在拓扑空间中，有这样一类集合。它们可能包含有无数个点，但在这无数个点中，某一些点的极限点却与这些点天各一方，人鬼殊途：我们在集合内，却眼巴巴地望着集合外的你。换一个说法，当你孜孜不倦地在集合里找点的时候，这一列点总能一个接一个地被你找着，但在那无穷大的另一端，永远有那么一个点完成了质的飞跃，与身后无穷多个弟兄们挥手告别，跨过顶着大括号的集合边界，幸运抵达了幸福的彼端。这个时候，我们便称这个点“极限点”，称这类集合为“开集”。
康托爾(Cantor,
無限集合的部
分可以等價於整體
數學美賞析(下)
譚建國
D. 方法美
在數學方法、解答方面, 數學的美具有
什麼特點呢?
優美的解答應該使我們驚訝, 應該是出
乎意料的。但是數學推理的美不能只用意外
性來解釋。如果一個學生對一道習題, 想不出
公式化的常規方法來解答, 只是勉勉強強地
想出一種冗長的繞道的解法, 雖然這種解法
大家完全沒有想到, 但是這個解法給人帶來
的最多只能是感動, 而絲毫不能給人美的感
受。
能給人優美感的數學方法與解答, 除了
不尋常性以外, 還應該具有直觀性(某種意義
上也就是簡單性)。可以說, 方法美的主要特
徵就是意外性(新奇性) 和簡單性。
簡單性的含義如前文所述, 而新奇性則
來源於數學思想的獨創性和數學方法的新穎,
它體現了數學理論或方法中的藝術因素。掌
握這種藝術靠直覺。方法上的新奇往往要同
時引入相應的新概念。由於對新奇性的評價
與審美心理因素關係十分密切, 所以, 對一種
新的理論或全新的方法的美學價值的看法總
是存在爭議的, 例如, 對數學定理的機器證明
就是如此。
關於方法之美我們在前文已經接觸過一
些, 如“理論美”中的例4, 下面再通過分析一
些例子, 對方法美作一番巡視。
(一) 數學思想方法的幾次重大轉折
歷史表明, 數學的發展, 不僅表現為量的
積累, 而且還表現為質的飛躍。下面將論述的
數學思想方法的四次重大轉折就充分說明了
這一點。
1. 從算術到代數
算術和代數, 作為最基礎而又最古老的
兩個分支學科, 有著不可分割的親緣關係。算
術是代數產生的基礎, 代數是算術發展到一
定階段的必然產物。從算數發展到代數, 是人
們對數及其運算在認識上的突破, 也是數學
在思想方法上的一次重大轉折。
在算術解題法中, 未知數是不允許作為
運算的對象
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