高
斯-伯涅特(Gauss-
Bonner)
定理, 它是第一個將曲面上的局部
量
(曲率) 與大域量(示性數) 連繫在一起的
定理,
規
範場論及微分幾何
邵
錦昌
一
. 敘論
場
論及微分幾何分別是物理和數學中的
兩
門重要的學科。場論肇始於馬克士威爾的
電
磁學(我們姑且不論牛頓的重力理論), 如
今
已是解釋基本粒子的最有力的工具。這兩
門
學科在歷史上雖然是各自發展, 但是現在
大家
已了解, 事實上它們卻是同一件事情的
一體
兩面。然而這種認知過程卻是相當曲折,
前
後歷經了將近百年的時間, 並且經過歷史
上
最聰明的頭腦的努力才達成的。在本文中
我
們來看一下這段發展的過程, 並且來瞭解
它
們的內涵及密切關係。
二
. 高斯、黎曼及嘉當的微分幾
何
:
微
分幾何在尤拉(Euler) 及孟日
(Monge)
的手上固然已經有了很多的發展,
但
是真正決定性的結果則無疑的是在高斯
(Gauss) 1827
年的那篇“曲面概論”論文上
建
立的。高斯引進了一種全新的概念, 那就是
把
曲面本身視為一個空間, 而不僅是三度空
間
中的附屬品, 他賦予曲面自己的座標x1,
x
2, 並引進第一基本量:
ds
2 = E(x1, x2)dx21
+ 2
F(x1, x2)dx1dx2
+
G(x1, x2)dx22
(1)
來
描述曲面上的弧長元素, 從而曲面上的距
離
和角度都可由E、F 和G 三個函數來決
定
, 他把這些僅與E、F 和G 有關的幾何性
質稱
之為曲面的內在性質。
高
斯下一個重要的貢獻則是關於曲面曲
率
的研究。高斯先是經由曲面的法線在三度
空間
的變動來定義曲率K, 然而出乎他意外
的是
, 他發現曲率僅用E、F 和G 三個量就
可以完全
的表示出來, 因此曲率是一種曲面
的
內在性質, 而與它所存在的三度空間無關。
這
個結果, 充分的顯示了曲率在幾何學裡的
中
心地位, 高斯很得意地稱之為“theorema
egregium”—
最漂亮的定理。高斯還證明了
一
個關於曲率和測地線所圍成的三角形的有
名定
理。他證明了曲面上一個由測地線所圍
成的
三角形的內角和, 並不像在平面上一樣
等
於 , 而是由下面的公式來表述:
Z Z
A
KdA
=
1 +
2 +
3 − (2)
1 +
2 +
3 − (2)
15
16
數學傳播25卷4期民90年12月
3
A
2
1
1
而
當曲率的積分範圍擴充到整個曲面時, 右
邊
的積分值又等於曲面的拓撲量— 尤拉示
性數
(Euler Characteristic)。這個漂亮的
定
理現在一般稱之為高斯-伯涅特(Gauss-
Bonner)
定理, 它是第一個將曲面上的局部
量
(曲率) 與大域量(示性數) 連繫在一起的
定
理, 而它更進一步的推廣, 則更是幾何學發
展的
關鍵。
同
時, 高斯也是非歐幾何學的創始人之
一
。非歐幾何學的建立, 是希臘時代以來在
空間觀
念上最重大及革命性的一步, 而高斯
除
了認清非歐幾何在邏輯上的合理性外, 他
還
實地測量三座山峰所形成的三角形的內角
和
, 來判定我們的空間是否真屬於非歐的空
間
。雖然由於那個三角形實在是太小了, 因而
沒有得
到有意義的結果, 然而高斯的確是歷
史
上認知到幾何學即是真實物理學的第一個
人。
眾
所周知的, 高斯也在物理領域電磁學
上做
過巨大的貢獻, 但是超凡如高斯者, 可能
也
想像不到, 這其實也是一種幾何學, 而且是
比
他的曲面論更簡單的幾何學。
高
斯的工作很快的就被他的偉大的繼承
者
黎曼(Riemann) 所推廣, 他在1854年
面
對哥庭根大學教授團(高斯也在座) 作了
一
次資格審核演講, 演講的題目名為“幾何
學
基礎所依據的假設”。黎曼在這篇劃時代
的
論文中將高斯的曲面論推廣到n 維流形
上。他將
n 維流形的每個點賦予n 個座
標
(x1, x2, · · · , xn) 而兩個極靠近點間的距
離
平方設定為:
ds
2 =
X
n
i,j
=1
g
ij(x)dxidxj (3)
流形
上所有的幾何量都可以由gij 的組合
來
表示。黎曼最大的成就是將高斯曲率由二
維
推廣到n 維的流形上, 一般稱之為黎曼
曲
率張量, 形狀相當複雜。為了要寫出它的
樣
子, 我們必須透過所謂克利斯多夫符號
(Christoffel symbol):
l
ki
=
1
2
X
n
j
=1
g
jl(@igkj+@kgji−@jgki) (4)
而
黎曼曲率張量則為:
R
l
ijk
= @kl
ij
− @jl
ik
+ l
nk
n
ij
− l
nj
n
ik
(5)
這
個式子表示了與黎曼曲率張量有直接關係
的
並不是gij , 而是克利斯多夫符號l
ki
。克
利
斯多夫符號還有另一重要的用途: 如果我
們
把黎曼流形上的一個向量函數vi 對於座標
x
j 求導數, 所得的@vi
@x
j
並不
是性質很好的量,
必
須要作下列的組合:
D
jvi = @jvi − l
ij
vl (6)
才
是有用的量, 這個導數叫做協變導數(Co-
variant derivative)
。經由協變導數, 黎曼
曲
率張量還符合所謂畢安其恆等式(Bianchi
identity):
D
mRl
ijk
+ DjRl
ikm
+ DkRl
imj
= 0 (7)
這
些都是曲率張量的重要性質。黎曼除了發
明
彎曲空間的概念, 並解釋如何計算曲率外,
規
範場論及微分幾何17
他其實也
認真的考慮過整個的宇宙模型或許
不
是普通的歐幾理得空間,而是屬於一種「常
數正
曲率」的球形空間。不過他這個觀念實在
超越
他的時代太遠了, 而且必需用到的場論
觀
念也還未成熟, 因此還得再等半個世紀另
一
個天才誕生之後才能完成這項工作。
微
分幾何下一個飛躍是由嘉當(E. Car-
tan)
帶領的, 他引進了所謂活動標架(mov-
ing frame)
及外微分形式(exterior differ-
ential form)
的技巧使黎曼幾何中繁複的計
算簡
化不少。不過更重要的是他拓展了微分
幾
何的範疇, 他在活動標架之間介紹進所謂
嘉
當聯絡(Carton Connection), 這是一
個
類似克利斯多夫符號的幾何量, 但是它不
一
定要與長度度量有任何關係。因此嘉當的
幾
何空間不必要有長度及角度的觀念, 但是
仍
然可以有曲率及平行位移等觀念。因此嘉
當推廣
了空間的觀念, 而黎曼空間是它的一
個
特例。這樣的觀點最後由愛禮曼在1950年
推廣
到纖維叢(fiber bundle) 的聯絡論上。
纖
維叢的理論我們可以簡述如下: 所謂黎曼
幾
何可以看成是在底空間的每一點上黏上一
個切
空間(tangent space), 而不同點上的
切
空間之間則利用克利斯多夫符號所定義的
協
變導數來作聯繫。而纖維叢理論是在底空
間
的每一點上黏上別的我們有興趣向量空間,
而
愛禮曼則能成功的定義“聯絡”, 將不同點
上
的向量空間聯繫起來, 從而討論一種新的
幾
何學。在這種架構底下, 黎曼幾何可以叫
做
“切叢”(tangent bundle) 上的聯絡論, 而
克
利斯多夫符號就是切空間之間的聯絡。至
此
微分幾何的最後面貌就告完成了。
三
. 馬克士威爾、愛因斯坦及楊
振
寧的規範場論:
場
的觀念最先是由法拉第提出用來描述
電
磁現象的, 不過法拉第的數學能力不夠, 沒
能
建立一個精確的定量理論。完成電與磁二
者
的最後統合是馬克士威爾, 他綜合了前人
觀
察的結果, 在1864年用下面四個簡單(看
起
來) 的方程式:
div
−!
E
=
(8)
curl
−!
B
−
@
−!
E
@t
=
−!
j
(9)
curl
−!
E
+
@
−!
B
@t
= 0 (10)
div
−!
B
= 0 (11)
就將
所有的電磁現象一網打盡。這四個方程
式
中, 第一個方程式是庫倫定律, 描述靜電現
象
。第三個方程式是法拉第-亨利(Faraday-
Henry)
定律, 描述磁場的變化可以產生電
場。
第四個方程式則是單純的指出磁單荷的
不存在。
第二個方程式是畢奧-薩伐爾-安培
定
律, 用來描述電流可以產生磁場。而其中
神
來之筆的是@
−!
E
@t
那一項
; 這一項叫做
位
移電流, 最先並不是在實驗中發現的, 而
純粹
是馬克士威爾為了數學上的一致性加上
去
的。不過如此一來電磁的波動性質就出現
了
, 而馬克士威爾也預言了光就是一種電磁
波
。不僅是在解釋物理現象上, 馬克士威爾方
程
式有驚人的威力, 它們在數學結構上更有
很神
妙的性質。首先愛因斯坦及閔可夫斯基
18
數學傳播25卷4期民90年12月
(Minkowski)
發現經由下面的對應:
F
μv =
0
E1 E2 E3
−
E1 0 −B3 B2
−
E2 B3 0 −B1
−
E3 −B2 B1 0
.
(12)
電
磁場
−!
E
和
−!
B
可以
看成為四維時空
(
x0, x1, x2, x3) 中的四維張量Fμ, , 而馬克
士威
爾方程式則可以寫為更簡潔的形式:
X
3
μ
=0
@
μFμ = j (13)
@
μF + @ F μ + @ Fμ = 0 (14)
其中
j = (
−!
j
,
) 是電流密度及電荷密度。
第
(14) 式是電磁學中的畢安其恆等式, 不過
樣
子比黎曼幾何中的簡單多了。由畢安其恆
等
式我們看出Fμ 可以表為:
F
μ = @μA − @ Aμ (15)
的樣
子, 其中Aμ 叫做電磁位勢。比較一下黎
曼
幾何中的量, Aμ 就好像克利斯多夫符號,
而電
磁場Fμ 就好像黎曼曲率張量, 不過關
係
當然簡單很多。(15) 中隱藏了一個極重要
的性
質, 那就是如果我們將Aμ 作如下的轉
換
:
A
μ(x) ! Aμ(x) + @μ-(x) (16)
很
容易看得出來Fμ 不變。由於電磁場Fμ
才
是可量測的物理量, 因此轉換(16) 是電磁
場
的對稱性, 叫做規範轉換。如果我們在引入
另
一物理場-, 並考慮下面的轉換:
(x) ! ei-(x) (x) (17)
則
很容易證明組合@μ − iAμ 在(16) 及
(17)
轉換之下也做如(17) 式的轉換:
@
μ −iAμ ! ei-(x)(@μ −iAμ ) (18)
組
合@μ − iAμ 也是一種協變導數, 它提
供了
物理場- 及電磁位勢A 作用的方式。
轉
換(17) 非常簡單, 它純粹只是乘上一個絕
對
值等於1 的函數而已, 因此稱為U(1) 轉
換
。所以會考慮U(1) 轉換的動機是: - 場
的
絕對值|-| 才是可測的物理量, 因此(17)
式是
- 場的一個對稱性。最先認識到規範轉
換
(16) 及U(1) 轉換(17) 重要性的是韋爾
(Weyl, 1918),
但是它們卻有非常不尋常的
推廣
, 可以把所有的關節聯繫在一起。
不
過在進一步討論這個推廣以前, 我們
必
須要來看一下另一個重要的發現, 那就是
愛
因斯坦在1915年所建立的重力場論或叫做
廣
義相對論。由於愛因斯坦過人的洞察力, 他
發現
在一輛加速進行的火車中, 一個人會感
受到
像重力一樣的吸引力。因此他提出了所
謂
“等效原則”, 認為重力應該是一種時空現
象
, 可以用幾何的方法來處理, 重力是時空彎
曲
之後的一種物理表現。在這種認知之後, 他
馬
上就體會到他所需要的數學工具早就由黎
曼替
他準備好了, 而他也將高斯及黎曼在六、
七
十年前的臆測給具體化了。1917年愛丁頓
爵
士利用了一次日蝕的機會, 觀察到廣義相
對
論所預言的光線彎曲, 一時轟動了整個世
界
。從此重力場是幾何的說法也就為世人所
接
受, 我們生存的空間一種黎曼空間, 其彎曲
情
況則由物質分佈來決定。愛因斯坦可以說
是
歷史上第一個確實的認識到物理學就是幾
何學
的人, 因此他下一個雄心壯志就是想將
電
磁學也能幾何化, 以完成統一場論的鴻圖
規
範場論及微分幾何19
大
業。不過很不幸的這卻是窮他後半生精力
所未
能完成的事。
正確的發展是建
立在楊振寧和密爾斯
(Mills)1954
年所發表的論文上。他們的出發
點
是如下的考慮: 質子和中子除了在電荷
有無
及壽命長短不同外, 它們其他的性質幾
乎
完全一樣。因此海森堡(Heisenberg) 認
為
這兩種粒子可以看成是同一種粒子的兩種
表
態, 而引進了一個二維的同位旋空間, 把
質子場及中子場看成是這個空間的兩個分量
n
p
!
,
而任何適當的物理理論在質子及中
子
的角色調換之下應該不變。但是場是時空
的
函數, 因此場論是一種局部性的理論, 所以
楊振
寧及密爾斯便認為, 如果這個對稱成立
的
話, 不同地方的人對於中子及質子的認定
未必
須要一樣。因此楊振寧及密爾斯認為真
正的
同位旋對稱應該是:
n(x)
p(x)
!
!
eiw(x)
n(x)
p(x)
!
.
(19)
這
個式子與電磁學中的轉換(17) 非常相似,
但
是卻有一個極大的不同, 那就是現在!(x)
是
一個二階矩陣函數, 而不是單純的函數了。
與電
磁學時的情況一樣, 我們需要協變導數
來
建立適當的物理量, 因此也就需要引進類
似
電磁位勢的楊-密爾斯位勢Aμ, 只不過現
在它也必須是一
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