高斯定律不仅适用于静电场，而且对重力场仍然适用，还可证明对随

第¨卷

第1期

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贵州师范大学学报(自然科学颇)

Jourrufl of GuJzhou Nornml University(Natural Science)

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对高斯定律的几点探讨

宇 燕袁明昌

(贵州师大物理系贵阳55000I)

《=) t、{。

高斯定律是静电学中一个基本定律。在静电场中，高斯定律的数学表达式为

：

啦s一 Σ ㈩

、、

这里， 表示沿任一闭合曲面(也叫高斯面)s的积分， 为真空中的介电常数， ¨j为闭合曲

面S所包周的所有电荷的电量的代数和，E 为闭合曲面 某点的电场强度，ds为闭合面b- 的

法向矢量向外的面元。高斯定律表明：电场强度E通过任意一闭台曲面的电通量 等于该曲

面所包围的所有电荷电量的代数和除以 ，与闭合曲面外的电荷无关。

高斯定律是根据库仑定律和迭加原理导出的，反之，也可以由高斯定律和对称性的考虑导

出库仑定律 困此有的书E指出高斯定律是库仑定律的逆定律 一

1 应用高斯定律求出电场强度

高斯定律常用来解决静电场中的一些问题。如果在给定闭合表面上，所有各点处电场强度

E部已知，则可应用高斯定律求出该曲面内部的电荷；如果已知电荷分布，则可应用高斯定律

求出电场分布，即求出电场强度E。这里我if]i~论已知电荷分布，应用高斯定律通过计算电通

量来求场强E的问题。

一

般教科书卜认为：能够直接运用高斯定律求出场强的情形，部必须具有一定的对称

性[ ，即是说，只有在对称情形下才能用高斯定律求出场强。在电场或电荷的分布具有对称性

时，应用高斯定律水解场强比用其它方法求解场强要简单、方便得多，但如果认为高斯定律只

对具有一定程度对称性的问题才能提供有用的计算[ ，本文作肯认为这种说法具有一定的片

面性 实际上，当电荷或场强的分布 具有对称性时，在一些特定条件r仍可用高斯定律求出

场强。F面将通过分析高斯定律的应甩条件，并结合典型实例对此进行说明

从高斯定律的敬学表达式(1)可以看出，能不能用高斯定律求出具体问题中的电场强度

E，关键取决于(1)式左边的 分能否进行，这是一个敬学问题。从敬学的角度看，只要(t)式左

边的私分能够进行，不管电场的分布是否具有对称性，部可利用高斯定律求出场强E。过份强

调对称性，反lf【『使学生忽略了应用高斯定律求场强的教学条件 r面就电场分布具有对称性和

不对称性两种情况来讨论如何应用高斯定律 {解场强E。

贷州师范大学学报(自然科学版) 第1d卷

1 电场分布对称性的剖析

铡I 对一均匀带正电的球壳，设球壳带电量为q，半径为R，求球壳内外的场强。

解如果用库仑定律和场强迭加原理来解决这个问题，就需要把带电球壳分割成许多小

面元d ，再将各个小面元 L电荷元 所产生的元电场dE进行矢量迭加。其计算过程显然

是很复杂的。现在用高斯定律来处理这个问题。

首先分析电场分布的对称性。由于电荷均匀分布在球面 ，所以无论球外或球内，只要有

电场，它必然都是球对称的，即场强方向均沿球的半径向外辐射，而在与球面同心的任意球面

上，各点场强数值均相等 根据这一判断，分别计算球外或球内距球心为 处的场强。

(1) r>R球外一点的场强 r为半径作一同心球面(高斯面)见图l-a，在这球面上场强

处处均相等，设为 ，其方向则与球面垂直，因而。0曲一l，这样通过此高斯面的电通量为

西一 ：

~EcosOds=E

球面所带的总电荷为g，因此按高斯定律有

1” F一 于是口一赤或E=j r

说明均匀带电球面在球外产生的场强与电荷全部集中在球心时

所产生的场强完全相同

(2) ，l(R球内一点的场强同上，以 为半径作一同心球

面，令球面E各点场强为日，则通过球面的电通量仍为

P一 1r F

只是现在高斯面内所包围的空问内没有电荷，即g=0，因此根

据高斯定律有

d1r 口一0 得F=0

说明均匀带电球壳内场强处处等于零。

由 面的分析，可作出口一r曲线， 图『一 ，可见场强在球

壳上的数值存个跃变。 ．

注意，也不是所有的电荷 电场对称分布的问题都

可以直接用高斯定律求出场强E。

例如，两点电荷，电量都是+q，相距为 ，求两电荷

联线的延长线上任一点P的场强。这时电荷及电场显

然是对中点O对称分布的

着以。为球心，以OP为半径过P点作一高斯面，

根据高斯定律有

b

P

一

E．。 一古 罔1均匀带正电球壳内外场强

但是在高斯面卜各点F的大小、方向 同，除了在P、P 点E和 方向相同外，其它各点E和

ds方向 同，所以

第1期 宇燕袁明昌：对高斯定律的几点探讨

4}E．ds≠4}口d

另外，除P、P『点的场强 值相等，球面}：其它各点的 值 等，所

r厂 r广 廿口d ≠ 因此无法用高斯定律直接求出场强E

。

— — —

由 |：面对称性的分析可看出，这里所说的对称性，实质 是 ．

带电体场强分布的对称性，Ⅲ 要使带电体的场强分布具有对称

— — 、

性，一般要求： F‘p _一一

① 带电体的几何形状具有一定的对称性，如球壳、球体、无 、一

限长直导线等具l冉轴对称性；无限大甲面薄片具有面对称性等。

② 带电体 也荷的分布要均匀。如均匀带电球壳的电荷面 [剞2 两点电荷场强

密度 为常数；无限大均匀带电薄片的电荷面密度 为常数；均匀带电长直导线的电荷线密

度如为一常数；均匀带电球体的电荷体密度 为一常数等。

由于均匀带L乜球体、均匀带电球面、均匀带电无限大平面薄片、均匀带电无限长直导线的

电场满足场强具有对称性分布的两个要求，因此，用高斯定律很容易求出它们的场强。一般敦

科书只是说具有对称性就可用高斯定律水场强，并没冉清楚地说明什么样的对称性，学生学习

时容易模糊，误认为只要几何对称就可以应用高斯定律求场强，实际 即使是几何对称的绝缘

球体，如果球体 电荷分布 均匀，仍 能用高斯定律求场强。

2 电荷分布或电场分布不具有对称性时仍可用高斯定律求出场强

例2 一任意形状的带电导体处于静电甲衡状态，若这个导体 任一点的面电荷密度为

(一般 是逐点变化的)。试求导体表面附近某点的场强。

解在这，r问题中，一方面带电体的形状是任意的，另一方面电荷的分布也 均匀，因此

带电导体附近的场强分布不具有对称性。但只要注意到带电导体处于静电甲衡的特征，并选取

恰当的高斯面，仍可用高斯定律求出场强。

对于贴近导体表面各点处，E的方向与设表面正交，如果这个导体所带的电荷为正，则E

由表面指向外 因为要是E不垂直于该表面指向外，就冉沿着表面的分量，E的这个分量就会

对导体中的电荷携带者施加一个作用力，因1fI『引起表面电流日]。既然导体处于静电甲衡，就应

没有表面电流，所以E就必然垂直于该表面。

如罔3，P点是导体表面外附近空间的一点，先在

P点附近的导体表面上取一面元△ ，由于△ 足够

小，使其上的电荷面密度 可认为是均匀的，再作一圆

柱形高斯面，使圆柱侧面与△s垂直，圆柱卜底过P

点，F底在导体内部，两底面都与△s平行，并无限靠

近它，因此它们的面积都是△s，通过高斯面的电通量

为 3 对称场强

。

贵州师范大学学报(自然科学版) 第1 d卷

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一

～ 蚪 ‰ 照～

= + 0 + 0

毫，

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△

I酊高斯面所包阿电荷为 △s，th高斯定律有

P—B△ s； u△ s 得E=

通过上述分析可看出，如果认为能够直接运用高斯定律求出场强的情形，都必须具有一定

的对称性，这种说法显然是不妥当的。从教学的角度看，这往往会使学生认为在电荷或电场的

分布 具6对称性时，就完全 能用高斯定律求出场强，从而导致学生对高斯定律的虚用条件

不能作深刻、全面的理解 青认为，能否用高斯定律通过计算电通量 求出场强E的关键

在于，定律

妤E．ds： Σ 中的E在所取高斯面E是否是恒量 ds是否能计算出来，若均

可求出，则可用高斯定律求出场强。就一般情况而言，高斯定律多用于求解电场分布具有一定

对称性的场强，在一定条件F，也可用于求出电场分布 具有对称性的场强 邑之，具体问题要

具体分析。

2 高斯定律在引力场中的应用

高斯定律除了用于静电场中求解电场强度E的分布外，述可用于重力场中

首先讨论均匀带电球体内外的电场强度，然后再考虑高斯定律在引力场中的应用

设均匀带电球体电荷密度为 ，其半径为R，总电量为0一{ 与例l一样，球外和球内

的电场必然是球对称的，所以球外距球心为r处的场强其计算方法与例1(1)相同，结果为

一 ： > )

表明均匀带电球体在球外产生的场强分布和假定电荷全部集中在球心所产生的场强分布一

样。

在球内距球心为 处的场强 其计算方法与例I(2)部分相似·只是现在以r为半径的球面

内电量为口 ，Ⅲ “

．

一 =

则 ；。 ·

州

th高斯定律有 0} 』， R

＼ — ／ ，

埘

根据上述结果，可画出均匀带电球体内外的 一r曲线，见图1．出

E随 的增加而增大，在球体外，电场 随r的增加而减小

均匀带电球体内外E-r曲线

割可直观再出，在球体内电场

第1期 字燕袁明昌：对高斯定律的几点探讨 95

如果我们把地球看成是质量均匀分布的圆球，同理可应用高斯定律讨论重力加速度的变

化。将高斯定律应用于重力场中有[ 。

r广 r广

N 一

睁 s一 cos阳s；一 G1

式中Jv为引力线通量， 为引力场强(即重力加速度)，G 为万有引力常数， 为高斯面内所包

雨的地球质量 设地球质量体密度为P。 ．

当 <口，即在地 内部作一高斯面，由高斯定律有 -

一

#4：rr 一4aG1 一一d ．_÷ 。p

．

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．

9=i4州

1 (2)

当 > ，即在地球外部作一高斯面，由高斯定律有

一

g4 一一一d G { 萨P

-．． =鲁{ p= (3)

其中 。为地心到高斯面的距离。

由 述讨论可看出，引力场强与均匀带电球体的电场强度结果相似，在地球内部，由(2)式

看出引力场强g是随r的增加而增大的，在地球外部，由(3)式看出引力的场强g是随r的增加

而减小的。如果(3)式两边同乘以 ，就可得到常用的万有引力公式。

通过上面的分析知，高斯定律不仅适用于静电场，而且对重力场仍然适用，还可证明对随

时lid变化的电场它也正确 因此高斯定律的应用是裉广泛的。

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