有"慣性座標"看到的物理定律才是"正確"的；事實上牛頓上述觀點也保留在狹義相對論裡。
但目前的很高精確度(10 − 11)的實驗證實，以假想力測出的質量，和重力(萬有引力)測出來的是一樣的。讀者稍微思考一下，根據這個證實，(暫時不考慮狹義相對論)。思考一地球上纜線被剪斷的電梯，跟電梯一起運動或用慣系觀察，是沒有差別的。(關於狹義相對論方面的思考，參見等校原理在狹義相對論)所以我們沒有理由覺得"慣系"是比較優越的。所以正確的物理定律對於任意坐標系應該有一樣的形式，那任意觀察者(一個觀察者建立一個坐標系)應當有視自己的坐標系為"靜止"的權力。但請想想不優先選慣性坐標系的後果；在狹義相對論下，如果我們取一個相對慣系(Z軸)旋轉的坐標系，在原點和距離兩者共同原點一段距離的地方，因為長度收縮兩個地點會測出不同的圓周率；時間的測量也將會因為時間膨脹而不同，這樣，我們如何去描述一個"任意坐標系"都正確的物理定律呢?關鍵在於我們意識到坐標系是"局部"有效的(意思是說"局部"之下時刻和量尺刻度是一樣的)
如果把上一段的電梯，和跟在太空以重力加速度向下加速的電梯比較，會發現是"分不出差別的"，意思是說，牛頓意義下由"加速度"造成的"力"和"萬有引力，其實是"一樣"的(此論據可同樣推論到狹義相對論中)那在非慣系座標中，我們可以把"假想力"重新詮釋為一個"引力"場的影響了。
所以對一"加速"(相對一個"慣系")坐標系來說，我們可以相信物體其實是在"自由運動"，但這個"自由運動"軌跡被熟悉"學校教的幾何"的我們視為”彎的”。只要我們發現尺和時鐘會隨著時間和位置"改變"(被引力場"改變")，就自然的把"自由運動"的軌跡理解為"直線"。所以我們就必須承認"學校教的幾何"不管用了。(事實上在廣義相對論裡，我們定義"局域"慣性座標為:這個座標看到的自由運動是"學校裡教的幾何"的直線運動。)。但根據我們日常生活的觀察，有"不同加速度"的加速座標系，看到的運動狀況其實不一樣阿!那我們怎能說被測物在"自由運動"呢?反過來問，難道以前在互相均速運動的慣性座標系間，自由運動看起來都完全一樣嗎?不，那是不同的，對同一事件點觀察的二觀察者，可能看到不同的自由運動狀況；所以我們相信自不自由運動和座標的選取無關(但請注意這個"自由運動"並非一定是直線等速運動，必須知道"運動定律"只在慣性系下適用)。
同樣的，我們知道時鐘和量尺被"引力場"引響時，其實描述時空的幾何性質(量尺和時鐘的性質)就在描述"引力場"(這著引力場來自於觀察者以外的"物質")，但其實幾何性質是被"量尺機器"描述的。
我們說一種尺和鐘的刻度大小只是”局部”對某觀察者有效的，且尺和鐘的刻度是隨我們在時空中事件點的不同而不同；加上我們認為在所有事件點附近總是任意觀察者可以重複時間距離的測量，我們用一種新的數學實體來描述有這種性質的物理結構，它被稱為流形: 
   1.它是一群點(可能無限多，像時空可為有無限多事件點)的集合
   
   2.每個點的一個”附近”(鄰域)總是可以指定一種座標(觀察者區域有效的刻度量尺所訂出來的，對"附近"包括的事件點都有效)
   
   3.不同坐標之間的轉換是"可微分"的，而且一對一。
   
   簡單來說，時空像標電話號碼；各國的標碼方式不同但有轉換的規則，但時空的電話號碼只有"四碼"。
我們喜歡用 \displaystyle{M} 代表一個流形(Manifold)；而用 \displaystyle{U}代表一個點的"附近"(或鄰域, neighborhood)； \varphi_{U} 代表 \displaystyle{U} 裡的一個座標(連續且雙射到某四維區域的函數)，而 \displaystyle{\varphi_{U}^{i}} 代表座標第 \displaystyle{i} 個分量(我們之後可以看出將 i 擺在上標的好處)，但有時我們比較懶單單用 \displaystyle{u^{i}} 表達而已。所以所謂的廣義協變性就是:"一個普適的物理定律的型式在時空流形下，由一個一觀察者的局域座標換到另一個觀察者的局域座標的變換方法，就是將時空變數作應有的轉換就好了。" 
   註
   
   那甚麼是時空呢?我們反過來問個問題，如果"時空"中空無一物，連觀察者都沒有，時空還有意義嗎?我們只能回答，沒有!時空好似句子的框架，必須有單字和單字
   
   ("物質"和"物質"，場也是"物質"；參見近代物理的概要)間的關係；並放入單字，時空才有意義。

切向量與度規

如果想知道物理量在某點(用一個物理事件標定，如一道閃光)的值，理所當然會用儀器在這點附近做測量；測量後用觀察者的鐘和量尺測量事件的時刻和空間座標來標定物理事件；做了足夠的測量後，我們就可以沿"某一條"連續不斷的物理事件"路徑"觀察它的變化。(將一群物理事件用"連續不斷的"實數標示，) 
  註:
  這裡的"連續"和極限的"連續"類似；在一事件任意的"鄰域"抓一點事件，那一定可以在實數線段上找到一個"圓盤"，裡面有一個數標示這個事件。
  
  另外鄰域的概念類似備有"距離"的開集，但比他抽象一些:一事件的任意多鄰域交集後還是那點的鄰域，有限個的交集也是，當然一點的鄰域必須包含那一點。有興趣可以自己證明一點的開集的確也滿足這些性質 (注意"距離"的特
  性)可參見微積分
標示一個物理事件，最簡單的方法就是時刻、空間座標(跟觀測者運動狀態有很大的關係，他是"局部"有效，而物理定律正確的敘述必須和是誰觀察無關)。取一個路徑以後，路徑上物理事件的座標就變成單一實數變數(我們用\displaystyle{s}表示)的函數了。下圖代表我們的想法 
   
   
   \displaystyle{R}代表實數系；\displaystyle{A}代表我們的"物理事件空間"(也就是一個流形)；藍色代表\displaystyle{p}的一個"附近"(鄰域\displaystyle{\color{Blue}O_p})和在這裏面
   
   適用的座標(比如說路徑可表為\displaystyle{\color{Blue}\gamma^{i}(s)})。綠色(\displaystyle{\color{Green}F})代表物理量的觀測值(每點事件對應一個實數觀測值)；紅色
  
   (\displaystyle{\color{Red}\gamma})代表我們感興趣的一個路徑，但\displaystyle{\color{Red}\gamma}在\displaystyle{s=0}的值為\displaystyle{p}。
有座標，下一步應當就是給出"距離"了；很不幸的真實世界的"距離"，不是直角三角形那種簡單的"距離"。事實上是先理解"方向"，再用方向給出"距離"、"角度"(再次提醒!!!學校教的幾何不是真實世界的幾何)。
確定一個"方向"，需要兩個(事件)點:當然精確的方向，是由兩個無限制靠近的點來刻畫。意義上就是取一條路徑上兩點的座標來作比較而得。這裡我們對"方向"下一個重要的理解:不管哪個觀察者適用的座標(適用的量尺和時鐘刻度)，我們的"方向"不能有所改變(其實隱約呼應著相對性原理的要求)；實際上測量的座標分量就是"指定"一個實數給事件點，所以叫他"純量場"(scalar field )。
所以兩個"路徑"在p點同向的意義，必須針對所有純量場\displaystyle{f(p)=\varphi_{U}^{i}}(任意觀測者對事件點p觀測而出的座標值，或說在所有以"物理事件空間"為定義域的實質函數)做定義，而敘述為( \displaystyle{\gamma_1(s), \gamma_2(s)} 表二路徑，但規定 \displaystyle{p=\gamma_1(0)=\gamma_2(0)} ) 
   \displaystyle{\left.\frac{df\circ \gamma_1(s)}{ds}\right|_{s=0}\equiv\lim_{s\to 0}\frac{f(\gamma_1(s))-f(\gamma_1(0))}{s-0}=\left.\frac{df\circ  
    \gamma_2(s)}{ds}\right|_{s=0}}
可簡寫為 \displaystyle{\gamma_1(s)\sim \gamma_2(s)}
所有跟\displaystyle{\gamma_1(s)} 在p點同方向的路徑構成一個實體(一個集合)，以 \displaystyle{v_1} 或 \displaystyle{[\gamma_1(s)]}(強調與誰同向)表示叫一個 \displaystyle{p} 點上的"切向量"(tangent vector) ；因為\displaystyle{v_1}可以跟其他切向量加也可以乘上某個實數組成其他切向量(也就是對括弧裡裡的路徑函數做加減運算)；他也很明顯有數學上"切線斜率"的性質，視他為"向量"也就理所當然了。
事實上常把\displaystyle{[\gamma_1(s)]} 視為\displaystyle{\left.\frac{d\,\Box\circ \gamma_1(s)}{ds}\right|_{s=0}}(如此看切向量是因為微分部分才真正決定"方向")； \displaystyle{\Box}代表要"丟入"的"純量場"，所以它是"純量場"的函數\displaystyle{v_1(\Box)} 。
接下來你可以證明(計算部分參考微積分) 
   \displaystyle{v_1(af+bf')=av_1(f)+bv_1(f')}
和另一種性質: 
   \displaystyle{v_1(ff')=v_1(f)f'+fv_1(f')}
你可以花點時間想一下，滿足上述兩個性質，而且是"純量場"的函數的"東西"，是不是就是我們定義的切向量呢?(當我們回過頭來看坐標以後，會來解釋這件事情) 
   註:
   
   反過來說，如果用一群純量場對點p附近甚麼路徑都算出一樣的\displaystyle{\left.\frac{df\circ \gamma(s)}{ds}\right|_{s=0}}，這群純量場用\displaystyle{[f(p)]} 或 \displaystyle{df_p}代表，稱"餘切向量"(cotangent vector)。(但餘切向量其實由"純量場"在p點附近的性質決定)
   
   同樣可以將\displaystyle{df_p}視為"渴望"一個"路徑"(或p點的切向量)的函數\displaystyle{df_p(\bigtriangleup)}，其實如果視
   
   \displaystyle{\left.\frac{df\circ \gamma_1(s)}{ds}\right|_{s=0}\,=\,<v_1,dF_p>}，那麼
   
   \displaystyle{v_1(\Box)\,=\,<v_1,\Box>} 
   
   \displaystyle{df_p(\bigtriangleup)\,=\,<\bigtriangleup,df_p>}
   
   餘切向量的用處在於，他同樣可以被看成一個對"切向量"變數線性的實質函數；而許多物理量是和"方向"呈線性關係的，可視為"餘切向量"。
   
   這裡必須提醒你，以"切向量"或"路徑"當變數是一樣的；因為切向量是一群"同向"的路徑；"純量場"和餘切向量的關係是同一回事。
現在我們可以定義"距離"跟"角度"了，但我們採用比較迂迴的辦法，認為有一種"機器"(函數)；稱作度規張量(metric tensor)當我們丟入一點的兩個切向量，他就會給我們內積的值；但額外要求內積和座標選取無關(狹義相對論理"時空間隔"也和觀察者的選取無關，所以我們合理的假設這件事情)，也就是: 
   \displaystyle{g(v_p,\,w_p)} 輸出"內積"的值，但是
   
   
   
   \displaystyle{1.\,g(\alpha v_p+\beta v'_p,\,w_p)=\alpha g(v_p,\,w_p)+\beta g(v'_p,\,w_p)}
   
   類比 :\displaystyle{(\alpha \vec{v}_1+\beta \vec{v}_2)\cdot \vec{w}=\alpha \vec{v}_1\cdot\vec{w}+\beta\vec{v}_2\cdot\vec{w}}
   
    
   
   \displaystyle{2.\,g(v_p,\,w_p)=g(w_p,\,v_p)}
   
   類比 :\displaystyle{\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{w}\cdot\vec{v}}
   
   
   
   \displaystyle{3.\,g(v_p,\,\bigtriangleup_p)=0} ( \displaystyle{\bigtriangleup_p}代表p點任意切向量 )則 \displaystyle{v_p=0}
   
   類比 :一個跟所有向量內積為零的向量為零向量
\displaystyle{v_p,\,w_p} 強調裡面的向量是p點上的切向量。不同於我們之前的下標1強調他跟\displaystyle{\gamma_1(s)} 同向。切記丟入的切向量需是關於同一點。(物理上不能保證不同點的內積規則是一樣的，但我們規定內積是切向量的函數時，因為"方向"和座標選取無關，所以"內積"也必須和座標的選取無關)
你可以注意到\displaystyle{g(v_p,\,w_p)}也可以把p換為另一點(對每一點的切向量指定一種內積規則)，所以我們叫他度規張量(metric tensor)"場"
直觀上，一點之切向量就是"無窮短"微分尺，給予微分尺幾何性質的就是度規張量。 
   張量(tensor):
   
   以一堆切向量和餘切向量為變數的線性函數，也就是說(上標只是提醒你變數的數量)
  
   \displaystyle{T(\,\Box^1_p, \Box^2_p, ...., \Box^r_p, \bigtriangleup^1_p, \bigtriangleup^2_p, ...., \bigtriangleup^s_p\,)=T(\,\Box^r_p\,;\,\bigtriangleup^s_p\,)}
   
   對所有\displaystyle{\Box^r_p, \,\bigtriangleup^s_p}都線性(上面的條件1.)稱為p點上一個(r,s)型張量。也可以以\displaystyle{T^r_s}表示。
   
   如果流形上每一點都指定一個張量稱張量場。
   
   你很容易理解，為什麼我們要定義張量了；因為他的切向量變數都和座標的選取無關，多加餘切向量變數是為了考慮張量跟某些物理量的關係(跟方向呈"線性"的那些)，這樣就很容易討論廣義協變性了。
  
   讀者或許會懷疑度規對\displaystyle{w_p}並非線性，但應用內積的可交換性配上1.這就很明顯了。

連絡與曲率

上節提醒我們，我們沒有理由認為不同點有一樣的度規性質。類似的，也沒有理由期望不同點的"切向量"間有向量加減法。但對一個切向量場(或張量場，也就是每一點指定一個"東西")，我們可以"跳過"定義加減法反過來以定義"微分法"來描述切向量場或張量場在時空中的變化情況。
回憶一下多變數微分的過程(參見微積分的微分)，我們一定要先取個"微分方向"(變數的變化方向)才會"迸出"這個方向的方向導數，也就是把原來的函數對應成另一個多一個"方向"變數的函數(方向導函數)。對於張量場，我們採用一樣的方法建構她的"微分方法"，也就是連絡(connection): 
   所謂的一個連絡是一個\displaystyle{D\left\{T^r_s(p)\right\}=\tau ^r_{s+1}(p)} 的對應(變另一個多一個"方向"變數的張量場)，對於任兩個張量場\displaystyle{T^r_s(p),\,{t}^{\gamma}_{\sigma}(p)} 和純量場\displaystyle{f(p)} 與實數 \displaystyle{a,\,b}他滿足
   
   
   
   \displaystyle{1.\,D\left\{aT^r_s(p)+b{t}^{\gamma}_{\sigma}(p)\right\}=aD\left\{T^r_s(p)\right\}+bD\left\{{t}^{\gamma}_{\sigma}(p)\right\}}
   
   類比:\displaystyle{(af+bg)'(x)=af'(x)+bg'(x)}
   
     
   
   \displaystyle{2.\,D\left\{T^r_s(p)\otimes {t}^{\gamma}_{\sigma}(p)\right\}=D\left\{T^r_s(p)\right\}\otimes {t}^{\gamma}_{\sigma}(p)+T^r_s(p)\otimes D\left\{{t}^{\gamma}_{\sigma}(p)\right\}}
   
   類比: \displaystyle{(f\cdot g)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}   其中\displaystyle{\otimes}只是代表張量之間的乘法(張量函數得出的函數值直接相乘)
   
   
   
   \displaystyle{3.\,D\left\{f(p)\right\}=\,<\bigtriangleup_p,\,df_p>\,=df_p(\bigtriangleup_p)}
   
   純量場的函數值因為與座標選取無關被視為(0,0)型張量，而他的微分很明顯只是"渴望"一個方向去微分他，所以加入一個 \displaystyle{\bigtriangleup_p}的方向變數後，他變(0,1)型張量場或說一個餘切向量場
所以事實上聯絡比較像作用在張量場上的"微分算子"，把一個單純的張量場變成他的"方向導函數"罷了。所以有時會用以下的符號表示他 
   \displaystyle{D\left\{T^r_s(p)\right\}=(\nabla_v T^r_s)(p)}
用以強調他是"微分"(採用梯度微分的符號\displaystyle{\nabla})與比原張量多一個方向變數(\displaystyle{v})的特點。(當然\displaystyle{v}是p點上的切向量)

不過如此的"微分算子"並不唯一。我們還須加上若干要求才能進行實際運算。
1.和度規張量的關係



座標展開


物質與度規


引力波


黑洞與奇異性


廣義相對論的實驗證明


廣義相對論的修改與量子力學


取自"http://www.phy.ntnu.edu.tw/wiki/index.php/%E5%BB%A3%E7%BE%A9%E7%9B%B8%E5%B0%8D%E8%AB%96"

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