应力波理论

应力波理论
任会兰 二零零九年九月

1

课程安排 ? 第一章 绪论
应力波的一些基本概念;偏微分方程;

? 第二章 一维杆中的应力波理论
一维杆中的纵波控制方程;特征线;特征线上的相容关 系;Cauchy初值和Picard边值问题;强间断,弱间断和冲击

波;波阵面上的守恒条件

? 第三章 弹性波的相互作用
弹性杆的共轴撞击;弹性波的相互作用;弹性波在固定端 和自由端的反射;弹性波在不同界面上的反射和透射;弹性 波在变截面杆中的反射和透射;弹性波引起的断裂;
2

课程安排

? 第四章 弹塑性波的相互作用
弹塑性加载波的相互作用;迎面加载;卸载波的控制方程
和特征线;强间断卸载扰动的追赶卸载;线性硬化杆中的突 然卸载;塑性中心波的突然卸载;卸载边界的传播特性;迎

面卸载;弹塑性边界的一般传播特性;

第五章 粘弹性波和弹粘塑性波
线性粘弹性本构关系;应力波在线性粘弹性杆中的传播; 弹粘塑性本构关系;

3

课程安排 ? 第六章 一维应变平面波
一维应变弹性波;一维应变下的弹塑性本构关系;一维应变 弹塑性波;固体高压状态方程;高压下固体中的冲击波;

? 两个专题
(1) 材料动态力学冲击实验技术-SHPB (2) 强冲击载荷下材料力学特性及本构模型研究 参考书目:
(1) 王礼立编著,应力波基础,国防工业出版社,2005 (2) 丁启财,固体中的非线性波,中国友谊出版公司 (3) 马晓晴等,冲击动力学,北京理工大学出版社
4

第一章 绪论
?材料的动态力学特性 固体静态与动态载荷的主要区别:质点的惯性效应

静态载荷:忽略达到静力平衡前的应力波的传播和相互作用过程;
只研究平衡后的结果;刚体问题中,忽略了介质的可变形性; 爆炸与冲击载荷:(1)历时短,微秒,纳秒量级;(2)压力高;GPa

5

?根据动量定理，一只0.45公斤的鸟与时速80公里的 飞机相撞，会产生153公斤的冲击力；一只7公斤的大 鸟撞在时速960公里的飞机上，冲击力将达到144吨。 高速运动使得鸟击的破坏力达到惊人的程度，一只麻 雀就足以撞毁降落时的飞机的发动机。
6

第一章 绪论

7

第一章 绪论
?材料的应变率敏感性;
?静态或准静态应变率: 动态应变率:
10 s
2 ?1

10 s
?1

?5

?1

? 10 s

?1

?1

? 10 s

4

, 甚至可达 107 s ?1

强度极限提高,屈服强度提高,延伸率降低,以及屈服滞后等;

8

第一章 绪论

反问题

材料的动力学性能
正问题

外载下介质运动情况

9

第一章 绪论
1.1 基本概念 应力波：固体中传播的波（扰动在固体中的传播） 1 应力波的形成：固体的可变形性和惯性 当外载荷作用于可变形固体的某部分表面时，一开始只有直接

受到外载荷作用的表面部分的介质质点离开初始平衡位置。这
部分介质质点与相邻介质质点之间发生了相对运动（变形）， 彼此之间就会产生作用与反作用力，使这些相邻介质质点也离

开了初始平衡位置，而产生滞后于表面介质质点的运动。介质
直点具有惯性，依此类推，外载荷在表面上所引起的扰动就在 介质中逐渐由近及远传播出去，从面形成了应力波。
10

第一章 绪论
?2 应力波的分类
波阵面：介质中已扰动区域与未扰动区域的分界面。 介质质点速度：介质质点本身的运动速度; 波速：扰动信号在介质中传播的速度; 按加载的性质分类：加载波、卸载波

加载波：使介质的状态参量（σ 、p、v等）值增大的波。
卸载波：使介质的状态参量（σ 、p、v等）值减小的波。

11

第一章 绪论
?按传播方向与质点运动方向的关系分类：纵波、横波 ?纵波：扰动的传播方向与介质质点的运动方向平行。 ?横波：扰动的传播方向与介质质点的运动方向相垂直。 ?按材料的性质分类:弥散波、会聚波

?弥散波: 使高压力水平的增量波具有较低的传播速度, 波形 就会在传播过程中拉长散开.(递减硬化材料)
?会聚波: 使高压力水平的增量波具有较高的传播速度, 后面 高波速追赶前面低波速的波,波形就会在传播过程中变短. (递增硬化材料)
12

第一章 绪论

按波阵面形状分类：平面波、柱面波、球面波 按波在物体中传播的位置分类：体波、表面波 体波：在物体内部传播与边界效应无关的波。

表面波：在物体表面 上发生和传播的波。

?本构关系的应变率无关理论:线弹性波;非线弹性波;塑性波理论; ?应变率相关理论:粘弹性波;粘弹塑性波;弹粘塑性波理论等;

13

?波的应用: (1)地震波; ?地震波的衰减特性与频率,岩性,孔隙流体类型及流体饱和度 的变化而变化,可以通过研究地层介质对能量的吸收性来确 定含油气性,对储层进行预测. ?舰船在水面和水中航行时产生低频噪声在水下传播,可以通 过检测海底地震波信号对其进行时频特征分析来探测和识别 海水中的舰船目标. ?(2)动态力学性能;

? 测量试件中的波形反推材料的本构关系;
? 材料在冲击载荷下的强度,破坏规律等.
14

?(3) 武器破甲弹;

?(4)声发射检测;

?

15

第一章 绪论
? 3 Lagrange方法：随着介质中固定的质点来观察物质的运动，

研究的是给定的质点上各物理量随时间的变化，以及这些物 理量由一个质点转换到其他质点时的变化。对于一维情况， 可将物理量Ψ 表达为质点X和时间t 的函数：Ψ = F (X , t )。自变量X 称为Lagrange坐标或物质坐标。 ?Euler方法：在固定的空间点上来观察物质的运动，所研究 的是在给定的空间点上以不同时间到达该点的不同质点的各 物理量随时间的变化，以及这些物理从一个空间点转换到另 一空间点时的变化。对于一维情况，可将物理量Ψ 表达为空 间坐标 x 和时间t的函数： f ( x , t ) 自变量 x 称为Euler坐 ? ? 标或空间坐标。
16

第一章 绪论
?物质坐标和空间坐标 ?Lagrange坐标：

?

为了识别运动中物体的一个质点，以一组数（a，b，c）

作为其标记，不同的质点以不同的数（a，b，c）表示，这组 数（a，b，c）称为Lagrange坐标（或物质坐标、随体坐

标）。
?Euler坐标： ? 为了表示物体质点在不同时刻运动到空间的一个位置，以 一组固定于空间的坐标表示该位置，这组坐标称为Euler坐 标（或空间坐标）
17

第一章 绪论
?物质坐标和空间坐标的关系 表示法一：介质的运动可表示为质点X在不同的时间t占据不 同的空间位置x ，即x是X 和t 的函数 (1-1)

x ? x ( X ,t)

如果固定X，上式给出了质点X如何随时间运动；如果固 定t，上式给出了某时刻各质点所占据的空间位置。一般来说， 在给定时刻，一个质点只能占有一个空间位置，而一个空间 位置也只能有一个质点。
18

第一章 绪论
?表示法二; 若运动是单值的,(1-1) 可反写成

X ? X ( x, t )

(1-2)

每个时刻连续介质所占据的空间位置上都有一个质点存在. ?一维情况下,物理量可以表示成物质坐标X和时间t的函数,

? ? F ( X ,t)
?同样,也可以用空间坐标

(1-3)
? ? f ( x, t )

x 与时间t表示,

对于同一物理量,有

f ( x, t ) ? F ( X , t )

(1-4)
19

第一章 绪论
空间微商（Euler微商）：在给定空间位置x上，物理量Ψ对 时间的t 变化率，即
? ?f ? x, t ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ?t ? x ? ?t ? ?x

(1-5)

物质微商（Lagrange微商或随体微商）：随着给定的质点X 来观察物理量Ψ对时间t 的变化率，即
d? ? ?? ? ? ?F ( X , t ) ? ? ?? ? ? ? ?t ? X dt ?t ? ? ?X

(1-6)

20

对于（1-6）式应用复合函数求微商的法则，有
d? ? ?F ( X , t ) ? ? ? f [ x ( X , t ), t ] ? ?? ? ?? ? dt ?t ?t ? ?X ? ?X ? ? f [ x ( X , t ), t ]] ? ? ? f [ x ( X , t ), t ] ? ? ? x ? ?? ? ?? ? ? ? ?t ?x ?t ? X ? ?x ? ?t ? ? ?f ( x, t ) ? ? ?f ( x, t ) ? ? ?x ? ?? ?? ? ? ? ? ?t ? x ?t ? ?t ? X ? ?x ?

(1-7)

质点X 空间位置对时间的物质微商，即质点X 的运动速度， dx ? ?x ? v ?? (1-8) ? ?
? ?t ? X
? ?? ?t

? ?x ? ? ? ? ?t ? X

dt

d? dt

?v

?? ?x

(1-9)
21

第一章 绪论
d? dt ? ?? ?t ?v ?? ?x

物理量Ψ为质点速度时，(1-9)式变为质点加速度的表达式：
? ?v ? dv ?v ?v a ?? ? ?v ? ? dt ?t ?x ? ?t ?X

(1-10)

(1-9)式中，等式右边第一项通常称为局部变化率，在定常 场中该项为零；第二项称为迁移变化率，在均匀场中该项为 零。与此相对应，(1-10)式中，等式右边第一项通常称为局

部加速度，第二项称为迁移加速度。
22

第一章 绪论
?物质波速（Lagrange波速）：在物质坐标中来观察应力波的传播，设在t 时刻波阵面传播到质点X处，以 X ? ? ( t ) 表示波阵面在物质坐标中的传 播规律，则物质波速（Lagrange波速）可表示为：
? dX ? ? C ?? ? ? ? (t ) ? d t ?W

(1-10)

?空间波速（Euler波速）：在空间坐标中来观察应力波的传播，设在t时刻
波阵面传播到空间点 x 处，以
?

x ? ? (t )

表示波阵面在空间坐标中的传播

规律，则空间波速（Euler波速）可表示为：
? dx ? ? c ?? ? ? ? (t ) ? d t ?W

(1-11)
23

第一章 绪论

? 物质波速和空间波速都是对同一个应力波的传播速度的描 述，但由于选择的坐标不同，其数值一般是不相同的，除 非波阵面前方介质是静止且无变形的。

24

第一章 绪论
?随波微商：随着波阵面来观察物理量Ψ对时间t的变化率。根

据坐标系的不同，有两种表达式，即
在空间坐标系中有:
? d? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? c? ? d t ?W ?t ?x ? x ?t ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?C? ? ? d t ?W ? ?t ?X ? ? X ?t

(1-12)

在物质坐标系中有： ? d?

(1-13)

式中，取物理量Ψ为质点的空间位置x，该式转变为：
? dx ? ? ?x ? ? ?x ? ? ? ?? ? ?C? ? d t ?W ?t ?X ? X ?t ? ? ?

(1-14)

25

第一章 绪论
设初始时刻某质点X空间位置根据定义为X，随后某时刻 该质点到达空间位置x，则位移为u，显然有 x ? X ? u ，有
? ?x ? ? ?X ?u ? ? ? ? ?? ? ? 1? ? ? X ?t ? ? X ?t ? ? X

得到平面波传播时空间波速和物质波速之间的关系:

c ? v ? C (1 ? ? )
对于初始质点速度为零和初始应变为零的介质中传播的平面 波,空间波速和物质波速相同.

26

第一章 绪论
1.2 偏微分方程 偏微分方程概念：关于未知函数 x ? ? x1 , x 2 ? x n ? 的偏微分方 程形如：
F x , u , D u , u x x , u x x ,? u x
1 1 1 2

?

n xn

? ?0
2

?

的关系式，其中 u ? x1 , x 2 ? x n ? 数的偏微商。 椭圆型 双曲型 弹性静力学

Du ? ux ,ux ? ux
1

?

n

?。

F 可以不显含未知函数 u 及其自变量 x 但必须含有未知函

热流问题

粘弹性问题

固体流体中波动问题

抛物型

热传导问题
27

第一章 绪论
阶数：偏微分方程的阶数是指该方程中的最高导数次数。
2 2 2 ? ?u ?x ? u ? u ? u ? F ? x, y, u , , , , , ?0 2 2 ? ?x ?y ?x ?x?y ?y ? ?

线性偏微分方程和非线性偏微分方程：
a u xx ? b u xy ? cu yy ? d u x ? eu y ? fu ? 0
a , b, c, d , e, f

均仅仅是自变量 x , y 的函数，则这样的方程为线

性偏微分方程。 优点: 解满足迭加原理。
28

第一章 绪论
非线性偏微分方程： ? u xx ? 2 ? u yy ? 0

拟线性偏微分方程：? u ? ? u ? ? u ? ? ? 0 xx xy yy
如果 ? , ? , ? 是 x , y , u , u x , u y 的函数，则称为拟线性

偏微分方程。

29

第一章 绪论
1.3 一阶拟线性偏微分方程
a ?u ?x ?b ?u ?y ?c

方程 ：

其中 a , b , c 为 x , y , u 的函数。 P,Q两点是非常接近的两点,满足
du ? ?u ?x dx ? ?u ?y ( dy

或

?u ?x

dx ?

?u ?y

dy ? du ? 0
???? ?u ?u ( , , ? 1) ? P Q ?x ?y

矢量形式:

?u ?u , , ? 1) ?( d x , d y , d z ) ? 0 ?x ?y ???? ???? ? P Q =0 PM

u ? u ( x, y )
30

第一章 绪论
改成
( ?u ?u , , ? 1) ?( a , b , c ) ? 0 , ?x ?y

显然矢量 ? a , b , c ? 必定落在

曲面 u ? u ( x , y ) 上,更确切地说与该曲面相切。 空间中任意点 ? x , y , u ? ，给出确定的矢量 ? a , b , c ? ，把这 些空间中的许多矢量连接成一 条条线，这些线就是特征线。

求解某偏微分方程,必须要给出
初始条件,否则方程的解可能有

无穷多个.
31

第一章 绪论
初始条件在三维空间中代表

着一条初始曲线,从初始曲线 出发的所有特征线则构成一 个曲面,这个曲面就是这一偏 微分方程的解.
初始曲线上某些梯度不连 续的地方,这样的一些间断必 定沿着由这些点出发的特征 线走.
32

第一章 绪论
分析表明:

? a, b, c ?

? dx dy du ? 为沿特征线上的矢量。? d s , d s , d s ? ? ?

为沿特征线上的方向导数。因此，
? dx dy du ? (a, b, c) ? k ? , , ? ? ds ds ds ?

适当选取s,使
? dx ? a ? ds ? ? dy ?b ? ? ds ? du ? c ? ? ds

k ?1

,于是方程可简化为
dx a ? dy b ? du c

特征线方程

利用特征线方法可以将一个偏微分方程 化为一组常微分方程,因而大大简化了 方程的求解。
33

第一章 绪论
例1：

?u ?x

?2

?u ?y

?3

例2： u ? u ? y ? 0
?y

方程中 a ? 1, b ? 2, c ? 3 , 因此特
征线是一族直线,其方向 (1, 2, 3) , 其 方程为
dx 1 ? dy 2 ? dz 3

方程中 a

? 0, b ? u , c ? ? y

，其特征

方程为： d x ? d y ? d u
0 u

?y

由此得到解为: ? y ? 2 x ? k 1

由此得到解：? u 2 ? y 2 ? k 1
? ? x ? k2

? ? 3 y ? k2 ?u ? ? 2

k 1 , k 2 是积分常数.若已知初始曲 线,即可得到方程的解。( x , y ) u

初始曲线：原点出发的射线(任意一 条曲线)，方程的解是一个圆锥面。
。

若为任意一条曲线,则方程的解是一 个旋转面.
34

第一章 绪论
1.4
u 0 ? u ( x0 , y 0 )

柯西初值问题
C0
( x0 , y0 , 0 )
( x0 , y0 , 0 )

初始曲线 C ,在平面上的投影
( x0 , y0 , u 0 )

引入参数t
( x 0 ( t ), y 0 ( t ), u 0 ( t ))

? dx ? a ? ds ? ? dy ?b ? ? ds ? du ? c ? ? ds

解

? x ? x(s, t) ? ? y ? y (s, t) ?u ? u (s, t) ?

J ?

? ( x, y ) ? (s, t )

? 0

s ? s ( x , y ), t ? t ( x , y ) u ? u (s, t )

S为沿着特征线上的参数.t=0即为通 过初始曲线并与特征线相切的曲面.

u ? u ( x, y )
35

第一章 绪论
例:
u ?u ?x ? ?u ?y ?1
? ? u ? s ? u 0 (t ) ? Ⅱ ? ? y ? s ? y 0 (t ) ? 1 2 ? x ? s ? u 0 (t ) s ? x0 (t ) ? 2

特征方程为:

? dx ?u ? ds ? ? dy Ⅰ ?1 ? ? ds ? du ?1 ? ? ds

固定参数 t ，可以确定特征线的形状。消去 s ，可得 特征方程的解： 平面 ? y ? u ? y 0 (t ) ? u 0 (t ) ? ? (t )
? ? 1 2 1 2 ? x ? u ? x0 (t ) ? u 0 (t ) ? ? (t ) ? 2 2

抛物面
36

特征线是一系列相互平行的抛物线.

第一章 绪论
?初始条件：①初始曲线 C 为 u (0, y ) ? ? y 或 ②初始曲线
1 2 ? x0 ? t ? 2 ? ? y0 ? t ?u ? t ? ? 0 ?u ? s ? t ?

? x0 ? 0 ? ? y0 ? t ?u ? t ? 0

代入初始条件① ,方程组Ⅱ可化为

? ?y ? s?t ? 1 2 ? x ? s ? ts ? 2

u ?

? y ? 2 6x ? y 2

2

代入初始条件②,方程组Ⅱ可化为
? ?u ? s ? t ? ?y ? s?t ? 1 2 ? x ? (s ? t) ? 2

初始条件与特征线重合
无穷多个解
37

第一章 绪论
1.一阶偏微分方程一定存在着特征线，可以将任何一个一阶 偏微分方程简化为常微分方程组，即特征线方程。

2.方程的解 u ? u ( x , y ) 在 ( x , y , u ) 空间中必须通过特征线。
因此，特征线控制着解的特征。 3.函数的一阶导数间断只能沿着特征线传播。 4.如果初始曲线是一条特征线，那么满足方程的解可以有无 限多个，因此可以说特征线是一条不定解线。 5.如果初始条件仅仅在局部范围内发生变化，其影响仅局限 于特征线所包围的领域内，这一领域又称为影响域。
38