【传教】《微分几何入门与广义相对论》梁灿彬、周...
- 小林真TMS
- 吧主11
本帖子是我在阅读这本书过程中的一些摘抄，做了一些稍微亲民的翻译，内容文字和讲解顺序等与原文有出入。
阅读并理解本帖内容需要至少在高中数学和物理必修或以上的水平，小白勿入。
有问题请在楼中楼或者单开帖子提问，我会尽力解说。请尽量避免无意义插楼，谢谢合作。
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粒子分为两类[见 Synge(1956)]：第一类是有(静)质量的粒子，与质点同义；第二类是无(静)质量的粒子，为方便也常称为光子。……狭义相对论的原始表述存在静质量m0，静能E0，运动质量m和总能E四个概念。然而，关系式E=mc^2和E0=m0c^2表明这四个概念中只有两个独立。事实上，近代文献(科普文献除外)中通常只保留质量和能量两个概念，分别为静质量和总能。
物理中经常提到守恒量和不变量，在这里做一个区分：守恒量是指在物理过程中不变的物理量，比如能量等是守恒量而非不变量；不变量是在参考系或坐标系变换等人为变动下不变的量，比如静质量等是不变量而非守恒量。粒子的电荷量等既是守恒量也是不变量。
“事件”在物理学中的概念是实际事件的模型化，不论是否发生了什么，空间的一点和时间的一瞬的结合就叫一个事件(event)。全部事件的集合就是时空(spacetime)，故每个事件也叫一个时空点。将时空这种提法准确化的数学概念是“四维流形”。大多物理学都默认一个基本出发点(基本假设)，即把时空看作四维流形并配以适当的附加结构。非相对论和狭义相对论物理学都假定时空流形是平直的，区别仅在于附加结构的不同，而广义相对论物理学则允许时空为任意四维连通流形(可以发生所谓“时空扭曲”)。
物理中经常提到守恒量和不变量，在这里做一个区分：守恒量是指在物理过程中不变的物理量，比如能量等是守恒量而非不变量；不变量是在参考系或坐标系变换等人为变动下不变的量，比如静质量等是不变量而非守恒量。粒子的电荷量等既是守恒量也是不变量。
“事件”在物理学中的概念是实际事件的模型化，不论是否发生了什么，空间的一点和时间的一瞬的结合就叫一个事件(event)。全部事件的集合就是时空(spacetime)，故每个事件也叫一个时空点。将时空这种提法准确化的数学概念是“四维流形”。大多物理学都默认一个基本出发点(基本假设)，即把时空看作四维流形并配以适当的附加结构。非相对论和狭义相对论物理学都假定时空流形是平直的，区别仅在于附加结构的不同，而广义相对论物理学则允许时空为任意四维连通流形(可以发生所谓“时空扭曲”)。
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狭义相对论的时空是4维闵氏时空，对应数学中的4维闵氏空间。4维闵氏时空有四个相互正交的轴，分别为txyz轴，每一个轴和其他任意轴相互正交，和其他任意两个轴确定的“平面”正交，也和其他任意三个轴确定的“空间”正交。4维闵氏时空的度规为洛伦兹度规，矩阵[-1,1,1,1](为了简化说明，矩阵的性质等暂不深究)。非相对论物理学中，一般认为时空为3维，或称(3+1)维，因为其时空中存在一个绝对的时间维度，与相对论的闵氏时空相比较，这里的时间维与其它三个维度没有那么紧密的联系。这个时空称为欧式时空或者欧式空间，度规为欧式度规，矩阵[1,1,1,1]。当然，欧式空间这个名词在相对论中也可以使用。比如，在相对论的3维表述中，粒子所在的某时刻空间完全可以称为欧式空间。
注意！下述内容在原书中采用几何单位制，光速均取c=1
(本段见图①)相对论物理学中经常使用一种时空图(spacetime diagram)，类似空间坐标系。但时空图要求必须有一个时间轴t轴，通常画成竖直向上的。一般简单问题中，粒子在三个空间方向xyz上并非都有运动，比如匀速直线运动只涉及一个空间维，平原上的汽车只涉及两个空间维，所以可以把不涉及到的运动方向在画图时省略，这样画出的时空图就剩下两个或三个轴。一个粒子的全部历史由一系列时空点组成，因此对应时空中的一条曲线，称为该粒子的世界线(world line)。将世界线画在时空图上(此处使用txy图)后，由于竖直向上代表时间的流逝，水平方向代表空间，每个水平面代表某一时刻的全部空间，从时空图底部向上看，就能看到运动(演化)的全过程。
注意！下述内容在原书中采用几何单位制，光速均取c=1
(本段见图①)相对论物理学中经常使用一种时空图(spacetime diagram)，类似空间坐标系。但时空图要求必须有一个时间轴t轴，通常画成竖直向上的。一般简单问题中，粒子在三个空间方向xyz上并非都有运动，比如匀速直线运动只涉及一个空间维，平原上的汽车只涉及两个空间维，所以可以把不涉及到的运动方向在画图时省略，这样画出的时空图就剩下两个或三个轴。一个粒子的全部历史由一系列时空点组成，因此对应时空中的一条曲线，称为该粒子的世界线(world line)。将世界线画在时空图上(此处使用txy图)后，由于竖直向上代表时间的流逝，水平方向代表空间，每个水平面代表某一时刻的全部空间，从时空图底部向上看，就能看到运动(演化)的全过程。
- 小林真TMS
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狭义相对论中的时空图有一些特殊性质需要注意。
(本段见图②)因为光速取1，所以任何粒子的速率均为小于1的。(此处使用tx图)设有一过坐标原点的粒子M的世界线，其在时空图中的斜率应当介于1到无限大之间，即相对x轴更贴近t轴。由①可知，该粒子的世界线斜率与其速率互为倒数，即k=1/u，此世界线的参数方程是{t=a/u,x=a,y=0,z=0}，其中a为参数，直线的切矢方向同(1/u,1,0,0)。
现在，设有一直线L的参数方程是{t=au,x=a,y=0,z=0}，切矢方向同(u,1,0,0)。我们将两个切矢相乘。看似算式应为(1/u)*u+1*1=2，但注意到洛伦兹度规矩阵为[-1,1,1,1]，所以算式应为-(1/u)*u+1*1=0。如此可知，两切矢在洛伦兹度规下为正交切矢，这样，我们所列出方程的两个直线在洛伦兹度规下是正交的。
注意到在任何一个惯性坐标系中，时间轴总是和x轴正交，并且，每个做惯性运动的粒子，其世界线都是自己参考系中的时间轴。那么可以知道，上述两个方程所代表的直线中，第二个直线的方程应当代表粒子M的x轴。实际上，第二条直线在txy图中可以代表这样一个面：这个平面是粒子M参考系空间中的xy平面。因为时空图压缩掉了z轴，所以图上的这个平面还可以表示粒子M在该时刻所处的空间。由此，我们可以将L记做x'，将M记做t'，这便构成了另一个惯性参考系。
(本段见图②)因为光速取1，所以任何粒子的速率均为小于1的。(此处使用tx图)设有一过坐标原点的粒子M的世界线，其在时空图中的斜率应当介于1到无限大之间，即相对x轴更贴近t轴。由①可知，该粒子的世界线斜率与其速率互为倒数，即k=1/u，此世界线的参数方程是{t=a/u,x=a,y=0,z=0}，其中a为参数，直线的切矢方向同(1/u,1,0,0)。
现在，设有一直线L的参数方程是{t=au,x=a,y=0,z=0}，切矢方向同(u,1,0,0)。我们将两个切矢相乘。看似算式应为(1/u)*u+1*1=2，但注意到洛伦兹度规矩阵为[-1,1,1,1]，所以算式应为-(1/u)*u+1*1=0。如此可知，两切矢在洛伦兹度规下为正交切矢，这样，我们所列出方程的两个直线在洛伦兹度规下是正交的。
注意到在任何一个惯性坐标系中，时间轴总是和x轴正交，并且，每个做惯性运动的粒子，其世界线都是自己参考系中的时间轴。那么可以知道，上述两个方程所代表的直线中，第二个直线的方程应当代表粒子M的x轴。实际上，第二条直线在txy图中可以代表这样一个面：这个平面是粒子M参考系空间中的xy平面。因为时空图压缩掉了z轴，所以图上的这个平面还可以表示粒子M在该时刻所处的空间。由此，我们可以将L记做x'，将M记做t'，这便构成了另一个惯性参考系。
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注意！若无特殊声明，以后的陈述中，β=(1-u^2)^(1/2)。再次强调，我们仍然使用c=1的几何单位制。
设某曲线L为粒子的世界线，p,q分别为L上两相邻点，(t1,x1,y1,z1),(t2,x2,y2,z2)分别为其在某惯性坐标系中坐标。令dt=t1-t2，对dx,dy,dz作相同处理，则粒子在点时相对该参考系的速率定义为u=[(dx^2+dy^2+dz^2)^(1/2)]/dt ①。根据狭义相对论，描述p,q联系的重要物理量是元间隔s，元间隔可借用任一惯性系定义为ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2 ②。联立①②可得ds^2=-(1-u^2)dt^2③。对于任一标准钟来说，在其世界线上任意两点间读数差等于该世界线在这两点间世界线长(这就是标准钟的定义：可以给出世界线长度的钟即为标准钟)，即dτ^2=(1-u^2)dt^2。注意！虽然τ和t看似都定义为“时间”，但实际上并不相同。
(本段见图③)为简化讨论，我们将世界线均取直线，这对应做匀速直线运动的粒子。非匀速运动中需对变量作些处理，但基本思路相同，此处不赘述。当我们选定一惯性系后，设有两粒子世界线A,B，其中A保持静止，B始终做匀速直线运动，则线A重合于t轴，线B与t轴有一夹角。对于粒子A来说，由于dx=dy=dz恒=0 ,所以对任意两点pA1,pA2，均有τA1-τA2=tA1-tA2。由于A是本参考系中的惯性观者，所以可以直接把t轴的读数(任意粒子的t都可作如此计算)差作为该参考系的时间间隔，相应地，τ的差则是该世界线对应粒子认为自己所经历的时间间隔。对于粒子B，τB1-τB2<tB1-tB2，图上还表示为|A1A2|<|B1B2|。这种现象就是钟慢效应，即B认为自己经历的时间τ是小于参考系/粒子A所经历的时间t的。我们将τ称为固有时(proper time)，将t称为坐标时(coordinate time)，惯性系的坐标时又可称为惯性坐标时。注意！固有时在世界线外无定义，而且当两世界线相交时，两固有时可以有不同读数。同时，坐标时的定义实际上不依赖于粒子世界线，唯一的要求是该点处于本时空之内。
注意！上段的钟慢效应有部分细节未交代，详细解说在后文中会出现。
设某曲线L为粒子的世界线，p,q分别为L上两相邻点，(t1,x1,y1,z1),(t2,x2,y2,z2)分别为其在某惯性坐标系中坐标。令dt=t1-t2，对dx,dy,dz作相同处理，则粒子在点时相对该参考系的速率定义为u=[(dx^2+dy^2+dz^2)^(1/2)]/dt ①。根据狭义相对论，描述p,q联系的重要物理量是元间隔s，元间隔可借用任一惯性系定义为ds^2=-dt^2+dx^2+dy^2+dz^2 ②。联立①②可得ds^2=-(1-u^2)dt^2③。对于任一标准钟来说，在其世界线上任意两点间读数差等于该世界线在这两点间世界线长(这就是标准钟的定义：可以给出世界线长度的钟即为标准钟)，即dτ^2=(1-u^2)dt^2。注意！虽然τ和t看似都定义为“时间”，但实际上并不相同。
(本段见图③)为简化讨论，我们将世界线均取直线，这对应做匀速直线运动的粒子。非匀速运动中需对变量作些处理，但基本思路相同，此处不赘述。当我们选定一惯性系后，设有两粒子世界线A,B，其中A保持静止，B始终做匀速直线运动，则线A重合于t轴，线B与t轴有一夹角。对于粒子A来说，由于dx=dy=dz恒=0 ,所以对任意两点pA1,pA2，均有τA1-τA2=tA1-tA2。由于A是本参考系中的惯性观者，所以可以直接把t轴的读数(任意粒子的t都可作如此计算)差作为该参考系的时间间隔，相应地，τ的差则是该世界线对应粒子认为自己所经历的时间间隔。对于粒子B，τB1-τB2<tB1-tB2，图上还表示为|A1A2|<|B1B2|。这种现象就是钟慢效应，即B认为自己经历的时间τ是小于参考系/粒子A所经历的时间t的。我们将τ称为固有时(proper time)，将t称为坐标时(coordinate time)，惯性系的坐标时又可称为惯性坐标时。注意！固有时在世界线外无定义，而且当两世界线相交时，两固有时可以有不同读数。同时，坐标时的定义实际上不依赖于粒子世界线，唯一的要求是该点处于本时空之内。
注意！上段的钟慢效应有部分细节未交代，详细解说在后文中会出现。
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(本段见图④)时空图中的所有曲线分成三类：类时线，类光线，类空线。这三种线的区别在于斜率取值范围的不同。类光线的长度永远是0，斜率为1，画在图上是x轴和t轴(yt或zt也是如此)的平分线；类时线的斜率始终大于1，较xyz轴更贴近t轴，在式②中使得式右端为负值，实际上在计算线长的时候已默认式右端取绝对值；类空线的斜率始终小于1，较为贴近xyz轴，式②中使得右端为正值。由于类空线的斜率小于1，若某粒子沿其运动的速率将大于光速，所以类空线不是任何粒子的世界线，而类时线代表的速率小于1，可以代表质点的世界线，类光线则只能代表光子的世界线。当然在画图的时候也存在斜率在1上下不定的曲线，这种曲线不予考虑其性质(因为其线长无法计算)。
鉴于数学水平不足，这里只简单提及一下曲线的大致性质。虽然我在讲述三种曲线的时候用到了坐标系，但实际上在相对论时空中，三种曲线的定义并不依赖坐标甚至不依赖观者。相对论时空中，这三种曲线的分类是绝对的而非相对，线长也都是绝对量。
由于线长公式具有洛伦兹协变性，可知世界线上任意两点间线长在不同参考系看来有相同线长。这也例证了如下说法：相对论中并非所有物理量均为相对的。实际上，相对论中有很多量都是绝对量，与参考系的选择无关。当使用几何语言明确了有关相对与绝对的区别后，某些佯谬问题便迎刃而解。
鉴于数学水平不足，这里只简单提及一下曲线的大致性质。虽然我在讲述三种曲线的时候用到了坐标系，但实际上在相对论时空中，三种曲线的定义并不依赖坐标甚至不依赖观者。相对论时空中，这三种曲线的分类是绝对的而非相对，线长也都是绝对量。
由于线长公式具有洛伦兹协变性，可知世界线上任意两点间线长在不同参考系看来有相同线长。这也例证了如下说法：相对论中并非所有物理量均为相对的。实际上，相对论中有很多量都是绝对量，与参考系的选择无关。当使用几何语言明确了有关相对与绝对的区别后，某些佯谬问题便迎刃而解。
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下面介绍一种在平直时空中的钟同步方法：大步雷达法。(本段见图⑤)
式②的退化公式式③表明，在同时面上的时空点处于该时刻的欧式空间中。为了研究物理问题方便，我们当然希望同一欧式空间中的钟是有相同读数的。实际上，在相对论中已经默认同一参考系中存在同时时空点组成的欧式空间。该空间在图上被压缩掉一维，画出来为一个面，我们将其称为超曲面；又由于这个超曲面和系内惯性观者世界线正交，所以亦可称为正交超曲面。在平直时空中，只要空间中的全部观者在某一超曲面上的读数相等，则它们在任一超曲面上的读数也将相等。因此同步操作是一劳永逸的，只要在某一时刻将所有观者钟进行同步即可。为了做到这点，我们需要用信号为系内所有观者进行沟通。
按照一般的思维进行考虑，钟同步有如下方法：观者A事先对观者B发出指令，令其在接收到A的信号时把钟调至A发出信号时的读数。实际上由于光速的限制，B在接收到A的信号时，A的钟已经比发出信号时走了一些。于是可知，这种方法不完善，由这种方法获得的“钟同步”是不准的。如果存在速率无限大的信号，则可令其在零时间内完成从观者A出发到达观者B的要求，这样即可完成钟同步，依此类推，系内的所有钟都可以使用这种方法同步。可惜相对论不允许这样的信号存在，于是有必要设计一种(至少在理论上可行的)钟同步方法。
为了叙述方便，我们将“A发出信号”——事件a1、“B接收信号”——事件b、“A回收信号”——事件a2这三个事件记为一个“雷达三点组”。由于光速在平直时空中的绝对相等，又由于光速最大，所以我们仍然考虑使用光信号来进行同步。可以使用如下方法：观者A事先向B发出指令，“你在身上装一面反射镜，当反射镜接收到我的信号时将你的钟调零”，这样，A发出的光信号在到达B时立即反射并最终被A回收。A的读数零点可以这样确定：发出信号的时刻和收回信号的时刻的中间时刻即为读数零点。不难看出，AB两钟的读数零点的连线与两钟世界线均正交。按照这种方法，我们可以在选定一领头观者后使其与系内的所有观者进行同步。将系内所有按这种方法获得的读数零点连线集合起来，组成的面就是该空间的超曲面，该超曲面上的所有观者钟有相同读数。这种方法的的特点是所有信号都要由领头观者发出并回收，称为大步雷达法。
式②的退化公式式③表明，在同时面上的时空点处于该时刻的欧式空间中。为了研究物理问题方便，我们当然希望同一欧式空间中的钟是有相同读数的。实际上，在相对论中已经默认同一参考系中存在同时时空点组成的欧式空间。该空间在图上被压缩掉一维，画出来为一个面，我们将其称为超曲面；又由于这个超曲面和系内惯性观者世界线正交，所以亦可称为正交超曲面。在平直时空中，只要空间中的全部观者在某一超曲面上的读数相等，则它们在任一超曲面上的读数也将相等。因此同步操作是一劳永逸的，只要在某一时刻将所有观者钟进行同步即可。为了做到这点，我们需要用信号为系内所有观者进行沟通。
按照一般的思维进行考虑，钟同步有如下方法：观者A事先对观者B发出指令，令其在接收到A的信号时把钟调至A发出信号时的读数。实际上由于光速的限制，B在接收到A的信号时，A的钟已经比发出信号时走了一些。于是可知，这种方法不完善，由这种方法获得的“钟同步”是不准的。如果存在速率无限大的信号，则可令其在零时间内完成从观者A出发到达观者B的要求，这样即可完成钟同步，依此类推，系内的所有钟都可以使用这种方法同步。可惜相对论不允许这样的信号存在，于是有必要设计一种(至少在理论上可行的)钟同步方法。
为了叙述方便，我们将“A发出信号”——事件a1、“B接收信号”——事件b、“A回收信号”——事件a2这三个事件记为一个“雷达三点组”。由于光速在平直时空中的绝对相等，又由于光速最大，所以我们仍然考虑使用光信号来进行同步。可以使用如下方法：观者A事先向B发出指令，“你在身上装一面反射镜，当反射镜接收到我的信号时将你的钟调零”，这样，A发出的光信号在到达B时立即反射并最终被A回收。A的读数零点可以这样确定：发出信号的时刻和收回信号的时刻的中间时刻即为读数零点。不难看出，AB两钟的读数零点的连线与两钟世界线均正交。按照这种方法，我们可以在选定一领头观者后使其与系内的所有观者进行同步。将系内所有按这种方法获得的读数零点连线集合起来，组成的面就是该空间的超曲面，该超曲面上的所有观者钟有相同读数。这种方法的的特点是所有信号都要由领头观者发出并回收，称为大步雷达法。
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易知代表空间的超曲面上的两点之间的连线为类空线，其长度为两点对应空间点的空间距离。通过画图可以很容易看出，该类空线实际上就是a1a2中点事件和b事件的连线，其长度等于a1a2连线长度的一半。所以大步雷达法还可以起到标准尺的作用(参考标准钟的定义，标准尺的作用是可以给出类空线长度的尺)。实际上月地距离就是用大步雷达法测得的。
经过上述讨论，我们应当树立起一个观念：相对论时空中存在(由参考系运动状况决定的)同时的空间。为了结合时空图时表示方便，可以将代表同时空间的超曲面称为同时面。
在牛顿力学中，时空流形被默认为四维，但其中附加的内禀结构使得牛顿力学中存在一个“绝对同时面”的概念。牛顿力学中的同时面将整个时空分为无数互相平行的层，这组同时面均正交于t轴，而相对论物理学中则有无数组同时面，每组同时面互相平行。实际上，二维时空图中的任意类空线都确定了一组同时面，当然这组同时面是与类空线对应的类时线观者认为的同时面组。
现在我们以牛顿力学的思想，在时空中取任意一个时空点，这个点所在的同时面被认为和该时空点没有因果联系，而在同时面上方的时空则是“未来的”，下面的时空是“过去的”，全部时空的这两个部分和选定的时空点有因果关系。到了相对论中，我们可以以选定时空点为顶点画出光锥(在txy图中就是两个对顶的圆锥，其任意一条母线是xy面与t轴的平分线，两个圆锥关于选定时空点所在的同时面对称)，上方的光锥内部的时空是“未来的”，下方光锥内部的时空是“过去的”，而除此之外的所有时空点(含光锥面上的所有点)与选定时空点无因果联系。可以看出，无因果联系的时空部分在相对论中比牛顿物理学中大得多。
经过上述讨论，我们应当树立起一个观念：相对论时空中存在(由参考系运动状况决定的)同时的空间。为了结合时空图时表示方便，可以将代表同时空间的超曲面称为同时面。
在牛顿力学中，时空流形被默认为四维，但其中附加的内禀结构使得牛顿力学中存在一个“绝对同时面”的概念。牛顿力学中的同时面将整个时空分为无数互相平行的层，这组同时面均正交于t轴，而相对论物理学中则有无数组同时面，每组同时面互相平行。实际上，二维时空图中的任意类空线都确定了一组同时面，当然这组同时面是与类空线对应的类时线观者认为的同时面组。
现在我们以牛顿力学的思想，在时空中取任意一个时空点，这个点所在的同时面被认为和该时空点没有因果联系，而在同时面上方的时空则是“未来的”，下面的时空是“过去的”，全部时空的这两个部分和选定的时空点有因果关系。到了相对论中，我们可以以选定时空点为顶点画出光锥(在txy图中就是两个对顶的圆锥，其任意一条母线是xy面与t轴的平分线，两个圆锥关于选定时空点所在的同时面对称)，上方的光锥内部的时空是“未来的”，下方光锥内部的时空是“过去的”，而除此之外的所有时空点(含光锥面上的所有点)与选定时空点无因果联系。可以看出，无因果联系的时空部分在相对论中比牛顿物理学中大得多。
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典型效应分析：
尺缩效应：(本段见图⑥)
质点在三维语言中是空间的一个点，四维语言中是时空的一条类时线；同理，一把尺子在三维语言中是一条线，四维语言中就是由尺上各质点世界线组成的世界面。乍看在时空图中测量尺长的方法有些不明确：面上的哪条线长才是尺长？对于熟悉四维语言的人来说，尺子从来就不是一维的，它是个二维对象，这是一个绝对的对象，与参考系，坐标系及观者均无关。
为什么尺子在三维语言中却是个一维对象？因为人们习惯在自己的立场中看问题，也就是在自己的欧式空间中测量尺长，而欧式空间是随着观者不同而有所不同的，所以尺长对不同参考系的观者来说一般不等。现选定一基准坐标系，将某一尺子世界面在该坐标系下的方程表示如下(从现在开始，时空图中未涉及到的维度相关的方程将不再列出，在这些维度上的位移应默认为0)：t∈R,x∈(0,oa)。显然这个尺子世界面在基准系中的长度为1。另设一运动观者，世界线参数方程为t=a/u,x=a(a为参数)，则其相对基准系速率为a，与其对应的同时面组方程之一为t=au,x=a。
注意到运动观者的同时面是x'，所以其测得的尺长应为尺子世界面截得的x'上的线段ob。因为基准系认为尺子静止而运动观者认为尺子运动，则两者观测得到的尺子有不同长度，比较两尺长无非就是比较oa和ob的长度。直观看来ob>oa，似乎动尺较长！但注意到时空图使用洛伦兹度规，过点a参照点o做一校准曲线-t^2+x^2=oa^2[本例中使用到的校准曲线是人为划定的一条曲线，在洛伦兹度规下，其线上任意一点与参照点的连线等长，尽管直观上看(即按照欧式度规来看)不等]，则发现oa=oc>ob。
为了定量计算尺缩的程度，我们用基准系中的oab三点的坐标来计算：o(0,0)，a(1,0)，b(1,u)，则可以看出ob^2=(-u^2+1)oa^2，开平方即得到ob=γoa，式子回到我们熟悉的尺缩公式。
由上述讨论我们可以得知，尺缩效应中没有什么“弹性”之类的物理机制在发生作用(根本没有东西实际发生了收缩)，其本质原因是：虽然尺子只有一把(尺子世界面只有一个)，但不同的参考系有不同的同时面，导致它们测到的是不同的一维尺，而不同的一维尺有不同的长度当然不足为怪。尺缩效应无非“盲人摸象”而已。
尺缩效应：(本段见图⑥)
质点在三维语言中是空间的一个点，四维语言中是时空的一条类时线；同理，一把尺子在三维语言中是一条线，四维语言中就是由尺上各质点世界线组成的世界面。乍看在时空图中测量尺长的方法有些不明确：面上的哪条线长才是尺长？对于熟悉四维语言的人来说，尺子从来就不是一维的，它是个二维对象，这是一个绝对的对象，与参考系，坐标系及观者均无关。
为什么尺子在三维语言中却是个一维对象？因为人们习惯在自己的立场中看问题，也就是在自己的欧式空间中测量尺长，而欧式空间是随着观者不同而有所不同的，所以尺长对不同参考系的观者来说一般不等。现选定一基准坐标系，将某一尺子世界面在该坐标系下的方程表示如下(从现在开始，时空图中未涉及到的维度相关的方程将不再列出，在这些维度上的位移应默认为0)：t∈R,x∈(0,oa)。显然这个尺子世界面在基准系中的长度为1。另设一运动观者，世界线参数方程为t=a/u,x=a(a为参数)，则其相对基准系速率为a，与其对应的同时面组方程之一为t=au,x=a。
注意到运动观者的同时面是x'，所以其测得的尺长应为尺子世界面截得的x'上的线段ob。因为基准系认为尺子静止而运动观者认为尺子运动，则两者观测得到的尺子有不同长度，比较两尺长无非就是比较oa和ob的长度。直观看来ob>oa，似乎动尺较长！但注意到时空图使用洛伦兹度规，过点a参照点o做一校准曲线-t^2+x^2=oa^2[本例中使用到的校准曲线是人为划定的一条曲线，在洛伦兹度规下，其线上任意一点与参照点的连线等长，尽管直观上看(即按照欧式度规来看)不等]，则发现oa=oc>ob。
为了定量计算尺缩的程度，我们用基准系中的oab三点的坐标来计算：o(0,0)，a(1,0)，b(1,u)，则可以看出ob^2=(-u^2+1)oa^2，开平方即得到ob=γoa，式子回到我们熟悉的尺缩公式。
由上述讨论我们可以得知，尺缩效应中没有什么“弹性”之类的物理机制在发生作用(根本没有东西实际发生了收缩)，其本质原因是：虽然尺子只有一把(尺子世界面只有一个)，但不同的参考系有不同的同时面，导致它们测到的是不同的一维尺，而不同的一维尺有不同的长度当然不足为怪。尺缩效应无非“盲人摸象”而已。
就是物理对象本身没有发生改变
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钟慢效应：
(本段见图⑦)与上例同样地，我们选定一基准系，其中放置两个钟A和B，AB之间距离为oa，两钟均相对基准系静止，实验前经过大步雷达对钟。另一钟C从A处运动到B，图上表示为从事件o到事件c，且C在o处也指零。现在若要观察钟慢效应，只需比较ob和oc的长度(世界线长即标准钟读数差)。直观看来仍有oc>ob，但但过点b参照点o做一校准曲线，则容易看出ob=od>oc，即C钟在AB两钟所在参考系看来变慢。
钟慢的程度可以用如下方式计算：设C的世界线参数方程为t=a/u,x=a(a为参数)，容易看出c的时空坐标为(oa/u,oa)，则b坐标为(oa/u,0)，可以列出式ob^2(1-u^2)=oc^2，开方并移项可得oc=βob，这就是我们熟悉的钟慢公式。
(本段见图⑦)与上例同样地，我们选定一基准系，其中放置两个钟A和B，AB之间距离为oa，两钟均相对基准系静止，实验前经过大步雷达对钟。另一钟C从A处运动到B，图上表示为从事件o到事件c，且C在o处也指零。现在若要观察钟慢效应，只需比较ob和oc的长度(世界线长即标准钟读数差)。直观看来仍有oc>ob，但但过点b参照点o做一校准曲线，则容易看出ob=od>oc，即C钟在AB两钟所在参考系看来变慢。
钟慢的程度可以用如下方式计算：设C的世界线参数方程为t=a/u,x=a(a为参数)，容易看出c的时空坐标为(oa/u,oa)，则b坐标为(oa/u,0)，可以列出式ob^2(1-u^2)=oc^2，开方并移项可得oc=βob，这就是我们熟悉的钟慢公式。
- 小林真TMS
- 吧主11
(本段见图⑧)因为相对论中结论的相对性，我们应当验证一下，在C钟看来AB两钟的走时情况。将上一时空图稍作修改，在其中添加上与C钟对应的两个同时面，观察此图可发现，在C钟看来AB两钟的读数零点并不同步，即在A中读数为0时B钟读数已是ab(B钟做了偷跑)，故比较BC读数时应当比较的是bd和od的长度。过点d参照点o做校准曲线交t轴于e，可以看出od=oe>oc=bd，得出的结论是相同的——AB两钟在C看来走时变慢。我们仍然可以使用AB参考系中的时空坐标来计算有关线长，得出的公式仍为oc=βob。
以上讨论表明，同尺缩效应中没有任何东西发生了收缩一样，钟慢效应中也没有任何钟的走时率变慢(都坚持标准钟的走时率，即世界线长度等于读数差)。
应该注意的是，不同惯性系的钟之间可以使用很多不同的比钟方式，上述方式虽然为人们所熟知，但并非是唯一的比钟方式。我们熟知的钟慢公式也只不过是上述比钟方式造成的必然结果而已。AB两钟是同一惯性系内事先经过同步的钟，如果缺少其中之一，虽然同样可以从图中明确世界线长关系，却无从得出“A觉得C钟慢”的结论，关键在于“觉得”两字无从谈起。对于图⑧，事件d不在A的世界线上，A钟对该处的C钟不能直接获得任何信息，唯一的方法只接收来自点d的光信号(或者其他信号)，而这就涉及到信号传递需要时间的问题(不是不能这样做，而是这样做时必须考虑这个问题)。其实，利用B联合A得出“C钟较慢”的结论时就已经巧妙地发挥了光信号的信息传递作用，因为在把AB同步的过程中已经用到了光信号。总之，如果缺少了B钟，AC两钟就无法用上述方式比钟，或者说上述比钟方式没有意义。
以上讨论表明，同尺缩效应中没有任何东西发生了收缩一样，钟慢效应中也没有任何钟的走时率变慢(都坚持标准钟的走时率，即世界线长度等于读数差)。
应该注意的是，不同惯性系的钟之间可以使用很多不同的比钟方式，上述方式虽然为人们所熟知，但并非是唯一的比钟方式。我们熟知的钟慢公式也只不过是上述比钟方式造成的必然结果而已。AB两钟是同一惯性系内事先经过同步的钟，如果缺少其中之一，虽然同样可以从图中明确世界线长关系，却无从得出“A觉得C钟慢”的结论，关键在于“觉得”两字无从谈起。对于图⑧，事件d不在A的世界线上，A钟对该处的C钟不能直接获得任何信息，唯一的方法只接收来自点d的光信号(或者其他信号)，而这就涉及到信号传递需要时间的问题(不是不能这样做，而是这样做时必须考虑这个问题)。其实，利用B联合A得出“C钟较慢”的结论时就已经巧妙地发挥了光信号的信息传递作用，因为在把AB同步的过程中已经用到了光信号。总之，如果缺少了B钟，AC两钟就无法用上述方式比钟，或者说上述比钟方式没有意义。
- 小林真TMS
- 吧主11
双子佯谬：
图中甲的世界线与t轴重合，表示甲呆在家中不动；乙的世界线为曲线/折线，它是非测地线表明其做非惯性运动。已知两人分手时年龄相等，问重逢时年龄还是否相等？若不等，孰大孰小？这无非是比较甲乙二人在“分手”“重逢”两个事件之间的世界线长度大小，因为世界线长代表固有时，也就是本人的时间流动(年龄增长)。之前我们证明过闵氏时空中测地线为两点之间连线最长者，很容易得出“重逢时甲的年龄大于乙的”结论。
以上就是双子效应的实质内容。问题本来就如此简单，但是人们在相对论发展的过程中对有关问题缺乏深刻认识，双子效应在一段时间之内竟被视为悖论(paradox)，对此的争论竟迟至1957~1958年又掀高峰(虽然若干有识之士已经对此问题有清晰理解)，有关文章竟发表在《Nature》《Science》《Discovery》等重要刊物上。争论双方以物理学家McCrea和物理学家兼哲学家Dingle为代表人物。Dingle认为，相对论中一切都是相对的，因此双子重逢时应有相同年龄；McCrea针锋相对指出，相对论并不认为一切都是相对的，甲没有加速度而乙有，正是这一区别导致了重逢时年龄不同。随着研究的深入，特别是几何语言的引进，国际相对论节对双子效应已经有了如上段所述的共识。应该特别强调的是，许多人顾名思义地以为相对论中一切都是相对的，这是一种极为有害的误解。
双子效应已经在1971年被实验所证实，当然不是对人而是对铯原子钟。
图中甲的世界线与t轴重合，表示甲呆在家中不动；乙的世界线为曲线/折线，它是非测地线表明其做非惯性运动。已知两人分手时年龄相等，问重逢时年龄还是否相等？若不等，孰大孰小？这无非是比较甲乙二人在“分手”“重逢”两个事件之间的世界线长度大小，因为世界线长代表固有时，也就是本人的时间流动(年龄增长)。之前我们证明过闵氏时空中测地线为两点之间连线最长者，很容易得出“重逢时甲的年龄大于乙的”结论。
以上就是双子效应的实质内容。问题本来就如此简单，但是人们在相对论发展的过程中对有关问题缺乏深刻认识，双子效应在一段时间之内竟被视为悖论(paradox)，对此的争论竟迟至1957~1958年又掀高峰(虽然若干有识之士已经对此问题有清晰理解)，有关文章竟发表在《Nature》《Science》《Discovery》等重要刊物上。争论双方以物理学家McCrea和物理学家兼哲学家Dingle为代表人物。Dingle认为，相对论中一切都是相对的，因此双子重逢时应有相同年龄；McCrea针锋相对指出，相对论并不认为一切都是相对的，甲没有加速度而乙有，正是这一区别导致了重逢时年龄不同。随着研究的深入，特别是几何语言的引进，国际相对论节对双子效应已经有了如上段所述的共识。应该特别强调的是，许多人顾名思义地以为相对论中一切都是相对的，这是一种极为有害的误解。
双子效应已经在1971年被实验所证实，当然不是对人而是对铯原子钟。
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下面回答几个有关双子效应的疑问：
问①：钟慢效应的结论对双方是平等的，你所举的钟慢效应前两图中得出的结论就是AB和C互相认为对方比自己慢，为什么双子效应对甲乙两人的结论就不平等？
答①：因为两种效应的前提不同。在钟慢效应中，ABC三钟都做惯性运动，由于惯性系平权，结论自然对双方平等，但在双子效应中乙不做惯性运动(世界线非测地线)，否则分手之后不会重逢。这个前提本身就确立了双方的不平等地位，结论自然是一边倒的。
问②：双子效应的结论有这样的表述“做加速运动的兄弟较为年轻”，但加速度是相对的，甲乙互相认为对方又加速度，这样乙是否应当认为甲更年轻？
答②：加速度有三维加速度(3加速)与四维加速度(4加速)之分，前者是相对的而后者是绝对的(与观者、参考系、坐标系等人为选择的因素无关)。而惯性运动和非惯性运动的概念也都是绝对的：粒子做惯性运动，当且仅当其世界线为测地线(仍与人为因素无关)。当把“加速运动”作为“非惯性运动”的同义词时，应当把“加速”理解为4加速。因此问②中的表述应当改为“有4加速的兄弟较为年轻”。无论什么观者看甲都不会说甲有4加速，因此不再出现问题。物理学家早已形成习惯，在3维语言中提到加速度而不指明相对的参考系时，都默认相对惯性系。在这种默契下，“做加速运动的兄弟较为年轻”和“电荷当且仅当在加速运动时产生辐射”等说法就都是正确的。
问③：常听说双子效应属于广义相对论范畴，只用狭义相对论讲不清楚，是吗？
答③：不是的，本段在一开始的时候就已经使用狭义相对论进行了清晰的讲述。认为双子效应涉及广义论的一个原因是：有些人为了计算乙的固有时而选择了乙自己为观者的参考系，这个参考系是非惯性系，而他们以为只要涉及到非惯性系就属于广义论范畴。物理学家对此的回答是：乙的固有时就是其世界线长，这是个与参考系无关的量，根本没必要自找麻烦地用非惯性系计算；退一万步说，就算有人愿意用非惯性系来计算，这同样与广义论无关。应当明确广义论与狭义论的划界标准：起初人们爱用参考系来划界，认为只要涉及非惯性系就涉及广义论，后来认识到用绝对的(与人为因素无关的)时空几何来划界会自然(而且优雅)得多。现在国际物理学界的统一标准是：凡以闵氏时空为背景时空的物理问题都属于狭义论范畴，而广义论的时空必然是存在弯曲的。讨论任何问题时，一个非常重要但却往往被人忽视的步骤是事先约定背景时空，双子效应的背景时空默认为闵氏时空，因此属于狭义论范畴而非广义论(除非约定时空不是平直的，这等价于引力场不可忽略)。不幸的是有些人甚至走得更远，他们在用几何语言分析问题时发现乙参考系的一个特征量(克氏符)非零，便认为加速运动可以造成时空弯曲，其实闵氏度规在非惯性系的克氏符非零很正常(当然惯性系中的克氏符必然为零)。另一个类似的热门问题是“爱因斯坦转盘”，也常被误认为涉及广义论，其实在讨论该问题时也已经默认整个现象发生在闵氏时空中，因此也属于狭义论范畴。几何语言分析这个问题是十分简洁的，但它比双子效应复杂。后文会有解释。
问①：钟慢效应的结论对双方是平等的，你所举的钟慢效应前两图中得出的结论就是AB和C互相认为对方比自己慢，为什么双子效应对甲乙两人的结论就不平等？
答①：因为两种效应的前提不同。在钟慢效应中，ABC三钟都做惯性运动，由于惯性系平权，结论自然对双方平等，但在双子效应中乙不做惯性运动(世界线非测地线)，否则分手之后不会重逢。这个前提本身就确立了双方的不平等地位，结论自然是一边倒的。
问②：双子效应的结论有这样的表述“做加速运动的兄弟较为年轻”，但加速度是相对的，甲乙互相认为对方又加速度，这样乙是否应当认为甲更年轻？
答②：加速度有三维加速度(3加速)与四维加速度(4加速)之分，前者是相对的而后者是绝对的(与观者、参考系、坐标系等人为选择的因素无关)。而惯性运动和非惯性运动的概念也都是绝对的：粒子做惯性运动，当且仅当其世界线为测地线(仍与人为因素无关)。当把“加速运动”作为“非惯性运动”的同义词时，应当把“加速”理解为4加速。因此问②中的表述应当改为“有4加速的兄弟较为年轻”。无论什么观者看甲都不会说甲有4加速，因此不再出现问题。物理学家早已形成习惯，在3维语言中提到加速度而不指明相对的参考系时，都默认相对惯性系。在这种默契下，“做加速运动的兄弟较为年轻”和“电荷当且仅当在加速运动时产生辐射”等说法就都是正确的。
问③：常听说双子效应属于广义相对论范畴，只用狭义相对论讲不清楚，是吗？
答③：不是的，本段在一开始的时候就已经使用狭义相对论进行了清晰的讲述。认为双子效应涉及广义论的一个原因是：有些人为了计算乙的固有时而选择了乙自己为观者的参考系，这个参考系是非惯性系，而他们以为只要涉及到非惯性系就属于广义论范畴。物理学家对此的回答是：乙的固有时就是其世界线长，这是个与参考系无关的量，根本没必要自找麻烦地用非惯性系计算；退一万步说，就算有人愿意用非惯性系来计算，这同样与广义论无关。应当明确广义论与狭义论的划界标准：起初人们爱用参考系来划界，认为只要涉及非惯性系就涉及广义论，后来认识到用绝对的(与人为因素无关的)时空几何来划界会自然(而且优雅)得多。现在国际物理学界的统一标准是：凡以闵氏时空为背景时空的物理问题都属于狭义论范畴，而广义论的时空必然是存在弯曲的。讨论任何问题时，一个非常重要但却往往被人忽视的步骤是事先约定背景时空，双子效应的背景时空默认为闵氏时空，因此属于狭义论范畴而非广义论(除非约定时空不是平直的，这等价于引力场不可忽略)。不幸的是有些人甚至走得更远，他们在用几何语言分析问题时发现乙参考系的一个特征量(克氏符)非零，便认为加速运动可以造成时空弯曲，其实闵氏度规在非惯性系的克氏符非零很正常(当然惯性系中的克氏符必然为零)。另一个类似的热门问题是“爱因斯坦转盘”，也常被误认为涉及广义论，其实在讨论该问题时也已经默认整个现象发生在闵氏时空中，因此也属于狭义论范畴。几何语言分析这个问题是十分简洁的，但它比双子效应复杂。后文会有解释。
- 小林真TMS
- 吧主11
车库佯谬：
现有静长均为l的汽车和车库，汽车匀速向车库中驶入。在司机看来，动库变短，车放不下，司库看来，动车变短，放下有余。司机的想法对吗？司库的想法对吗？用时空图可以明确地表示出这种物理情形。
现在假设车库并无后墙，其“后墙”只是一条画在地上的直线。图中oa为车静长，ob为司机看到的库长；oc为库静长，od为司库看到的车长。很容易看出，司库的看法是对的，司机的想法也是对的(都以自己的参考系为参考)，关键是同时的相对性导致结论的相对性，正如尺缩效应中不允许问“到底哪一把尺子较长”一样(尺子都是同一把尺子/同一个尺子世界面)，车库佯谬中也不允许问这样的问题“到底放得下还是放不下”，结论的相对性导致这种绝对化的问题没有意义。
车库有坚硬后墙的情形则要麻烦一些，基本原则是(假设后墙和车本身都是绝对刚性的)：车头撞墙(因而停止前进)的信息传递到车尾需要时间，只有当车尾获悉此信息之后才能停止前进，因此汽车将被压缩到的确在库中装下有余的程度(谁看都装得下)。有兴趣的读者不妨画出这种情形的时空图，试着求一下车被压缩后的新长。
现有静长均为l的汽车和车库，汽车匀速向车库中驶入。在司机看来，动库变短，车放不下，司库看来，动车变短，放下有余。司机的想法对吗？司库的想法对吗？用时空图可以明确地表示出这种物理情形。
现在假设车库并无后墙，其“后墙”只是一条画在地上的直线。图中oa为车静长，ob为司机看到的库长；oc为库静长，od为司库看到的车长。很容易看出，司库的看法是对的，司机的想法也是对的(都以自己的参考系为参考)，关键是同时的相对性导致结论的相对性，正如尺缩效应中不允许问“到底哪一把尺子较长”一样(尺子都是同一把尺子/同一个尺子世界面)，车库佯谬中也不允许问这样的问题“到底放得下还是放不下”，结论的相对性导致这种绝对化的问题没有意义。
车库有坚硬后墙的情形则要麻烦一些，基本原则是(假设后墙和车本身都是绝对刚性的)：车头撞墙(因而停止前进)的信息传递到车尾需要时间，只有当车尾获悉此信息之后才能停止前进，因此汽车将被压缩到的确在库中装下有余的程度(谁看都装得下)。有兴趣的读者不妨画出这种情形的时空图，试着求一下车被压缩后的新长。
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