Monday, February 10, 2014

格林函数 通过一个具有筛选特性和齐次边界的特殊电场G实现了对原电场的求解

格林函数的原理作者: 方洋
摘要:
本篇解决的问题是,格林函数的物理意义。为什么用格林函数法能求给定边界电场的电场分布。或者,作为一个特例,为什么格林函数法可解拉普拉斯方程的边值问题。

说明:
以下的行文中将统一采取如下约定:
ψ和φ两个三元函数均处理为电势场。(三维标量场)
▽φ(φ的梯度E):φ的电场分布。(三维矢量场)
2φ(拉普拉斯φ,亦即▽•E):电荷密度分布场ρ(r),在有电荷的地方为ρ,没有电荷的地方值为0。

正文:
格林函数法,电势函数φ在某区域(封闭或开放)内满足拉普拉斯方程(此区域内处处没有电荷),且其边界上的电势值已知为φ|S。则该电势函数在区域内任意一点的值可知并由下式算得。
  
其中G(G1)是另一电势函数,满足
因为,所以G就是1 / 4PiR,表征一个除了位置r’之外都是零的冲击点产生的势场。

黑框公式仅仅通过φ边界上的值就求出了φ在区域内任意点的值。而且,式子中出现了一个看似不着边界的函数G。

以下对格林函数法进行分析,以求解答上述公式可能带来的疑惑。
请看以下格林公式。

两个式子是等价的,函数梯度在和边界法向的内积就是函数在边界上方向导数值。

通过高斯定理的运用,上式提供的信息是:对于φ和ψ两个电势函数,他们体区域内信息总和可以由面上积分来表达。

由于▽2φ=0,所以左式第二项为零。

以下对ψ的选择将是一步高明的处理。
因为由Derta函数的特性,有
所以只要取函数G令 ,再和φ相乘取积分。
则左式中除了参考点r’以外的电势信息均被滤除掉,体积分的结果和φ(r’)的值相等。
(这里要求r’点要在积分区域内。)
接下来,右式要求提供φ和ψ在边界上的值和他们在边界上的方向导数值。此时我们选,通过这样的选择,在边界上,的信息也因和G|S相乘而被滤去。
从而我们通过一个具有筛选特性和齐次边界的特殊电场G实现了对原电场的求解。

特别鸣谢:张志军老师、陈酌老师给予的讲解和启发;何凌冰老师、韩小利老师给予的启蒙。

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