tensor01 協變與反協變並無關聯，它們的內積是不變量

http://163.13.111.54/fundamentals_of_math_phys/unit-07_Tensor__metric_n_geodesics.html

張量：測度 與 測地線

線段元素與測度張量

如何定 (小線段) 長度？
磐古開天（大霹靂、宇宙膨脹），如何想像？
（不是至大無外，至小無內嗎？所有東西的全體既稱為宇宙，則怎麼還能分大小？氣球上畫點的比喻，也無法真正解釋星球之間變遠，因為尺的刻度也隨氣球同步變大。）

（重要）討論至目前為止，協變與反協變並無關聯，除了一點，即從定義來看，它們的內積是不變量，證明如下 (課本印錯：下式中所有 A^β 應作 B^β ，最後 A^α 應作 B^α)：

（還好，這套數學至少內建了不變量。）

現在，我們要定義長度：
先看熟悉的例子
卡氏座標

（上式是畢氏定理）

球座標

將此形式推廣，至任意（線性轉換）下的座標

其中 g_μν 是矩陣，叫 metric tensor ，其在卡氏座標 及 球座標 中的形式分別為

( metric tensor 個元素可由 基底向量各自內積得到 )

g_μν 真的是個張量，證明如下：

（上式第一個與第二個等號之間，應採下式等號右邊表法較妥，但也不算印錯。）




有了g_μν後，contravariant 及 covriant 之間便有特定關係

反解上式可求 g_μν的反矩陣 [g_μν]^-1，使有g^μν

並且由

可證


思考：我們定義了測度張量 g_μν，它有什麼用？

 

關聯性 (associated) 張量

在此 associated 應翻譯作 關聯 而非 附屬，如 Associated Momory 關聯性記憶。

問題： g_αβ A^β  為什麼要叫作是 A_α  ，而不是任意名稱的 B_α ？ （提示：長度）


 

黎曼空間裏的測地線

（黎曼幾何簡介 http://comet.lehman.cuny.edu/sormani/research/riemgeom.html）
前面也曾提到過，弧長的定義如下：

（最右邊之型式，是使用參數 t 的結果）

問，兩點間最短的路徑是不是一條直線？（想想地球儀以及地圖上的航線圖。）

問在一個彎曲的空間中，長度最短的路徑，是滿足怎麼的方程式？
（答案將會是點集合，因此一定是用方程式來寫出。）

求弧長極值（即極小，想也知不可能有極大）

Γ^α_βγ 出現在測地線方程式中，以下推導，從弧長極值之條件出發

此式之證明在課本習題及變分學章節，先採用

將上極值條件式之各部分分寫開，有

註：上式微分過程中，x^α 與 d/dt (x^α) (即 x-dot) 視為兩獨立變數，這是因為參數 t 也是任意的。

以及用上了

則原極值條件式成為

也可表為

我們藉由以下的關係式

可將原式簡化為


若使用弧長作為參數　即 有

其中已先定義，Γ_αβγ，叫做克里斯多菲爾符號第一型（三個協變指標）

上面以弧長為參數所表示出測地線方程上式， 乘上 g^μν （並縮約），得

其中

叫做克里斯多菲爾符號第二型（一個反協變、二個協變指標）。如此得到一個型式精簡的測地線方程式。
在平坦空間的情況，Γ^α_βγ= 0，故原式簡化成為
d² x^ρ/ ds² = 0
其通解，顯而易見地，為一直線
x^ρ  = a_ρ s + b_ρ

值得注意的一點是，克里斯多菲爾符號 不是 一個張量，其座標變換規則為：


 

隨堂測驗

一、協變與反協變張量的內積，在座標變換下是不變的，試證明之。
二、證明 測度矩陣 是一個張量。