https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%A3%81%E7%9F%A9
http://w3.math.sinica.edu.tw/math_media/d202/20201.pdf
機械振動的一些現象和數學問題
陳鞏
一. 簡介: 常微分方程的振動
系統
機械振動是我們日常生活中經常體驗到
的一種運動。譬如說, 我們看到樹葉在和風吹
拂下, 來回地搖曳。我們搭汽車通過崎嶇的路
面時, 可感到自己隨著車身上下擺動。我們沈
醉於優美的小提琴的演奏曲中, 它是由琴弦
振動所發出的音波。像這些林林種種的例子,
實在太多了。我們可以總結一句話: 在巨觀
(macroscopically) 的世界裡, 任何具有彈
性及質量的物體, 都會作機械振動。事實上,
在微觀(microscopically) 的世界裡, 次原
子的質點也具有量子力學的波動性質, 這些
性質基本上算是振動運動。因此自然界裡的
物理系統與工程機械一樣, 都會振動。在本文
裡, 作者想從振動力學數學模型的一些方程
式及它們的解, 來說明一些機械振動的現象,
以增加讀者在學習工程及物理上, 對這一方
面的瞭解。
學習數學的人喜歡嚴格性。因此我們首
先想到的問題, 就是什麼是所謂的「機械振
動」。要給它一個嚴格的定義並不容易。不過
我們可以籠統的說, 機械運動是具有某種週
期性, 類似於波動, 並牽涉到能量傳遞的運
動。自從十六世紀的啟蒙時代開始, 科學家
及數學家就開始對振動運動有了興趣。在這
一方面, 最早有所建樹的是英國大科學家虎
克(R. Hooke, 1635–1703)。他是有名的虎
克定律(發明於1660年) 的發明人, 比牛頓
(1643–1727) 出生略早; 在科學上也貢獻卓
著。虎克在研究彈簧的振動時, 寫下了有名的
簡諧運動方程式
m¨x(t) + kx(t) = u(t), t > 0。(1)
這裡m 表示彈簧所懸的質量, k 為彈簧的彈
性係數, x(t) 為彈簧在t 時的位移, ¨x(t) 為
x(t) 的二階時間導數, 也就是加速度; u(t)
為外力。請見圖一。
Spring constant k
force
m
u(t)
圖一. 簡諧運動
方程式(1) 是一種基本的常微分方程。當外
無力
No comments:
Post a Comment