[DOC]第四章線積分與面積分
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- 在基本微積分中，我們知道單變數積分的幾何意義就是求單變數函數圖形與X軸之 .... 則向量場稱為保守場（conservative field）。φ稱為的勢能函數（potential function）， ... 一個曲面要有兩面才能定其方向，而其正方向是由曲面之法向量的方向來決定。
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2013年6月5日 - 稱為的勢能函數（potential function），或簡稱為的勢能（potential）。φ的選擇並不.... 我們再進一步討論曲面的法向量與Z軸之單位向量k的關係；考慮兩 ...
第四章 線積分與面積分
4.1 線積分
在基本微積分中，我們知道單變數積分的幾何意義就是求單變數函數圖形與X軸之間的面積，其做法為將圖形下的區域沿著X軸切割成許多的長方條(元素)，然後將這些長方條的面積沿著X方向累加而形成所謂的Riemann sum並取其極限值後，即定義所謂的定積分。換言之，我們過去所學的積分概念是針對單變數函數沿著直線座標軸X(或Y)來求面積。
而接下來所要介紹的線積分（line
integral）是針對雙變數函數沿XY平面上一曲線方向的積分。在幾何上，雙變數函數代表空間中的一個曲面，故線積分就是要求該曲面與XY平面上之曲線間所包圍之區域的面積。所以線積分可以說是前述單變數定積分之一般化的結果。
l
從數學上的幾何觀點定義線積分
假設C為XY平面上之曲線，並以參數表示為：
且雙變數函數f為x、y之函數，表空間中一曲面。現若將曲線C切割成許多段的小弧，且各弧長為
，則曲面與曲線間所包圍的區域面積可表為：
，則曲面與曲線間所包圍的區域面積可表為：
此式稱為f沿曲線C之線積分。
Z
Y 
C
Y
X
X C
由上圖可知，當很小時，近似一直線，故由畢氏定理可知
很小時，近似一直線，故由畢氏定理可知
又由均值定理可得：
所以
當
，
，故線積分的參數公式可寫為：
，，故線積分的參數公式可寫為：
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