彈性形變的現象學理論是十九世紀的經典理論之一。在波長大於材料內部的微結構下（即對於形變而言固體是均勻的），這個理論可以給出固體在承受小形變情況下的能量與運動（動力性質）。類似於滿足虎克定律的彈簧，固體在形變下的能量由一系列的彈性常數所決定，基於對稱性的關係，這些為數眾多的彈性常數可被關係式整理出較少個獨立的量，這些量則可藉由實驗的量測或原子尺度的力學計算來獲得。12.2 線性彈性學的廣義理論
我們底下要考慮固體發生了微小且可逆的形變，描述這些形變的方式，是在固體的每一個位置點 r 上都指定賦予一個位移向量 u(r)。亦即，在形變未發生時，固體的某個點在位置 r，而形變發生後，其位置就跑到了 r + u(r) 上頭。 線性彈性學的出發點，是想定出各位置上的位移 u(r) 如何影響及決定系統的總能。而公式的寫出則是總和了下列五項重要的觀察結果：
(1) 當所有 u(r) = 0 時，固體處於平衡態，其(總)自由能最低。
(2) 把 u(r) 全部加上同一個常數向量 u0，相當於只是把固體平移了 u0，總能不變。
(3) 對於小的形變，自由能正比於 u 所能允許的最小次方（因為高次方會更小）。
(4) 若 u 在空間中有緩慢的變化（即變化率不大），則自由能決定於 u 的導數的最小次方（高次方更小）。
(5) 把整個固體轉動其能量不變。
能與上述前四點相容之能量的最一般形式是（12.2）式（重要，請看仔細）。為什麼是這樣呢？沒有與 u 有關的線性項能在式子中出現，這是因為負向的位移或位移變化就會帶來負的能量貢獻，造成比平衡態還低的能量，也因此能允許的最小次方是二次。又自由能必定是 u 的導數的函數而不能存在 u 本身，否則固體的全體平移就會導致能量的改變。一階導數是最簡單的可能。至於式子中 Eabgd 是與 r 無關則僅意味著固體是均勻的。 我們可以自由地把 Eabgd 定為在 ab 與 gd 互換的條件下是對稱的，若其原數值未必如此，我們依然可以把 Eabgd 與 Egdab 都令為是兩者的平均（為什麼我們可以這樣做？），如此，Eabgd 的獨立變數就由 81 個變成 45 個，馬上我們還會看到，把轉動未形變固體能量不變的條件用上去後，獨立變數會減少至 21 個，如以下討論。 選定一個轉動軸（單位向量 n），轉動微小的角度 f，則整個固體的各位置都變動一點點，這個變動量是空間的函數，對不同的位置 r 上，它的變動（向量）是（12.3），注意這個式子只不過是 r 與 fn 的外積（回憶無限小轉動可被視為向量，且式子中的 eabm 是來自外積公式）。把這個小變動（12.3）代入能量公式（12.2），要求不管 f 實際上轉了多少，也不管選取的轉軸方向 n 指向何方，能量都不會改變，即得式（12.4）。因為轉軸方向的選取是極任意且（12.4）都必須要滿足，故任一種 nm nm' 組合下的係數都必須為零才會成立，因此有（12.5）四項和為零的一般性關係。會有四項的原因，是因為 eabm 及 egdm' 己經各定下了其中一個 m 及 m'，所以 ab 與 gd 能有的組合只剩兩種（比方說 m 是 2，則 ab 只能是 13 或 31，否則 eabm 為零）。 這裏的討論用到整塊固體全體的旋轉，大家切勿與稍後均向性固體之探討會用到的局部形變的轉動搞混了。 （ 12.5）這個關係式不太容易直接拿來化簡能量表示式（12.2），最方便的方法倒是把 u 的導數拆開來定義，將之分為對稱的應變張量（12.6），與反對稱的（12.7）。把這種定義代入能量表示式（12.2），這會得到（12.8），注意它的第二項係數恰好是零，這解釋了為什麼我們要採用（12.6）、（12.7）這樣的定義方式。如此，能量表示式可被大大地簡化成（12.9）（回想彈簧的彈力位能 U = (1/2)Kx2），其中新的常數 Cabgd 如（12.10）所定。並且由於定義的形式， Cabgd 本身就滿足 a <--> b、g <--> d、ab< --> gd 這些指標互換的不變性，從這裏可以看出 Cabgd 最多也只具有 21 個獨立分量。另外值得注意，藉由定義應力 (stress) 張量 s 如（12.13）所示（回想彈簧的“回復力 = 彈力常數 X 伸長量”），原能量表示式（12.9）也可被寫為（12.12）而具有“作功 = 力 X 位移”的物理意義。 什麼是 stress（應力）、什麼是 strain（應變），很重要，請大家一定要注意。12.2.1 立方對稱的固體
雖然對於一般的狀況 C 張量有 21 個獨立分量，只要是比三斜系統更高的對稱固體則 C 張量都還會再簡單一點。以具立方對稱性的固體為例，獨立的彈性張量常數就只有三個。這是因為對 x-y，y-z，z-x 面反射有對稱性，故 Cabgd 不可能有單數個同一座標 index 出現者，例如 Cxyyy，它是 exy 與 eyy 的係數，當 x 換成 -x 時，exy 會變號，但立方對稱卻要求 x -> -x 能量不變，因此 Cxyyy 本身必須是零。另外，立方對稱固體有三重轉動對稱軸，把軸依 x -> y -> z -> x 這樣來換是不變的，因此 Cabgd 與其它 index 是其循環重排列者的分量都是會相等的。在這麼多對稱條件下，會留下三個獨立參數是 Cxxxx，Cxxyy，Cxyxy，而自由能公式則變成 (12.14) 式。此式通常可藉由重新定義符號而寫成專為立方固體用的更簡化程式；藉由定 (12.15) 及 (12.16)，自由能公式，簡化為 (12.17) 式。對於立方晶體，三個獨立常數是 C11, C12 與 C44，列於表 12.1。12.2.2 均向性 (isotropic) 固體
很多固體基本上是均向性的，也就是說從各向不同方向看其特性都是一樣的。例如玻璃，除非在原子尺度看，其結構實在沒有什麼方向上的偏好。又如一般鑄鐵或陶瓷商品，由許多細小微晶體指向各種不同方向所組成，因此在巨觀的尺度下看也不會有什麼方向性。像這樣的情況，獨立的彈性張量常數就會更進一步（由立方對稱固體具有的三個再）減化成兩個。 其作法相當簡單。有形變發生的局部，由於固體是均向性的，因此把這一小塊變化整體換個方向則能量代價還是一樣的。在這裏的例子，我們把它轉 45 度，則 r 處的應變 eab(r) 就會被轉成 e'ab(r')，兩者關係式為（12.20a）。要求此一轉變對能量（12.14）並無改變（過程被列為習題 1），則有（12.21）而導致（12.22），故獨立張量常數僅剩兩個。而彈性位能的式子可減化為（12.23）。運動方程式與平衡
在前面已經知道任意形變所造成的自由能，並且注意到在固體有運動時其動能是 (12.24)，則我們可以寫下形變(位移) u 的運動方程式。這是藉由理論力學所學到的 Euler-Lagrange 方程式到，其中 (12.25) 的表示法中有用到 (12.13) 對應力的定義，即 (12.26)。 由於小塊質量的加速度是決定於應力張量的散度，應力張量的物理意義就是可被詮釋為每一小段施於相鄰段的力。我們可由下面的分析了解為什麼可以這樣說。把 (12.25) 拿來針對一個小體積範圍積分起來，利用格林定理（高斯定理）把體積分轉為面積分，就可看到 (12.27) 式。若此積分的體積範圍是選取了一個沿著座標方位擺置的小立方體，則 (12.27) 告訴我們施於這個小立方體的總力等於是相當於各個分量的應力乘上相關面積即可得到。如此驗證了上述說法。 更具體地說，想像拿一把刀子把一個接連的物體切出一對小的二維平面範圍，以垂直於 x 軸的切法為例，則 sxx 相當於把這兩個小平面沿著 x 方向推回到一起之單位面積所需要的力，而 sxy 與 sxz 則是把原子拉回到平衡時組態所需的 (垂直於 x 軸的) 單位面積的伸張施力。對小立方體而言每個面上的應力分量之方向如圖 12.1 所示。(12.11) 式裏所描述的第一種對稱性導致 sab = sba 直接看圖 12.1 可以體會到這是相當於要求所有的扭力 (torque) 對固體每一個小體積元素而言都必須要消失的。 在均向性固體的特殊情況下，我們有 (12.28) 式，這可以推導得出 (12.29) 式的性質 (大家做做看)。由此，運動方程式 (12.25) 就變成了 (12.30) 這樣簡單的形式。均勻應力
如果一個物體是承受 z 方向的均勻應力 S，如圖 12.2 所示，則從 (12.29) 式我們可以馬上得到 S = Yezz （式 (12.31)），其中 Y 的值是 (12.30)。 (12.29) 式各方向應力 (stress) 值之下會有什麼樣的應變 (strain)，這件事情就好像已經曉得掛重物之重量的情況下，問彈簧的伸長量一樣。也就是說，把 szz = S 代入 (12.29)，可得 ezz行進波
= [-l / (2m(3l+2m))] (sxx+syy+szz) + (1/2m) szz
= [-l / (2m(3l+2m))] (0+0+szz) + (1/2m) szz
= [-l / (2m(3l+2m))] szz + (1/2m) szz
= [(-l+3l+2l) / (2m(3l+2m))] szz
= [(l+m) / (m(3l+2m))] szz
= [1 / Y] szz Y 叫做彈性模量或叫楊氏模量。同時，向所施應力的垂直方向收縮了 (12.33) 的大小。垂直收縮量 exx 的負值除以伸長量 ezz 是所謂的 Poisson ratio，在本例中其值為 (12.34) 式中所示。 另外一個常見的常數，是定義在當唯一不為零的應力只來自 syz = S 時。一樣使用 (12.29) 式，我麼可以得到 eyz 與這個 S 的關係 (12.35) 式，這定義了 Shear Modulus（剪應力模量）。 一些材料的 Y 值與 n 值列於表 12.2。
運動方程式（12.30）的一個重要特性，就是它能夠蘊育兩種行進波的振動模式，即橫波與縱波。若我們定義位移的散度與旋度這兩個量，如（12.36）所示，則把（12.30）式分別取其散度與旋度會得（12.37）與（12.38），它們兩者都具備了波動方程式的形式，即對時間偏微分兩次與對空間偏微分兩次。試以平面波的通解形式代入（12.37）探討，可得見波的行進向量 k 與偏極向量 u 平行，代表縱波；同 樣通解帶入（12.38）探討，則得 k 與 u 垂直，是橫波。兩者波速各如（12.39）與（12.40）所示。
這是 http://phy.ntnu.edu.tw/~yao/newton-central-force.pdf 的 HTML 檔。
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