热力学与时间之始
——质疑彭若斯与霍金的奇性定理
摘 要 文章介绍了广义相对论中的奇点困难，介绍了彭若斯与霍金给出的著名的奇性定理的证明。奇性定理认为时间一定有开始和终结。文章指出，类光测地线可以看作固有加速度为无穷大的类时线。奇性定理是在绝对零度或温度发散的情况下证明的，热力学第三定律可能是克服奇点困难的关键。文章还指出，热平衡的传递性等价于钟速同步的传递性。热力学第三定律将保证时间的无限性，而热力学第零定律将保证可以在大范围内统一地定义时间。
关键词 广义相对论 奇性定理 热力学第三定律 时间 加速度 热力学第零定律 钟速同步
时间有没有开始和结束？千百年来，许多伟大的思想家对此进行过深入的探索，但是有关的探讨都局限在哲学的分析和猜测上。从20世纪60年代开始，物理学开始介入了这一问题的研究。其标志是彭若斯（R. Penrose）和霍金（S. W. Hawking）提出的奇性定理（singularity theorems），该定理概括并超出了关于宇宙开端和终结的研究。奇性定理可粗略表述为：只要广义相对论成立，因果性良好，有物质存在，就至少有一个物理过程，其时间存在开始或存在结束，或既有开始又有结束[Hawking
& Ellis, 1973; Wald, 1984; 霍金、彭若斯，1996；梁灿彬，2000；赵铮，1999 & 2001]。这一数学定理在物理学和哲学上的重大意义是不言而喻的。遗憾的是，到目前为止，它还没有引起哲学界的注意，物理界对它的重视也远远不够。
20世纪最重大的物理成就是相对论和量子论的诞生。经过近百年的努力，狭义相对论和量子论已被大量的实验事实所证实，其理论框架也基本建立了起来。然而，对于爱因斯坦本人最为重视的广义相对论，情况却不能令人满意。一方面，验证广义相对论的实验非常稀少，另一方面，它的理论结构还存在重要困难。理论上的困难主要有三个。一是引力场量子化的努力一直不成功，不仅把引力场与其它规范场统一起来的努力没能达到目的，而且连引力波也至今没有探测到。第二个主要困难就是上面提到的奇性定理。时间一定有开始和结束的结论很难被人接受。第三个困难是相对论与热力学不协调，不仅广义相对论不协调，甚至狭义相对论也与热力学不协调[Landsberg,
1978]。
物理界并非没有看到广义相对论存在问题，奇怪的是绝大多数物理学家只注意了第一个困难。尽管几十年来也没有取得重要进展，许多人还是把大量精力投入引力场量子化和统一场论的研究，却极少有人重视广义相对论的后两个困难。
下面，作者将对奇性定理造成的困难作简要的介绍，并讨论其可能引发的重大科学与哲学进展。
一 时间的开始与终结——广义相对论中的奇点困难
广义相对论诞生不久，人们就发现爱因斯坦方程的解（即满足广义相对论的时空）普遍存在奇异性（奇点或奇环等）。奇异性有两类，一类是内禀奇异性，表现为时空曲率发散，而且这种发散与坐标系的选择无关。例如，球对称黑洞（史瓦西黑洞）的“中心”奇点，转动黑洞内部的奇环，大爆炸宇宙的初始奇点，大塌缩宇宙的大挤压终结奇点等，都属于这类奇异性。另一类是坐标奇异性。这种奇异性是由于坐标系选择不当而引起的，可以用坐标变换加以消除。只存在坐标奇异性的地方，时空曲率正常，并不出现发散。应该说明，坐标奇异性往往也有它的物理意义和几何意义。例如，各种黑洞的表面（事件视界，event
horizon）都存在坐标奇异性，黑洞的许多重要性质都与这种奇异性的存在有关。不过，本文的目的不是讨论黑洞，对坐标奇异性不感兴趣。下面，我们探讨的都是内禀奇异性。为了讨论方便，下面我们把出现内禀奇异性的地方（奇点、奇环等），统称为奇点。
奇点是物理理论无法了解的地方，它随时可能产生无法预测的信息。环形奇点的附近还会出现“闭合类时线”，沿这类曲线生活运动的人，会回到自己的过去。这简直令人不可思议。更为严重的是，彭若斯和霍金证明了 “奇性定理”。这个定理可粗略表述为：只要爱因斯坦的广义相对论正确，并且因果性成立，那么任何有物质的时空，都至少存在一个奇点。
值得注意的是，彭若斯和霍金在提出并证明“奇性定理”的过程中，对“奇点”概念进行了重新认识，提出了极其重要的新思想: 奇点应该看作时间的开始或终结! 这就是说，他们的奇性定理证明了时间一定有开始和终结。
彭若斯与霍金等人对于奇点的这一认识，来源于对宇宙和黑洞的研究。在大爆炸宇宙模型中，宇宙与时间一起诞生于时空曲率发散的初始奇点；对于其中的大塌缩结局，宇宙与时间又一起终结于时空曲率发散的大挤压奇点。
另一方面，广义相对论告诉我们，黑洞内部的时空坐标要发生互换，原来的时间t 成为空间坐标，而径向坐标r 则成为时间坐标。所以黑洞内部的等r 面不再是球面，而成为了等时
面。对于黑洞，时间方向指向
r = 0 的奇点处。这样, 等r 面成为“单向膜”，任何进入黑洞的物质只能向r
减小的方向运动，不能停留，也不可能反向运动，而且没有任何力和任何物质结构能够抗拒这种运动。这是因为，这不是一般的运动，而是一个时间发展的过程，什么力量都不能抵挡，不能不顺着时间方向前进。也就是说，任何物质都必须“与时俱进”。黑洞内部整个是单向膜区，黑洞的边界(视界)是单向膜区的起点。进入黑洞的飞船和任何其它物质都将在有限的时间内穿越单向膜区到达奇点。值得注意的是，由于时空坐标互换，
r = 0 现在不是黑洞的“球心”, 而是时间的终点。这就是说, 进入黑洞的飞船和宇航员在经历有限时间之后，就到达了时间的终点。或者说，他们的时间将在有限的经历中结束。
按照广义相对论，还可能存在白洞。白洞是黑洞的时间反演。它的内部也是单向膜区，只不过时间方向从奇点 r =
0 处指向视界处，所以它的单向膜的单向性与黑洞相反。需要强调的是，白洞内部的r
= 0 处，不是时间的终点，而是时间的起点。
有奇点的时空，称为奇异时空。然而，如果有人把奇点从时空中挖掉，剩下的时空还能叫做奇异时空吗？彭若斯和霍金认为即使把奇点挖掉，时空的根本性质也不会有变化，仍然是奇异时空。然而，挖掉奇点之后，时空中就不存在曲率为无穷大的点了，因此，仅仅用“曲率无穷大”来定义奇点是有缺陷的。他们注意到，虽然人们可以把奇点从时空中挖掉，但挖掉之后总会留下空洞，那么时空中任何一条经过空洞的曲线都会在那里断掉。于是，彭若斯和霍金建议，干脆把奇点从时空中“去掉”，认为它们不属于时空。粗略地说，干脆把它们看作时空中的“空洞”。但是任何一个正常点也都可以从时空中挖掉，形成空洞，时空中的曲线到达这样的空洞当然也会断掉。不过，这种空洞可以补上，而奇点处的空洞则由于曲率发散而补不上。
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于是，彭若斯和霍金这样去证明他们的“奇性定理”: 证明时空中至少存在一条具有如下性质的类光(光速)或类时(亚光速)曲线: 它在有限的长度内会断掉，而且断掉的地方不能用任何手段修补，以使这条曲线可以延伸过去。
类空(超光速)曲线（space-like
curves）不在他们的考虑范围之内，因为这样的曲线描述超光速运动，而自然界不存在超光速运动的粒子。类光曲线（null
curves）描述光子运动，类时曲线（time-like curves）描述低于光速的质点的运动，
例如电子运动、火箭运动以及我们人类可以进行的任何活动。总之, 光速或亚光速曲线描述自然界存在的一切实际过程。相对论研究表明，时空中的亚光速曲线的长度，恰恰是沿此线运动的质点(或火箭、或任何物体和人)所经历的时间（固有时间，proper time）。所以，按照彭若斯和霍金的观点，“奇点”就是时间过程断掉的地方。奇性定理的实质内容是: 在因果性成立、广义相对论正确、而且有物质存在的时空中，至少有一个可实现的物理过程，它在有限的时间之前开始，或在有限的时间之后终结。也就是说，至少有一个物理过程，它的时间有开始，或有终结，或者既有开始又有终结。换句话说，至少有一个时间过程，它的一头或两头是有限的。
总之，奇性定理告诉我们，时间是有限的，不是无穷无尽的。黑洞的内部，有一个时间的“终点”，即黑洞的奇点。白洞的内部，有一个时间的“起点”，即白洞的奇点。膨胀宇宙的时间有一个起点(大爆炸奇点)，脉动宇宙的时间，则不仅有一个起点(大爆炸奇点)，还有一个终点(大挤压奇点)。
奇性定理的前提条件是无可非议的。奇性定理的证明过程，依据了现代微分几何和广义相对论的研究成果，经过了不少专家的反复推敲。
看来，奇点困难无法摆脱。奇点一定存在，时间一定有限。奇性定理不仅确认了奇点不可避免，而且指出奇点困难反映了时间的有限性。
二 奇性定理概述
下面，我们先介绍一些基本概念，然后介绍证明奇性定理的思路[Hawking
& Ellis, 1973; Wald, 1984; 霍金、彭若斯，1996；梁灿彬，2000；赵铮，1999 & 2001] 。
1 测地线与仿射参量
由于一般的世界线不易找到合适的参量来表征“长度”，彭若斯和霍金在研究奇点时把注意力集中到测地线（geodesics）上。测地线是直线在弯曲时空中的推广，它是不受外力（万有引力不算外力）的自由质点和自由光子在弯曲时空中的运动轨迹。测地线有一种很好的参量可以反映长度，那就是仿射参量（affine
parameter）。类时测地线（time-like geodesics，自由质点的轨迹）的仿射参量可以看作固有时间（即沿此测地线运动的观测者亲身经历的时间）。类光测地线（null
geodesics，自由光子的轨迹）的仿射参量虽然不能看作固有时间, 但仍能很好地描述光线的长度。
如果有一根非类空测地线(即类时或类光的测地线)，在未来或过去方向上，在有限的仿射长度内断掉，不能再继续延伸，那么，这根测地线就被认为碰到了时空的“洞”。如果这个“洞”补不上(例如, 曲率发散处的“洞”就补不上)，那么它就是奇点。严格说来，“洞”不一定是一个点，可能是一个区域，而且此区域不属于时空，甚至可能不属于流形，个别情况还不属于拓扑空间。
2 时空的因果结构
分别满足下述条件的时空，具有不同的因果结构。它们满足的因果性一个比一个好。
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⑴. 编时条件(chronology
condition)：不存在闭合类时线。即，一个人或一个质点不能随着时间前进，又转回自己的过去。
⑵. 因果条件(causality
condition)：不存在闭合因果线。即，不仅没有闭合类时线，也没有闭合类光线。闭合类光线表示一条光线随着时间前进，会转回它的过去。
⑶. 强因果条件(strong
causality condition)：不存在闭合因果线，也不存在无限逼近闭合的因果线。
⑷. 稳定因果条件(stable
causality condition)：在微扰下也不出现闭合因果线。即，不存在闭合因果线，而且在对时空进行微扰的情况下，也不会导致原来不闭合的因果线闭合起来。
⑸. 整体双曲(globally hyperbolic)：时空存在柯西面。所谓柯西面是这样一张超曲面，时空中的任何一条因果线都必须与它相交，而且只交一次。
整体双曲的时空是因果性最好的时空。整体双曲的时空一定稳定因果，稳定因果的时空一定强因果。强因果时空一定满足因果条件，因果条件一定推出编时条件。闵可夫斯基时空和史瓦西时空都是整体双曲的。Reissner-Nordstrom时空（即带电史瓦西时空）是稳定因果的。转动轴对称的Kerr时空和Kerr-Newman时空（带电Kerr时空）则因果性很差，连编时条件都不满足，在奇环附近存在闭合类时线，沿此类时线生存的观测者，将不断地返回自己的过去。
3 能量条件
⑴. 弱能量条件(weak energy condition)
固有能量密度 r 一定非负，r = T00 = Tab
xa xb ³ 0 (1)
式中
Tab 为能量动量张量, xa 为观测者四速。固有能量密度即任何观测者实际测量的，自己周围且相对于自己静止的时空邻域的能量密度。
⑵. 强能量条件(strong energy condition)
Tab
xa xb ³ 
Txa xa (2)
Txa xa (2)
即 r＋
³ 0 (3)
³ 0 (3)
式中 r 为固有能量密度， pi 为压强(应力)。强能量条件是说应力不能太负。事实上，在绝大多数情况，应力都是正的，所以，一般情况下强能量条件反而比弱能量条件弱。但是，存在应力为负的情况，这时，强能量条件就比弱能量条件强了。
⑶. 主能量条件(dominant energy condition)
能流密度 Ja º Tab xb 未来指向，且类时或类光。即
Ja xa £ 0 Þ r ³ 0 (未来指向) (4)
Ja Ja £ 0 Þ u2 £ 1 (类时或类光) (5)
式中
u 为能流的三维速度。主能量条件实质上是要求能流不能超光速，且弱能量条件必须成立。从主能量条件可以推出弱能量条件。
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共轭点与最长线
测地线的共轭点（conjugate points），是指无限邻近的测地线的一对交点。共轭点有两种，一种是线汇（congruence）的共轭点，另一种是线汇与超曲面（hypersurface）共轭的点。线汇的共轭点是这样定义的：测地线汇中无限邻近的测地线，如果有两个交点，则称此二交点为共轭点。线汇与超曲面共轭的点，是指垂直于此超曲面的一组无限邻近的测地线的交点。测地线汇, 按照定义, 是指过每一时空点有一根且只有一根测地线的情况。在测地线的交点，当然有两根以上的测地线。从这个意义上讲，共轭点是线汇的奇点，但它还不是时空的奇点。
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可以证明：
⑴. 连接 p、s两点的类时线中存在局部最长线 g 的充要条件是，g 是测地线，且 p、s间无与 p 共轭的点。
⑵. 从类空超曲面 S 出发的类时线 g 的长度取局部最大值的充要条件是，g 是垂直于 S的测地线，且其上无共轭点。
总之，不管是类时线还是类光线，长度取最大值的一定是无共轭点的测地线。
5 奇性定理的导出
可以证明：
⑴. 在强因果时空中，不一定有最长线，如果有，则一定是无共轭点的测地线。
⑵. 在整体双曲时空中，一定有最长线，它一定是无共轭点的测地线。
另一方面，又可以证明：
如果广义相对论正确，强能量条件成立，并且时空中至少有一个存在物质的时空点，则测地线上在有限的仿射距离内必存在共轭点。
总之，因果性要求有最长线，即要求存在无共轭点的测地线。能量条件、广义相对论和物质的存在则要求测地线上一定有共轭点，而且是在有限的仿射距离内就出现共轭点。
如果时空同时满足上述因果性和能量条件，并存在物质，而且广义相对论正确，那就会导致矛盾的结论：测地线上既要有共轭点，又要无共轭点。解决此矛盾的唯一出路是，测地线不能无限延伸, 在出现共轭点之前, 在有限的仿射距离内就断掉。也就是说, 此测地线一定会遇到奇点，时空一定存在奇异性。这样，就证明了奇性定理：如果广义相对论正确，能量非负，时空不完全是真空，因果性好，则时空一定存在奇点。
奇性定理有各种大同小异的表述，下面我们给出其中的一种。
奇性定理：
如果
⑴. 广义相对论正确；
⑵. 强能量条件成立；
⑶. 编时条件成立；
⑷. 一般性条件成立，即
任何类时或类光测地线上包含某一点，在该点有
Rabcd xa xd ¹ 0 ，(对于类时测地线；xa 为切矢，四速) (6)
Rab ka kb ¹ 0 ， (对于类光测地线；ka 为切矢, 四速)
式中Rabcd
和Rab 分别为曲率张量和里奇张量；
⑸. 有一点 p ， 所有从 p 出发的类时或类光测地线都再次会聚；
则时空至少有一根不完备的类时或类光测地线。
上述定理的条件(4)与(5)，实质上是要求时空中存在物质（matter）不为零的点。
奇性定理告诉我们，如果一个时空是爱因斯坦场方程的解，因果性良好，能量密度非负，而且此时空中至少有一点不是真空，则这个时空一定存在奇异性。粗略地说，一定存在奇点。我们看到，史瓦西时空、Kerr-Newman时空、膨胀宇宙模型中都有奇点。闵可夫斯基时空和de Sitter时空没有奇点，这是因为它们是完全的真空，没有任何物质存在。
通常确认时空奇点有两个步骤。一是证明有非类空测地线在该处不可延伸。二是证明反映时空曲率的标量在该处发散。这种发散使得该处的时空不能被修补，以使测地线延伸过去。
三 奇点困难与热力学第三定律
多数相对论专家相信，奇点困难是由于引力场没有量子化而造成的。奇性定理是经典广义相对论的结论。如果把引力场量子化，奇点困难可能会自动消失。遗憾的是，引力场量子化的努力还远未成功。也有一些人由于种种原因不相信引力场量子化就能自然消除奇点困难。霍金本人则试图引入虚时间来化解奇点困难。
我们在对黑洞和奇点的长期研究中，注意到了伴随奇点出现的一个重要物理特征：奇点总是伴随温度异常而出现[赵铮，1999 & 2001]。
霍金关于黑洞存在量子热效应的研究，大大拓展了相对论工作者的视野[Hawking,
1974 & 1975]。作为纯粹引力产物的黑洞，居然会伴随有温度，这不能不令人猜测，万有引力与热之间有着比人们迄今所知更为深刻的本质联系。其实，稍加思索就可知道，人类已知的相互作用和物理效应中，只有万有引力和热是普适的，万有的，不可屏蔽的。
在对黑洞和霍金热效应的研究中，我们注意到，这种效应依赖于坐标系（坐标温度）和观测者（固有温度）。凡是接触奇点的坐标系，都处于绝对零度或温度发散的状态；凡是有限温度的坐标系，都伸展不到奇点处[赵铮，1999 & 2001]。
在霍金热效应发现的前夕，安鲁（W.G.Unruh）发现了另一个重要效应[Unruh, 1976]：在真空中（绝对零度）作匀加速直线运动的观测者会发现自己处在热辐射之中，辐射温度与他的固有加速度（即观测者自身测量的自己的加速度。本文所述的加速度均指固有加速度）成正比。安鲁效应与霍金热效应有相同的根源，都是由于不同观测者（或坐标系）定义的真空不等价而引起的[2]。安鲁效应很容易被推广到作变加速运动的情况，这时温度仍与加速度成正比，一起随时间变化。
值得注意的是，有一大类奇点（类时奇点）是一般类时线不可能达到的，只有类光线或趋近类光的类时线才能达到[Chakrbarti,
Geroch & Liang Canbin, 1983]。容易证明，这种类时线在趋近奇点时，加速度将趋于无穷大。依据安鲁效应，沿这种类时线运动的观测者（或物体）在达到奇点时，温度将发散[Chakrbarti,
Geroch & Liang Canbin, 1983; Zhao Zheng, 1997]。
我们注意到，证明奇性定理所用的世界线都是测地线（类时、类光两种）。按照安鲁效应，沿类时测地线（加速度为零）运动的观测者处于绝对零度。我们最近证明了类光测地线可以看作加速度为无穷大的类时线，对应温度发散的情况。
伦德勒（W. Rindler）曾经指出，平直时空中某种特殊的类光线，可以看作固有加速度为无穷大的类时线[Rindler, 1977]。不过，这种特殊的类光线存在突变的拐点，相当于被镜子反射了一下，因而不是类光测地线。在文献[Tian
Guihua, Zhao Zheng & Liang Canbin, 2002]中，我们把伦德勒的这一结论推广到弯曲时空中可以无限延伸的类光测地线。下面我们将指出，这一结论对于存在共轭点的类光测地线也适用。这就是说，在奇性定理的证明中所使用的类光测地线（这种类光线会碰到奇点，不能无限延伸），也可看作固有加速度为无穷大的类时线[Tian
Guihua & Zhao Zheng, 2003a; 2003b; 2003c]。
众所周知，类光测地线不能用“固有时间”来描述，而只能用另一类仿射参量描述，因此不能直接对类光测地线定义加速度。我们证明的途径是，把类光测地线看作一族类时线汇的极限线。在类时线上可以严格定义加速度，然后让这族类时线趋近作为极限线的类光测地线，把这样得到的极限加速度定义为类光测地线的加速度。
关于存在共轭点的类光测地线，霍金等人曾证明一条定理：设
是光滑因果线
上的两点，不存在连接两点的光滑单参因果曲线族
(
；当
时，类时) 的充要条件是：
是一条类光测地线，且在之间不存在与
共轭的点[Hawking
& Ellis, 1973; Wald, 1984]。
是光滑因果线上的两点，不存在连接两点的光滑单参因果曲线族 (；当时，类时) 的充要条件是：是一条类光测地线，且在之间不存在与共轭的点[Hawking
& Ellis, 1973; Wald, 1984]。
从这条定理可知，当上存在共轭于的点
时，一定可以从微扰出因果曲线族，除为类光测地线外，（）都是类时线。不难看出，是类时线汇的极限线。图中
为的切矢，
为偏离矢量。
上存在共轭于的点时，一定可以从微扰出因果曲线族，除为类光测地线外，（）都是类时线。不难看出，是类时线汇的极限线。图中为的切矢，为偏离矢量。
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我们定义上的加速度A ，然后令逼近，发现加速度
。这样，我们就证明了γ0的加速度
发散。这就是说，有共轭点的类光测地线，可以看作固有加速度为无穷大的世界线。这是一个极具启发性的结果。
上的加速度A ，然后令逼近，发现加速度 。这样，我们就证明了γ0的加速度发散。这就是说，有共轭点的类光测地线，可以看作固有加速度为无穷大的世界线。这是一个极具启发性的结果。
通常认为，自由光子作惯性运动，其固有加速度当然是零。现在我们看到一个惊人的相反结论，作惯性运动的光子的固有加速度居然是无穷大。这启示我们在光、惯性与时间的背后，存在重要的未知关系。光在相对论中已经处于核心地位，但从本文的工作来看，我们对光的认识还非常不够，需要进一步深化。
上述情况提示我们，奇点的出现，或达到奇点，往往伴随温度异常的情况（绝对零度或无穷大）出现。
热力学第三定律指出不能通过有限次操作把系统的温度降低到绝对零度。实际上，温度定义在一个开区间上，它的上限（无穷大；或负温度系统的-0
K）与下限（绝对零度）均不能通过有限次操作达到。可以把第三定律推广到包括上限的情况。因此，我们认为，奇性定理是在违背热力学第三定律的情况下证明的。奇点的出现是违背第三定律造成的。也就是说，热力学第三定律不容许时间有开始和终结[赵铮，1999 & 2001]。
四 钟速同步与热力学第零定律
众所周知，热力学第二定律表示时间有方向。现在我们看到，第三定律表示时间是无限的，无始无终的。其实，分析力学早就告诉我们，热力学第一定律（能量守恒定律）对应时间的均匀性。那么，第零定律是否与时间有关呢？我们在一系列研究中指出，第零定律等价于钟速同步的传递性[赵峥，1991；Zhao Zheng & Pin Chen，1997；赵峥，裴寿镛，刘辽，1999]。
第零定律是说热平衡具有传递性：如果系统A与B达到热平衡，系统B与C也达到热平衡，则A与C必定达到热平衡。这条定律，保证热力学中可以定义一个叫做温度的参量。
广义相对论中也有一条关于传递性的理论：“同时”的传递性。在广义相对论中，静置于不同地点的钟，靠光速不变原理来对准。如果A钟与B钟已对准，B钟与C钟也已对准，那么A、C两个钟是否一定对准了呢？如果A、C已对准，就叫做同时具有传递性，就可以在大范围内定义统一的时间。
在狭义相对论中已经证明，静置于平直时空同一个惯性系中的钟，同时具有传递性，因此，静置于这个惯性系中所有的钟都可以对准。所以，每个惯性系可以有自己统一的时间。
但是，广义相对论的研究表明，在弯曲时空中（或在平直时空的非惯性系中），“同时”不一定具有传递性，静置于同一参考系的钟，不一定能相互对准。朗道等人给出了同时具有传递性的条件，也就是说在大范围内定义同时、在时空中建立统一的同时面的条件。
朗道指出，弯曲时空中A、B二空间点的同时意味着它们的坐标钟相差[刘辽，1987；赵铮，刘辽，1993]
Dt = tA －tB = -(g0i /g00)dxi
,
(i = 1, 2, 3) (7)
式中g0i 与g00 是时空度规的分量，由于 Dt 一般不是全微分，从而有
¹ 0 ,
所以，一般不能沿闭合路径把坐标钟调整到“同时”，即不能在全时空建立统一的同时面。仅仅在时轴正交系中，即
g0i
= 0 (8)
时，或在条件 =
= 0 (9)
= = 0 (9)
下，可以建立统一的同时面。可见，一般说来，同时具有传递性的条件是时轴正交。
我们推测，如果热力学第零定律也反映时间属性的话，它很可能与同时的传递性有关。但是，研究表明，热力学第零定律的要求与同时传递性的要求不完全一致。为此，我们引入了一个新的对钟等级：不要求钟的时刻对好，只要求钟的速率对好。
我们算出，各空间点坐标钟速率可调整同步的充要条件是
=
= 0 (10)
或 
= 0 . (11)
= 0 . (11)
这是一个比时轴正交(g0i = 0)要弱的条件。条件(10)不要求(9)所示的闭路积分为零，只要求此闭路积分是一个与时间无关的常数[赵铮，1991；1999；2001]，
== 常数 . (12)
显然，各点钟速相同只是建立统一的同时面的必要条件，而不是充分条件。满足(10)但不满足(9)的时空，可以在全时空把钟速调整一致，即钟速同步具有传递性，但还不能建立同时面，即同时还不具有传递性。
我们进一步发现，钟速同步的传递性等价于热力学第零定律。我们在“平衡热辐射一定呈现普朗克黑体谱”的假定下，证明了钟速同步的传递性与热力学第零定律等价[赵铮，1999；赵峥，裴寿镛，刘辽，1999；赵铮，2001]。
也就是说，我们把系统处于热平衡时，辐射具有普朗克黑体谱，看作一条基本的物理规律。以此为基础，在平直和弯曲时空中，均证明了热力学第零定律等价于钟速同步的传递性。
我们具体给出了钟速同步所要求的几何条件(10)或(11)。它比建立同时面的条件要弱。狭义相对论中的惯性系满足这一条件，但并不是任何时空中的任何参考系均满足这一条件。我们证明了凡满足这一条件的时空，目前表述的热力学第零定律均在其中成立。
另一方面，在第零定律成立的时空中，一定可以找到一个“钟速同步具有传递性”的坐标系。换句话说，如果第零定律是自然界的一条基本定律，它将对时空作出限制，其中能够找到“钟速同步”坐标系的时空，才是物理的，才真正存在。当然，也有另一种可能：存在着热平衡不具有传递性的物理时空，这就需要我们进一步发展热力学，包括改写目前形式的热力学第零定律。
五 结 论
我们指出热力学第三定律可能是克服奇点困难的关键。热力学第三定律保证时间没有开始和结束。而热力学第零定律则保证可以在大范围内定义统一的时间。人们早已知道热力学第二定律表示时间有方向，第一定律显示时间的均匀性。如此看来，热力学的四条定律均与时间的属性有关。
如果我们探讨的方向是正确的，我们就不仅回答了广义相对论中的奇点困难，深化了对光的认识，而且揭示了引力、时间与热力学之间存在比迄今所知更为广泛、深刻的本质联系。这种联系可能会对物理学和哲学产生重要影响。
[2] 霍金效应属于引力效应，安鲁效应属于惯性效应。牛顿认为惯性效应起源于观测者（或物体）相对于绝对空间的加速。马赫认为不存在绝对空间，惯性效应起源于观测者（或物体）相对于宇宙中全部质量的加速。马赫的这一思想被称为马赫原理，得到爱因斯坦的支持。粗看起来广义相对论的某些效应似乎与马赫原理有关，但深入的探讨发现二者并不一致[刘辽，1987]。实验观测支持了广义相对论，但没有支持马赫原理。笔者在研究霍金、安鲁效应时，指出这两个效应均可看作时间尺度（指坐标时间，不是固有时间）变换的补偿效应[赵峥，刘辽，1993；赵峥，黎忠恒，1996；马勇，赵峥，1996；Ma Yong, Zhao Zheng, 1996；赵铮，1999 & 2001]。加速会引起真空能级的改变，惯性效应可能起源于真空的形变，特别是真空能量零点的改变。惯性力可以看作真空形变的力学效应，安鲁效应则可以看作真空形变的热效应。惯性作用不是超距作用，而是局域作用。惯性力是真空形变造成的反作用力[赵铮，刘辽，1997；赵铮，1999 & 2001]。
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