動量算符 所謂算符 operator 從數學上而言就是對某函數進行某運算既然原本一次的運算是 取其偏微分後乘以虛數則連續兩次運算 不就是取其兩次偏微分後乘以 負1; 动量算符为什么是厄米的时候，提到须要求波函数在无限远趋于0，

近代物理: 原子核物理学简介、基本粒子物理学简介. II books.google.com.hk/books?isbn=9571132276 - 轉為繁體網頁 林清凉 - 2003 - ‎Nuclear physics 個獨立變數( ^ ,化... ... , ^〕撐展的^次元空間的物理現象,能表示成如下( ^ -门式:或縮簡成: " '广/ , X 三 0 | : " 2 , ^ |户相互作用領域, 1 ; ^偏微分算符。將/分成無限多點狀, 關於量子力學的算符

1:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2006-05-21 15:11:29:地點 台灣台南

最近看量子力學，發現一個不懂的地方 我們知道動量算符為i*(hbar)*partial/(partial x)那為什麼動量平方算符就是-(hbar)^2*(partial)^2/(partial x^2)呢?

2:loge榮譽點數126點 (研究所)張貼:2006-05-21 16:24:50:地點 台灣台南 [回應上一篇]

因為 i*i=-1

3:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2006-05-21 16:50:09:地點 台灣高雄 [回應第1篇]

Quote: 在 2006-05-21 15:11:29, littlecan 寫了: 最近看量子力學，發現一個不懂的地方 我們知道動量算符為i*(hbar)*partial/(partial x)那為什麼動量平方算符就是-(hbar)^2*(partial)^2/(partial x^2)呢? 因為 動量平方 = (動量)(動量) 補充一些基礎數學的東西 如下 i2=-1 1/i = -i 雖然是基本的 但是很多一開始學量子力學的學生 這個還是反應不過來 也因此覺得量子力學難 其實量子力學所使用的''數學''難度不高 難的是''物理'' 不過若是常去體會 不難 反而比電磁學容易

4:黃福坤 (研究所)張貼:2006-05-21 17:09:48:來自 國立台灣師範大學 [回應上一篇]

所謂算符 operator 從數學上而言就是對某函數進行某運算既然原本一次的運算是 取其偏微分後乘以虛數則連續兩次運算 不就是取其兩次偏微分後乘以 負1

5:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2006-05-21 17:41:35:地點 台灣高雄 [回應上一篇]

【補充】 量子力學中的 算符 (運算元 or 算子 or 操作子(operator) ) , 為線性的哈密頓算符 必須針對波函數Ψ(x,t)或φ(x)運算 才有物理意義 若是只考慮滿足線性的特性 (此為 數學上的特質) 可直接作 相乘的動作 如 若是要對系統進行物理運算 (or實量的觀測) 則 以上針對波函數運算的動作，其結果為　動量本徵值2 乘上 經兩次運算後的本徵波函數　 i含在本徵值內 故 i2=-1 符合推導 中的 -1 [ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2006-05-21 17:46:18 ] [ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2006-05-21 17:48:39 ]

6:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2006-05-21 22:31:30:地點 台灣台北 [回應上一篇]

我的問題不在數學的計算.....後面的p平方算符也是我再打題目的時候自己導出來的。我可以接受動量算符對波函數作用:-i(hbar)partial/(partial x)*phi=P*phi，P即為特徵值(就是二氧化氫大大說的本徵值)。但是如果要求動量平方本徵值，真的只要把波函數作用兩次就好了嗎?有沒有什麼理由呢?況且如果作用兩次，是一個動量算符Pop作用在原函數後，再一個動量算符Pop作用在(Pop)phi，這樣有什麼意義可解嗎?

7:Multigrain (大學理工科系)張貼:2006-05-22 20:06:47:地點 台灣台南 [回應上一篇]

Quote: 在 2006-05-21 22:31:30, littlecan 寫了: 我的問題不在數學的計算.....後面的p平方算符也是我再打題目的時候自己導出來的。 我可以接受動量算符對波函數作用:-i(hbar)partial/(partial x)*phi=P*phi，P即為特徵值(就是二氧化氫大大說的本徵值)。但是如果要求動量平方本徵值，真的只要把波函數作用兩次就好了嗎?有沒有什麼理由呢?況且如果作用兩次，是一個動量算符Pop作用在原函數後，再一個動量算符Pop作用在(Pop)phi，這樣有什麼意義可解嗎? 把operator作用在wave function上只會得到一個scalar而已，你要先用哪個operator計算結果都是一樣，做eigenvalue, eigenfunction的問題都是這樣，也就是說 Pop‧Pop‧ψ = Pop‧λ‧ψ = λ * Pop‧ψ =λ^2*ψ λ為Pop的eigenvalue

8:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2006-07-16 23:11:18:地點 台灣台北 [回應上一篇]

to : littlecan, 若你對量子力學的操作運算子 感覺不是很習慣 建議可以找關洪的量子力學基礎 來看個大概 (Dirac的書也可以啦 不過比較難)

9:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2006-07-19 18:39:54:地點 台灣台北 [回應上一篇]

Quote: 在 2006-07-16 23:11:18, Hydrogen Dioxide 寫了: to : littlecan, 若你對量子力學的操作運算子 感覺不是很習慣 建議可以找關洪的量子力學基礎 來看個大概 (Dirac的書也可以啦 不過比較難) 謝謝。我已經把算符的性質搞清楚了。

10:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2006-07-19 22:06:36:地點 台灣高雄 [回應上一篇]

而我想提醒你的 就是說 空間中粒子的期望值(先不考慮隨時變的薛丁格方程) 代入 1=∫ψ*ψd3x (若該粒子非自由而為束縛態);         <位置>=∫ψ*位置運算子ψd3x  ;               <p>=∫ψ*動量運算子ψd3x 時 ; 以上不被操作運算子 作用的那個波函數 需要在運算中取共軛 ψ*表示的是將波函數取共軛 譬如 1*=1 ; eiax*=e-iax 若以上都熟練了之後 就可以學一下隨時變的薛丁格方程(混合態的薛丁格方程) (其實所有的波函數 廣義來看都是隨時間變化其波值 ; 不隨時變 表示振盪解e-iE t/hbar與其共軛 相互消滅得1而已 分離變數法Ψ(x,t)=ψ(x)ψ(t) ; Ψ(x,t=0)=ψ(x) ; ψ*(t)ψ(t)=1 ) (薛丁格方程為二階偏微分方程 以分離變數法分離出 時間部分乘上空間部分, 有興趣可參閱大學工程數學) [ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2006-07-19 22:25:17 ]

11:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2006-07-20 11:15:08:地點 台灣台南 [回應上一篇]

嗯,上面的<位置>=∫ψ*位置運算子ψd3x  可以用<ψ|Xop|ψ>                          <p>=∫ψ*動量運算子ψd3x 可以用<ψ|Pop|ψ> 比較好打...XD

12:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2006-07-20 21:26:18: [回應上一篇]

你所寫的<  | , 表示左矢 (狄拉克符號)               |  > , 表示右矢 近代物理標準教材裡 沒有將以上列入, 表示這些不是量子力學初學者應該碰的範圍 據推測應該是研究所的高能量子力學才會上到! 建議初學者先不要碰! [ 這篇文章被編輯過: Hydrogen Dioxide 在 2006-07-20 21:28:20 ]

13:littlecan榮譽點數1點 (高中職)張貼:2006-07-20 23:20:54: [回應上一篇]

其實Dirac符號我在普通的基礎量子力學都有看到.....Hydrogen大大說高能物理才用得到??我不清楚...

14:Hydrogen Dioxide (研究所)張貼:2006-07-20 23:37:42: [回應上一篇]

高能量子力學 高等量子力學 或者物理化學的量子力學課本才會提到狄拉克符號 一些量子力学基本概念和矩阵几何基础 (2013-10-29 18:47:16) 转载▼ 标签： 物理 教育 量子力学 矩阵代数 分类： 量子力学和量子场论 《量子力学的一些基本概念》 作者：＠abada张宏兵 （根据答网友问的一些内容整理，欢迎老师同学们指正） 对于一个物理系统，某种物理实验上可分辨的各个不同状态，叫做系统在这一观测下的各种量子态或物理态。比如掷到桌上的硬币，若某种观测方式能分辨出其有且只有正面朝上、朝下之分，则硬币在这一种物理观测下就有且只有两种物理态。若硬币还可在桌面上立起来，则其在这种观察下有且仅有三种态：正面朝上、正面朝下、立起来。 量子态用希尔伯特空间中的矢量表示，叫态矢量。但它们之间不是一一对应的。一个态矢量必仅对应一个物理态，但一个物理态却可对应无数个态矢量---但这些矢量的差别仅为一个复数因子，即一个矢量乘以一个复数就可得另一矢量，这些矢量对应同一物理态。但两矢量间若没有上述这种关系（可称为平行关系），就必对应不同的物理态。 细说起来，态矢量之不同可分三种情况：一，态矢量方向不同，这必表示不同的物理态，必须用不同字母区分不同方向的态矢量，如|a>或|b>等。二，两个态矢量的方向相同但长度不同（定义为一个态矢量乘以模长不为1的非零复数而可得到另一个态矢量），这两个态矢量代表同一物理态，如c|a>与|a>两态矢量代表同一物理态，其中c为复数。三，两个态矢量的方向与长度皆相同，但相位因子不同，即一个态矢量乘以模长为1而相位不为0的复数（即乘以一个相因子e^iθ，其中θ不等于2nπ，n为整数），而得到另一个态矢量，这两个态矢量当然也代表同一物理态，如两态矢量|b>与e^iθ |b>。 虽然仅仅复系数（复数因子）不同的即互相平行的态矢量都对应同一物理态（意味着某种观测下无法分辨区别），但改变观测方式后，态矢量的相因子或复系数却可能对叠加干涉现象或测量结果的概率有影响。某观察方式下的同一物理态，若改变观察方式后又可发现共分为2种态，则称前一种态是后2种态的叠加态，表示为矢量的分解或叠加。这时相因子的相对不同就可通过干涉而观察出来。这于前面说的观察不出区别不矛盾，因为这已改变了观察方式。 电子双缝干涉实验中，若一种观察方式能且仅能区分电子来自于缝a还是缝b，那么这个观察方式就可确立区分a态和b态这两个缝态。当改变观察方式，用远处屏幕观察电子的位置，那么可以区分出几乎连续的位置态x。而每个位置态矢量|x>都等于两缝态矢量|a>与|b>分别乘以某种复数系数后再叠加，即|x>=c1|a> + c2|b>，其中复系数c1与c2相对值对于叠加干涉现象或x测量结果的概率有影响。 问：物理态是相对于观测方式而言的？ 对。例如粒子的位置态，或动量态、角动量态、能量态、偏振态等等。不同观测方式下皆确定的态可构成各种观测量的完全集，如氢原子中电子的｛能量，轨道角动量，轨道角动量投影，自旋投影｝构成完全集。 又如某种无自旋自由粒子，仅有位置态（x,y,z), 或（不是“与”）动量态（p_x,p_y,p_z), 即可构成其量子态的完全集。粒子同一三维空间方向上的位置与动量则不可能同时包含在观测量的一个完全集里。 问：完全集中的算符需两两对易，对吧？ 对。 注意观测量的完全集对应的是“所有可能同时测得系统各种确定态的各种观测方式之集合”。而每一种观测方式下可能分辨出的各种可能的量子态，则构成（这种观测方式下的）量子态的完备集。 设系统有两种相容观测量，即系统处于对两种观测方式测得的两种观测量都同样存在确定值的态，则这两种观测所对应的算符就可对易(逆命题也成立)。这时这两种观测量构成观测量的完全集。设一种观测量可能有|a>与|b>两个态，另一种观测量有|x>,|y> 和 |z> 三个可能态，则｛|ax>, |bx>, |ay>, |by>, |az>, |bz>}构成了系统可观测量的完全集的完备本征态，这些本征态皆相互正交。而｛|a>, |b>} 或｛|x>, |y>, |z>} 构成的是不完全观测量即其中某一种观测量的本征态完备组，这叫做有简并的本征态完备组。 问：观察量为何表示为态矢量的算符？ 因为一次观察即一次操作，其一，这很可能改变系统的原来的量子态（原来的量子态是由前一次观察得知的，这一次观察的观察方式与前一次的不相同或虽相同但相隔足够长时间），数学上可表示为算符作用于态矢量而改变了态矢量之方向，如F|a>=c|b> ，F为算符，c为复数（也可将c吸收进F）；其二，这次观测与前一次观测相隔足够短时间且观测方式不变，这样就并不改变原态（这相当于量子力学中的牛顿第一定律，若将薛定谔方程类比为牛二定律的话），设如此观察出某个实数量值f，这可表示为F|a> = f|a> ，这个方程就是算符F的本征值方程，|a>为其一个本征态矢量，f为对应于F及|a>的一个本征值。上述二种情况下，都可以说：代数上作用于态矢量的“算符”对应于物理上特定的“操作-观察”。（这样说比说“力学量用算符表示”更恰当。) 每一种观测方式下可能分辨出的各种可能的量子态，构成（这种观测方式下的）量子态的完备集。其中每个量子态可用一个模长为1的态矢量来表示，这些态矢量做为基矢张成一个表象架，构成一个表象，用于将其它某个态矢量投影到各基矢表示为各复数分量值，每个投影的复数值c叫概率幅，因为其模长平方c*c，恰好等于在被投影的态矢量对应的态下观测到基矢对应的态的概率。（当然基矢本身也可用投影分量值表示，它往自身的投影为1，往其它基矢的投影为0。） 这样一来，态矢量代数就可表示为矩阵代数（尤其是对角动量投影等分立谱）。可续看《量子力学所需的矩阵代数之几何来源》。 =================================================================== 《量子力学所需的矩阵代数之几何来源》 作者：@abada张宏兵 （接作者的《量子力学的一些基本概念》） 为避免对矩阵力学感到抽象，最好先形象地学会矩阵代数。可先从肉眼可见的平面直角坐标系中的线性几何入手，等到直观地熟悉量子力学常用的一些线性代数的基本概念以后，再推广到希尔伯特空间。这种推广是：乘矢量或矩阵的数可以是复数，矢量在表象基矢量上投影的值可以是复数，态矢量空间的维数可以为无穷维，即有无穷多个正交基矢量（例如普通三维空间一方向上每一个点邻域都对应出一个位置态基矢量，这无穷多个基矢量都相互正交）。这时要注意态矢量空间不是普通三维位形空间。 先看平面上任何一点，在平面直角坐标系中，可从原点出发画出连接并指向此点的矢量，可表示为一个行矢量（x，y），或对偶（转置）的列矢量： x y 我们用上述方式排列一个点的坐标，表示一个矢量。列矢量也可抽象记为右矢 |a>,  其转置行矢量记为左矢 <a|. 正交矢量 画一下点（3，2），与点（-4，6），看看几何上有何特点？显然，它们代表的矢量是互相垂直的，即正交的。代数上呢？显然，3x(-4) + 2x6 = 0. 这两种关系（几何关系与代数关系）有对应性。 我们把上述矢量中引来的 3x(-4) + 2x6 = 0 这种运算叫矢量乘法。 设有(x, y)与(x',y')两矢量，定义： （x  ， y） 乘 x' y' 得积= xx' + yy' 上述两矢量的乘法所得到的积为一个数，所以叫矢量的标乘、标积。当且仅当两非零矢量的标积为0时，这两矢量正交。当两矢量长度都为1时，它们的标积反映它们的夹角的余弦。 为何说平面是2维的？因为平面上若有2个矢量正交，那么找不到第3个矢量与它们两个都正交。 矩阵怎样对应几何？ 平面上（2，3）这个点对应的矢量，怎样变为（5，7）这个点对应的矢量？几何上就是一个操作。 代数上，我们可以列一个线性方程组： a乘2 + b乘3 = 5 c乘2 + d乘3 = 7 其中a，b，c和d为待定系数。它们可排列成一个系数矩阵： a ，   b c ，   d 矩阵作用于或乘以矢量的法则，就定义为如同上述线性方程组，方程组等号右边构成的矢量，就是矩阵与原矢量之积： a ，   b                              c ，   d 乘  2  3 等于 a乘2 + b乘3  c乘2 + d乘3  又要等于 5 7 于是，原方程组用一个矩阵方程表示了。而这个矩阵，则是上述几何操作的表示。 显然满足方程组的系数a,b,c和d没有唯一解，即矩阵方程不止一个解。 为了确定系数矩阵，可以提出额外的要求。例如，a=b=0, 或a=1，b=-1，这两种都有a+b=0之特征，即矩阵的迹等于0。还可设a=b且c=d等，使满足原方程组的系数确定。 可以解出 0  ，      5/3 7/5  ，    0 是符合第一种要求（即a=b=0)并满足原方程组的系数矩阵。 我们按此建立了几何操作、矩阵算符之间的对应关系。 下面看两个更有意义的操作算符： 投影矩阵算符与旋转矩阵算符，算符的本征矢量、本征值，矩阵乘法以及两算符的对易子 对于点（2，3），在横坐标轴上投影为（2，0），这一投影操作对应的矩阵算符是M: 1，    0 0，    0 它乘 2 3 可得 2 0 在纵坐标轴上的投影算符为矩阵： 0，    0 0，    1 如果矩阵F： 16      0 0        0 乘以横坐标轴上的一个行基矢量<p|表示为（x，0），对应的列矢量 |p> 表示为 x 0 可知： F|p> = 16 |p>， 或 <p|F = <p|16 = 16 <p|  即算符F乘这个矢量，等于一个数乘这个矢量。这时，这个矢量叫这个算符的一个本征矢量，而那个数叫做对应于这个算符及这个本征矢量的本征值。反过来说，这个矢量是对应于这个算符及其这个本征值的本征矢量。 显然，投影算符M的本征矢量有（x，0）与（0，y）两组，分别是与所要投影到的横轴平行和垂直的所有矢量，本征值分别为1和0。 上述投影算符M的本征矢量归一化，即选择长度为一的本征矢量，有（1，0），（-1,0）与（0，1），（0,-1）两对，本征值分别为1和0. 如果两个矢量的终点在以原点为圆心的圆上，即一个矢量保持长度不变而绕原点顺时针旋转φ角就可得另一矢量，这几何上的旋转操作，可算出这对应于一个旋转矩阵R： cosφ,      sinφ -sinφ,     cosφ 可记为： a，    b -b，  a 这个矩阵的行列式 detR = aa-（-b）b  = a^2 + b^2 = 1。 设φ为无穷小ε，则相应的无穷小旋转算符为R(ε)： 1-εε/2 ,        ε -ε ,             1-εε/2 上面是保留到二级无穷小，保留到一级无穷小，则设上面的εε/2为0即可。 计算可知旋转算符在平面内不存在非零本征矢量，自然也谈不上本征值。实际上，若超越2维xy平面，在3维空间看来，平面旋转算符的本征矢量在与平面垂直的z轴上。 如果从上述旋转操作后得到的矢量，反向旋转回去得到原矢量，这对应于S的逆矩阵S^(-1)： cosφ,      -sinφ sinφ,        cosφ 通过下面将定义的矩阵乘法将可知：R R^(-1) = R^(-1) R = 1, 对矢量的接连两次操作，对应的矩阵乘法 已知从(x,y)操作变为(x',y'), 再从(x',y')变为(x",y"),  分别有： 变换方程组一： ax + by = x' cx + dy = y' 变换方程组二： ex' + fy' = x" gx' + hy' = y" 求：从(x,y)操作直接变为上述(x",y")的变换方程组： px + qy = x" rx + sy = y" 令其系数矩阵等于第二个方程组的系数矩阵乘以第一个方程组的系数矩阵，便得矩阵乘法的规则： a,     b c,     d 乘 e,     f g,     h 等于矩阵： p=ae+bg,      q=af+bh r=ce+dg,       s=cf+dh 现在我们可计算出，旋转矩阵与逆矩阵的积 R R^(-1) = R^(-1) R = 1. 如果平面上对一矢量接连实施两次旋转操作，则可证明：颠倒两次操作的顺序，不影响最后的矢量结果，这对应于两旋转矩阵其乘法满足交换律。但在3维空间，绕不同方向的轴的两旋转不满足交换律。 在平面上，对一矢量先进行一个投影操作再进行一个旋转操作，与颠倒这两个操作的顺序，结果也会不同。 对应从代数表示上看，矩阵乘法RM不等于MR。它们的积有差别，这个差别叫两矩阵算符的对易子： [R, M] = RM - MR  计算可知，对易子[R, M] 为如下矩阵： 0，        sinφ sinφ,      0 其迹为0，且转置不变。 对易子为什么重要？ 因为对于两个矩阵A、B以及它们的对易子[A, B], 三者中，若知道其中两个，常就可求出第三个（在某表象下的表示）。而在量子力学中，往往是由物理定律已知两算符的对易子。 如果把平面上原有的各矢量统一地进行一个某角度的旋转操作，这相当于坐标系反向旋转那个角度，可见这操作保持了原各矢量的长度不变、夹角不变、相互变换的代数关系不变。这种操作叫幺正变换U。幺正变换满足旋转变换关系：detU = 1, 且 U U^(-1) =  U^(-1)  U    =   1. 如果其中原两矢量|a>与|b>之间的变换矩阵是F，即  F|a> = |b>,  在实施幺正变换时： |a>--->|a'> = U|a>,    |b>--->|b'> = U|b>,  显然，矩阵F在此幺正变换下将做如下变换： F---> F' = UFU^(-1) 其中U^(-1)的作用对应于先将幺正变换后得到的矢量如|a'>还原回|a>，再在其原矢量下进行原F对应的操作下变为|b>, 最后，再将|b>进行幺正变换U而变为|b'>. 一个矩阵可以用一个大写字母附加上下角标表示，上下角标分别代表第几行第几列，如A^m_n。矩阵乘法：A^m _n B^k _m，遵守爱因斯坦约定，一个上标与一个下标字母相同时，对各对应的积求和。 旋转矩阵还可用指数表示为e^Mφ，其中M也是一矩阵，这个指数表示可以按泰勒展开求和而成为普通矩阵。 高中物理教材內容討論:關於量子力學的算符 www.phy.ntnu.edu.tw/demolab/phpBB/viewtopic.php?topic=15268 頁庫存檔 14 篇文章 - ‎3 位作者 我們知道動量算符為i*(hbar)*partial/(partial x)那為什麼動量平方算符 ... 若是要對系統進行物理運算(or實量的觀測) 則以上針對波函數運算的動作，其結果為動量本徵 ... 缺少字詞： 複數 量子力學詮釋- 维基百科，自由的百科全书 zh.wikipedia.org/zh-hk/量子力學詮釋 頁庫存檔 類似內容 轉為繁體網頁 雖然今日這個問題是物理哲學家特別感興趣的課題，仍有許多物理學家持續對此一課題表達高度的興趣， ... 观测者在测量过程中扮演着某种角色。 ... 由数学上更复杂的变换（见量子算符）描述的不可逆和不可预测的变换。 ... 计算对系统S进行的测量需要用到复数域上的希尔伯特空间H。当系统S制备为纯态时，它表示为H中的一个矢量。 量子力学基础与积算符_百度文库 wenku.baidu.com/view/f15e32ed19e8b8f67c1cb9da 頁庫存檔 轉為繁體網頁 ... + <V> 算符波函数波函数：表示物理体系的状态Ψ (r,t)：为一个复数，本身无物理意义，它的意义通过|Ψ(r,t)|2来定义。 ... 算符算符：表示物理体系中的物理量，也称为作用量性质： ? ... (3) 算符乘积( 运算一次从右到左进行) ： A B? ... BA ( 4 )算符对易? .... 当只计算属于自旋系统的观测量Q的期望值时,可以不要求知道完全的密度算符? 算符_百度百科 baike.baidu.com/view/271856.htm 頁庫存檔 類似內容 轉為繁體網頁 操作符可为走步、过程、规则、数学算子、运算符号或逻辑符号等。... ... 量子物理学中，算符是一个函数，作用於物理系统的物理态(physical state)，使 ... 如何对系统的态进行了解，或进行改变，我们只需引入一种数学形式就可以了。 ... 并非所有操作都能得到可以观测的结果，而这类能得到可观结果的操作--也就是测量，其代表的算符也 ... 缺少字詞： 複數 一些量子力学基本概念和矩阵几何基础_impot_新浪博客 blog.sina.com.cn/s/blog_3fd642cf0101fv9a.html 頁庫存檔 轉為繁體網頁 2013年10月29日 - 对于一个物理系统，某种物理实验上可分辨的各个不同状态，叫做系统在这一观测下 .... 为算符，c为复数（也可将c吸收进F）； 其二，这次观测与前一次观测相隔足够短时间 ... 我们把上述矢量中引来的3x(-4) + 2x6 = 0 这种运算叫矢量乘法。 .... 在平面上，对一矢量先进行一个投影操作再进行一个旋转操作，与颠倒这两个 ... 关于量子力学的一点浅见（观察者原理；不确定性的另一种推导 ... blog.renren.com/share/281046740/3764042984 頁庫存檔 轉為繁體網頁 所以，在量子物理中，测量本身已经包含在了算符之中，即它就是对系统的一种改变。 ... 也就是说它是一个关于时间和空间的函数，同时它还是一个复数。 ... 这样，波函数遵循着与经典概率完全一样的运算法则。 ... 量子化的，但笔记本还可以用，不过要是有人打开笔记本的后盖，对那些量子化的硬件进行了观测，就会使量子波函数塌缩， ... [DOC]第五章 - Quantum Physics and Quantum Information quantum.ustc.edu.cn/old/teaching/qm2/Q5讲稿.DOC 頁庫存檔 轉為繁體網頁 具体地讲，一个幺正算符对量子系统的幺正变换包括对态的和对算符的两方面的内容： .... 全部可观测力学量在两个系统中的观测值以及得到这些值的概率都对应相等，就说这两个系统在物理上是 ... 就是说，如将某一常数抽出算符作用之外，需要对它取复数共轭。 ... 于是，标积、矢积、微分等各种运算便转化为对相应坐标进行数值运算。 虚数的物理意义是什么？ | 问答| 果壳网科技有意思 www.guokr.com/question/382450/ 頁庫存檔 類似內容 轉為繁體網頁 二、复数的定义既然i 表示旋转量，我们就可以用i ，表示任何实数的旋转状态。 ... 物理运算中会引进很多抽象符号，正数负数，实数虚数，像我们从小学开始学数一样， ..... 种语言，它的基本定律从现实物理世界中抽象而来，再运用逻辑工具对其进行扩展。 .... 量子力学演化算符在矩阵表述下是厄米矩阵，因为观测值是演化算符的矩阵本征 ... 动漫术语科普贴： 希尔伯特空间，量子测量，波函数塌陷与薛丁 ... bbs.hupu.com › 休闲娱乐 › 动漫区 頁庫存檔 轉為繁體網頁 2013年6月3日 - 其中，|i>是这个希尔伯特空间内的任意正规化基底，ai是复数（基底的概念， ... 在物理学里，算子是一个函数，作用於物理系统的物理态，使这个物理态 .... 算子运算后，其中一个塌陷了，也就是说不复存在了，那么经过观测仪器对 ... 也就是说，你用同一个测量仪器（也就是说同一个算符）不断地对同一个系统进行操作，得 ... [DOC]物质系统的投影——复数系统 blog.sciencenet.cn/blog/admin/.../20074119183127756.do... 頁庫存檔 轉為繁體網頁 由 石益祥 著作 - ‎被引用 5 次 - ‎相關文章 [1]摘要：在对复数认识及其在物理学中的应用历史回顾的基础上，本文运用马克思主义哲学 ... 但他仍然认为虚根是“诡辩量”，从而怀疑到这类数的运算合法性。 ... 它是通过引入不可对易性算符的替换，后来被狄拉克戏称为“一种有趣的游戏，利用普遍的公式 ... 在经典物理学中，所有的物理量都是可观测的；可观察量用实数表示就够了。 动漫术语科普贴： 希尔伯特空间，量子测量，波函数塌陷与薛丁格的猫 40回复 1462浏览 123 下一页» phoebeDD (41级) 2013-06-03 11:55 收藏本帖楼主 动漫术语科普贴： 希尔伯特空间，量子测量，波函数塌陷与薛丁格的猫  由 phoebeDD 发表在虎扑篮球·动漫区 http://bbs.hupu.com/acg            引入 先来一点高中数学，从向量说起： 平面向量的表示 假设有一个二维平面x-y, 我们可以说这个平面的两个基底为向量 |x> 和向量 |y>，正规化后，平面的基底为 x|>=[1 0], |y>=[0 1]（方向和x,y相同，长度为1的单位向量）其中|x>和|y>为正交向量 有了正规化的基底|x> 和 |y>后，平面上的任何向量|n>都能被 |x> 和 |y> 表示： |n>=c1|x>+c2|y> 其中c1和c2是常数 平面向量的内积 定义内积的运算 设在x-y平面由向量|n>和|m>，其中|n>=x1.|x>+y1.|y>=（x1, y1),  |m>=x2.|x>+y2.|y>=（x2, y2),呢么|n>和|m>的内积等于x1.x2+y1.y2=|m|.|n|.cosθ，其中θ是向量|n>和|m>的夹角（如何证明自己翻高中数学书） 正交向量 当两个向量正交（其实正交和垂直是同一个意思），他们的内积为0（请自行翻阅高中数学书）                                                                                 第二个引入 二维平面的推广，由二维平面至希尔伯特空间 希尔伯特空间就是一个由二维空间（平面）和三维空间，推广到任意或者无限维度的复数空间，而且希尔伯特空间内任意的向量间的内积的计算遵循欧几里得空间（就是二维或者三维）的计算。 例子， 一个在n维希尔伯特空间内的任意向量|a>能表达为  其中，|i>是这个希尔伯特空间内的任意正规化基底，ai是复数（基底的概念，例如二维平面的基底是x,y ，三维平面的基底是x,y,z，那么n维平面的基底就可以是|1>,|2>.......|i>........|n> （不要去想象希尔伯特空间是个什么样子，他在物理世界中不一定存在）                                                                             量子测量 测量中正交的概念： 用例子说明，当我们抛硬币时，得出的结果只能是正面和反面，那么我们就说正面和反面是正交的两个结果。因为投掷硬币的任何结果，都能用正反两个向量作为基底表达出来。物理测量中，正交的两个结果，说明他们是不会同时出现的，而且能表达出任意试验结果和结果出现的概率(不急，下面会说到具体如何表达），因此，我们测量最简单的量子系统-单个量子的自旋时，得出的结果只能是量子向上自旋和向下自旋，我们把向上自旋记坐正规化向量|u>，把向下自旋记作正规化向量|d>，那么我们就用了两个互相正交的正规化向量|u>和|d>，其中他们的长度为1，内积为0 算子： 在物理学里，算子是一个函数，作用於物理系统的物理态 ，使这个物理态变换为另外一个物理态。简单地说，算子就是一个机器，你对他输入一些东西，他会给你输出另外一些东西。 例如加号，就是一个算子,但需要两个输入，负号，也能算是一个算子，只需要一个输入。 物理上来说，任何测量仪器都是一个算子，因为观测仪器作用于这个系统，得出输出符号，让人知道系统与测量仪器作用后的状态 以下用加号为例子说明算子 好了，算子的数学意义说完了，现在来用图说明测量用算子的物理意义 假设我们有一个机器来测量量子的自旋，当自旋向上时，机器输出1，当自旋向下时，机器输出-1 但是有个问题，就是当我们用这个只能测量量子是向上旋转还是向下旋转的机器去测量一个向右旋转的量子时，我们能得出什么？ 机器只能输出1或者-1，但是向右旋转既不是1，也不是-1，而是介于1和-1之间，相对于向上旋转和向下旋转，代表向右旋转的数值应该是0。可是问题来了，因为我们的机器太简陋，只能输出1或者-1，那么到底输出是多少呢？ 答案是随机输出1或者-1，而且输出1和-1的概率各位50%） 好了，最简单的量子测量说完了，然后是时候用数学推导出波函数塌陷啦~~~~ 让我们把那个只能输出1或者-1的测量仪器称为算子б，那么向上旋转的量子就能用向量表示为|u>, 向下旋转的量子就能表达为|d>。（u,d分别是up和down的简写~~~），然后，向量和算子间的关系就成为 б(|u>)= 1|u> б(|d>)=-1|d> 然后量子向右旋转时，机器输出1或者-1的概率各为50%。用向量|r>来表达，那么我们现在试图用|u>和|d>来表达|r> 再来一些数学~~~ 假设在二维希尔伯特空间上有一个随机向量|a>，这个空间的两个基底为|i>和|j>，那么|a>用基底来表达就是 |a>=a1|i>|+a2|j>，其中a1和a2是复数,那么|a>在基底|i>和|j>上的投影各是多少呢？ a1和a2么？ 但不要忘记了，我们现在在一个希尔伯特空间里，a1和a2都是复数，我们要得到的投影都是实数，要怎么办呢？ 共轭复数的概念在此强势插入： 一个复数a+bi的共轭复数是a-bi......（回去翻高中数学书）然后a1的共轭复数就是a1*,a2的共轭复数就是a2* 那么|a>在基底|i>上的投影就是a1a1*,在基底|j>上的投影就是a2a2* 以下图为例 任意向量在|i>和|j>上的投影都要考虑到复平面，而投影的长度就是投影在复平面上的长度 好，回到我们的量子自旋系统上面，现在我们如果用测量上下的仪器去测量向右自旋的量子，会有50%机会得到1,50%机会得到-1,。 也就是说，这个向右自旋的系统|r>在以|u>和|d>为基底的2维希尔伯特空间上在基底|u>和|d>的投影是相等的，而且|r>是单位向量，长度为1，那么我们就得到以下关系 |r>=1/2^0.5|u>+1/2^0.5|d> 概率论强势插入： 当一个系统有很多种可能出现的时候，各种可能出现的概率的总和为1。如果选择任一对应该系统的希尔伯特空间中的向量|n>，每个基底出现的概率为该向量在这个基底上的投影长度 也就是说，一个任意单位向量在各基底上的投影加起来等于他自身的长度1。测量时，每个基底出现的概率为该单位向量在这个基底上的投影长途 我们来验证以下|r>=1/2^0.5|u>+1/2^0.5|d>，(1/2^0.5)^2=1/2，也就是说在仪器上+1出现的概率为1/2，-1出现的概率也为1/2，他们的概率和为1 好了，辛苦准备完了，开始波函数的坍陷 每次我们测量一个系统，我们就会改变这个系统。准确一点来说，任意系统都可以用向量来表示，例如向上自旋的量子是|u>，向下自旋的量子是|d>,向右自旋的量子是|r>。 而任意的测量仪器都是一个算子，我们通过算子对向量进行运算，得出我们观察到的结果，同时系统的向量也由原来的向量变为了我们观察到的结果，这个就是波函数塌缩的大体意思 例子，如果我们对本身向上旋转的量子用我们前面说到的仪器进行测量，将会得到1，而此后量子继续向上旋转。对向下旋转的量子进行测量，得到-1，此后量子继续向下旋转。用公式表达为 σ|u>= 1|u> σ|d>=-1|d> 但是我们对向右旋转的量子进行测量，我们得到了什么？试着用公式去推导 σ|r>=σ(1/2^0.5|u>+1/2^0.5|d>)=1/2^0.5.σ|u>+=1/2^0.5.σ|d>= 1|u>或-1|d>？？？ 出问题了，数学推导和实际观察结果不同 实际上，是组成向量|r>的两个基底|u>和|d>其中一个塌陷了，从而让另一个出现的几率变为1. 也就是说σ|r>=a1|u>+a2|d>=1|u> 的时候，a1变为了1，a2变为了0;   σ|r>=a1|u>+a2|d>=-1|d> 的时候，a1变为了0，a2变为了1.  因为组成|r>这个向量的两个基底经过算子运算后，其中一个塌陷了，也就是说不复存在了，那么经过观测仪器对其作用后，这个向量就由原来|r>变为|d>或者|u>的其中一个 推广到n维希尔伯特空间， 如果|n>=Σai |i>， 那么如果讲过算子对其运算后 得出σ|n>=ai |i> （其中|i>是基底），其余基底都塌陷了~~~ 也就是说，你用同一个测量仪器（也就是说同一个算符）不断地对同一个系统进行操作，得出的结果永远是相同的，但是系统的初始值永远无法确定，因为在第一次测量的时候，你已经将系统初始化为某一个基底向量，至于是哪个基底向量，就要听天由命了 好了，现在就说说薛丁格的猫，那个臭名昭著的原子衰变试验 薛丁格的猫试验内容如下： 猫咪被封在一个密室里，密室里有食物有毒药。毒药瓶上有一个锤子，锤子由一个电子开关控制，电子开关由放射性原子控制。如果原子衰变，则放出α粒子，触动电子开关，锤子落下，砸碎毒药瓶，释放出里面的*河蟹*气体，则猫就要挂了。 如果原子不衰变，则猫大难不死。 我们设这个试验为一个系统，用向量|n>表示 根据此试验，经过测量仪器操作后得出了两个正交向量， |死猫> 和|活猫>，他们出现的概率是50% 50%。 根据我们上面说过的波函数坍陷，这两个向量都不是能代表这个系统的向量，这个系统的向量|n>应该表示为 |n>=1/2^0.5|死猫>+1/2^0.5|活猫> 这个公式才是这个系统的本来面目。但是经过仪器测量，也就是算子对系统经行干涉后，其中一个向量塌陷了，导致了另一个向量的出现。 所以死猫和活猫都不是这个系统的原来状态 所以，这个系统的原来状态，薛丁格说了，猫是既死又活的 [ 此帖被phoebeDD在2013-06-03 12:21修改 ]