2、 洛伦兹规范约束了矢量 的行为和范围，并描述了矢量位 与标量位 之间应满足的关系，

洛伦兹规范约束了矢量 的行为和范围，并描述了矢量位 与标量位 之间应满足的关系，

提问：你对“位”有什么认识？电位或磁位如何描述？

多媒体课件展示：4.1  矢量位

1、“任意矢量的旋度的散度恒等于零”所具有的含义与应用。

2、矢量位 的引入。

从麦克斯韦第三方程出发，必有

                   

                    

于是我们就得到了一个关于磁场 的位函数。因为 ，而 是一个微分算子，所以 是关于 的位函数。尽管我们很容易就找到了与磁场相关的矢量位 ，但它却是一个无任何约束的任意矢量。

多媒体课件展示：4.2  标量位

1、“梯度的旋度恒等于零” 所具有的含义与应用。

2、标量位的引入。

由麦克斯韦第二方程  ，如果用 代替 ，则方程变为

更一般地，如果 是一个矢量函数并且 ，则有

保证 的唯一方法是令 。则有

                

式中 是一个尚无任何约束的标量函数。在非时变（静态）情况下 ,方程变为

 

于是对 的微分即可得到 。

提示：可用 来求静态场。

多媒体课件展示：4.3  用位函数 和 表示的非均匀波动方程

两个位函数 和 描述如下

   和                                       

这些结果是从 和 这两个方程中得出的，将这些结果代入到余下的麦克斯韦方程中去，可得

显然，这个方程中有类似于物理学中所定义的波动方程的部分，比如

              

如果我们选定

                       

这时，方程将变为

                  

这是一个关于 的三维波动方程，这个方程也被称为达朗贝尔方程，方程右边为场源。

上面我们选定的条件 可写成 ，称其为洛伦兹条件或称为洛伦兹规范，

它是目前我们对于 和 所采用的约束。

    同理有          

这是一个关于 的波动方程，它也是一个达朗贝尔方程，方程右边是以电荷密度 为场源的。

接下来的任务就是要在给定 和 的情况下求解这两个方程，以得出 和 ，然后再从 和 得出 和 。

在应用电磁位时，如果不采用洛伦兹条件，而采用所谓的库仑规范，即令 ，则 和 所满足的微分方程为

提问： 引入洛伦兹规范或库仑规范，所得方程的区别是什么？

 

多媒体课件展示：4.4  利用场源 和 求解位函数 和

提示：标量位 已被定义为——在静电场中 给定了电场 。

于是，我们有

这样就得到了静态场中的解，将这个结果扩展到运动电荷的分布场中，则 和 为时间和位置的函数。

由于 和 不是在同一个点，并且由于电磁场是以一个极限速度(在真空中为光速C) 在扰动传播的，所以点 处的场在时间上将会早于电荷分布的时间 。所以场从源点传播到场点所经历的时间是 ，其时间延迟为

                    

因此

                       

那么移动电荷的分布则为

                     

或者写成

                

式中 是延迟源的位置， 是延迟时间，积分是在延迟体积 V'上进行的。我们在这里所构造的解给出了位函数 和电荷密度 之间的一般关系。根据这个关系我们可以写出对应的 的表达式为

                    

式中的电流密度 是在延迟位置 时的值，积分是在延迟体积 V'上进行的。

提示：上面的分析说明，在时刻t，空间某点所观察到的矢量位 和标量位 ，是由 时刻的电流或电荷产生的，也就是说，在空间某点并不会立刻感受到波源的影响，而是要滞后一段时间 ，这个滞后效应是由于电磁波的速度为有限值而引起的，于是我们又可将随时间变化的位函数 和 称为动态位或滞后位。

 

多媒体课件展示：4.5  理纳德—威切特位函数

下列方程称为相对于运动点电荷的理纳德—威切特（Lienard-Wiechert）位函数

                    

                                 

 

本章要点

1、 矢量 是关于磁场 的矢量位函数，二者的关系为 ，但此时的 为任意矢量；

2、 洛伦兹规范约束了矢量 的行为和范围，并描述了矢量位 与标量位 之间应满足的关系，洛伦兹规范是

              

3、洛伦兹规范中的 是关于电场 的标量位函数，它与电场的关系为

                           

   在静态电场中，

4、  在电流作为场源的激励之下，矢量位 所满足的三维波动方程为

  

在电荷作为场源的激励之下，标量位 所满足的三维波动方程为

    

5、求解上述波动方程，就可分别得出在各自场源激励下的矢量位 和标量位 ，而后再通过关系 和 （或 ），则可求得磁场 和电场 ，这是求解电场和磁场的一种途径和方法，这种途径和方法往往要比直接求解磁场 和电场 方便且容易，特别是对于静态场的求解；

6、对时间发生变化的电场和磁场而言，如果这时仍使用位函数方法来求解，则由于位函数 或 与激励 或 是时间和位置的函数，并且激励源与位函数不在同一个空间点上，同时由于电磁场是以一个极限速度在扰动传播的，所以场量在时间上将会与激励之间出现一定的延迟，在计算中需考虑这个延迟。

    通常又将时变条件下的位函数称为动态位或滞后位，这是因为在与场源相距r的场点处，时变源在 时刻的改变将反映在 （c为光速）时刻的位函数中。

7、在t时刻，空间某点所观察到的矢量位 和标量位 ，是由 时刻的电流或电荷产生的，也就是说，在空间某点并不会立刻感受到波源的影响，而是要滞后一段时间 ，这个滞后效应是由于电磁波的速度为有限值而引起的。将随时间变化的位函数 和 称为动态位或滞后位，即为

 

              

8、相对于运动点电荷的标量位和矢量位

                     

又称为理纳德—威切特位函数。