phymath01 diffgeom01 假設 為domain D中的向量場，如果在D中能找到一個純量場φ使得 =gradφ，則向量場 稱為保守場（conservative field）。φ稱為 的勢能函數（potential function），或簡稱為 的勢能（potential）。φ的選擇並不唯一，因為φ雖然可以加上不同的常數而產生新的勢能函數，但其梯度仍為 。

假設為domain D中的向量場，如果在D中能找到一個純量場φ使得=gradφ，則向量場稱為保守場（conservative field）。φ稱為的勢能函數（potential function），或簡稱為的勢能（potential）。φ的選擇並不唯一，因為φ雖然可以加上不同的常數而產生新的勢能函數，但其梯度仍為。


假設為domain D中的向量場，如果在D中能找到一個純量場φ使得=gradφ，則向量場稱為保守場（conservative field）。φ稱為的勢能函數（potential function），或簡稱為的勢能（potential）。φ的選擇並不唯一，因為φ雖然可以加上不同的常數而產生新的勢能函數，但其梯度仍為
。

第四章 線積分與面積分

 

4.1 線積分

在基本微積分中，我們知道單變數積分的幾何意義就是求單變數函數圖形與X軸之間的面積，其做法為將圖形下的區域沿著X軸切割成許多的長方條(元素)，然後將這些長方條的面積沿著X方向累加而形成所謂的Riemann sum並取其極限值後，即定義所謂的定積分。換言之，我們過去所學的積分概念是針對單變數函數沿著直線座標軸X(或Y)來求面積。

 

而接下來所要介紹的線積分（line integral）是針對雙變數函數沿XY平面上一曲線方向的積分。在幾何上，雙變數函數代表空間中的一個曲面，故線積分就是要求該曲面與XY平面上之曲線間所包圍之區域的面積。所以線積分可以說是前述單變數定積分之一般化的結果。

 

l  從數學上的幾何觀點定義線積分

假設C為XY平面上之曲線，並以參數表示為：

 

 

且雙變數函數f為x、y之函數，表空間中一曲面。現若將曲線C切割成許多段的小弧，且各弧長為，則曲面與曲線間所包圍的區域面積可表為：

 

 

此式稱為f沿曲線C之線積分。

                                       Z

      Y              C

               

                             

                                                          Y

                     X                

                              X                C

 

由上圖可知，當很小時，近似一直線，故由畢氏定理可知

 

 

又由均值定理可得：

 

 

所以

 

當，，故線積分的參數公式可寫為：

 

 

特例1

若C為X軸上的一直線區間，則=，則線積分還原為一般定積分：

 

 

特例2

若C為XY平面上平行X軸或Y軸上的線段，則線積分分別有下列兩種情形：

 

 

 

             Z

                             

 

 

C2

                            Y

 

       X

 

如上圖所示，一曲面對兩線段之組合路徑做線積分時的結果為：

 

 

若有兩個不同之連續函數M(x,y)及N(x,y)分別對同一路徑做線積分時，其結果可合併為：

 

 

以上的線積分公式可推廣至對空間曲線之線積分公式，假設C為空間中之曲線，並以參數表示為：

 

 

則線積分公式為：

 

 

l  線積分的計算方法：

1.        當曲線C以參數方式表示為：時，則將積分式中的x與y均以g(t)及h(t)代換，並令，且以a及b為上下限。

 

2.        當曲線C以方式表示時，則不必以參數代換，而直接以y=g(x)及代入，並以a及b為上下限。

 

 

l  從物理上功的觀念定義線積分

假設向量空間中一質點受向量力場之作用，此力場為：

 

 

若質點位於一曲線C上，且其參數式為：，則沿曲線C移動該質點一微小位移時所做的功為：

 

 

所以沿曲線C對質點做的總功為

 

 

假設為曲線C上任一點之位置向量，且為曲線上之單位切線向量，則：

 

 

所以，功就是指力場沿曲線路徑C之切線方向上之分量（即投影量）的線積分。反言之，線積分可以解釋為力場沿曲線路徑C對質點所做的功。

 

在以上述公式求線積分時，應注意與曲線C之間的參數關係：

1.        當表為t的參數式時，可使用。

2.        當表為s的參數式時，可使用。

 

4.2 Domains; Simply Connected Domains

 

1.       一個區域(region)如只包含內部點(interior points)而不包含邊界點(boundary points)，則此區域稱為open。

2.       如果一個曲線位於一open的區域內，則根據1.的定義，此曲線絕不可與此區域的邊界相交或接觸。

3.       若在一個open的區域內，只要給定兩個點就能找到一平滑曲線將該兩點連接起來，則此區域稱為connected。

4.       一個既open又connected的區域稱為一個domain。

5.       若在一domain中的每一個封閉曲線均能在不使曲線的任何一部份跑到domain以外的情形下，連續收縮成一個點，則此domain稱為simply-connected。換言之，simply-connected domain就是只沒有洞口的domain。

 

 

4.3 保守場

假設為domain D中的向量場，如果在D中能找到一個純量場φ使得=gradφ，則向量場稱為保守場（conservative field）。φ稱為的勢能函數（potential function），或簡稱為的勢能（potential）。φ的選擇並不唯一，因為φ雖然可以加上不同的常數而產生新的勢能函數，但其梯度仍為。以下為與保守場有關之定理。

 

定理一

一個在domain D中連續的向量場為保守場，其中P、Q分別為曲線C的起點與終點。換言之，在保守場中，線積分值只與路徑的起點終點有關，而與路徑無關。（證明課堂補充）

 

定理二

一個在domain D中連續的向量場為保守場，其中C為一封閉曲線。

 

定理三

一個在simply-connected domain D中連續可微分的向量場為保守場

，即旋度為零。

 

 

4.4有向曲面及曲面面積

l  曲面的方向

一個曲面要有兩面才能定其方向，而其正方向是由曲面之法向量的方向來決定。

若一個曲面的邊界被一曲線包圍，則曲面的正面係指觀察者在沿著邊界曲線走時，曲面應永遠在其左側。

對於片段平滑的曲面，每一面都必須決定方向，且各正向曲面在交界處的曲線方向正好相反。

對於封閉之曲面，以遠離曲面之單位法向量的方向為正向。

 

 

l  平面的參數方程式

假設表一平面上已知點之位置向量，而為該平面上之任一點之位置向量，且為該平面上兩個已知不互相平行的向量，則必與共平面，故可表為的線性組合，亦即

 

 

其中u、v為純量，而此式即為以u、v為參數之平面方程式。由此可知，一個平面的參數方程式需要兩個參數來決定，而一個曲線的參數方程式僅需一個參數。其實使用參數方程式的意義就是將原來在XYZ座標系統下所描述之曲面上任一點(x,y,z)的位置改以建立在該曲面上之座標系統(u,v)來描述。所以，曲面的位置向量只要隨著參數u、v的變化即可產生一曲面。

 

 

 

                   Z  

(u,v)

                        v

 

                         u

                          

                                    Y

 

              X

 

如上圖所示，當參數v固定時，曲面的位置向量會沿著u方向建立一曲線，則由偏微分及曲線的切線向量定義可知：

 

表曲面上沿u方向之曲線的切線向量

 

同理，當參數u固定時，曲面的位置向量會沿著v方向建立一曲線，則由偏微分及曲線的切線向量定義可知：

 

表曲面上沿v方向之曲線的切線向量

 

因及為過(u,v)之切線向量，故外積代表曲面的法向量。

 

在第三章我們曾經以非參的方式數表示曲面為f(x,y,z)=C，而與此曲面垂直的法向量為梯度向量grad f，所以我們現在有兩種方式來求曲面的法向量。

 

 

l  曲面的面積

假設我們從上圖的曲面上取一小片的平行四邊形元素，並以參數座標系統來看，則參考下圖可得下列關係：

 

 

 

 

                                         S

                                                     R

                           P(u,v)

                                               Q

 

由微分的均值定理可得

 

 

所以由外積的定理可知該平行四邊形元素的面積為：

 

 

故曲面的總面積可利用極限及積分定義獲得如下：

 

 

若再進一步令

 

 

則為P點上的法向量，為與同方向之單位法向量，所以曲面的面積公式可改寫為：

 

 

當曲面的方程式以非參數之方式z=f(x,y)表示時，為了能利用上述的公式，我們可以令

 

 

便可將曲面的位置向量轉換為，所以有

 

 

所以曲面面積公式為：

 

 

其中代表曲面在XY上投影的區域範圍，此範圍即用以定義該雙積分的積分上下限。我們再進一步討論曲面的法向量與Z軸之單位向量k的關係；考慮兩個向量的內積：

 

 

其中γ為單位向量k的夾角，所以可得

 

 

由以上的公式我們可以了解曲面上一片小元素的面積與此元素在XY平面上投影的面積相差cosγ倍，換言之，在XY平面的投影面積等於其面積乘上cosγ，此即為面積餘弦定理（Area Cosine Principle）。利用此定理可簡化上述的積分計算。

 

4.5 面積分

假設S為一平滑的曲面，且f(x,y,z)為一定義於該曲面上的連續函數，則f對曲面S的面積分定義為：

 

 

一般而言，f(x,y,z)常起源於一向量場與曲面上的單位法向量的內積，即

，所以面積分的公式可改寫如下：

 

 

若曲面以非參數之方式z=f(x,y)表示時，可利用面積餘弦定理改寫面積分公式：

 

 

 

4.6 體積分

如同面積分的定義，假設f(x,y,z)為一定義於包含邊界在內之區域V上的連續函數，則f對該區域V的體積分定義為：

 

 

在直角座標系下，常將體積元素假設為邊長分別為的平行六面體，故體積分可表為：

 

 

 

 

而當f(x,y,z)=1時，體積分即簡化為：

 

 

此即代表區域V的體積。

 

l  補充內容

動力學之功與位能及保守場的關係。

 

l  參考文獻

[1] Davis, H. F. and Snider, A. D., Introduction to Vector Analysis, 4^th ed., 1982.

[2] Kaplan Wilfred, Advanced Mathematics for Engineers, 1981.

[3] Varberg, D., Purcell, E. J., and Rigdon, S. E., Calculus, 8^th ed., 2000.

[4] Swokowski, E. W., Calculus with Analytic Geometry, 2^nd ed., 1979.