临 界 现 象
临 界 现 象
(HI)
郝柏林
(申国科学院理论物理研究所)
本文第 (I) 篇l、 介绍了连续相变的主要特点和平
均场理论的基本概念， 第(H) 篇”从平均场理论与统
计模型严格解以及精密的实验结果的矛盾出发, 叙述
了重正化群方法所导致的重大进展， 本篇着重讨论相
变理论的新发展， 使我们对一些物理和几何概念有了
更深刻的认识. 并稍为涉及相变与其它物理问题的联
系. 公式、图表和引文仍与前两篇连续编号.
八、 涨落和空间维数的关系
为什么伊辛模型在一维无相变? 为什么海森堡模
型和其他模型在二维以下没有长程序? 为什么在四维
以上空间中平均场理论才是“唯一正确”的? 这主要是
因为空间维数不同时,涨落起的作用不同.
设想一个一维的铁磁链， 绝对零度时磁矩按同一
方向排列. 当 T>0K 时, 允许有一些反向排列的段
落. 假定N个磁矩中有n个这种倒向的“界面”， 每个
界面能量是 续， 由于界面可处在不同位置， 体系的熵
增加到
N! (35)
自由能的变化是
AF = 濉 一 TS. (37)
利用斯特林公式容易求出
界面越多，自由能越低,因此涨落破坏了长程序.
离散情况下的涨落作用和连续对称的情形很不相
同. 取一个边长为L的d维晶格 (图 9). 设沿某一方
向有自旋倒向的界面,界面的面积比例于 Lˉ灞ˉl. 与自
旋全平行的基态相比，多出一个表面能
如果 d>1, 则当L叶oo时, AE 也趋向无穷，即有无
穷高的位垒，它不能靠熵的增加补偿. 因此，涨落的作
用受到抑制，不再能破坏长程序.
对于连续对称，情形很不一样 (见图10)~ 假定在
某一方向上加边界条件， 使左右两端面间自旋夹角为
9. 由于自旋方向可以连续变化， 平均到每一层上的
物理
///z//// /功
\ \ \\ \ \ \ \ \\
/
L
图m
角度变化是 a/L, 它和自旋平行状态的能 差是
g(I 一 cos 音〉L归. 与基态的总能量差是乙层能量
只有缉>2时才会出现无穷高的势垒. 因此, 对于连
l) 见(物理) 1980 年第9卷第4期, 以下简称为 (【).
2) 见<物理》1980年第9卷第5期,以下简称为 (‖).
续对称， 是否存在长程序的“边界维数”是 蜱= 2. 正
是根据这一点发展了 a=劾-z的展开技术.
正如文章(I)中讲过的,临界点附近的涨落是一种
无能隙的长波 (即波矢 缇一Io) 元激发. 不管是连续
还是离散对称，都有 T一，Tc时能隙趋向于零的“软模”薰
对于连续对称的情形，还有所谓戈尔茨通玻色子，它在
任何温度下能隙都为零. 正是这些恢复对称的元激发
破坏了长程序. 前面结合图 10 所作的讨论还可以表
述得更数学化一点. 没有能隙的元激发的能量 s(发)
。。发刀. 如果要计算它们对总能量的修正, 就要把各种
“中间态”的贡献都加起来. 这时微扰论中的“能量分
母”就是 B(友), 因此要计算的积分是
j三鱼
友z .
当以妻2时，这个积分在发一>o时发散〈在场论申称为
“红外”发散)，说明涨落的作用很大，建立不了长程序，
对此还可以给予比较直观的物理解释: 把一维和二维
的波矢友的空间都扩大成三维的， 满足长波条件发廷
a的区域在一维情形下是一个厚度为皮的薄片， 二维
是半径为莅的圆柱，三维是半径为a的球，权重越来越
小. 涨落在任何情况下都存在，但空间维数越高,它的
作用越受到抑制.
平均场理论在四维以上正确， 道理也是类似的.
考虑长波元激发的相互作用对总能的贡献时, 要计
算的积分是
如果 以>4， 没有红外发散,这些涨落的权重太小. 平
均场理论在四维以上成为一种没有相互作用的 “自 由
场”理论. 因此，r薰 = 4也是一个特别的“边界维数”.
这样我们就看到， 人类生活的三维空间巧妙地夹
在两个“边界维数”之间， 恰好容许有丰富多采的相变
现象和远非平庸的理论解释. 然而，这并不是说，更低
维和更高维的空间没有现实的物理意义. 许多物理系
统具有在一维或二维为主的相互作用， 作者之一在多
年前就讨论过这种一维或二维“发达”的系统Hn. 低
维系统的物理学是一个方兴未艾的领域, 而四维时空
中的相变问题涉及基本粒子理论的某些根本问题, 它
们都超出了本文的范围.
顺便指出，实际计算前面写出的两类积分时，还会
遇至吐发_,。o时的“紫外”发散问题. 不过在研究关联长
度发散的相变现象时， 完全可以忽略晶格常数腐尺度
上的运动，自然地把积分在 发廷音处截断. 如何处理
这些发散积分， 得出与截断无关的物理结果， 这正是
“重正化”的原旨. 前两个积分与所谓“质量重正化”和
“电荷重正化”有关系. 相变的物理图象赋予重正化手
续以直观的解释.
空间维数以和内部自由度数目 ，l都等于z 的情况
有些特殊. 早在 1966 年就严格证明，连续对称即”妻
2的情形下， 以=z时没有目发破缺. 但几乎同时有
人从级数展开中看到存在相变的迹象. 这究竟是什么
状态呢? 原来这是一方面没有长程序， 另一方面又发
生相变的特殊情形， 这时，除原有的元激发外，还有一
类总体性(或称拓扑性〉的激发态. 设想一个平面铁磁
体， 自旋按同心圆排列. 这类状态的能量和熵都有对
数奇异性. TG 以下，左旋和右旋的两种“漩涡”可以处
于互相束缚的状态， 能量是有限的， Tc 以上才离解.
由于自旋的平均值是零,所以没有长程序,然而由自旋
波决定的关联长度却趋于无穷. 关联函数
中的临界指数刁与温度有关. 仔细的理论分析表明 万
(Tc)=1/4. 这是一种比普通二类相变更弱的相变，
不仅没有体积变化和潜热, 比热也是连续的. 有奇异
性的是更高阶的导数…l.
客观世界中有没有这类系统? 有! 非常薄的液氦
和液晶膜、 平面各向异性很强的铁磁体和某些层状化
合物都具有接近这类模型的特性. 不久前在液氦薄膜
的研究中，证实超流部分的密度在 Tc有一跃变…l，这
与理论预言一致薰 这类弱相变的实验和理论研究当前
很活跃，
九、 怎样理解连续变化的空间维数?
涨落和维数的关系， 从一个侧面说明了空间维数
在相变和临界现象中的重要作用. 为什么对连续对称
模型存在目发破缺的“边界维数”正好是Z，而平均场理
论成立的“边界维数”正好是4, 还可以有一些“几何”
解释. 怎样理解从四维往下降的8=4一盈展开或者
从二维往上升的a=以一Z展开? 看来我们对于空间
维数的认识应当深化，还须要有连续变化的空间维数.
其实， 数学已经为我们准备了必要的概念. 维数
和测度有密切关系: 用半径为R的小圆来盖一块面
积 区， 所需小圆的数目比例于 S/R瀛; 同样，用半径为
R的小球来覆盖一块体积 y， 所需球数比例于 y/R邂.
一般情形下， 用高维球来覆盖一个缕维对象 覆, 所需
球数大致是 Noc乙/Rd. 如果保持R不变，把茬的线度
增大L倍成为 /1U 则 乙薰 作为撼维对象可能比原来
大及倍: 绗 =M. 为了覆盖 盈u 所需球数为 Nl 。c
绗/Rd=赭/蝌. 另一方面， 如果保持邈不变，把球的
半径缩小薰 倍， 所需球数自然也是 Nloc乙/(R/薰)d=
严盈/Rd. 比较这两个式子，得到重要关系式
严=发. (41)
它可以作为空间维数的新定义: 如果一个对象的线度
放大薰 倍，它本身就成为原来的友倍，而且 尸=发, 则
这个对象的维数就是 薰. 对于普通的点、面、线、体，这
样定出的维数仍是U,l,Z， 三.我们也可以构造具有“自
桐似”的内部层次的几何对象. 例如，把 (U,1) 区间三
等分舍去中段，剩下的两段各自三等分舍去中段，如此
无穷分割下去. 取(0, I/3) 的一段为对象 缍, 放大
薰 = 三倍，它又充满(0，1)区间，其中(0，1/3)和(2/3,
1)是与原来完全相同的两套对象.于是 3遭= 2， 以:
log薰2 : 0.伍309…. 这就是 凶凶年豪斯道夫引入的
维数概念…l， 它不必取整数值‖. 本节中的以都是指
这种豪斯道夫维数， 空间维数用D代表. 读者可能已
经注意到，这类“自相似”的变换手续,和前面提到的自
旋集团的归并有共同之处.
包含随机因素的几何对象， 可能具有更高一些的
豪斯道夫维数. 例如, 考虑一个完全随机的无规行走
粒子. 从布朗运动的初等理论知道: 每步长 R, 行走
N步后首尾距离的平方均值是 〈歼〉=赚N. 〈rz〉 可
以看作是无规行走的尺寸，而檀盖数目是N镶〈泮〉/Rz.
由此看出无规行走的豪斯道夫维数是 以Rw= 2， 即两
倍于力学运动轨迹的维数.
在D维空丨司中考察两个几何对象ri和B的木目交部
的正确性可用一些直观的例子检验; D=3维空间中
面与面交于线，面与线交于点，线与线基本上不相交.
如果把 (42)式用于无规行走， 立刻得到两个不等式.
首先,要求购个无规行走至少相交于点，即
j凡w 十 缕Rw 一 D蓼U，
其次，相交部分的维数不应比单个无规行走更高，即
缉Rw 十 崴xw 一 D廷磁Rw.
由此得到
这里恰好出现了两个“边界维数”: 二维以下空间容纳
不了相交的无规行走， 而四维以上空间中无规行走基
本上不相交，即不发生相互作用.
把(41)式写成
并与文章(H)中(35)式比较, 可见临界指数V的倒数
可以看成某种豪斯道夫维数. 平均场理论中u = 1/2,
恰好与纯无规行走的维数 缉RW = 2 一致. 因此它在
四维以上空间中才是准确的. 重正化群方法和实验测
量都给出 u>1/2, 乃是有记忆效应的无规行走_ 这
个类比在高分子溶液的统计理论中有直接的物理意
义， 那里每个高分子链就是一个无规行走的轨迹. 如
果计人分子本身占据的空间,排除无规行走的目交,就
是一种记忆效应，于是U获得大于 1/2 的正确数值.
物理
十、 动态临界现象
到目前为止， 我们只讨论了临界点附近的热力学
平衡性质， 没有涉及系统随时间的演化. 实际上临界
点附近各种非平衡性质也有许多异常， 而且比静态现
象更为丰富. 这里研究的对象包括扩散、热导、粘滞流
等输运过程，系统对随时间变化的外场的响应，外界扰
动除去后趋向平衡的弛豫过程等. 与平衡性质不同,
这些物理量不仅与体系在某一时刻的状态有关， 而且
依赖于它的时间演化. 但是，它们大多可以直接测量，
例如用超声吸收和核磁共振测弛豫时间， 用光或中子
的非弹性散射测动态结构因子一时间关联函数的傅
里叶变换，还可间接地定出输运系数，
动态现象中最有代表性的事实是所谓临界慢化，
即逼近临界点时序参量和其它“慢模”的弛豫时间趋向
无穷. 基于文章 (I) 中介绍的物理图象, 很容易理解
这一点. 在临界点附近关联长度趋向无穷， 出现许多
大尺度的涨落或“花斑”，趋向平衡的时间必然很长.在
气液临界实验中往往要花几天或几个月的时间才能达
到新的平衡状态.
在动态临界现象的描述中, 相应于平均场理论的
是所谓“常规”理论. 它假定序参量趋向平衡的速度比
例于目由能(或有效哈密顿量)对序参量的导数. 还是
以自旋系统为例，准到二次项的自由能写成
临界点上z= 0， 对于发-亭0的长波涨落，只要输运系
数厂是有限量, T就会趋向无穷大. 根据文章(I)中第
(6〉式,弛豫时间还可通过磁化率表示,即
To : xr一l. (47)
这说明弛豫时间和磁化率的发散是由同一原因引起
的. 表示恢复力”的大小， 藿ˉl一>0 表明几乎没
有恢复力. 与平均场理论类似， 这种常规理论能定性
地解释临界慢化现象， 但定量上与实验不符. 这里假
定输运系数r与温度无关， 实际上由于不同运动模式
间的非线性耦合，它和不同尺度的涨落有关,因而要随
温度变化.
1〉 作者感谢 0. P盯… 在一次讨论中引起对蒙斯道夫维
数的注意.
. 547 0
近十多年来，动态临界现象的研究也有很大进展.
重正化群方法出现以前，主要有两方面: 一是横一模耦
合理论, H是关于动态标度律和普适性的假定. 前者
主要是考虑不同运动模式之间的非耗散型耦合， 能够
相当好地描述一部分运系数的反常. 动态标度律是
静态标度律的自然推广, 对于时间演化过程多引人一
个标度参数，假定弛豫时间是
动态标度律假定，只要将长度、时间、磁场、磁矩等作相
应的标度， 临界点附近的广义磁化率就不再显含约化
温度5 由此可以推出一些动态临界指数间的关系
七十年代以来， 重正化群方法也被推广到研究动
态临界现象,不仅论证了动态标度律, 重复了模一模耦
合理论的结果, 而且可以分析后者所不能处理的耗散
型耦合，动态临界现象也有普适类，但比静态普适类分
得更细. 动态临界指数不仅与 (j， 矗J 有关,还取决于
体系有那些守恒董， 不同模式之间的耦合类型等等.
因此， 同一个静态普适类的物理系统可能分属不同的
动态普适类.
总的说来， 动态临界现象的研究还处于发展过程
中. 现有的理论分析主要是借助于一些模型, 用比较
唯象的方式描述_ 较为完整的微观理论还有待建立,
不少实验现象也还没有得到解释， 详情可参阅文献
[22].
十一一、 远离平衡的突变现象
对称破缺和突变不是平衡态附近特有的现象， 它
更广泛地存在于远离平衡的体系中， 一般地说， 平衡
态附近的体系以趋向平衡为主要倾向, 远离平衡后却
可能趋向新的更有序的定态. 当然， 这种状态要靠外
部的能量或质量梳来支持. 自然界中这类现象不胜
枚举， 研究得很早的一个例子是流体力学的不稳定
性"". 取两块导热平板，中间有静止液体. 如果下扳
的温度高于上板，且温度趋于临界值，就出现美丽的对
梳花纹(田‖)_ 漱光、半导体器件中的电梳不稳定性、
质量欠佳的日光灯管在一定条件下的辉纹放电、 带有
周期性时空结构的自催化反应、 具有非线性运性质
的生物膜等等，都是远离平衡突变现象的例子.
长期以来， 这些现象都是分别进行研究的， 平衡
态相变理论的进展，对各种相变的普适描述，启发人们
在远离平衡的现象中也作类似的尝试. 果然q 各有千
秋的突变现象确实具有深刻的相似之处. 平衡态相变
的一些概念很容易推广到非平衡突变的情形， 这里主
要指平均场理论的结果， 重正化群方法所考虑的效应
在大多数情况下并不重要.
在非平衡相变中也可以引人序参和对称破缺的
概念. 序叁晕万通常是指失稳运动模式的幅度_ 在流
体不稳定性中，对流的速度是序参量; 在激光中， 受激
发射模的振幅是序叁量_ 与连续相变类似， 只有当相
应的外叁量1超过阈值艇时才会出现新的有序状态,
而且
协】oc(凡一克jm, (SD>
即临界指数卢也等于蜥2. 在流体不稳定性中,破缺的
是空间平移对称. 激光现象中破缺的是定态本身的时
间苹移对称: 复数序参量习取了一个特定的相位. 后
一点不可能遗生在平衡相变中， 因为周期运动伴随着
能量的耗散.
与平衡态相变类似， 这里也有恢复对称的运动模
式. 如果取了热力学极限， 它们就是通常的流体力学
横. 对于有限的体系,这是序 量的一种扩散型运动.
经历各种可能的状态后， 序参量的平均值趋向于零.
体系越大, 达到这种状态所需的时间越长， 因此,仍可
在每个时剽用瞬时的序叁量描述. 这是与平衡态相变
不同的特点.
在阈值附近, 序参量的涨落反常增大， 同时出现
“临界慢化”. 相应的临界指数也与平衡态一样，即
f^u〈协P〉~(义 一 狸)ˉ' (51)
造成这一现象的原因, 也在于失稳点附近恢复力趋近
于零.
在临界点附近， 关联长度反常增大. 按平均场理
论,
然而现在 彗。 是一个宏观尺度的矗. 这是因为在非平
衡定态中序蚕贵靠外源支持,直接与宏观变董耦合,通
常存在一个宏观的特征长度. 根据平均场理论的适用
范围(金兹堡判据)，对于三维情形,
免口口(富宙邀)吁"响 = 叠庄遭_ (S3)
由于 g. 是宏观大小的量,总有 牦一崃o, 即平均场理论
永远成立. 从物理上考虑,这是因为关联长度超过 畜n
之后， 就谈不上标度不变性了. 最近有人对流体失稳
现象作了精密的测量， 发现各种临界指数确实与平均
场理论的预言一致，
远离平衡的突变现象与平衡态相变之间如此深刻
的类比决不是偶然的. 虽然失稳现象中没有平衡分布
的概念，但只要有细致平衡，就可以在相当普遍的前提
下证明存在定态分布，引人相应的势函数，其作用与自
由能类似. 换言之,细致平衡是共性的原因.
上面主要讲了与平衡相变相似的一面 其实， 矛
盾的特殊性才使我们对事物有更深刻的认识. 远离平
衡的突变现象必然伴随着耗散， 与体系的尺寸和历史
有密切关系. 这些都与平衡态相变完全不同. 尺寸
效应可能使远离平衡的现象中不会有真正的 “连续相
变”.
平衡态附近的相变研究已经初具轮廓, 远离平衡
突变现象的研究方兴未艾， 不同的流派从各自的角度
进行探索，取了各种名称. 有的叫“耗散结构”…咕 有
的叫“协同学川川，有的叫“突变论”…起 实际研究的都
是同类现象(还可参阅文献[27]).
十二、 结 束语
连续相变研究的进展是理论与实验相互促进的过
程. 统计模型的严格解证明了理论的潜力， 在平均场
理论的天地里打开了缺口， 大量使用计算机的级数展
开揭示了更多的矛盾, 但决定性的因素还是精密的实
验测量. 它充分暴露了平均场理论的弱点, 把尖锐的
矛盾提到理论面前. 标度律和普适性的概念在促成现
代相变理论的过程中起了很重要的作用. 建立了正确
的物理图象，形成了反映客观的概念，豁然贯通的最后
一击来自统计物理与量子场论在概念和方法上的相互
交流.
五十年代末期， 量子场论方法在统计物理中的广
泛应用带来过一批丰硕成果. 最初在铁磁， 后来在超
导理论中形成的对称破缺概念，经过量子场论的锤炼,
又回到统计物理中, 对平衡和非平衡相变的研究起了
促进作用， 重正化群方法和相变物理图象的结合， 促
成了临界现象理论的突破. 当前， 不少作者又试图借
助相变的概念来解释夸克禁闭和量子场论中的一些根
本问题， 理论形式的一致， 反映了客观世界的统一.
统计物理和量子场论都是研究无穷多自由度的体系，
统计涨落和量子涨落有深刻的类似之处. 涨落场论和
量子场论这对“孪生兄弟”将会继续并肩前进， 在相变
和临界现象的研究中揭示更深刻的物理内容.
参 考 文 献
[18] 陈春先、郝柏林，科学通报，1o(196D，30.
[19〕 J. M. I孓oSteT1itz， 工)_ J. ThonleSH， in 1)rogreSS in
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N0rfh一壬I0Hand， vIIB(1978)， 341一壬33
[21] B. B. M乙nde1br0t， 王、ractalB， Eonn， Chance 魏nd
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〔23] 0. Normand, Y. Pomeaul M. G velarde， 丑e佣.
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「24] G. Nicolis， I. 1)rigoglne， Self-0rganizatiOn in 1`IoII-
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[25〕 I王~ Iiaken, Synergeties, Springer-ve「lag， (1977)
[26〕 王要~ ThoIn, Stabi1it邑 StTuetnreHe et M0】phog邑n邑Ee，
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、vlley-IntCrscicnce.
一 种 聚 焦 的 光 学 纤维透镜
(巾闽科学院西安光学精密机械研究所)
在本世纪六十年代末期， 国际上出现了一种聚焦
的光学纤维口川,命名为自聚焦纤维 (SclEoc), 它和普
通的光学纤维结构不同,没有外套层,它的折射率分布
自轴沿半径方向逐渐变小, 所以它的传光原理也不是
光的全反射. 这种纤维的传光效率高， 能够聚光、 成
像， 类似于光学系统的透镜. 透镜是用改变厚度的方
法来改变光程，使传播的光线曲折，而自聚焦纤维则是
用改变折射率的方法来改变光程， 同样使传播的光线
曲折(图1)，这两种结构不同的光学元件都能使物象之
物理
间的对应点达到等光程, 所以它们的作用是基本相同
的.
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