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J.P Gazeau, R Kerner, J.P Antoine - 2003 - Mathematics
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《走近混沌》-3-分数维是怎么回事?
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第三章:分数维是怎么回事?
了解了更多分形的知识之后,三个好朋友:张三、李四、王二,又凑到了一块儿,返回去思考和探索第一章留下的问题:分数维到底是怎么回事呢?
张三说,在经典几何中,是用拓扑的方法来定义“维数”的 ,也就是说,空间的”维数”等于决定空间中任何一点位置所需要变量的数目:比如,所谓我们生活在‘三维空间’,是因为我们需要三个数值:经度、纬度、和高度,来确定我们在空间的位置。对于一个二维空间,比如在地球这个球面上,则需要两个数值来确定一个物体的位置。当我们开车行驶在某一条高速公路上,汽车的位置只需要用一个数:出口的序号数,就能表示了,这是一维空间的例子。
拓扑“维数”概念的扩展,要归功于德国数学家费利克斯•豪斯多夫(F.Hausdorff,1868-1942)。豪斯多夫在1919年给出了维数新定义,为维数的非整化提供了理论基础。
“豪斯多夫!我读过他的故事。他后来是自杀的……”王二在三个朋友中年纪最小,急不可耐地插了几句。
豪斯多夫是拓扑学的创始人。第二次世界大战开始后,纳粹当权,豪斯多夫是犹太人,但他认为自己做的是纯数学,在德国已经是令人敬重的大教授,应该可以免遭迫害。但是事非所愿,他未能逃脱被送进集中营的命运。他的数学研究,也被指责为属于犹太人的、非德国的无用之物。 1942年,他与妻子一起服毒自尽。
不等王二说完,李四便抢着接下去:“这是科学家不懂政治的悲剧。我们还是回到豪斯多夫的数学。张三说得一点没错,因为‘变量的数目’不可能是一个分数,因此,按照这种拓扑方法定义的”维数”,当然只能是整数喽!但是,分形的维数是用另一种方式定义的……”
李四说,其实,在‘分形’这个名字中,就已经包含了‘分数维数’的玄机。众所周知,经典几何学中,有1维的线、2维的面、3维的体。三维以内,有现实物理世界的物体对应,容易理解,维数大于三的时候,就需要应用一点想象力了,比如加上了时间的四维空间等。但是不管怎么样,经典几何的‘维数’总是一个整数,将经典的三维空间扩展想象一下,一维一维地加上去就可以了。而分形几何中的‘维数’,却包含了‘分数维’在内,这也就是‘分形’名称的来源。
“如何定义和理解分数维呢?首先,让我举几个例子,慢慢解释给你们听!” 李四洋洋得意地看着两个师弟说。李四学的是物理,并且已经是大学四年级的学生,比两个朋友多读了几年书,讲起课来头头是道。
在分形几何中,我们将拓扑方法定义的‘维数’,扩展成用与自相似性有关的度量方法定义的‘维数’。第一章中我们不是已经介绍过花菜的结构和分形龙的‘自相似性’吗。其实,经典整数维的几何图形,诸如一条线段、一个长方形、一个立方体,也具有这种‘自相似性’,只不过,它们的‘自相似性’太平凡而不起眼,被人忽略了而已。
王二眨巴着大眼睛,不甚明白的模样:“你的意思是说:线、面、体……这些我们常见的整数维几何形状,也算是分形?”
“当然,也应该是这样嘛。就像实数中包括了整数一样,扩展了的分形维数定义当然也包括了整数维在内。你听我先解释一下如何用‘自相似性’来定义‘维数’吧……”
根据‘自相似性’ 的粗浅定义:“一个图形的自身可以看成是由许多与自己相似的,大小不一的部分组成的”,我们来观察普通整数维图形的‘度量维数’。
比如说,如图(3.1)所示:(a)一条线段是由两个与原线段线段相似,长度一半的线段接成的;(b)一个长方形,可以被对称地剪成四个小长方形,每一个都与原长方形相似。也就是说,长方形自身可以看成是由4个与自己相似的,大小为四分之一的部分组成的;(c)一个立方体,则可以看成是由8个大小为八分之一的小立方体组成的。
图(3.1):用度量方法定义的‘维数’
仍然利用上面的图,用自相似性来定义的‘维数’可以如此简单而直观地理解:首先将图形按照(N: 1)的比例缩小,然后,如果原来的图形 可以由(M)个缩小之后的图形拼成的话,这个图形的‘维数’d ,也叫豪斯多夫維数,就等于:
d = ln(M)/ln(N) (3.1)
不难看出,将上述方法用来分析直线、平面、空间,分别得到d = 1、2、3。见图(3.1)中的a、b、c。
现在,我们可以用同样的方法来分析科赫曲线的维数,就像图(3.1)中的(d)所示:首先,将科赫曲线的尺寸缩小至原来的三分之一;然后,用四个这样的‘小科赫曲线’,便能构成与原来一模一样的科赫曲线。因此,根据公式(3.1),我们得到科赫曲线的维数d = ln(4)/ln(3) = 1.2618..。这就说明了,科赫曲线的维数不是一个整数,而是一个小数,或分数……
“等一等,我想用这个公式算算我这儿这个分形的维数……”张三一边用笔在本子上画着什么,一边说。
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- [10]柳恒
- 博主你好,我是一个建筑学的硕士研究生,论文涉及到分形这块的知识,我对分形的了解很浅,在写硕士论文的时候,我遇到这样一个问题,就是,针对一条1.26维的海岸线,如果,我给其一个法向量,让它由线变成面,那么请问这个面可以称为“伪2.26维”的吗?
- 博主回复(2012-11-24 20:11): 按照你所说的方法构成的2维图形,仍然是一个分形。它的分形维数应该等于1+1.26=2.26。
- [9]cefele
- 很好的科普,有收获。
- [8]王连军
- 判定一个空间究竟是几维的,不只是取决于形,而是取决于它的空间谐振、正空间与反空间的耦合方式等等。例如把一条导线团成球形团,它依然是一维的。若把它的两端接上电源,电流总是从一端流向另一端。另外,各空维必须保持90度分布。
- [7]钟云飞
- 感兴趣的可以先看看刘华杰老师出的《分形艺术》,分形艺术 数学与艺术的结合刘华杰,《分形艺术》,湖南科学技术出版社1997年。北京大学哲学系教授、北京大学科学传播中心教授,博士生导师。对于分形入门比较合适。
- [6]钟云飞
- 感兴趣的可以先看看刘华杰老师出的《分形艺术》,分形艺术 数学与艺术的结合刘华杰,《分形艺术》,湖南科学技术出版社1997年。北京大学哲学系教授、北京大学科学传播中心教授,博士生导师。对于分形入门比较合适。
- [5]王连军
- 琴弹乱了。无论是一维、二维还是四维(四空維即正方体的四条对角线,互成90度分布)自然数空间都是以0维空间为参考空间而建立的参考空间体系。也就是说,若建立某一参考空间体系当首先选定某一空间为参考空间(0维空间)然后才能以此建立一个完整的参考空间体系,那么,在一个既定的参考空间体系内,怎么会出现分数维呢?我看博主的空间理论知识还不够全面,尚需推敲。
- 博主回复(2012-8-20 08:08):这儿的维数有严格的数学定义,和你理解的不是一码事。
- [4]张海峰
- 比那些枯燥的数学公式容易理解多了
- [3]刘雁冰
- 张老师,还有一个问题这个世界上有分数个物体有没有意义,比方说3.2个正方形
- 博主回复(2012-8-20 08:06): 好像没有什么意义。
- [2]刘雁冰
- 请教:分形数的值只能用来描述形状吧?
- 博主回复(2012-8-20 08:05):分形维数用来描述分形的一种几何性质。
- [1]redskywei
- 有趣,期待后续
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