- mingda1986
- 讲师8
我们生活在什么空间里？答案显而易见，当然是三维空间啦！空间解析几何告诉我们，在这个空间里，我们的位置，可以用三维空间的点坐标 (x,y, z)来表示，其中x, y, z都是实数，也就是说，我们生活在一个三维实空间。如果你肯更进一步，引入时间算作为第四个维度，把四维的坐标——时空里的一个点写成 (t,x, y, z)，我们就生活在四维的时空里。
进入现代物理的第一步，就是拓展空间这个概念。
从点粒子系统开始
拓展空间的概念，这有些奇怪，因为三维空间描述日常生活，并无不适；看地图的时候，二维坐标 (x,y)已然绰绰有余。难道除了这个三维空间（或者加上时间的四维空间），我们还需要什么别的空间来描述物理吗？
当然需要。假设我们要描述点粒子系统——系统由点粒子构成。在开始描述这个系统之前，先解释一下为什么要描述点粒子系统。毕竟，实际的事物，大到车水马龙，小到原子分子，都有有限大小，为什么仍用没有大小的“点”来描述物理系统呢？
其实，物理的精髓在于近似的描述自然。如果点粒子的抽象图像抓住了事物的实质，我们就大可放心用点粒子来描述。
比如我们要描述一个小汽车的减速过程，见下图1-1。小车的减速，可以被质点的减速等效的模拟——质点的位置在于车的重心，质量恰为车重。在这个情形下，我们就可以用
F =ma 来描述小车的减速，尽管牛顿定律只是针对抽象的点粒子的质点力学。
除了减速外，如果小车在减速的过程中打滑，车头偏转，质点的概念就不够了。这是由于对于一个无大小，无体积的理想化质点，偏转不造成质点的变化；只有有限的体积才能看出来的确发生过偏转。
图1-1 无大小的质点和有体积的小车的减速过程，用蓝色的箭头表示。箭头长度表示速率，理想化的质点等效的和小车做同样的减速运动。然而，小车的打滑（绿色箭头）却不能用质点来描述——旋转前后的质点没有任何不同。实际上，旋转需要用“刚体力学”来描述，作为描述质点的“牛顿力学”的延伸。
我们喜欢从简单开始，然后逐渐的推广到复杂的系统。因此，如前所述，我们就先开始描述一个点粒子的系统，观察每个粒子的运动。
动量空间——一个不是三维实空间的例子
在三维实空间里，一个点粒子系统的每个粒子的有坐标(x, y, z)，或者把这个坐标，看成是向量的三个分量，写成向量r。然而，这对于描述运动的粒子是不够的——除了位置，我们还想要知道粒子的速度，或者说动量 p。对一个N粒子系统，它的坐标为**(r1,r2,..rN)，表示粒子1处在坐标r1上，粒子2处在r2上，... ，粒子N处在坐标rN上；而动量的**为(p1,p2, .., pN)，即第k个粒子的动量为pk。
就这样，我们得到了一个新的空间。在这个新空间里，我们并不关心粒子的坐标是多少，只关心它具有多少动量。这就是动量空间。
为什么需要这个空间呢？考虑如下场景。现在我们有一升的理想气体，盛在封闭容器里，里面大约有10^22个气体原子。我们不写出每个原子的位置，只知道它们在容器里均匀分布，也就是有一恒定密度[在这里我们不考虑热力学涨落的问题]。
真正有趣的事情发生在动量空间。虽然在实空间里粒子密度均匀，但并非所有粒子都具有一样的速率。我们做不到跟踪每个粒子速率，但是我们可以写出它们的速率的分布。类比在实空间里的密度概念，我们可以把这个分布理解为速率的密度。速率密度大的地方，就表示处于这段速率的粒子数目多。
我们甚至可以写出数学式子。头疼数学的话，请少安毋躁，因为这个式子非常重要。对于大量的，质量为m的气体粒子，在温度T时，速率的分布函数可以写成
(1)所谓速率的分布函数，就是在不同速率处的粒子出现的相对可能大小，即概率分布。也就是说，不论粒子总数是多少，具有不同速率的粒子的相对比例是不变的。
这是一件神奇的事情！在一定温度下，我们有10^22个粒子，它们互相“不认识”彼此，近乎独立的存在于小容器里，仅仅时而互相碰撞。按理说，一个粒子的速率，应该与另一个粒子速率没有关系——同样温度下，所有粒子的速率都相等看起来更合理。但事实上，就整体而言，我们可以说出哪些速率的粒子相对较多，哪些速率的粒子较少！这个速率的概率分布函数，就是大名鼎鼎的麦克斯韦——玻尔兹曼分布。
为了对麦玻分布有更多直观理解，我们把He, O2和Ar气体的速率分布函数画在一张图上，如1-2。这里顺带强调一下读图的重要性。在中学时代我们不常看图和看实验，其实，实验是物理学的最高法院。再优美的理论也要通过实验的检验。实验的结果可以用图来清晰表达。也许读图一开始不习惯，但也不是没有规律可循。我们先看图的横轴，纵轴分别是什么，知道它要说明的是哪两个物理量的关系。下图即速率和分布的关系：某速率(X轴)对应的分布越高（Y值越大），处在该速率附近的粒子越多（我们不关心绝对数目，但是能清楚的知道相对多少）。一张图上往往有多个曲线，需要注意曲线之间的差异，用图例来表述。这里不同的曲线即不同的粒子质量。
图1-2 He,O2和Ar三种气体的速率分布函数。从图上我们看出分布随着速率先增大，后减小；其极大值随着粒子质量减小而增加。注意三个函数都是归一化的，也就是图下方包含的面积为一。
从图上，我们可以看出几个特征：
1）He的速率分布整体落在在Ar和O2的右侧，且峰值处的速率更高（～1200m/s）。He具有相对较大的速率，这不难理解：He较轻，所以运动的比较快。
2）相比之下，由于Ar和O2的质量相近，所以它们的速率分布也相差不多。实际上Ar比O2略重，所以分布的最大值略小。
3）He在速率较高的1km/s到3km/s都有分布，而Ar和He已经几乎没有速率在这段范围的分布，而是集中在500m/s附近。不论哪种气体，在速率过高和过低处，分布都减少。也就是说，我们几乎找不到速率接近于零的气体粒子（分子或原子），也几乎找不到速率很高的粒子。
这样，我们从图上直观的看到动量空间的意义。实空间并没有抓住气体的全部性质。只有当我们进入动量空间时，才发现，实空间里密度均匀的气体，在动量空间来看，速率非但不相同，还符合了一个优美的函数。
在上面过程里，我们不关心粒子的数目，只关心相对权重。这好比一个简单的投硬币例子，我们最终只关心正面和反面各占多少，而不管总投掷的次数。事实上，根据概率论里的大数定律，当投掷次数足够多的时候，正面和反面的概率才会接近于1/2。类比之，在这里，我们只关心速率的分布；如果粒子数目足够多，速率分布就接近于麦玻分布。
电子的自旋
对于电子，我们已经有些了解，知道它带一个单位的负电荷，与带电体发生Coulomb相互作用。除了带电这一属性，电子的另外一个内在属性就是自旋。
自旋是一个非常重要的概念，是本书的基础。作为一个纯量子力学概念，自旋和生活中的直观经验并不符合。为了理解自旋，我们把它与一些熟悉的事物作类比。
a)自旋与地球自转
自旋，顾名思义，“绕着自己旋转”。电子也在绕着自己转动，就好象地球自转一样。但是这有本质的不同。地球自转，是绕着固定的地轴旋转，而电子自旋，作为一种内秉的对称性，其轴是不确定的。当我们想知道这个旋转轴的方向，从某个角度看过去的时候，自旋的“旋转轴”，就总是垂直于我们观测的方向[注]。
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- mingda1986: 回复 湮灭滴流星 :请另行查询“概率分布”的意思，离散的概率像硬币1/2，骰子1/6，加起来为1，这里是连续的情况。分布的曲线与x轴围成的总面积为1，即总概率为1。2012-12-10 13:47 回复
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我们可以把旋转轴看作一个向量，它有大小，表示旋转的强弱，也有方向，是绕轴旋转的方向。对于一个来说，当我们从不同方向去看它的时候，我们看到的是它在视角上方向上的投影，见下图1-3。
图1-3 观察地轴投影。我们看到的是向量在这个方向上的投影，长度为Lcos(theta)，其中L为向量的长度，theta为向量方向与观察方向的夹角。显然，当我们平行与地轴的方向看过去时，投影为零，但当我们垂直看过去时，投影最大。
如果我们把自旋的轴也当作向量，对电子做同样的“观测”，则会发现，无论我们从何种角度看过去，电子自旋的轴（以下简称自旋）在各个方向上，投影大小都相同——它们都一样长！(见图1-4) 此外，自旋向量的方向，在每个视角看去，都有两个选择，彼此反平行。但是一次观测中，只能看到一种选择，或是朝“上”，或是朝“下”。具体哪个指向被观察到，对于一束非极化的电子（没有故意保留一个指向的电子而剔除掉另外一个指向），是完全随机的。
因为向量的投影大小随着视角的方向变化，而自旋的投影却保持不变，所以把电子自旋当作通常意义上的向量是不恰当的。实际上，它是向量算子，代表着一类和向量有相同变换规律的运算。即便如此，在很多情形下，我们就用通常意义上的向量（经典向量），来近似的描述电子自旋的性质。
图1-4 与观测地轴投影不同，自旋的“轴”在不同方向的投影大小相同。在任一视角上，其投影方向有两种选择，或“上”或“下”。
地球的自转轴的长度，随着自转快慢而变长变短，而电子的自旋的“长度”，是一个固定的值，与外界任何条件都无关，就像它的电荷数是定值一样。从这一点我们也可以看出，自旋是电子的内在属性。
b) 自旋与翻硬币
搞清楚自旋与地球自转的区别之后，自旋的故事似乎结束了。然而，真正的有趣尚未开始。
在上面的例子里，我们看到，每次对于自旋的观测，都能得到或“上”或下的结果。而且，对于一束没有特别安排自旋方向的电子，其结果是随机的。这很像翻硬币过程——同样都是输出两个结果，而且输出哪个是随机的。
但这和翻硬币有本质的不同。为了说明这个不同，先推广空间的概念：
对于一个物理过程，所有可能物理状态的**就叫做空间。比如三维实空间，一个“状态”就意味着粒子处在一个三维坐标上。
对于翻硬币过程，所有可能结果即正面和反面，非正即反[忽略零测度的],根据以上空间的定义，{正，反}这两个状态，构成了这个空间有且仅有的两个元素。我们管“正”“反”叫做这个空间的“态”，那么结果的**{正，反}就定义了一个态空间。
这有何神奇的呢？只要再外加一个看似不起眼原理，就能完完全全的改变它的性质，得它们成为量子力学的空间。这个原理叫做叠加原理，就是说，如果“正面”和“反面”是空间里的态，那么它们的任意线性叠加也是该空间的态。薛定谔的猫，亦死亦活，就是这个意思。如果“死”是空间里的一个态，“活”是空间里的另一个态，那么“死+活”的又死又活态也是该空间的一个态。也许这看似不可思议，但这正是量子力学的神奇之处；在非量子的经典空间1，如翻硬币的空间或者猫的死活的空间，没有亦正亦反的态，但是如果是量子力学的硬币，或量子力学里的猫，那么允许这种又死又活的猫，或者又正又反的硬币的叠加态的存在。
图1-5 叠加态的概念。
这样，如果把电子自旋朝“↑”看作硬币正面，自旋朝“↓”看作硬币反面，“↓”和“↑”，即观察自旋后，看到的态，如同硬币翻之后得到正反面一样。在物理上，我们把态写在尖括号里，即|↑>和|↓>。对于经典的硬币，其态空间里仅有{正，反}两个元素，对于电子自旋（量子硬币），虽然输出的测量结果也是非“↑”即“↓”，但是根据叠加原理，其态空间却允许任意的a|↑>+b|↓>存在，其中a与b是复系数。
c) 自旋与二维笛卡尔坐标系(x, y)
电子自旋空间里，一个态可以分解为以|↓>与|↑>基向量的线性组合。这不难联想到二维笛卡尔坐标系的向量：一个向量，可以分解为x分量与y分量的组合：
|Ψ>=a|↑>+b|↓> = <↑|Ψ>|↑>+<↓|Ψ>|↓>
式中， 与分别为x, y方向上的单位向量。
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- mingda1986: 回复 撸炮时突然 :薛定谔的猫指的量子态的叠加原理，但是和你说的也很相关。具体的话是本文的图1-5：把硬币的正反面换成猫的死活即可；经典世界只有正反（死活），但是量子世界却有线性叠加态。观测的过程，用现有的解释，叫做“量子态塌缩”；虽然态可以是叠加态，但是本征态只有两个，2012-12-10 23:45 回复
- mingda1986: 回复 撸炮时突然 :如果考虑2维坐标平面，那么Ai+Bj都是平面向量，i,j为x,y轴的单位向量。虽然向量无限多但是本征态只有i,j两个：其他的向量都可以由这两个向量i，j叠加构成。当测量的时候，塌缩就是从叠加态塌缩到本征态上，即测量结果非正即反，或者说非死即活2012-12-10 23:47 回复
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这样，我们就建立了态与向量之间的类比。它们都存在基向量，都可以被分量分解。更进一步，我们就管态，叫做态矢量，尽管在与地球自转的类比中，它和向量有本质区别。我们也可以定义内积，就是如同<↓|Ψ>的形式。在向量空间里，内积表示两个向量“靠近”的程度：平行时完全重合，内积最大，垂直时内积为零，又叫做“正交”。这里，|↓>与|↑>两个态，如同x与y一样，互相正交，<↓|↑>=0.这在物理上是可以理解的，两个态互相独立，没有外界机制时，不会互相转换。
d) 自旋的数学表述
电子自旋的态空间，|↓>与|↑>两个态矢量，作为基向量构成；在某个方向上，做一次测量，就相当于对其做基向量方向的一次投影，得到|↓>或|↑>。这里，我们并没有仔细考虑三维空间里的“某方向”。怎么样可以既考虑到电子在态空间里的|↓>与|↑>自旋态，又考虑自旋本身在三维空间里的方向呢？
既然自旋类比于矢量，先把它写成类似矢量的形式：
这里用“S”，是因为自旋的英语是Spin,取其第一个字母。
由于图1-4里，电子自旋在任何方向的投影都相同，我们有对任意方向的单位矢量n，S ·n=常数。显然，如果S的各个分量Sx, Sy, Sz只是通常意义的数，则不可能满足这个条件：不同方向上的投影一定不同。
但是如果S各个分量为矩阵，则还是可以满足这个条件的。
巨磁电阻效应——自旋电子的一个应用
早期的电脑，存储能力十分有限，一个移动的存储介质，如3.5英寸软盘，只能储存1.44Mb大小的文件。而今天，体积更小的U盘，可以轻易的储存32G的数据量，比十多年前大了两万倍。这是怎么做到的呢？
这是利用了巨磁电阻效应。该效应在1988年，由德国尤利西研究中心的彼得·格林贝格和巴黎第十一大学的艾尔伯·费尔分别独立发现的，他们因此共同获得2007年诺贝尔物理学奖。
所谓“磁电阻”，即有外加磁场时，材料的电阻随之改变。“巨磁电阻”，即外加磁场时，材料电阻发生巨大改变的现象，如下图。铁(Fe) 薄层——铬（Cr）薄层——铁(Fe)薄层的交替结构。导线中的自旋电子，穿过交替结构，产生电阻。
当没有外加磁场或弱磁场(下图a) 时，结构中的两个Fe薄层里的电子自旋，反向排列。这里顺带提一下，电子自旋的有序排列，正是磁铁形成的微观机制。在图a)里，左边的Fe层，自旋朝↑，从而磁铁N极朝上，S极朝下，右边的Fe层恰相反。这时，对于导线中的自旋为↑的电子，它感受到的总电阻为(R↑↑+R↑↓)，其中，R↑↑为自旋向上的电子遇到自旋也向上(即N极向上)的铁磁层产生的电阻；R↑↓为自旋向上的电阻，遇到自旋向下的铁磁层产生的电阻。
同理，对于导线里自旋向下的电子，其感受到的薄层的总电阻为(R↓↑+R↓↓)。其等效过程，见下图b)。把两路电子产生的电阻看作并联电阻，并且根据对称性，认为R↑↑= R↓↓=R大，R↓↑= R↑↓= R小。这样，该薄层结构的总电阻为
（2）
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- mingda1986: 回复 水晶爱偶吧 :完全正确！电子的自旋是1/2，所以说，自旋1/2的态空间是“2维”的。但是这个两维和Cartesian空间的2维仍有很多不同（文中反复提到），所以这个空间不是普通的二维空间，而是叫做“2维特殊对称群SU(2)”.2012-12-11 11:24 回复
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图1-6 在外加弱磁场时，产生巨磁电阻效应的薄层结构a)以及等效的电阻示意图b)。
外加强磁场时，两个Fe薄层都被磁化，自旋都朝↑排列。如图1-7。对于导线中自旋为↑的电子，其产生的电阻为R↑↑+ R↑↑，而导线里自旋为↓的电子，产生的电阻为R↓↓+ R↓↓。并联后，总电阻为
（3）
图1-7 在强磁场时，两个Fe薄层的自旋方向平行，即均为N极朝上，S极朝下。该薄层结构产生的总电阻，相当于导线中自旋为↑上的电子产生的电阻，与自旋为↓的电子产生的电阻的并联。
由于在数学上，调和平均值一定小于等于算术平均，我们有
（4）
这样，我们证明了一个重要结论：由于电子的自旋，在铁磁薄层结构里，电阻随着外加磁场的增加而减小，见图1-8。
图1-8 巨磁电阻效应示意图。外加强磁场时，电阻很小，而且趋于恒定值；不加磁场时，电阻最大。
这和磁存储有何关系呢？由于计算机存储的是二进制”01110011”序列，巨磁电阻效应，使得磁场改变很小时，电阻发生很大的改变。从而可以发生很灵敏的电阻转换，在很小的空间范围内，高低电阻即对于数据“0”和“1”这存储的基本单元。由于巨磁电阻效应的空间灵敏度很高，同样大小的空间内可以有更多的存储单元存在，磁盘的容量也就变大了。
小结
三维空间只是描述坐标位置的空间，其他空间的存在却很难被意识到。也许平日里，上学回家，只时刻关注着自己的空间位置。我们从不关心自己带有多少动量。对于描述一个物理系统，三维实空间是远远不够的。动量空间就是一个例子。密闭容器里的气体，在实空间看来平淡无奇，密度均匀而已；但从动量空间看去，气体动量的分布呈一个简单的函数，从中可以知道气体很多其他性质，比如零速度的粒子是不存在的，比如在什么速率下粒子最多，还能知道温度性质。
动量空间也只是实空间以外的一个例子。物理的状态，就活在那些基础状态组成的态空间里。电子除了电荷以外的另一个性质，自旋就是如此。它是旋转，却和地球自转不像；它有两个输出结果，却和翻硬币不像；它分解为基础态的叠加，却和向量分解为分量也不像。自旋看似如此神秘，但是神奇的数学却可以描述它的全部性质。
外加强磁场时，两个Fe薄层都被磁化，自旋都朝↑排列。如图1-7。对于导线中自旋为↑的电子，其产生的电阻为R↑↑+ R↑↑，而导线里自旋为↓的电子，产生的电阻为R↓↓+ R↓↓。并联后，总电阻为
（3）图1-7 在强磁场时，两个Fe薄层的自旋方向平行，即均为N极朝上，S极朝下。该薄层结构产生的总电阻，相当于导线中自旋为↑上的电子产生的电阻，与自旋为↓的电子产生的电阻的并联。
由于在数学上，调和平均值一定小于等于算术平均，我们有
（4）这样，我们证明了一个重要结论：由于电子的自旋，在铁磁薄层结构里，电阻随着外加磁场的增加而减小，见图1-8。
图1-8 巨磁电阻效应示意图。外加强磁场时，电阻很小，而且趋于恒定值；不加磁场时，电阻最大。
这和磁存储有何关系呢？由于计算机存储的是二进制”01110011”序列，巨磁电阻效应，使得磁场改变很小时，电阻发生很大的改变。从而可以发生很灵敏的电阻转换，在很小的空间范围内，高低电阻即对于数据“0”和“1”这存储的基本单元。由于巨磁电阻效应的空间灵敏度很高，同样大小的空间内可以有更多的存储单元存在，磁盘的容量也就变大了。
小结
三维空间只是描述坐标位置的空间，其他空间的存在却很难被意识到。也许平日里，上学回家，只时刻关注着自己的空间位置。我们从不关心自己带有多少动量。对于描述一个物理系统，三维实空间是远远不够的。动量空间就是一个例子。密闭容器里的气体，在实空间看来平淡无奇，密度均匀而已；但从动量空间看去，气体动量的分布呈一个简单的函数，从中可以知道气体很多其他性质，比如零速度的粒子是不存在的，比如在什么速率下粒子最多，还能知道温度性质。
动量空间也只是实空间以外的一个例子。物理的状态，就活在那些基础状态组成的态空间里。电子除了电荷以外的另一个性质，自旋就是如此。它是旋转，却和地球自转不像；它有两个输出结果，却和翻硬币不像；它分解为基础态的叠加，却和向量分解为分量也不像。自旋看似如此神秘，但是神奇的数学却可以描述它的全部性质。
不客气。电子自旋是除了电荷量子化以外的另一个基本概念，但是即使本科阶段的量子力学课也不太提及，所以这篇文章写了很久，争取只用高中数学物理就讲出一个轮廓。如果觉得有哪里不是很清楚，请不吝赐教，我争取在语言和讲法上改正。谢谢！
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