u單位向量, 利用u決定通過P0的直線參數方程式,沿u方向的導函數，其實就是對直線參數s的變化率

單位向量


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第四章線積分與面積分

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在基本微積分中，我們知道單變數積分的幾何意義就是求單變數函數圖形與X軸之 .... 則向量場稱為保守場（conservative field）。φ稱為的勢能函數（potential function）， ... 一個曲面要有兩面才能定其方向，而其正方向是由曲面之法向量的方向來決定。

沿方向的導函數，其實就是對直線參數s的變化率

第三章 純量與向量場

 

在進入本章以前理應先複習多變數函數微積分之相關內容，包括：多變數函數的定義、偏導函數（偏微分）的定義與幾何意義、偏微分的連鎖率及全微分等。這些內容均可參考基礎微積分的課本，而不在此處贅述。

 

3.1純量場；等值面；梯度

在空間中的一個區域內的每一個點（x, y, z）均對應到f(x, y, z)，則f(x, y, z)稱為一個純量場（scalar field）。所以就數學而言，純量場指的就是一個x, y, z的函數（或x, y的二維函數）。在物理中，一塊絕熱的金屬板子上，若不同的點有不同的溫度，則每一個點的位置與溫度的對應關係就是一個純量場。

 

若f(x, y, z)為一純量場，則任一由f(x, y, z)=C（常數）所定義之曲面稱為等值曲面（isotimic surfaces, or level surfaces）。在物理中不同的應用領域對等值曲面有不同的名稱，例如，當f代表電場或重力場位能時，f = C稱為等位能面（equipotential surface），若f代表溫度時，f = C稱為等溫面（isothermal surface），而當f代表壓力時，f = C稱為等壓面（isobaric surface）。同理，雙變數函數f(x, y)=C則代表等值曲線（level curves）。例如，等高線、等溫線均為等值曲線的概念。

 

 

l  方向導函數

我們在多變數函數的微積分中學過偏導函數（partial derivatives），以雙變數函數z=f(x, y)為例，表f對x的偏導函數，在幾何意義上為f所代表之曲面上沿x軸方向之切線斜率，或解釋為f在x軸方向上之變化率；同理，表f對y的偏導函數，在幾何意義上為f所代表之曲面上沿y軸方向之切線斜率，或解釋為f在y軸方向上之變化率。但如果考慮f對任意方向的偏導函數，也就是求出：過曲面上某一點P，沿特定方向之切線斜率，稱為方向導函數（directional derivative）。而方向導函數的決定方式如下：

 

如下圖所示，假設z=f(x, y)表一空間曲面（純量場），其上一點P在XY平面上的投影為P₀(x₀, y₀)，並以一單位向量定出該點之方向，即

 

 

則可利用決定通過P₀的直線參數方程式：

 

 

其中s為沿著該直線度量之長度。且進一步可得：

 

 

換言之，沿著該直線，z=f(x, y)=f(x(s), y(s))亦可化為參數s之函數。所以z=f(x, y)沿方向的導函數，其實就是對直線參數s的變化率：。利用連鎖率及向量內積定義：

 

 

其中符號定義為，稱為del。而f的梯度（gradient）則定義為，或記做grad f。所以f在P點上朝方向上的方向導函數等於梯度向量在方向之分量（或投影量），即梯度向量與之內積。

 

          Z                               Y

 

(x, y)

s

                  P

 

 

 

P0 (x0, y0)

                                Y                              X

                    

     X

 

 

以上所討論的方向導函數是指沿直線方向，但若對曲線求f的方向導函數，則可將上述之直線的參數方程式改為曲線的參數方程式，亦即利用第二章之方法，以曲線路徑長度s為參數，建立曲線的參數方程式：x=x(s)及y=y(s)。同理可得到z=f(x, y)=f(x(s), y(s))，故同前面的推導結果，方向導函數為

 

 

其中表曲線的單位切線向量。因此，上式可解釋為：f在點P₀上沿曲線對路徑長度s的變化率等於f在點P₀上朝曲線之切線方向的方向導函數。換言之，沿任意路徑的方向導函數就等於沿該路徑切線方向的方向導函數。所以，沿直線方向求方向導函數可視為沿曲線方向求方向導函數的特例。

 

以上的討論可推廣到3個或更多變數的函數，例如w = f(x, y, z)，則

 

 

茲就與梯度有關的定理介紹如下：

 

(1) 函數f在任意方向上的方向導函數等於梯度向量在該方向上之分量。

原因：

 

(2) 梯度向量所指的方向為函數f增加速率最大之方向。

原因：，當時，表梯度向量與同方向，且方向導數亦最大，故函數f朝梯度向量的方向增加速率最大。

 

(3) 梯度向量的大小等於f之最大增加速率（最大方向導函數）。

原因：由(2)可知，當時，為最大值，故梯度向量的大小等於f的最大增加速率。

 

(4) 對於等值曲面f(x, y, z)=C，梯度向量表與該曲面垂直之法向量。

原因：假設曲面上任意一曲線表為參數s的函數，則必滿足f(x(s), y(s), z(s))=C，故有

 

 

 

          Z                               Y

                        

                                                            

                        

                                                             

                                Y                              X

                                     

     X

 

其中為曲線上的單位切線向量，因與的內積為零，故梯度向量一定與切線向量垂直，而該曲線又在曲面之上，所以梯度向量為與該曲面垂直之法向量，此定理將可用來求曲面之切平面的方程式。同理，對於等值曲線f(x, y)=C，梯度向量表與該曲線之切線垂直之法向量。

 

 

l  法線導函數（normal derivative）

在某些應用中，我們需要沿著曲線或曲面的單位法向量求f的方向導函數，稱為法線導函數，記做：。若比照前述之沿切線方向求方向導函數的方式，可導出：

 

 

如下圖所示，因單位切線向量為，故單位法向量應與其相差90度（順鐘向），則

 

故若z= f(x, y)，則其沿一曲線的法線導函數可表為(參見下圖)：

 

 

ds

dy

           Y                

	α

 

                        

                                

                                  X

 

 

3.2 向量場

向量場（vector field）就是指一個區域內的每一個點（x, y, z）均對應到一個向量的關係，換言之，向量場就是一個三變數的向量函數。任何一個向量場可以其分量的方式表示如下：

 

 

假設為定義於空間中某一區域不為零的向量場，若任何一通過此區域之曲線上的每一點均與相切，則稱此曲線為的流線（flow lines, or stream lines），或特徵曲線（characteristic curves）。一個向量場決定了一個區域內每一個點的方向，如果有一個質點在此區域內運動時，其在任何位置的速度方向均與該位置在向量場內的方向一致，則該質點的運動軌跡就是流線。由於流線的方向是被向量場唯一決定，所以兩條流線不可能相交。如果空間中有某些點的向量場的大小為零，則這些點就沒有方向可言，所以流線就不會通過這些點。

 

假設為流線上任一點之位置向量，且s表沿流線路徑度量之長度，則流線上的單位切線向量為

 

 

因流線上的每一點均與向量場相切，故應與同方向，即

 

 

此方程式即定義流線方程式。

 

3.3 散度

一向量場的散度被定義為：

 

 

 

3.4 旋度

一向量場的旋度為一向量場，被定義為：

 

 

Remarks：

有關散度與旋度的物理意義可由流體力學來探討。

散度將一向量場轉換為一純量場。

旋度將一純量場轉換為一向量場。

在以上的討論中，均視為一個向量。

 

 

3.5 The Laplacian

一個純量場f的Laplacian被定為div(grad f)，即

 

 

例如：即為PDE中的Laplace equation。

 

l  補充內容：

散度與旋度在彈性力學與流體力學中的應用。

 

l  參考文獻

[1] Davis, H. F. and Snider, A. D., Introduction to Vector Analysis, 4^th ed., 1982.

[2] Kaplan Wilfred, Advanced Mathematics for Engineers, 1981.