通過向量的
運算來討論曲線和曲面的一些幾何性質,
等差數列、等比數列
數學美賞析(上)
譚建國
數學不僅擁有真, 而且擁有非凡的美–
一種像雕塑那樣冷峻的嚴厲的美, 一種不為
我們軟弱的天性所動的美, 一種不具有繪畫
和音樂那樣富麗堂皇的裝飾的美, 然而又是
極其純淨的美, 是唯有最偉大的藝術才具有
的嚴格的完美。
– 伯特蘭. 羅素
(Russell, Bertrand Arthur William)
一個名副其實的科學家, 尤其是一個數
學家, 在他的工作中感受到與一個藝術家同
樣的印象; 他的愉快也同樣巨大, 並具有同樣
的性質。
– 亨利. 彭加勒(Poincar´e, Henri)
一個沒有幾分詩人才氣的數學家永遠不
會成為一個完全的數學家。
– 卡爾. 外爾斯特拉斯
(Weierstrass, KarlTheodor Wil-
helm)
一. 數學美的含義及其特徵
“美”是一個普遍存在的現象。
就我國美學界的現狀來說, 人們大多認
為自然美與藝術美是美的基本內容, 是兩種
基本的美, 也有人提出了社會美的概念, 其
中包括生活美與工藝美兩部分, 近些年來有
人(如天津師範大學的劉仲林、中國人民解放
軍空軍氣象學院的張相輪、復旦大學的周義
澄等) 又提出了一種美學新範疇, 即科學美。
科學美與藝術美一樣建築於自然美的基礎上,
是美的一種高級形式, 是人類美的創造成果。
數學作為科學的一部分, 其中也包含了美。
什麼是數學的美呢? 綜合近現代自然科
學家、數學家們的體會和議論, 加上自己的一
些膚淺認識, 我認為可歸納為以下幾方面的
內容:
1. 數學美在於發現隱含的真理。例如,“微積
分基本定理” 揭示了微分與積分的內在
的本質的聯繫, 顯示了它們之間的互逆性
質, 所以我們認為它是一種美的表述。
2. 數學美在於發現普遍的真理。例如, 圓周
率 刻劃了一切圓形的周長與直徑之比
值。是一個美的數字。
3. 數學美在於發現“和諧”(這裡亦包含統
一、對稱等意義)。法國數學家、科學哲
學家彭加勒認為, 科學美來源於自然美,
但這種美不是指大自然瑰麗的景色, 他
指出:“我所指的是一種內在的美, 它來
55
56 數學傳播20卷1期民85年3月
自各部分的和諧秩序, 並能為純粹理智
所領會。”例如, 範德蒙(Vandermonde,
Alexandre Th´eophile) 行列式:
1 1 1 · · · 1
a1 a2 a3 · · · an
a21
a22
a23
· · · a2
n
...
...
...
...
...
an−1
1 an−1
2 an−1
3 · · · an−1
n
= Y 1≤j<i≤n
(xi − xj)
就體現出了這樣一種和諧的美。
4. 數學美在於“簡單”。法國哲學家狄德羅
(Denis Diderot) 說過: “算學中的所謂
美的問題, 是指一個難於解決的問題; 所
謂美的解答, 是指一個困難複雜的問題的
簡易回答。” 例如, 等差數列、等比數列的
前n 項和公式即體現了一種簡單性:
Sn = (a1 + an)n/2;
Sn = a1(1 − qn)/(1 − q)
它們都是美的解答。
還有的學者提出了一些其它的認識。
如: 美在於“新奇”; 美在於“雅致”; 美在
於“對困難的克服”; 等等。
“一般說來, 能夠被稱為數學美的對
象和方法, 應該是具有在極度複雜的事物
中揭示出的極度的簡單性, 在極度離散的
事物中概括出的極度的統一性(或和諧
性), 在極度無序的事物中發現的極度的
對稱性, 在極度平凡的事物中認識到的極
度的奇異性(新奇性)。具有簡單性、統一
性、對稱性和奇異性的數學對象與其背景
反差越大, 則顯得越美, 越有吸引力。”(見
[17])
數學美和自然美、藝術美、社會美以及
其他科學美一樣, 具有以下幾個方面的特徵:
第一, 客觀性。
第二, 主觀性。人在數學理論的建造
中, 所熔鑄進去的創造者的主觀審美意識, 這
樣所形成的數學美就體現了創造者的主觀性,
這就是數學美的主觀性。
第三, 社會性。
第四, 形象性。數學美作為客觀物質的
社會存在, 它的一個顯著特徵是具有形象性。
生活中有形象, 自然中有形象, 藝術中有
形象, 數學中也有形象, 但卻未必都是美的形
象。美的形象必須是自由的形式, 合規律性和
合目的性統一的形式。
我體會, 在數學中,“合規律性”有兩種情
況: 其一, 對一種嶄新的數學理論而言, “合規
律性”即與自然規律相符, 有實際背景(如模
糊數學、突變論、多目標決策等); 其二, 對原
有數學理論進行修正、補充和完善時, “合規
律性”即推證過程的無矛盾性和合邏輯性。數
學中的形象(符號、公式、定理等) 只有成為
合規律性與合目的性的統一體時, 才成其為
美。
數學美除上述一般美學特徵之外, 還具
有相對性的特徵。
數學美在不同主客觀條件中不斷變化發
展的相對標準, 這就是數學美的相對性。數學
美總是從數學內部各部分之間和不同數學對
象之間的比較關係中看出的, 任何一種數學
對象都可以在與其他數學對象的比較中看出
它是美還是不美。(見[16])
數學美賞析(上) 57
二. 研究數學美的意義
研究數學美的主要意義在於: 通過對數
學美的研究與傳播, 提高對數學美的感受、鑒
賞能力。最終為進行數學創造提供一種條件。
數學家的美感猶如一個篩子。阿達瑪
(Hadamard,Jacques Salomon) 說:“沒有
它的人, 永遠成不了真正的發明家。”可以說,
除了長期的數學探索實踐以外, 靈感和直覺
的源泉還包括數學家的作為藝術修養結晶的
美感。
三. 數學美的表現形式
數學是人類特有的認識工具和符號語
言, 從人類的原始認識史說, 通過數學對客觀
世界量的抽象和把握, 正是鮮明地體現了主
體性特徵的人類認識方法, 是把人和動物在
認識上根本區別開來的重要標誌。數學的根
源不是對客觀對象的分析綜合, 而是人類主
體的基本實踐活動, 即使用工具的原始操作
中的某些因素和形式(如次序、關係、排列)
的抽象化(如可逆、不可逆、守恆、變換等
等)。
數學美要求以最合理、最恰當的形式即
最佳形式表現美的內容; 在表現同一內容的
眾多形式中, 力求選擇一種最理想的表現形
式; 力求形式上的創新, 不斷地改造舊的形
式, 創造新的形式。數學美是以最佳的抽象形
式表現感性自由內容的形式美。
數學美的主要表現形式, 我認為大致可
以分為以下幾類: 符號美、公式美、理論美和
方法美(思維美), 而在公式美和理論美中, 既
包括了已經證明為正確的東西, 也包括那些
未經證明(或有待證明) 的猜想。
“美”是內容與形式的統一。美的形式無
處不顯現內容; 美的內容又無不滲透於存在
於形式之中。對不同的類型, 內容與形式的結
合可能有所不同, 在數學美的幾種類型中, 我
認為可作如下的說明:
數學美的類型:
符號美→ 公式美→ 定理美→ 理論
美→ 方法美(思維美)
內容與形式的結合:
形式美為主−→ 內容美為主
美的形式(抽象程度): 初級形態−→
高級形態
越往後的類型越著重內容之美, 越顯得
抽象。符號、公式以形式美為主, 是一種較為
初級的美的形態, 較易為一般人理解、接受;
而理論、方法之美, 則著重內容美, 是一種較
為高級的美的形態, 要欣賞它們, 必須具備較
高的數學修養。
A. 符號美
符號美的主要特徵是形式簡潔性。部分
符號還具有某種對稱性。
例1. 行列式符號
行列式是主要的數學概念和工具之一。
它來源於求解線性方程組。
a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
...
...
...
...
an1 an2 · · · ann
=
X j1···jn
(−1)N(j1···jn)a1j1a2j2 · · · anjn
58 數學傳播20卷1期民85年3月
行列式符號具有明顯的對稱性和簡潔性。
例2. Riemann(黎曼) 積分符號
Z b
a
f(x)dx =
lim
kTk→0
n
Xi
=1
f( i) · xi
形式非常簡潔(與符號所表達的內容相比)。
例3. 同餘式符號
同餘是數論中的重要概念。給定一個正
整數m, 如果二整數a, b 滿足m | a−b, 就
稱整數a, b 對模
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