§2. 核外电子运动状态的描述
波函数 是核外电子出现区域的函数。
1926年，奥地利物理学家薛定谔（Schodinger)提出一个方程， 被命名为： 薛定谔方程 |
一.薛定谔方程
为一个二阶偏微分方程： 此方程是函数 = øø f(x, y, z) 的二阶偏微分方程，用积分方法求解（我们只需要了解方程的形式和一些特殊的解即可，至于解的过程，在学习物质结构课程时会涉及到，在此不介绍）。
式中：m: 微粒的质量（这些微粒包括电子，原子，分子等） E ：能量 V：势能 ：波函数。
一般情况下：已知粒子质量m, 势能V = - ( ), 则可求解出和E。
在波函数（或称为波动方程）中，涉及到三个变量：x, y, z, 为方便求解， 将波函数方程进行变换， 将直角坐标x,y,z 变换成球坐标r,,ø, 即为：
 
将以上关系代入（1）式中， 经过计算整理， 得到：
（2）式即为波函数在球坐标下的方程。
经过分离变量， 将 (r, ,ø,) 表示成积的形式：
下面直接给出一些解的形式:
从以上三个式子中可见, 波函数被分为两项, 即为径向部分R和角度部分Y .在此, 并不要求我们去解薛定谔方程, 只要了解薛定谔方程的形式以及其特殊的解即可. 波函数的下标1, 0, 0; 2, 0, 0; 2, 1, 0 所对应的1s, 2s, 2pz是什么? 意义如何? |
二 用四个量子数描述电子的运动状态
波函数的下标1, 0, 0; 2, 0, 0; 2, 1, 0 所对应的是n, l, m, 称为量子数.
1. 主量子数 n
意义: 表示原子的大小, 核外电子离核的远近和电子能量的高低. 取值: 1, 2, 3, 4, ……. n, 为正整数(自然数), 与电子层相对应.
光谱符号: K, L, M, N……
对于单电子体系, n 决定了电子的能量. n 的数值大, 电子距离原子核远, 则具有较高的能量. 同时, n大, 决定r比较大, 即原子比较大.
对于单电子体系, H 或  , 
可见, 远离原子核的电子的能量为零 | 2. 角量子数 l
意义: 决定了原子轨道的形状. 取值: 受主量子数n的限制， 对于确定的n, l可为： 0, 1, 2, 3, 4, ……. (n-1), 为n个取值 光谱符号: s, p, d, f, …… 如：n = 3, 表示 角量子数可取： l = 0， 1， 2
原子轨道的形状取决于l:
n = 4,
l = 0 : 表示轨道为第四层的4s轨道， 形状为球形
l = 1 : 表示轨道为第四层的4p轨道， 形状为哑铃形
l = 2 : 表示轨道为第四层的4d轨道， 形状为花瓣形
l = 3 : 表示轨道为第四层的4f轨道， 形状复杂
由此可知：在第四层上， 共有4种形状的轨道。而同层中(n相同), 不同的轨道称为亚层， 也叫电子轨道分层。所以 l 的取值决定了亚层的多少。 电子绕核运动时， 不仅具有能量，而且具有角动量，而且角动量也是量子化的。
 角动量， 是矢量，是转动的动量。其绝对值是量子化的：
 与平动量相比：
平动： P = mv, (KJ. )， 速度v相同时， 质量m大的，动量P大。
转动： M = JW, J 为转动惯量(同质量m相关）， W为转动角速度。
在多电子原子中， 电子的能量不仅取决于n， 而且取决于l. 亦即多电子原子中电子的能量由 n 和 l 共同决定。
单电子原子:
多电子原子:
 为屏蔽系数， 其值的大小与 l 的取值相关
 |
3. 磁量子数m
m 取值受 l 的影响, 对于给定的 l , m 可取:
 个值.
例如: l = 3, 则  共7个值. 意义: 对于形状一定的轨道( l 相同电子轨道), m 决定其空间取向. 例如: l = 1,  有三种空间取向 (能量相同, 三重简并).
简并轨道: 能量相同的原子轨道，称为简并轨道
例如:
l = 1, p 轨道, m取值为3个, p 轨道为三重简并
l = 2, d 轨道, m 取值为5个, d 轨道为五重简并
所以, m 只决定原子轨道的空间取向, 不影响轨道的能量. 因 n 和 l 一定, 轨道的能量则为一定, 空间取向(伸展方向)不影响能量.
n,l,m 表明了:
(1)轨道的大小(电子层的数目, 电子距离核的远近), 轨道能量高低; (2)轨道的形状; (3)轨道在空间分布的方向.
因而, 利用三个量子数即可将一个原子轨道描述出来. | 例题1. 推算 n = 3 的原子轨道数目, 并分别用三个量子数 n, l, m 加以描述.
4.自旋量子数 ms 地球有自转和公转，电子围绕核运动，相当于公转， 电子本身的自转，可视为自旋. 因为电子有自旋, 所以电子具有自旋角动量, 而自旋角动量在 z 轴上的分量, 可用 Ms 表示, 而且:
Ms = ms (h/2 )
Ms的取值: 只有两个 , +1/2和-1/2. (电子只有两种自旋方式)
所以 Ms 也是量子化的. 通常用“向上箭头”和“向下箭头”表示。 所以, 描述一个电子的运动状态, 要用四个量子数: n, l, m 和 Ms.
例题2. 用四个量子数描述 n = 4, l = 1 的所有电子的运动状态.
分析: 一个轨道只能容纳两个自旋相反的电子, 用n, l, m 可将轨道数目确定下来, 则可将每个电子的运动状态确定下来.
解: 对于确定的l = 1, 对应的有 m = -1, 0, +1 有三条轨道, 每条轨道容纳两个自旋方向相反的电子, 所以有 3X2 = 6 个电子的运动状态分别为:
通过本例得到结论:
在同一原子中, 没有运动状态完全相同的两个电子同时存在!
在此, 要牢记四个量子数之间的关系:
 |
三 概率和概率密度
1. 概念
概率: 电子在某一区域出现的机会叫概率. 与电子出现的区域(体积)有关, 即与所在研究区域, 单位体积内出现的机会有关.
概率密度: 电子在单位体积出现的概率.(在空间某点概率的大小). 概率与概率密度二者之间的关系如何?
概率与概率密度之间的关系:
概率 = 概率密度 X 体积, 且概率密度 =  , 则有: w = X V 可用积分法求得. - r 变化图:
| 2.电子云图
假想将核外一个电子每个瞬间的运动状态, 用照相的方法摄影, 并将这样数百万张照片重叠, 得到如下的统计效果图, 形象地称为电子云图.
电子云: 是概率密度 的形象化, 是的空间图形.
原子轨道: 是波函数，或波函数 的线性组合(波函数的加减). |
四 径向分布和角度分布
y = kx + b 二维空间, 1个自变量 + 1个函数, 两个变量
z = ax + y + c 三维空间, 2个自变量 + 1个函数, 三个变量。
(r,, ) or (x,y,z) 属于四维空间, 3个变量 + 1个函数, 无法用立体图形画出来, 所以只好从不同的片面去认识这一问题, 把波函数分为径向部分和角度部分, 分别来讨论.
1. 径向分布函数
首先, 看波函数 与r 之间的变化关系, 亦即R(r) - r之间的关系, 看概率密度随半径如何变化.
 考察单位厚度球壳内电子出现的概率: 即在半径 r 的球壳内电子出现的概率.
令: D(r) = D(r)即为径向分布函数. 用D(r) 对 r 作图, 考察单位球壳内的概率 D(r)随r的变化: 注意: 离中心近的概率大, 但半径小; 离中心远的概率小, 但半径大, 所以径向函数不是单调的(即不单调上升或单调下降, 有极限值)
 |
2. 角度分布函数
前面得到 2Pz 的波函数: 其中径向波函数:
而角度波函数： 则角度部分的概率密度为:  按如下方式进行计算, 得到 对应Y(,) 和  的数据: |
 | 则 (Pz)的图形为:
和 Y 绕 z 轴旋转180度， 即可得到三维立体图形 |
按同样的方法, 可以绘制其它轨道的角度分布函数的图形:
注意:
a. S 轨道的 与 Y 的图形相同, 以1S为例, 因其波函数为:  只有径向部分, 角度部分波函数为1, 无论角度如何变化, 其值不变.
b. 其它轨道的 比 Y 的图形“瘦”, 比较苗条. 因为三角函数的Sin 和 Cos 的取值小于等于1, 平方后的值必然更小.
c. 无正负, 而 Y有正负. 这种正负只是Y计算中取值的正负(在成键中代表轨道的对称性, 不是电荷的正负) |
|
|
No comments:
Post a Comment