自由粒子的能量是二重简并的。原因：自由粒子的能量只依赖于动量的大小，而其本征函数却依赖于动量的方向，能量在动量的两个方向上是对称的，因而导致二重简并的存在。以后还会看到，简并总是和系统的某种对称性相联系
微分方程的本征值和本征函数- 豆丁网
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动能为 100 电子伏特的电子，其物质
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ZT:听Andon Zeilinger教授介绍量子隔空传输技术（上） 2011-07-08 02:48:42 [点击:919]
听Andon Zeilinger教授介绍量子隔空传输技术（上）
断章师爷
六月初，正值学生考试期间，校园的布告栏新张贴的海报前面却人头攒动。我也挤进去看了一眼，是维也纳大学的Andon Zeilinger教授应邀在物理楼作公开演讲，题目是《量子纠缠和量子隔空传输》（Quantum entanglement & Quantum teleportation
）。依稀记得以前看到过有关的报道，量子纠缠仿佛是一种无远弗届的微观物理效应，至于量子隔空传输技术却一点都不得知。海报上还醒目地用大写字母标出了一行红字：“演讲者被英国《新政治家》报评选为10个改变世界的人之一”。可能是被这行红字打动了，我决定前去听听。
演讲上午10时开始，A.Zeilinger教授是个须眉花白，额头宽大，神态和气的老头，一双睿智的眼睛在近视镜片后忽闪忽闪，显得和蔼可亲，说话带有浓重的德语口音。“诸位想必都知道阿拉丁的故事[1]，他的那盏神灯里面住着的灵怪Jinn可以满足主人的一切要求，能在一眨眼的功夫将一整座豪华的宫殿从中国移到摩洛哥，瞬刻之间再重新搬回来。我们今天称Jinn拥有的这种超凡本领为teleportation（隔空传输或者隐形传输），伟大的A.爱因斯坦生前则十分厌恶地称它为‘鬼魅般的超距作用’ （spukhafte Fernwirkung）……”A.Zeilinger教授的开场白赢得了满场的笑声，真好口才!
接着A.Zeilinger教授开始介绍量子纠缠的概念，他既没有使用深奥的数学语言，也没有叙述抽象的物理背景，只是放了一段视频。通俗易懂的图片配有简短明了的文字，他本人则不时地在一旁进行解释和补充。
视频首先回顾了上世纪三十年代中A.爱因斯坦和N.波尔这两位物理学巨人关于量子力学理论的那场争论。
1935年A.爱因斯坦和他在美国普林斯顿大学的两位同事波多斯基（B.Podolsky）和罗森（N.Rosen）在《物理评论》第47卷上发表了一篇著名的文章“物理实在的量子力学描述能否认为是完备的?”（Can quantum mechanical description of physical reality be considered complete?）这篇文章的结论被物理学界称为以他们三人姓氏的第一个字母组成的所谓EPR悖论（EPR paradox）。根据量子力学中W.海森堡的测不准原理：如果P和Q是两个物理量（例如动量和坐标）对应的算符，它们不对易[2]，即PQ不等于QP。那么知道了其中一个的确切知识，将无法获悉另一个的确切知识。换句话说，要同时精确地测量某个微观物体（例如粒子）的动量和位置的值是不可能的。EPR这篇文章分为两个部分。在第一部分中以通常的方法演绎出了“在精确地测量了一个粒子动量值后，其坐标的精确值是不可能测得的，测得的只能是坐标的结果介于两个确定数值之间的相对概率。”在第二部分中，EPR设计了一个思想实验：假设有两个粒子A和B，它们发生短暂作用后，就各自朝着相反的方向移动出去。(原文是有两个系统I和II，允许它们之间发生相互作用。然后这两部分之间不再发生任何作用。) 他们先分别测量了A粒子的坐标精确值和B粒子的动量精确值。在得知A粒子的坐标精确值后，可以通过计算的方法得到B粒子的坐标精确值。同理，在得知B粒子的动量精确值后，也可以计算出A粒子的动量精确值。这就是量子力学的悖论：测不准原理表明粒子的动量和坐标之值是不能确切地得知的。然而EPR的结论表明这是可能的。因此EPR在文中总结道：“量子力学对于物理实在的描述是不完备的。”他们在文中写道：
“我们不得不得到在量子力学中波函数对于物理实在的描述是不完备的结论。” EPR这篇文章总共才4页纸，分为2个部分，一共使用了18个算式。主要的演绎步骤是使用了一个波包衰减 (reduction of the wave packet) 过程。A.爱因斯坦坚持“B处的物理实在会因为A处的测量而发生突然的改变。我对物理的直觉强烈地排斥这一点。” 说穿了，他还是相信基于因果联系的决定论，认为“上帝不会掷骰子”。而且他还坚持局域性（locality）的观点，认为不可能存在超光速信息的传播。
时隔5个月，在《物理评论》第48卷上发表了丹麦的物理学大师N.波尔那篇题目完全相同内容针锋相对的回应文章“物理实在的量子力学描述能否认为是完备的？” N.波尔以测量仪器与客体实在的不可分性为理由否定了EPR论证的前提（即物理实在的认识论判据），从而否定了建立在EPR思想实验上的悖论。N.波尔认为，在量子力学中必须抛弃因果性和决定论， 而代之以互补性。互补性原理应该被认为是因果性观念或决定论力学的一种合理推广。他强调由于这种“原则上不可控制的相互作用”使得在分析量子效应时，不可能明确地区分客体的独立行为以及其与测量仪器之间的相互作用。但是，正如A.Zeilinger教授指出的N.波尔这篇文章的言词和包含的哲学思想相当艰深，不容易读懂。尤其是他提出“一个物理量只有在被测量以后才是实在的”，这种观点与爱尔兰经验主义哲学家贝克莱大主教（G.Berkeley的那句名言“存在就是被感知”（esse est percipi）如出一辙。难怪A.爱因斯坦的传记（Subtle is the Lord ）作者A.Pais在书中记载了这么一段话：“我们经常讨论关于客观实在的概念。我记得一次和A. 爱因斯坦散步时他突然停下来，转向我并问我是否真的相信仅当我看月亮时它才是存在的。（The moon exists only when I look at it.）”
上述N.波尔的观点在今天看来已经是老生常谈了。量子力学教科书告诉我们由于量子行为的存在，测量动作对于被测量对象的破坏是不可避免的，即使对于位置和动量那些经典信息的测量也同样如此。正如量子力学奠基者之一P.约当（Pascual Jordan）的叙述：“观测不仅妨碍了被测对象，而且创造了它……我们强迫（电子）保持确定的位置……我们自己创造了观测的结果”
说来惭愧，我本人的量子力学知识有限得可怜，三十多年前在国内念硕士研究生时选修过一门“量子力学概论”，教材记得是周世勋先生编的《量子力学教程》。后来因为工作的需要，在一次图书大减价时购进了一整套L.D. Landau和E.M. Lifshitz编写的《理论物理学教程》，然而其中的第三卷《量子力学：非相对论理论》我却从来未曾系统地看完过，仅仅是在遇到某个陌生或者模糊的概念时拿它当作工具书来查阅而已。所以A.Zeilinger教授接下去讲解的量子隔空传输的那部分内容，我是象听新闻广播似的，耳到心不到。
根据A.Zeilinger教授介绍，“量子纠缠”（Quantenverschränkung）这个物理术语是奥地利的物理学诺奖得主E.薛定谔 在那篇关于EPR悖论的文章发表后，写给A.爱因斯坦的信中首先提出来的：“纠缠状态用以描述由两个或多个粒子组成系统的个体特征例如总的角动量。”
教科书中关于量子纠缠的定义是指一个复合系统中的各个子系统之间的非局域关联性(non-locality correlatiob)。用数学语言来表示，如果复合系统的态不能分解成为各个子系统态的直积形式[3]，那么各个子系统之间就有一种非局域性的关联性，我们称它们之间存在纠缠，称该复合系统的态为纠缠态。对一个纠缠态的复合系统的某个子系统施加的作用会由于纠缠引起的非局域相关性(non-local correlation)而影响到其他的子系统。这种非局域相关性是一种纯粹的量子效应，不存在经典的对应关系。正是这种非局域相关性使量子纠缠有可能成为量子信息众多应用的基础。A.Zeilinger教授认为借助于“量子纠缠”的概念，有望解决很多以前认为是不可能的难题。其中包括量子隔空传输、量子通讯密码和量子计算等。
关于量子计算机和量子密码A.Zeilinger教授只是简短地一言带过，他着重介绍了量子隔空传输。所谓量子隔空传输指的是如果我们通过对A进行测量，那么B处的系统也可以获得某种具有确定值的物理性质，通常使用位于A、B处的两个分离粒子的相关波函数（correlation wave function）来描述。如果量子隔空传输(作用)确实存在的话，那么可以通过测量A的位置(或动量)立刻得知B的位置(或动量)。换句话说，两个分开的系统，不管它们之间相距多远（例如一个在太阳处，另一个在冥王星处)，对其中一个进行测量，就能确定另一个的状态。A.爱因斯坦对于这种量子隔空传输是至死都不相信的,称之为鬼魅般的超距作用。
1964年爱尔兰的物理学家J.贝尔（John Stewart Bell，1928–1990）基于局域性和实在性（locality & reality)的双重考虑，对于同时测量两个分隔开来粒子的结果所可能具有的相关程度建立了一个严格的限制，这就是以他姓氏命名的贝尔定理。这条定理可以用一个数学上的不等式来表示，所以又称为贝尔不等式。贝尔定理的证明多种多样，但万变不离其宗，这些证明都用到经典概率论，特别是用到其中的关于“联合概率”（unite probabilitie)的运算规则，而且涉及到D.波姆( David Joseph Bohm，1917–1992)的粒子单态（singlet state)概念以及数学上的隐变数理论（the hidden variable theory）。A.Zeilinger教授只用了一句简单的话进行概括：如果实验结果证实贝尔不等式成立，那就违背了量子力学的预测；反之则证实了A.爱因斯坦关于局域性的观点。
从上世纪70年代起,世界各国的物理学家都投身于贝尔不等式的实验验证工作,他们采用各式各样的实验手段，例如正负电子湮灭(positronium annihilation) 、级联光子对(cascade photon)以及质子对散射(proton-proton scattering)等。结果，包括吴健雄、A.Wilson、M.Bruno以及A.Aspect等顶尖级物理学家的大量测定结果都不服从Bell不等式，也就是与量子力学理论的预测相符。只有少数人例如G.Faraci和R.Holt的结果比较接近贝尔不等式的极限。其中，法国学者Alain Aspect教授设计了一个堪称巧妙而又精确的实验用来做贝尔状态的测量[4]。A.Aspect的装置比较简单：由光子源产生的一对光子以相反的方向分别传送到两个双通道的起偏振器，偏振方向（水平、垂直或者任意角度）可以由实验者调节。从每个通道发出的信号由单光子检测器测得，并送到一个叠合显示器中进行叠合计数（coincidence counting）[5]从而可以得到4种贝尔状态（++、--、+-和-+）。A.Aspect教授因此和A.Zeilinger教授以及另外三位美国教授一齐被授予2010年的Wolf物理学奖。
A.Zeilinger教授认为上述科学家的这些实验结果证明了伟大的A.爱因斯坦在与以N.波尔为首的哥本哈根学派的那场关于量子力学理论的世纪论争中成了输家。
(未完待续)
注释
[1]参见阿拉伯神话《一千零一夜》中阿拉丁和神灯的故事(Aladdin and his wonderful oil lamp)。
[2]算符（operator）又称算子，作用于物理系统的物理态，可以使得系统从一个物理态变换为另外一个物理态。通过这种变换，可以得到关于这两个物理态的信息。对于算符A和B，如果满足关系 [A，B]=AB-BA，称它们为可对易的。反之，则是不可对易的。如果A和B不对易的话，则A和B不可能具有共同的本征态。
[3]直积（directproduct）数学中经常通过定义已知对象的直积来给出新对象，笛卡尔积（Cartesian product）就是一种直积，可以表示为{X}x{Y}。例如{X}表示扑克牌中的13个点数的集，{Y}表示扑克牌中4种花色的集，那么这2个集的直积{X}x{Y}表示扑克牌中所有52张牌的集合。
[4]不稳定粒子的衰变会产生单态的粒子对，这两颗粒子会分别朝着相反的方向移动。假设在与衰变地点相隔一定距离的两个地点，分别以各种不同角度作为实验参数。然后测量这两颗粒子的自旋，通过得到的数据可以计算出这个系统的纠缠性质。这种实验称为贝尔状态的测定。
[5] 叠合事件（coincidence events）是指两个或两个以上同时发生的事件。叠合计数是利用叠合原理来甄选叠合事件的方法。叠合测量是研究在时间上、方向上相互关联的事件的技术。
断章师爷
六月初，正值学生考试期间，校园的布告栏新张贴的海报前面却人头攒动。我也挤进去看了一眼，是维也纳大学的Andon Zeilinger教授应邀在物理楼作公开演讲，题目是《量子纠缠和量子隔空传输》（Quantum entanglement & Quantum teleportation
）。依稀记得以前看到过有关的报道，量子纠缠仿佛是一种无远弗届的微观物理效应，至于量子隔空传输技术却一点都不得知。海报上还醒目地用大写字母标出了一行红字：“演讲者被英国《新政治家》报评选为10个改变世界的人之一”。可能是被这行红字打动了，我决定前去听听。
演讲上午10时开始，A.Zeilinger教授是个须眉花白，额头宽大，神态和气的老头，一双睿智的眼睛在近视镜片后忽闪忽闪，显得和蔼可亲，说话带有浓重的德语口音。“诸位想必都知道阿拉丁的故事[1]，他的那盏神灯里面住着的灵怪Jinn可以满足主人的一切要求，能在一眨眼的功夫将一整座豪华的宫殿从中国移到摩洛哥，瞬刻之间再重新搬回来。我们今天称Jinn拥有的这种超凡本领为teleportation（隔空传输或者隐形传输），伟大的A.爱因斯坦生前则十分厌恶地称它为‘鬼魅般的超距作用’ （spukhafte Fernwirkung）……”A.Zeilinger教授的开场白赢得了满场的笑声，真好口才!
接着A.Zeilinger教授开始介绍量子纠缠的概念，他既没有使用深奥的数学语言，也没有叙述抽象的物理背景，只是放了一段视频。通俗易懂的图片配有简短明了的文字，他本人则不时地在一旁进行解释和补充。
视频首先回顾了上世纪三十年代中A.爱因斯坦和N.波尔这两位物理学巨人关于量子力学理论的那场争论。
1935年A.爱因斯坦和他在美国普林斯顿大学的两位同事波多斯基（B.Podolsky）和罗森（N.Rosen）在《物理评论》第47卷上发表了一篇著名的文章“物理实在的量子力学描述能否认为是完备的?”（Can quantum mechanical description of physical reality be considered complete?）这篇文章的结论被物理学界称为以他们三人姓氏的第一个字母组成的所谓EPR悖论（EPR paradox）。根据量子力学中W.海森堡的测不准原理：如果P和Q是两个物理量（例如动量和坐标）对应的算符，它们不对易[2]，即PQ不等于QP。那么知道了其中一个的确切知识，将无法获悉另一个的确切知识。换句话说，要同时精确地测量某个微观物体（例如粒子）的动量和位置的值是不可能的。EPR这篇文章分为两个部分。在第一部分中以通常的方法演绎出了“在精确地测量了一个粒子动量值后，其坐标的精确值是不可能测得的，测得的只能是坐标的结果介于两个确定数值之间的相对概率。”在第二部分中，EPR设计了一个思想实验：假设有两个粒子A和B，它们发生短暂作用后，就各自朝着相反的方向移动出去。(原文是有两个系统I和II，允许它们之间发生相互作用。然后这两部分之间不再发生任何作用。) 他们先分别测量了A粒子的坐标精确值和B粒子的动量精确值。在得知A粒子的坐标精确值后，可以通过计算的方法得到B粒子的坐标精确值。同理，在得知B粒子的动量精确值后，也可以计算出A粒子的动量精确值。这就是量子力学的悖论：测不准原理表明粒子的动量和坐标之值是不能确切地得知的。然而EPR的结论表明这是可能的。因此EPR在文中总结道：“量子力学对于物理实在的描述是不完备的。”他们在文中写道：
“我们不得不得到在量子力学中波函数对于物理实在的描述是不完备的结论。” EPR这篇文章总共才4页纸，分为2个部分，一共使用了18个算式。主要的演绎步骤是使用了一个波包衰减 (reduction of the wave packet) 过程。A.爱因斯坦坚持“B处的物理实在会因为A处的测量而发生突然的改变。我对物理的直觉强烈地排斥这一点。” 说穿了，他还是相信基于因果联系的决定论，认为“上帝不会掷骰子”。而且他还坚持局域性（locality）的观点，认为不可能存在超光速信息的传播。
时隔5个月，在《物理评论》第48卷上发表了丹麦的物理学大师N.波尔那篇题目完全相同内容针锋相对的回应文章“物理实在的量子力学描述能否认为是完备的？” N.波尔以测量仪器与客体实在的不可分性为理由否定了EPR论证的前提（即物理实在的认识论判据），从而否定了建立在EPR思想实验上的悖论。N.波尔认为，在量子力学中必须抛弃因果性和决定论， 而代之以互补性。互补性原理应该被认为是因果性观念或决定论力学的一种合理推广。他强调由于这种“原则上不可控制的相互作用”使得在分析量子效应时，不可能明确地区分客体的独立行为以及其与测量仪器之间的相互作用。但是，正如A.Zeilinger教授指出的N.波尔这篇文章的言词和包含的哲学思想相当艰深，不容易读懂。尤其是他提出“一个物理量只有在被测量以后才是实在的”，这种观点与爱尔兰经验主义哲学家贝克莱大主教（G.Berkeley的那句名言“存在就是被感知”（esse est percipi）如出一辙。难怪A.爱因斯坦的传记（Subtle is the Lord ）作者A.Pais在书中记载了这么一段话：“我们经常讨论关于客观实在的概念。我记得一次和A. 爱因斯坦散步时他突然停下来，转向我并问我是否真的相信仅当我看月亮时它才是存在的。（The moon exists only when I look at it.）”
上述N.波尔的观点在今天看来已经是老生常谈了。量子力学教科书告诉我们由于量子行为的存在，测量动作对于被测量对象的破坏是不可避免的，即使对于位置和动量那些经典信息的测量也同样如此。正如量子力学奠基者之一P.约当（Pascual Jordan）的叙述：“观测不仅妨碍了被测对象，而且创造了它……我们强迫（电子）保持确定的位置……我们自己创造了观测的结果”
说来惭愧，我本人的量子力学知识有限得可怜，三十多年前在国内念硕士研究生时选修过一门“量子力学概论”，教材记得是周世勋先生编的《量子力学教程》。后来因为工作的需要，在一次图书大减价时购进了一整套L.D. Landau和E.M. Lifshitz编写的《理论物理学教程》，然而其中的第三卷《量子力学：非相对论理论》我却从来未曾系统地看完过，仅仅是在遇到某个陌生或者模糊的概念时拿它当作工具书来查阅而已。所以A.Zeilinger教授接下去讲解的量子隔空传输的那部分内容，我是象听新闻广播似的，耳到心不到。
根据A.Zeilinger教授介绍，“量子纠缠”（Quantenverschränkung）这个物理术语是奥地利的物理学诺奖得主E.薛定谔 在那篇关于EPR悖论的文章发表后，写给A.爱因斯坦的信中首先提出来的：“纠缠状态用以描述由两个或多个粒子组成系统的个体特征例如总的角动量。”
教科书中关于量子纠缠的定义是指一个复合系统中的各个子系统之间的非局域关联性(non-locality correlatiob)。用数学语言来表示，如果复合系统的态不能分解成为各个子系统态的直积形式[3]，那么各个子系统之间就有一种非局域性的关联性，我们称它们之间存在纠缠，称该复合系统的态为纠缠态。对一个纠缠态的复合系统的某个子系统施加的作用会由于纠缠引起的非局域相关性(non-local correlation)而影响到其他的子系统。这种非局域相关性是一种纯粹的量子效应，不存在经典的对应关系。正是这种非局域相关性使量子纠缠有可能成为量子信息众多应用的基础。A.Zeilinger教授认为借助于“量子纠缠”的概念，有望解决很多以前认为是不可能的难题。其中包括量子隔空传输、量子通讯密码和量子计算等。
关于量子计算机和量子密码A.Zeilinger教授只是简短地一言带过，他着重介绍了量子隔空传输。所谓量子隔空传输指的是如果我们通过对A进行测量，那么B处的系统也可以获得某种具有确定值的物理性质，通常使用位于A、B处的两个分离粒子的相关波函数（correlation wave function）来描述。如果量子隔空传输(作用)确实存在的话，那么可以通过测量A的位置(或动量)立刻得知B的位置(或动量)。换句话说，两个分开的系统，不管它们之间相距多远（例如一个在太阳处，另一个在冥王星处)，对其中一个进行测量，就能确定另一个的状态。A.爱因斯坦对于这种量子隔空传输是至死都不相信的,称之为鬼魅般的超距作用。
1964年爱尔兰的物理学家J.贝尔（John Stewart Bell，1928–1990）基于局域性和实在性（locality & reality)的双重考虑，对于同时测量两个分隔开来粒子的结果所可能具有的相关程度建立了一个严格的限制，这就是以他姓氏命名的贝尔定理。这条定理可以用一个数学上的不等式来表示，所以又称为贝尔不等式。贝尔定理的证明多种多样，但万变不离其宗，这些证明都用到经典概率论，特别是用到其中的关于“联合概率”（unite probabilitie)的运算规则，而且涉及到D.波姆( David Joseph Bohm，1917–1992)的粒子单态（singlet state)概念以及数学上的隐变数理论（the hidden variable theory）。A.Zeilinger教授只用了一句简单的话进行概括：如果实验结果证实贝尔不等式成立，那就违背了量子力学的预测；反之则证实了A.爱因斯坦关于局域性的观点。
从上世纪70年代起,世界各国的物理学家都投身于贝尔不等式的实验验证工作,他们采用各式各样的实验手段，例如正负电子湮灭(positronium annihilation) 、级联光子对(cascade photon)以及质子对散射(proton-proton scattering)等。结果，包括吴健雄、A.Wilson、M.Bruno以及A.Aspect等顶尖级物理学家的大量测定结果都不服从Bell不等式，也就是与量子力学理论的预测相符。只有少数人例如G.Faraci和R.Holt的结果比较接近贝尔不等式的极限。其中，法国学者Alain Aspect教授设计了一个堪称巧妙而又精确的实验用来做贝尔状态的测量[4]。A.Aspect的装置比较简单：由光子源产生的一对光子以相反的方向分别传送到两个双通道的起偏振器，偏振方向（水平、垂直或者任意角度）可以由实验者调节。从每个通道发出的信号由单光子检测器测得，并送到一个叠合显示器中进行叠合计数（coincidence counting）[5]从而可以得到4种贝尔状态（++、--、+-和-+）。A.Aspect教授因此和A.Zeilinger教授以及另外三位美国教授一齐被授予2010年的Wolf物理学奖。
A.Zeilinger教授认为上述科学家的这些实验结果证明了伟大的A.爱因斯坦在与以N.波尔为首的哥本哈根学派的那场关于量子力学理论的世纪论争中成了输家。
(未完待续)
注释
[1]参见阿拉伯神话《一千零一夜》中阿拉丁和神灯的故事(Aladdin and his wonderful oil lamp)。
[2]算符（operator）又称算子，作用于物理系统的物理态，可以使得系统从一个物理态变换为另外一个物理态。通过这种变换，可以得到关于这两个物理态的信息。对于算符A和B，如果满足关系 [A，B]=AB-BA，称它们为可对易的。反之，则是不可对易的。如果A和B不对易的话，则A和B不可能具有共同的本征态。
[3]直积（directproduct）数学中经常通过定义已知对象的直积来给出新对象，笛卡尔积（Cartesian product）就是一种直积，可以表示为{X}x{Y}。例如{X}表示扑克牌中的13个点数的集，{Y}表示扑克牌中4种花色的集，那么这2个集的直积{X}x{Y}表示扑克牌中所有52张牌的集合。
[4]不稳定粒子的衰变会产生单态的粒子对，这两颗粒子会分别朝着相反的方向移动。假设在与衰变地点相隔一定距离的两个地点，分别以各种不同角度作为实验参数。然后测量这两颗粒子的自旋，通过得到的数据可以计算出这个系统的纠缠性质。这种实验称为贝尔状态的测定。
[5] 叠合事件（coincidence events）是指两个或两个以上同时发生的事件。叠合计数是利用叠合原理来甄选叠合事件的方法。叠合测量是研究在时间上、方向上相互关联的事件的技术。
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