71量子力学1 - 三亿文库
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吗？55现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝屏上出现的 电子说明电 子的粒子性7个电子在观察屏上的图像 100个电子在屏上的图像3000 说明 “一个电子”就具有的波动性2000070000随电子数目增多,在屏上逐 渐形成了衍射图样56实验所揭示的电子的波动性是： 许多电子在同一个实验中的统计结果， 或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。 4）单电子双缝实验1961年J? nsson实验观察到电 子的多缝干涉中子、质子、原子和分子的波动性相继被验证57那么是否以复杂的经典形式通过呢？比如绕过缝1 再回来通过缝2，接着再通过缝1呢？能否说电子以经典粒子身份同时穿过缝1和缝2呢？ （比如说，半个从缝1，半个从缝2）？Which way实验： 在缝后放臵足够强的照明光源,以保证光子和电子 散射效率接近100%，即穿过该缝出来的电子必定伴 随有散射光子。这样探测有无散射光子就可知电子 从哪个缝出来的（whichway实验）。结果是：每个 电子只能穿过一个缝，从未出现半个电子。58电子究竟是粒子还是波？经典波特性：a 非定域（弥散性），及相干迭加性（干涉、 衍射）b 描述波动状态用波函数—某个实际的物理量（例如 声波中的空气压强等）。 经典粒子特性： a定域性（原子性、颗粒性），一定的质量、能量、 动量，电荷等；b 决定论：所有力学量同时有确定值，有明确的轨 道，运动状态由力学量描述。59电子只能像某种经典波，才能同时穿过缝1、2， 产生干涉项。“像”，即不完全等同于经典波。电子是以‘独特’的方式同时穿过双缝的。“独特”：既不同于经典粒子，也不同于经典波。和经典波不完全相同，是说：电子可以在传播途 径上任一点以一定概率探测到（一定质量、电荷、 局域位臵），即以波的行为穿过双缝的电子，同 时还具有粒子性。说不同于经典粒子是：没有确 切的轨道，但保留了粒子性。60微粒的物质波与宏观的机械波（水波，声波） 不同，机械波是介质质点的振动产生的；与电 磁波也不同，电磁波是电场与磁场的振动在空 间的传播。 微粒物质波，能反映微粒出现几率，故也称为 几率波。空间任意一点处微粒物质波的强度与粒子出现 在此处的几率成正比波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的， 在此基础上，Born 提出了波函数意义的统计解释61自由电子波函数 平面波1、自由粒子（v<<c），其能量E和动量p都是常量， 由德布罗意公式：E ? hn ? ??? ? h? p ? n ? ?k波函数为： ? ? A cos[2? ( x ? vt )]l? 2? ? k? nll若波沿单位矢量方向传播，
则应写成? ? A cos[2? (? ? r ?nl? ? ? vt)] ? A cos[k ? r ? ?t ]62量子力学中描写自由粒子的平面波必须用复数 形式（见p28， §2.3），所以? ? Ae自由粒子的平面波?? i ( k ?r ??t )? ? Aei ?? ( p?r ? Et ) ?若自由粒子运动方向取x轴方向，则?( x, t ) ? Aei ( px? Et ) ?63两种错误的看法1. 波由粒子组成 如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。 这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍 射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长， 底片上增加呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不 是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子 就具有波动性。 事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理 解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及 能量量子化这样一些量子现象。 波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而 抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。64 2. 粒子由波组成?2 k 2 E ? ?? ? 2m?vg ?d ? ?k p ? ? ?v dk m m? ?k ? k 2mvp ???电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出 干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小， 波包的群速度即电子的运动速度。 什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。 平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位臵无关。如果粒子由波组成 ，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的， 与实验事实相矛盾。（实验上观测到的电子，总是处 于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超 过原子大小≈1 ? 。） 由德布罗意波组成的粒子必定会色散65电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？ 通过实验表明，电子表现出具有波的性质，而在 位臵测量中又表现出粒子的图象。揭示了电子既有经典粒子的性质，又具经典波的 性质，显示什么样的图象依赖于人们如何观测， 不同的实验造成不同的塌缩。 既不是粒子，也不是经典波；既是粒子又是波； 它是粒子和波动二重性矛盾的统一。 保持粒子的原子性，放弃了轨道确定值、局域 性。保留了波的相干迭加，放弃了实在的物理 量，波幅仅代表概率幅66因此，问电子究竟是粒子还是波，这一问法不恰当。波粒二象性(duality)，电子就是电子本身（哭面孔、 笑面孔；骰子六个方向的不同观测结果） 正确问法：在什么实验条件下表现出波的行为，在 什么实验条件下表现出粒子的行为？ 波动性与粒子性都是电子的属性。
67驻波条件为了克服 Bohr 理论带有人为性质的缺陷， de Broglie 把 原子定态与驻波联系起来，即把粒子能量量子化问题和 有限空间中驻波的波长（或频率）的分立性联系起来。例如：氢原子中作稳定 圆周运动的电子相应的 驻波示意图要求圆周长是 波长的整数倍2?r ? nl代 入n ? 1,2,3, ?de Broglie 关系 rp ? hlh nh n? ? ? ? 2?r 2?r r n于是角动量：L ? rp ? n?n ? 1,2,3, ?68波粒二象性是普遍的结论:宏观粒子也具有波动性 例：m = 0.01kg v = 300m/s 的子弹h h 6.63 ?10?34 l? ? ? ? 2.21?10 m P m? 0.01? 300?34h 太小了使得宏观物 体的波长小得难以测 量宏观物体只表现出 粒子性m大 l?0或说 h ? ?量子物理过渡到经典物理69作业： 1、证明普朗克公式在高频区内化为维恩公式， 在低频区内化为瑞利—金斯公式。 2、由玻尔角动量量子化条件导出氢原子能级公 式En。(受力平衡) 3、粒子波限制在长宽高为a1,a2,a3的箱中运动， E=p2/2μ，试由驻波条件，求粒子能量的分 立值En1n2n3。课后练习：1.1, 1.370 71德布罗意于1923年9月10日在 法国科学院《会议通报》上发表 了有关物质波的第一篇论文《波 和粒子》．在这篇文章中从与粒 子能量相联系的频率n出发，作 了一个大胆的设想，认为“一般 的”物质也具有波粒二象性的性 质，因而提出了物质波的概 念．他认为，一个能量为E，动 量为P的粒子与频率为v和波长为 λ的波相当．仿照爱因斯坦关系， 粒子的能量、动量与相应的频率 和波长的关系为：72这就是德布罗意关系式． 德布罗意在他的理论中主要是提出了物质波的概念 和德布罗意关系式．他的理论确实使人感到耳目一新， 匠心独创．他从物理学最基本的假定出发所作出的类比 推理，其严密性是无懈可击的，而理论的独创性更给人 以深刻的印象．但由于缺乏实验验证，并没有引起人们 的注意．但当德布罗意的导师朗之万（1872—1946） 将德布罗意的博士论文寄给爱因斯坦时，爱因斯坦大加 赞赏，称赞说：“瞧瞧吧，看来疯狂，可真是站得住脚 呢！”并认为他揭开了“自然界巨大面罩的一角”，经 过爱因斯坦的推荐，人们才开始重视对物质波的理论研究和实验验证．
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