Tuesday, July 2, 2013

tw01 phymath01 τ稱為力矩是有道理的,因為其大小是力在跟力臂垂直方向的分量與力臂的乘積,可以畫出一矩形來;準此,L稱為「動量矩」也是可以的,只是一般依據它的另一名稱angular momentum譯成角動量

釋說新語之十八:什麼是Moment?

2008/10/07 – 上午 10:13
劉源俊
  Moment這個字在一般用語的意思是「瞬間」。但在物理裡,不說「瞬間」,因為語意含混;說「瞬時」(英文是instant),指的是某時刻的當兒。所以,速度即「瞬時速度」(英文是instantaneous velocity)。
  然而物理裡,特別有好些地方出現moment這個字。我們看:moment of force譯為「力矩」,moment of momentum譯為「角動量」,moment of inertia又譯為「轉動慣量」。為什麼?moment到底是什麼意思呢?
進一部檢視,則發現力學裡:moment of force定義為τ ≣ Σ r × F,moment of momentum定義為L ≣ Σ r × p,moment of inertia定義為Iij ≣ Σ m ri rj。τ稱為力矩是有道理的,因為其大小是力在跟力臂垂直方向的分量與力臂的乘積,可以畫出一矩形來;準此,L稱為「動量矩」也是可以的,只是一般依據它的另一名稱angular momentum譯成角動量。
  然而,Iij就複雜得多,與矩形毫無關係;一般依據它界定角動量與角速度間的關係,可類比於動量與速度間的關係,因而譯成轉動慣量;不直譯為「慣量矩」也是對的,因為它不達意。
  三者英文裡都有moment這字,這字可是與矩形一點關係都沒有,其中必有道理。原來,這幾個定義都與「分布」有關。為顯示某物理量離開一參考原點分佈的情況,我們可以定義好多階的moments──物理量乘上距離的一次式加總起來稱為the first moment(一般譯為「第一階矩」);物理量乘上距離的二次式加總起來稱為the second moment;依此類推。因此,前述力矩與角動量屬「第一階矩」,轉動慣量則屬「第二階矩」。
  電學中定義「電偶極矩」(electric dipole moment)為p ≡ Σ q r ,屬第一階矩;定義「電四極矩」(electric quadrupole moment)為Qij≣ Σ ( 3q ri rj ﹣r2 δij ) ,屬第二階矩;「電八極矩」屬第三階矩;依此類推,電2l 極矩屬第l 階矩。「磁偶極矩」的定義則為 m ≡ ½ Σ q r ×v,與角動量有一定的關係,屬第一級矩;「磁四極矩」要複雜得多,屬第二級矩;依此類推…。
  統計學裡借用了這一套作法,定義任一個分布的各階矩。有個「唯一定理」說:如果知道所有各階的矩,就能推知整個分布。

如果某个系统具有一个随时间变化的能量-动量张量分布,则该系统将会发射引力波。线性近似下辐射场的计算结果是:
-dE/dt=[G/(45c^5)]{[(d^3)Q(kl)]/dt^3}{[(d^3)Q(kl)]/dt^3}
Q(kl)为系统的四极矩张量。
比较典型的是围绕公共质心作圆轨道运动的双星系统,辐射功率近似为:
-dE/dt=[32G/(5c^5)](r^4)(ω^6)[m1m2/(m1+m2)]^2
={32G^4/[5(c^5)(r^5)]}(m1+m2)(m1m2)^2
由于该引力系统因辐射而损失能量,两星之间的距离将渐渐减小,相互环绕运动渐渐加速,引力波辐射也越来越强;最终两星碰撞到一起,碰撞时发出引力辐射的最后一爆,有可能达到系统静止质量的1%,将辐射一个较大的脉冲。
双星碰撞后一般并合成一个较大的中子星或黑洞,当它的位形稳定下来后,也许会发出更多的引力辐射。
物体因辐射引力波而最终全部转化为能量的情形是非常特殊的,一般而言无法全部转化,最多能转化其中的一小部分。
根据目前的计算,即使在物质坠入黑洞的过程中,也只有不到1%的质量转化成引力辐射。
进一步的了解,可以参考相关书刊,如《引力与时空》等。

解释一下:dE是能量微分,dt是时间微分,-dE/dt是能量随时间减小的变化率,G是牛顿引力常数,c是光速;Q(kl)为系统的四极矩张量,共有4*4=16个分量,可以写成矩阵的形式,k和l代表Q的时空分量下标,可以取x,y,z,t,比如分量Q(xx),Q(xy)等。{[(d^3)Q(kl)]/dt^3}是对系统的四极矩张量取关于时间的三阶导数。r是两星的距离,ω是两星环绕运动的圆频率。还有什么疑问可以给我发消息。

http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d202/20201.pdf

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