迭代过程，与最开始提到的‘折纸带’游戏，有那么一点不同之处：折纸带时，纸带的长度是不变的，而在迭代过程中，我们是保持初始图形中线段的两个端点（A和B）的位置固定不变。因此，所有线段加起来的总长度（对应于纸带长度）却是不断增加的

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《走近混沌》-1-从分形龙谈起精选

已有 8062 次阅读 2012-8-14 04:57 |个人分类:系列科普|系统分类:科普集锦|关键词:1

《走近混沌》

混沌是什么？要理解混沌的概念，最好先理解分形。分形是什么？要理解分形，最好首先从一个例子说起。那就让我们从一个不算很复杂，也不算很简单的分形的例子：分形龙说起吧。

第一章：有趣的分形龙

拿着一条细长的纸带，把它朝下的一头拿上来，与上面的一头并到一起。用一句简单的话说，就是将纸带对折。接着，把对折后的纸带再对折，又再对折，重复这样的对折几十次……

图（1.1）对折纸带的过程

然后，松开纸带，从纸带侧面看过去，如图（1.1）所示，我们得到是一条弯弯曲曲的折线。请别小看这个连小孩子都会做的游戏。从它开始，我们可以探索一连串现代科技中耳熟能详的名词：分形、混沌、蝴蝶效应、生命产生、系统科学……

我们把‘纸带对折一次’的动作，用数学的语言来表述，它对应于几何图形的一次‘迭代’。如刚才所描述的纸带‘对折’那种循环往复的‘迭代’操作，所得到的最终图形叫做中国龙，或称分形龙。图（1.2）描述了分形龙曲线的几何图形生成过程：

图（1.2）分形龙曲线的生成过程

这里需要提醒一点，图（1.2）的迭代过程，与最开始提到的‘折纸带’游戏，有那么一点不同之处：折纸带时，纸带的长度是不变的，而在迭代过程中，我们是保持初始图形中线段的两个端点（A和B）的位置固定不变。因此，所有线段加起来的总长度（对应于纸带长度）却是不断增加的。

仔细研究图（1.2）中分形龙的产生过程，可观察到如下三个有趣之处:

1. 简单的迭代，进行多次之后，产生了越来越复杂的图形；

2. 越来越复杂的图形表现出一种‘自相似性’；

3. 迭代次数较少时，曲线看起来是一维折线，此曲线随着迭代次数的增加而逐渐充满部分平面。

第一条特点一目了然，无需多言。

第二条的‘自相似性’是什么意思呢？那是说：一个图形的自身可以看成是由许多与自己相似的，大小不一的部分组成的。最通俗的‘自相似’例子是中国人喜欢吃的花菜，花菜的每一部分，都可以看成是与整棵花菜结构相似的‘小花菜’。分形龙曲线也具有这种‘自相似性’，从图（1.3）可以看出：分形龙可以看成是由四个更小的但形状完全一样的‘小分形龙’组成的。

图（1.3）分形龙的自相似性

图（1.3a）是分形龙原来的图形。我们将（a）图缩小二分之一，得到为原来大小一半的图（b）；然后，图形（c）包含了四个不同方向的小图形；将这4个小图按照红色箭头的方向移动后，把它们拼成如图（d）的形状，可以看出，图（d）是和原图（a）一模一样的图形。

我们再回到图（1.2），分形龙曲线的生成过程。上面说到了，这个分形龙曲线生成过程的第三条特点是有关图形维数的变化。随着迭代次数的增加，一维的折线逐渐充满部分平面，看起来好像变成了一个二维图形。

这儿谈到了几何图形的‘维数’，维数是一个严格的数学概念，我们不应该只凭感觉了，需要更多的数学论证。也就是说，我们需要仔细研究研究，当迭代的次数增加下去，趋向于无穷的时候，分形龙曲线的维数到底是多少呢？

有人，比如张三，思维比较经典，可能会说，分形龙是由一条纸带反复折叠而成的。在数学上，就是一条直线段反复折叠而成的。折叠再多的次数，图形依然是由一条一条小小的“线段”构成的，仍然是“线”，当然还是个“一维图形”喽！

但李四观察得更细致些，他反驳张三说，事情可不是那么简单。凡事涉及到了‘无限’，就可能得到一些你意料之外的结果。比如，就拿你刚才说到的‘一条一条小线段’ 来说吧，我们可以研究，当直线折叠下去时，这每条小线段的长度d（图中所示的d₁，d₂……d_n）。如图（1.2）所示，很容易看出来，d会越来越小、越来越小。当n趋于无穷时，d会趋于0。也就是说，每一小段的长度都是0。尽管到了最后，每条小线段的长度都是0，但整条直线的长度却显然不是0。这原因就是因为有无限多个小线段加起来的缘故。事实上，如图（1.2）的迭代作下去，但是保持初始图形中线段的两个端点（A和B）的位置不变，我们可以证明，这无限多个长度为0的小线段加起来，结果的总长度不但不是0，还是趋于无穷大！因此，李四说，照我看来，当这条直线无限折叠下去时，每个小线段变成了一个点，这些点充满了分形龙图形所在的那块平面，最终的分形龙，应该等效于一个二维图形！

分形龙到底是一维图形，还是二维图形呢？正当张三和李四各执己见，争论不休时，一旁站着的王二发言了，他的观点更是不同凡响：

“这分形龙的维数，为什么一定要是你们两人所说的，或者1、或者2呢？难道它就不能是个1.5，1.8，或者是二分之三这样的分数吗？”

维数是个分数！那是什么意思啊？张三李四都没听过，其实王二也只是如此猜想而已，并不了解是否真有‘分数维’这一说。于是，这个既简单又复杂的美妙的分形龙图形，激发了他们的好奇心和求知欲。这三个大学校园结交的好朋友：学工程的张三，物理系的李四，以及学生物的王二，开始了一趟几何之旅。他们对分数维图形，也就是‘分形’，从不同的角度进行了进一步的探索。

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[26]fys 2013-1-14 22:59: 我是学习分形的，很受益。; 博主回复(2013-1-15 01:25)：谢谢。

[25]changtg 2012-10-16 05:04: 很好，通俗易懂。

[24]guoyanghuawu 2012-9-14 12:49: 我大二的时候因为做一个化学时钟的实验，原理有混沌理论在里面，所以去看了搜集了一点混沌方面的资料，但是没有看懂，现在看您的文章，有些了解，我觉得理解混沌，对大自然，对科学，对社会和对宇宙的理解会更有意识。; 博主回复(2012-9-14 22:30)：谢谢支持

[23]刘歌群 2012-9-12 14:07: 这样的科学著作没人不爱读。如果所有的科学教科书写成这样，中国早就成世界头号科技强国了。不少人不喜欢科技和数学，是因为“枯燥”，博主的科普方法是一剂良药。; 博主回复(2012-9-12 19:36)：谢谢鼓励。

[22]王浩人 2012-9-5 07:56: 其实还是很清楚的，而且形象。只是我是初学者加上理解力一般，所以之前总有误解，呵呵。还好下面的评论有人先提出来了。

[21]王浩人 2012-9-3 16:24: 如果是对角线不变，那么开始的这句话就有问题了：“拿着一条细长的纸带，把它朝下的一头拿上来，与上面的一头并到一起。用一句简单的话说，就是将纸带对折。”

这句话表示总长度不变了。; 博主回复(2012-9-4 04:08)：真谢谢您看得如此仔细，我刚才在图（1.2）的下面加了一段话，您看看是否表达清楚了？

[20]王浩人 2012-8-31 22:26: 要是总长度不变，我就理解不能了，呵呵。; 博主回复(2012-9-1 00:19)：谢谢！

[19]王浩人 2012-8-31 22:25: 原来是对角线不变。

[18]易会广 2012-8-26 01:11: 事实上，可以证明，这无限多个长度为0的小线段加起来，结果的总长度不但不是0，还是趋于无穷大！
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这段话是不是有点问题？无论折多少次，纸条的总长度一直不变啊，怎么会趋于无穷大？; 博主回复(2012-8-26 19:25)：你的提示太好了，这段话的确有问题。其实我的意思已经不是在考虑用一条长度固定的纸带的折叠，而是考虑图（1.2）所示的迭代过程，所以我把这段话改写了一下，你看看如何？

“事实上，如图（1.2）的迭代做下去，但是保持初始图形中线段的两个端点（A和B）的位置固定不变的话，我们可以证明，最后这无限多个长度为0的小线段加起来，结果的总长度不但不是0，还是趋于无穷大！”

[17]王浩人 2012-8-22 14:17: 图1.2中第一张图中的d0和a都是长度吧，第二张图为什么系数是根号2？为什么是a的平方？是面积么？不太明白; 博主回复(2012-8-22 19:47)：d0和d1都是长度，如果d0=a，d1就=a除以根号2。这点用几何就得到了：d1是正方形的边长，d0是对角线。

[16]王恪铭 2012-8-20 14:17: 深入浅出！！！张老师写得好！！！

[15]张华容 2012-8-20 08:43: 非常喜欢读你写的此类科普，谢谢！
我在给学生讲递归算法时，曾引用一学术界的名言“递归——是大自然的杰作”。同时，联系到晶体的生长，生命的繁衍和进化等等，认为它们都是一个递归加变异的过程。
从您说的“分形龙”，我觉得，所谓“自相似”的循环迭代，就是一个递归过程。因此，分形是否与递归逻辑相关？; 博主回复(2012-8-22 19:53)：》分形是否与递归逻辑相关？
应该是这样。