新语丝(www.xys.org)(xys3.dxiong.com)(www.xysforum.org)(xys2.dropin.org)◇◇
月亮的另一面——关于集合论悖论
作者：罗谟
近读了网友常春藤《逻辑思维的登峰造极——康托关于无限的理论》一文，
述及康托尔不顾权威的打击和精神的病痛，仍锲而不舍地创造着无穷的天堂，终
成大业的故事，颇为感人。社会对天才一般来说是很苛刻的，为他们提供的不是
鲜花铺就的坦道，而是荆棘丛生的险途，浏览一下人类思想史就知道，这在过创
造性生活的人生平中是常态，即使像古希腊那样的黄金时代，以及像康托尔所生
活的１９世纪下半叶至２０世纪初德国那样相当开明的时代亦不例外。康托尔的
同时代人弗雷格（Ｆrege）,数理逻辑的主要创造者，被称为自亚里士多德以来
最伟大的逻辑学家，受到其时代什么样的待遇？他倒没有像康托尔那样遭到学术
权威的直接打击迫害，但他一生都在冷遇和默默无闻中度过。他所服务大半辈子
的耶拿大学到他退休时连个正教授都不给他，而他周围那些没有能力理解其工作
意义的同事，随波逐流，庸庸碌碌，到最后多半都能捞个正教授的名号和待遇。
社会倾向于对它不理解的人采取冷处理，乃至于敌视的态度。这或许是人性使然
吧。不谈了。
现在我想说的是，常春藤网友谈到康托尔的工作时，忽略了月亮的另一面：
在康托尔提供了集合论的基本理论之后，一些数学家开始将整个数学大厦建立在
集合论的基础之上，以为数学提供牢固的逻辑基础。但不幸的是，康托尔的集合
论中产生了逻辑悖论，第一个悖论是康托尔自己发现的，被称为康托尔悖论或最
大基数悖论，接着出现了最大序数悖论或布拉里—福蒂悖论，最后罗素发现了罗
素悖论，它无异于一个重磅炸弹，其巨大的爆炸威力撼动了整个数学的基础，引
起了第三次数学危机。
这三个最著名的集合论悖论的基本内容简述如下：
康托尔悖论：所有集合的集合S的基数应是最大的；但根据康托尔定律，S的
幂集PS的基数大于S的基数。这是一个矛盾。
布拉里—弗蒂悖论：每个良序的集合都有一个序数，由不超过ɑ的所有序数
组成的良序集的序数为ɑ+1，而且所有序数的集合Z是良序的。据此，Z必包含最
大序数Ω，但Z的序数为Ω+1，这大于Ω。我们得到一个矛盾，因为不可能有比
最大序数更大的序数。
罗素悖论：所有的集合可分为两类，其一为所有是自身元素的集合；其二为
所有不是自身元素的集合。将所有第二类集合组成一个集合R，现在问，R属不属
于自身？如R属于自身，根据R的定义，它应不属于自身；若R不属于自身，则根
据定义，R应属于自身。即R属于自身当且仅当它不属于自身。
当时的学术界关于悖论的态度分为两个阵营，在赞同集合论的学者中，对悖
论的反应当时分成两派，一派以弗雷格等为代表，被称为“破产论者”，认为集
合论悖论的发现对数学事业不啻为一场灾难，因为这表明了我们的基本的逻辑直
觉是矛盾的。另一派以康托尔、策梅洛和冯·诺伊曼等为代表，被称为“误解论
者”，主要认为悖论的产生是由于人们没能正确地理解集合概念。在反对集合论
的学者中，彭加莱嘲笑说:逻辑斯谛（即数理逻辑）不再是荒芜之地了，它产生
了悖论!并严肃地指出悖论的原因在于:“不存在实（给定的完备的）无穷。康托
尔主义者忘记了这一点，他们陷入了矛盾之中。”外尔（Weyl）论述道：“数的
序列增长超越了已达到的任何阶段，是一簇向无限开放的可能性，它永远处于创
造的过程中，而不是一个自在的封闭王国。我们盲目地将前者转换成后者，是我
们的困难（包括悖论）的真正的根源——一个比罗素的恶性循环原则更基本的根
源。”
罗素提出著名的类型论，将集合区分为不同层次，以避免所谓恶性循环，从
而阻止了悖论的产生。以后公理集合论（现代数学中的正统方法）的发展也是沿
着这条道路前进的。
然而所有这些方法都没有能够发现导致集合论悖论的根本逻辑原因是什么。
公理集合论迄今只是避免了矛盾，但由于它的相容性没有得到证明，诚如彭加莱
所言：“为了防备狼，羊群已用篱笆圈起来了，但却不知道在圈里有没有狼。”
非常明显的是，那三个悖论都与无限概念密切相关。希尔伯特在《论无限》
中曾富有远见地声明，只有等到无穷（限）概念得到澄清，集合论悖论才可能得
到彻底的解决。我们认为沿着这个方向应该这样着手尝试，基本思路如下。
数学中关于潜无限和实无限之争，古已有之，亚里士多德指出：“无限的数
是潜能的，不是现实的。”亚里士多德的这个观点在其后两千多年的时间里一直
是数学界的正统。质言之，所谓潜无限的概念必然与过程和构造的观念相关；潜
无限的实质在于它是一个从不能完成、从不能充分实现的过程。与此相应，实无
限则指一已完成、已确定、已得到充分实现的无限总体。参照潜无限和实无限的
划分，我们区分开对无限概念的相对理解和绝对理解。我们所谓的“相对无限”
指相对一定条件而成立的无限集合，它们是确定而完成的，只是相对于一定条件
而言的其基数为最大的集合。另一方面，我们所说的“绝对无限”则指在任何可
设想的条件下其基数都是最大的那种无限“集合”，它在任何条件下都大于可设
想的无论什么相对无限集合。绝对无限不可能是一个数学的可计数的适当对象，
而只能是一个无限的、永无可能完成的构造过程。如果我们设想绝对无限集合一
旦完成了，显然在这条件下我们便可构造比其更大的集合（即其幂集），结果就
违反了其定义特征。
现在我们依此要点来考察康托尔悖论。既确立了相对无限概念和绝对无限概
念的区分，康托尔悖论的困惑就不难澄清了。人们构成“所有集合的集合”S，
推定S的基数是所有可能集合中最大的，换言之，在任何条件下S都是最大的集合。
正如罗素所言：“假若一切能够计数的对象（不论它们是哪一种）能组成一个类，
那么这个类的基数是一切可能的基数中最大的。因为它所有的子类都是它的分子，
子类的数目不会比分子的数目大。”按照该思路，显然这是将S理解成绝对无限
集合。因为只有这样，Ｓ的幂集PS的基数乃至任何可能集合的基数才不可能大于
S的基数。但另一方面人们又论证说，根据康托尔定律PS的基数应大于S的基数。
这时人们显然又将S理解成相对无限集合了，也就是说，将S理解成仅相对于某一
条件（这里只能是相对于其时的所有现存的集合）来说是最大的、已完成的集合，
而非在任何条件下都是最大的集合；否则的话，PS的基数就不可能大于S的基数
（有什么集合能大于在任何条件下都是最大的、绝对无限的集合？）。确切地说，
S只有是已确定、已完成因而已存在的所有集合的集合，从而自身是确定而完成
的，我们才能根据这种S构造比它更大的PS，因为对任何已确定而完成的无限，
都可构造比它更大的无限。康托尔定律预设了相对无限或实无限。
由此可见，人们在对S进行推理时分别使用了两种不同涵义上的无限集合，
既然如此，从它们分别引申出的互相对立的结论就不可能是逻辑上的互相矛盾。
作为适当数学对象的S既然只能是相对无限集合，则PS的基数大于S的基数就并无
悖谬之处了。如果遵守同一律，在推论中始终地对S做单一涵义的理解，则根本
不可能产生矛盾。将S始终地理解为相对无限集合，如前所述必得出逻辑上自洽
的结果。如将S始终地理解为绝对无限集合，那么严格地讲，从S不可能构造其确
定的幂集（因为绝对无限是一个不确定的无限的构造过程），这样也不可能有悖
论的结果出现。现已非常明显的是，人们对S既做绝对无限又做相对无限的理解，
而同时却将S当作具有单一涵义的概念来推论，从而违反了逻辑基本规律，所谓
悖论的结果由此而合乎逻辑地产生出来。
如果这个解法能够成立，则表明，悖论的根本原因并非我们的逻辑直觉出了
问题，也非实无限概念有问题，而是人们将相对无限和绝对无限这两个含义不同
的无限概念混淆使用之所致。
今天我们暂时谈到这里，如有机会，下一次我们将尝试地将我们的方法应用
到解决布拉里—弗蒂悖论，罗素悖论要复杂些，但根本上也是无限概念出了问题。
欢迎批评指教。
(XYS20090203)
No comments:
Post a Comment