前两项是经典力学的结果:第一项是牛顿引力势能(负值表示吸引),第二项是具有排斥效应的离心势能;而第三项仅在广义相对论中存在,它代表的是一个与距离立方成反比的吸引势能。从后文或其他文献中可以看到,这种立方反比势能造成了粒子运动周期中椭圆轨道的逐渐相对论进动
一个质量为

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广义相对论中的开普勒问题[编辑]
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从测地线方程可以推出广义相对论的关键性实验证据,著名的水星近日点的进动,以及光线在太阳引力场中的偏折。对于前者,广义相对论为观测到的这一现象提供了漂亮的解释,而后者则是广义相对论的著名预言,其正确性被亚瑟·爱丁顿爵士的实验观测所证实。
广义相对论的两体问题中还涉及了引力辐射造成的轨道衰减,这是一个纯粹的相对论效应,没有对应的经典力学版本。这个问题并不包含在史瓦西解中,请参见引力辐射和引力波天文学。
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历史背景-爱因斯坦的直觉[编辑]

没有其他外力存在时,一个粒子在牛顿有心力的作用下绕着另一个粒子公转的轨道永远是一个不变的椭圆稳定轨道。当有其他外力存在(例如来自其他行星的引力)时,这样的轨道会逐渐发生转动,这种转动(被称作轨道进动)的速率可以被测量得非常精确。如果知道了这些外力的大小和方向,通过牛顿力学也可以对这种轨道进动的速率进行理论预测。不过在1859年对水星轨道进动的观测中,牛顿力学没有给出和实验观察相一致的预言。
1905年,爱因斯坦提出了狭义相对论,这一理论否决了任何超过光速传播的效应的可能性;不过同时,这也暗示了相对论的基本假设和牛顿天体力学的矛盾。拉普拉斯早先在其研究中证明,如果引力相互作用不是超距的(即传播是瞬时的),行星的运动将不再严格满足动量守恒定律(类似于电磁相互作用中一部分动量要传递给电磁相互作用的媒介子,引力相互作用中也需要携带动量的媒介子)。从牛顿力学的观点来看,如果引力相互作用只能以有限速度传播,那么在任意时刻,行星受到的来自太阳的引力将不会指向太阳所在的即时位置,而是在若干时间之前的位置。在经典力学的基础上,拉普拉斯推导出当引力以光速传播时太阳系是不稳定的,并只能维持并不太长时间的存在。而对太阳系的实际观测表明,如果引力的传播速度确实存在一个上限,根据经典力学这个上限将比光速高出好几个数量级。
这种矛盾引出了建立一个替代牛顿引力理论的新理论的需求,这个新理论需要满足狭义相对论的基本假设,并且在相对论效应可忽略时能够和牛顿的引力理论相容。1907年爱因斯坦确认了建立一个狭义相对论的后继理论的必要性,这个理论能够同时包含狭义相对论的基本假设和万有引力相互作用。在1907年至1915年间,爱因斯坦在等效原理的基础上逐渐发展了他的新理论。根据等效原理,一个均一的引力场对在其内所有物体的作用都是相同的,因此这个引力场将不能被一个处于自由落体状态的观察者观测到。归纳而言,所有局部的引力效应都可以在一个直线加速的非惯性参考系中体现出来,这个原理反过来也成立,即加速参考系等效于一个局部的引力场。这样看来,引力和离心力以及科里奥利力等惯性力这样的“虚力”有相类似的效应:惯性力都来源于一个加速的非惯性系,并且和物体的惯性质量成正比,引力亦然(由于惯性质量和引力质量等价)。想要在等效原理的基础上将万有引力和狭义相对论的基本假设统一起来,需要牺牲的是经典力学中习以为常的基本假设:我们所处的时空是一个符合欧几里得几何的平直时空。爱因斯坦使用的是一种更一般的几何学:黎曼几何,在黎曼几何描述下的时空可以是弯曲的。经过八年的研究,他成功得到了一个能够包含引力理论的更一般的相对论性理论:广义相对论。广义相对论要求时空是弯曲的,这种时空的弯曲性是引力的体现,也是一种物理上的实在,这和惯性力不过是假想的“虚力”完全不同。广义相对论首先成功解释了水星近日点的进动误差并预言了光线在太阳引力场中的偏折,这个预言在广义相对论发表之后得到了实验证实。
几何基础-度规[编辑]
在经典的欧几里得几何中,三角形满足勾股定理(毕达哥拉斯定理),这意味着空间中两点间的距离平方等于空间中所有完备正交分量平方和:





现在想象存在一个笛卡尔坐标不适用的世界,其间两点的距离由下式描述:








在狭义相对论中,爱因斯坦就已经指出空间中两点的距离并不是恒量,而与观察者的运动(即惯性参考系)有关。狭义相对论指出在任何惯性系下观测到的恒量是两点间的时空间隔,这个间隔被称作固有时。固有时是一个相对论不变量,它与惯性参考系无关。

史瓦西几何[编辑]
爱因斯坦场方程的解的最简单形式是史瓦西度规,它对应着一个不带电荷和角动量的球对称的质量








测地线方程[编辑]
根据广义相对论,质量可忽略的粒子在引力场中沿着测地线运动。在无引力的平直时空中,测地线是直线;但当时空存在弯曲时,测地线由下面的测地线方程描述[3]:


在度规具有对称性的场合下我们往往可以将问题简化。例如史瓦西度规是关于平面






光线在太阳引力场中偏折的近似公式[编辑]




和经典力学的关系[编辑]
从上面得到的史瓦西度规中的粒子运动方程


在



圆轨道和其稳定性[编辑]







当长度参数



















椭圆轨道进动的推导[编辑]










使用椭圆函数的圆轨道的解[编辑]
轨道方程






可能轨道的定性分析[编辑]
对于轨道方程










不同轨道的定性性质取决于










准椭圆轨道[编辑]
在系统能量满足不等式E2 < m2 c4的前提下,














稳定圆轨道[编辑]
这是2e2 = 2e3 = −e1的特殊情形,即方程




非束缚(散射)轨道[编辑]
轨道半径趋于无穷大对应着粒子飞向无限远处,这时
渐近圆轨道[编辑]
当-e3 = 2e2 = 2e1,





渐近的圆轨道也可以通过用雅可比椭圆函数来表示魏尔施特拉斯椭圆函数得到:





衰减轨道[编辑]
当






对测地线方程解的修正[编辑]
根据广义相对论,两个互相绕转的质量例如双星系统会发出引力辐射,由引力辐射携带的能量会让它们的轨道稍微偏离测地线方程所得到的结果。关于这一问题的最著名间接验证是由拉塞尔·赫尔斯和约瑟夫·泰勒对一个脉冲双星PSR B1913+16的观测,两人因此获得1993年的诺贝尔物理学奖。系统内的两颗中子星距离非常接近,且绕转速度非常之快,测量到的一个周期时长大约仅为465分钟。两颗中子星的轨道是高度椭圆的,偏心率达到0.62。按照广义相对论的预言,这样短的轨道周期和高度的偏心轨道使得这个双星系统成为一个非常好的引力波源,通过引力辐射损失的能量使轨道逐渐衰减,轨道周期逐渐变短。通过长达三十年的实验观测,即使是在可以达到的最精确的测量下轨道周期的降低和广义相对论的预言仍符合得相当好。广义相对论还预言,再过三亿年后这两颗恒星最终会碰撞到一起。开普勒问题中因引力辐射导致的能量和角动量的损耗公式已经通过计算得到[6],在一个完整的轨道周期内取平均下的能量变化率为[7]
轨道方程的理论力学推导[编辑]
哈密顿-雅可比方法[编辑]
开普勒运动的轨道方程也可以通过哈密顿-雅可比方程推导出。这种方法的好处是它可以将一个粒子的运动等价于一束波的传播,这就很容易进而通过费马原理推导出光线在引力场中的偏折公式。这种方法的解释是,由于引力场的延时效应,一束波的波前靠近中心质量
使用一般的协变性,一个粒子在任意坐标下的哈密顿-雅可比方程可以表示为





在质量趋于零(或

拉格朗日方法[编辑]
在广义相对论中,无质量粒子在时空中的运动轨迹是测地线,这是等效原理的要求。从最小作用量原理的观点来看,测地线长度的变分为零,即:







哈密顿原理[编辑]
只受到引力作用的粒子的作用量为





参考文献[编辑]
引用[编辑]
- ^ Le Verrier, UJJ. Unknown title. Comptes Revues d'Academie de la Science de Paris. 1859, 49: 379–?.
- ^ 2.0 2.1 Pais, A. Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein. Oxford University Press. 1982: pp. 253–256. ISBN 0-19-520438-7.
- ^ Weinberg 1972.
- ^ Whittaker 1937.
- ^ Landau and Lifshitz (1975), pp. 306–309.
- ^ Peters PC, Mathews J. Unknown title. Physical Review. 1963, 131: 435–?.
- ^ Landau and Lifshitz, p. 356–357.
- ^ Landau and Lifshitz (1975), pp. 307–308.
书籍[编辑]
- Adler, R; Bazin M, and Schiffer M. Introduction to General Relativity. New York: McGraw-Hill Book Company. 1965: pp. 177–193. ISBN 978-0-07-000420-7.
- Einstein, A. The Meaning of Relativity 5th. ed. Princeton, NJ: Princeton University Press. 1956: pp. 92–97. ISBN 978-0-691-02352-6.
- Lanczos, C. The Variational Principles of Mechanics 4th ed. New York: Dover Publications. : pp. 330–338. ISBN 978-0-486-65067-8.
- Landau, LD; Lifshitz, EM. The Classical Theory of Fields (Course of Theoretical Physics, Vol. 2) revised 4th English ed. New York: Pergamon Press. 1975: pp. 299–309. ISBN 978-0-08-018176-9.
- Misner, CW; Thorne, K, and Wheeler, JA. Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. 1973: Chapter 25 (pp. 636–687), §33.5 (pp. 897–901), and §40.5 (pp. 1110–1116). ISBN 978-0-7167-0344-0.
- Pauli, W. Theory of Relativity translated by G. Field. New York: Dover Publications. 1958: pp. 40–41, 166–169. ISBN 978-0-486-64152-2.
- Rindler, W. Essential Relativity: Special, General, and Cosmological revised 2nd ed. New York: Springer Verlag. 1977: pp. 143–149. ISBN 978-0-387-10090-6.
- Synge, JL. Relativity: The General Theory. Amsterdam: North-Holland Publishing. 1960: pp. 289–298. ISBN 978-0-7204-0066-3.
- Wald, RM. General Relativity. Chicago: The University of Chicago Press. 1984: pp. 136–146. ISBN 978-0-226-87032-8.
- Weinberg, S. Gravitation and Cosmology. New York: John Wiley and Sons. 1972: pp. 185–201. ISBN 978-0-471-92567-5.
- Whittaker, ET. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies, with an Introduction to the Problem of Three Bodies 4th ed. New York: Dover Publications. 1937: pp. 389–393. ISBN 978-1-114-28944-4.
期刊文章[编辑]
- Hagihara, Y. Theory of the relativistic trajectories in a gravitational field of Schwarzschild. Japanese Journal of Astronomy and Geophysics. 1931, 8: 67–176. ISSN 0368-346X.
参见[编辑]
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