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第八章 电磁感应及电磁波
内容：
1．电磁感应定律及楞次定律
2．动生电动势和感生电动势
3．自感和互感
4．磁场的能量
5．麦克斯韦电磁理论
要求：
1．掌握电磁感应定律及楞次定律；
2．掌握动生电动势的计算；
3．了解感生电动势的计算；
4．理解自感互感现象；
5．了解磁场的能量；
6．了解麦克斯韦电磁理论。
重点与难点：
1．电磁感应定律；
2．电动势的计算；
3．电磁理论。
作业：
8-5
8-6
8-7
8-8
8-9
8-14
8-16
§8－1 电磁感应定律、楞次定律
一、磁感应现象（Electromagnetic
Induction Phenomena）
1．电磁感应现象的发现：
1）1820年，Oersted发现了电流的磁效应，从一个侧面揭示了电与磁之间的关系。于是人们自然联系到磁场是否可以产生电流？许多科学家对此进行探索。
2）Faraday认为自然界具有统一性，并能用精确的实验来证明。
失败的实验：（1）恒定电流对它附近的导线并不产生可视的影响；（2）两个线圈，一线圈通有电流，另一线圈接电流计，电流计不动。
成功的实验：电流接通时，电流计动；电流断开时，电流计动。
结论：变化的电流可以产生电流。
1831年，Faraday发现了电磁感应形象。
3）1831年11月24日，Faraday在关于电磁感应的第一篇重要论文中总结出五种情况下可以产生感应电流：①变化着的电流；②变化着的磁场；③运动着的恒定电流；④运动着的磁铁；⑤在磁场中运动着的导体。Faraday指出，感应电流并不与原电流有关，而是与原电流的变化有关。
4）1832年，Faraday根据在相同的条件下，不同金属产生的感应电流与金属的电导率有关的实验事实，提出感应电动势的概念。当不形成闭合回路时，感应电流不存在，但是感应电动势却仍然存在。并把他提出的描述静态相互作用的力线图象发展到动态，他认为回路中的磁通量发生变化时，就有感应电动势产生，从而揭示了产生感应电动势的原因。
5）1834年，Lenz在分析实验的基础上，总结出了判断感应电流分向的法则。
6）1845年，Neumann借助于安培的分析，从矢势的角度推出了电磁感应电律的数学形式。
2．几个典型实验：
1）永久磁铁与闭合线圈之间的相对运动
2）两闭合线圈，其中一线圈中电流变化时，可在另一线圈中感应出电流
3）导线在磁场中运动，切割磁力线
4）闭合线圈在磁场中运动
共同的特点：穿过闭合导体回路的磁通量发生变化，而且磁通量变化越快，回路中的电流就越大；磁通量变化越慢，回路中的电流就越小。
3．结论：
电磁感应现象：当通过一个闭合回路所包围的面积的磁通量发生变化时，不管这种变化是由什么原因引起的，回路中就有电流产生。
感应电流：Induced Electric
Current
由于通过回路中的磁通量发生变化，而在回路中产生的电流。
感应电动势：Induced Electromotive
Force
即回路中由于磁通量的变化而引起的电动势。
1822-1831年英国物理学家法拉第进行多次实验和研究在1831年发现电磁感应定律。
（1）磁铁（或通电线圈）与线圈相对运动时线圈中产生电流，图a和图b。电流计的指针发生偏转，且运动方向不同，偏转方向也不同。
（2）线圈中电流变化时另一线圈中产生电流， （3）闭合回路的一部分切割磁力线，回路中产生电流，
二、Faraday电磁感应定律（Faraday
Law
of Electromagnetic Induction）
1．法拉第电磁感应定律内容
Faraday对电磁感应现象作了定量研究，分析了大量的实验，得到如下结论：当穿过闭合回路所包围面积的磁通量发生变化时，不论这种变化是什么原因引起的，回路中就有感应电动势产生，并且感应电动势正比于磁通量对时间变化率的负值。
在SI制中：
单位：伏特
说明：电动势与磁通量是标量，它们的正负都是相对于某一指定的方向而言的。因而必须要标定回路的绕行方向，并规定电动势方向与绕行方向一致时为正；然后，由回路的绕行方向，按右手螺旋法则定出回路所包围面积的正法线方向n，若磁感应强度B与n夹角θ<π/2，则穿过回路的磁通量为Ф>0；若θ>π/2，则Ф<0，最后由磁通量变化率的正负确定感应电动势的正负。
2．感应电动势方向的确定：
确定回路绕行方向；规定电动势的方向与回路的绕行方向一致时为正。
根据回路的绕行方向，按右手螺旋法则定出回路所包围面积的正法线方向；在根据回路所包围面积的正法线方向，确定磁通量的正负；
根据磁通量变化率的正负来确定感应电动势的方向。
例：
Ф>0, Ф增加 Ф<0, |Ф|减小 Ф>0, Ф减小 Ф<0, |Ф|增加
注意
（1）“—”号反映感应电动势的方向与磁通量变化之间的关系：即选定回路
L
的绕行方向，规定：与绕行方向成右手螺旋关系的磁通量为正，反之为负。
（2）如果回路由N匝密绕线圈组成，则通过线圈的磁通用磁链表示Ψ=NΦ，则：
3．Faraday电磁感应定律的应用：
先求出磁通量Ф(t)的表达式；
求导：
4．讨论
1）当回路有N匝时，令——磁链（Magnetic Flux
Linkage）
考虑到匝与匝之间是串联的，整个回路的电动势等于各匝多少之和，故
2）闭合回路中的感应电流为：
若回路的电阻为R，则回路的感应电流为：
3）通过回路的电量（感应电量）
令，且时刻磁通量为，时刻磁通量为，
因为
所以：
故在时间内，通过回路的电量为：
说明：
1)回路中的感应电量只与磁通量的变化有关，而与磁通量的变化无关。
2)用途：测磁通计：测出在某段时间中通过回路导体任一截面的感应电量，而且回路电阻为已知，则可求得在这段时间内通过回路所围面积的磁通量的变化。
三、椤次定律（Lenz's
Law）
Lenz（1804～1860），德国物理学家，生于爱沙尼亚，1836年起任彼德堡大学教授，是彼得堡科学院院士。楞次主要从事电学的研究。楞次定律对充实、完善电磁感应规律是一大贡献。1842年，楞次还和焦耳各自独立地确定了电流热效应的规律，这就是大家熟知的焦耳——楞次定律。他还定量地比较了不同金属线的电阻率，确定了电阻率与温度的关系；并建立了电磁铁吸力正比于磁化电流二次方的定律。
Lenz's law的物理意义：说明Faraday电磁感应定律中负号的物理意义。
1．Lenz定律：
1883年，Lenz在大量实验事实的基础上，总结出来了如下规律：
两种表述：闭合回路中感应电流的方向，总是使得它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化。或者：感应电流的效果，总是反抗引起感应电流的原因。
当穿过闭合的导线回路所包围的面积的磁通量发生变化时，在回路中就会产生感应电流，此感应电流的方向是使它自己所产生的磁场穿过回路面积的磁通量，去抵偿引起感应电流的磁通量的改变。
或：闭合的导体回路中所产生的感应电流，总是使它所产生的磁场反抗任何引起电磁感应的变化。
注意：
1）感应电流所产生的磁通量要阻碍的是“磁通量的变化”，而不是磁通量本身；
2）阻碍并不意味着抵消，如果磁通量的变化完全被抵消了，则感应电流也不存在了。
在实际中，运用Lenz定律来确定感应电动势的方向往往是比较方便的。
2． Lenz定律应用
在应用Lenz定律时，应该注意：（1）回路绕行方向与回路正法线方向遵守右手螺旋法则；（2）回路感应电动势方向与回路绕行方向一致时感应电动势取正值；相反时取负值。
用楞次定律判断感应电流方向的步骤
（1）判断穿过闭合回路的磁通沿什么方向，发生什么变化（增加或减少）；
（2）根据楞次定律来确定感应电流所激发的磁场沿什么方向（与原来的磁场反向还是同向）；
（3）根据右手螺旋法则从感应电流产生的磁场方向确定感应电流的方向。
例1：如图所示，当永久磁铁移近线圈时的情况：按(2) 感应电动势εi方向应与回路绕行相反，故其方向如图所示，Ii与εi方向相同，感应电流产生的磁场的方向与永久磁体磁场的方向相反，将阻碍磁铁的运动。
永久磁铁远离线圈时：按(2)
Ii、εi与回路绕行方向一致，Ii产生的磁场方向与永久磁体磁场同向，也将阻碍磁铁的运动.
例2：在闭合回路中，导线运动切割磁力线时
如图所示，回路绕行方向，与反向，当向右滑动时，即面积增大，，则为正，Ii、εi方向应与回路绕行方向一致。导线将受力作用，方向向左，阻碍导线向右运动。
同理，若开始时，向左运动，同样也会受到阻力的作用。
3．Lenz定律与能量守恒定律：
Lenz定律是能量守恒定律在电磁感应现象中的具体体现。感应电流在闭合回路中流动时将释放焦耳热，根据能量守恒定律，这部分热量只能从其他形式的能量转化而来。Faraday电磁感应定律中的负号，正是表明感应电动势的方向和能量守恒定律之间的内在联系。
例1的结论：把磁棒插入线圈或从线圈中拔出，必须克服斥力或引力作机械功。实际上，正是这部分机械功转化成了感应电流所释放的焦耳热。
例3．记忆磁芯：
磁芯原来被磁化，现在回路1中通以电流，使磁芯的磁场变为。试估算剩磁状翻转过程中，回路2中感应电动势。已知，截面积，翻转时间。
解：取绕行，开始时，翻转后。
端电势高于端。
若磁场芯内剩芯为，当回路中流以相同电流时，因磁化饱和，故仍为，磁化状态不翻转，因此回路2中没有感应电动势。故测得回路2中的，便可把原来“记忆”在磁芯中的剩磁状态读出来。
例4．如图所示，磁感应强度垂直于线圈平面向里，通过线圈的磁通量按下式关系随时变化，式中的单位为毫韦伯、时间的单位为，问：
(1)当时，回路中的感应电动势的大小是多少?
(2)通过的电流方向为何?
解：(1)根据Faraday电磁感应定律，可得回路中的感应电动势为
当时，回路中的感应电动势的大小为
(2)由椤次定律，电动势方向：
I方向为
例5．交流发是电机原理：
面积为S的线圈有N匝，放在均匀磁场B中，可绕OO’轴转动，若线圈转动的角速度为ω，求线圈中的感应电动势。
解：设在t=0时，线圈平面的正法线n方向与磁感应强度B的方向平行，那么，在时刻t，n与B之间的夹角θ=ωt，此时，穿过匝线圈的磁通量为：
由电磁感应定律可得线圈中的感应电动势为：
令εm=NBω，则
εi=εmsinωt
令ω=2πf，则
εi=εmsin2πft
εi为时间的正弦函数，为正弦交流电，简称交流电。
§8－2 动生电动势和感生电动势
根据法拉第电磁感应定律：只要穿过回路的磁通量发生了变化，在回路中就会有感应电动势产生。而实际上，引起磁通量变化的原因不外乎两条：其一是回路相对于磁场有运动；其二是回路在磁场中虽无相对运动，但是磁场在空间的分布是随时间变化的，我们将前一原因产生的感应电动势称为动生电动势，而后一原因产生的感应电动势称为感生电动势。
应该注意，动生电动势和感生电动势的名称也是一个相对的概念，因为在不同的惯性系中，对同一个电磁感应过程的理解不同：
（1）设观察者甲随磁铁一起向左运动。
甲：线圈中的自由电子相对磁铁运动，受洛仑兹力作用，作为线圈中产生感应电流和感应电动势的原因。——动生电动势。
（2）设观察者乙相对线圈静止。
乙：线圈中的自由电子静止不动，不受磁场力作用。产生感应电流和感应电动势的原因是运动磁铁（变化磁场）在空间产生一个感应（涡旋）电场，电场力驱动使线圈中电荷定向运动形成电流。——感生电动势
一、动生电动势Motional
Electromotive Force
导体或导体回路在磁场中运动而产生的电动势称为动生电动势。
1．从运动导线切割磁力线导出动生电动势公式（宏观）
如图所示，在磁感应强度为B的均匀磁场中，有一长为的l导线ab以速度v向右运动，且速度v的方向与B的方向垂直。设在t时刻，穿过回路面积的磁通量为：
当ab运动时，则回路中磁通量是将变化，由Faraday电磁感应定律可知，回路中感应电动势在大小为：
方向：由Lenz定律可知，为逆时针，即abcda方向，
我们可以想到，此种情况，只是ab运动，其它边均不动，所以，动生电动势应归之于ab导线的运动，所以感动生电动势集中于ab段导线内。
2．从运动电荷在磁场中所受的Lorentz力导出动生电动势公式（微观）
问题：电动势是非静电力作用的表现，引起动生电动势的非静电力是什么?
当导线ab以速度v在磁场中运动时，导线中电子所受的Lorentz力为（导体中自由电子也以速度v向左运动）
为电子所带的电量
方向向下。它驱使电子由运动，端为负电，端带正电。
这两种电荷在导体中产生静电场，所以，电子还要受到静电力的作用，方向，当时，两端保持稳定的电势差。
结论：Lorentz力是使在磁场中运动的导线产生的导线产生电势差的根本原因，即洛仑兹力非静电力，若以表示非静电场强，则有
由电动势的定义，可知在磁场中运动直导线ab产生的动生电动势为：
当时，且与同向时
对于任意形状的导线，在非均匀磁场中运用所产生的动生电动势，由
（1）当且为恒矢量（均匀磁场）时，
，
注意到，可得，即动生电动势等于运动导体在单位时间内切割的磁感应线数（中学结论）。
（2）一般情况下，，积分是沿运动的导线段进行，积分路径上各点及都可能不同，不一定能提出积分号外。
（3）当导体为闭合回路时
3．说明：
1）动生电动势只存在于运动的导体上，不动的那段导体上没有电动势，只是提供电流的通路，若只有一段导体，则该段导体两端存在电势差，即有动生电动势产生，但无电流。
2）Lorentz力的作用并不提供能量，而只是传递能量，即外力克服Lorentz力的一个分量f’所作的功，通过另一分量f转化为感应电流的能量。
4．发电机的物理原理－洛伦兹力传递能量
如图，运动导体中的电子的速度为，其中为电子随导体运动的牵连速度，为电子相对导体的定向移动速度。
电子所受到的总的洛仑兹力为，因为，所以其对电子不作功。而分力对电子作正功，形成；分力阻碍导体运动，作负功。
可以证明：。
结论：外力克服阻力做正功输入机械能，再通过另一分力转化为感应电流的能量，即把机械能转化为电能，这就是发电机的物理原理。
5．动生电动势的计算：
1）对于闭合的导体回路，可以应用
或Faraday电磁感应定律
计算；
2）对于不闭合的回路，可以根据定义
计算。
例1．一根长度为的铜棒，在磁感应强度为的均匀的磁场中，以角速度在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一端作匀速运动，试求铜棒两端之间产生的感应电动势的大小。
解法1．按定义式解。
在铜棒上取很小的一段线元，运动速度并且、、互相垂直。于是两端的动生势为
把铜棒看成是由许多长度为的小线段元组成的，每小段的线速度都与垂直，于是钢棒两端的电势差为
方向由，端带负电，端带正电。
解法2．用Faraday电磁感应定律。
设时刻铜棒位置穿过面积的磁通量为：
因而感生动势大小为
方向：由Lenz定律判断。
推广：若将铜棒转为圆盘，则相当于无数根铜棒的并联。用此方法可形成一个圆盘发电机。
例2．直导线ab以速率v沿平行于直导线的方向运动，ab与直导线共面，且与它垂直，如图所示，设直导线中的电流强度为I，导线ab长为L，a端到直导线的距离为d，求导线ab中的动生电动势，并判断哪端电势较高。
解法1．在导线ab所在区域，长直线载流导线在距其r处的磁感应强度大小为
方向 ⊙垂直纸面向外
在导线ab上距载流导线r处取一线元dr，方向向右，因方向也向右，所以该线元中产生的电动势为
故导线ab中的总电动势为
由于，表明电动势的方向由，b端电势较高。
解法2．应用Faraday电磁感应定律计算。
假想一个U形导体框与ab组成一个闭合回路，先算出回路的感应电动势，由于U形框不运，不会产生动生电动势，因而，回路的感应电动势就是导线ab在磁场中运动时所产生的动生电动势。
设某时刻导线ab到U形框底边的距离为x，取顺时针方向为回路的正方向，则该时刻通过回路的磁通量
回路中的电动势
表示电动势方向与所选回路正方向相同，即沿顺时针方向，因此在导线ab上，电动势由，b端电势高。
5．动生电动势产生过程中的能量转换：
1.从导体棒运动时所受的力考虑：
设导体中电流，则感应电动势做功率
导体运动时在磁场中受到的安培力大小为，方向向左，为了使导体棒匀速向右运动，必须有外力与平衡，大小相等，方向相反，外力功率：
与感应电动势的功率相等。由此可知，电路中感应电动势提供的电能是由外力做功所消耗的机械能转换而来——发电机能量转换过程。
2.从洛仑兹力来分析
问题：Lorentz力垂直于电荷运动的速度，，Lorentz力对电荷不作功，然而感应电动势却要做功，作功的能量从哪来。
电子有两个速度：导体本身的运动速度，相对于导体的定向速度，电子所受的总的Lorentz力：
它与合成速度
垂直，于是
即总的Lorentz不作功，然而为使导体棒速度匀速运动，必须施加外力，以克服一个分力，此分力的功率为
即外力克服Lorentz力的一个分力所作的功，通过Lorentz力的另一个分量对电子的定向运动作了正功，从而全部转化成了感应电流的能量。因此，Lorentz力并不提供能量，而只是转化能量。Lorentz力在这里起了能量转化作用。
二、感生电动势（Induced
Electromotive Force）
1．感生电场（Induced Electric
Field）
问题：闭合回路在磁场中，当磁场变化时，在回路中要产生感应电流，因而要产生感应电动势，其非静电力不可能是Lorentz力。那么引起感生电流的电场是什么?
英国著名物理学家Maxwell分析了一些电磁感应现象以后（1861年），提出假设：变化的磁场在其周围空间要激发一种电场——感生电场，它就是产生感应电动势的“外来场”，可以形成感应电流。即感生电场是由变化的磁场引起的。
实验证实了Maxwell提出的感生电场确实存在，而且还可以扩展到原磁场未达到的区域。通常把由感生电场引起的电动势，叫做感生电动势。可见，变化的磁场是产生感生电动势的非静电力。
2．感生电场与变化磁场的关系：
由电动势定义可知，由于磁场的变化，在一个导体回路L中产生的感生电动势为：
由Faraday电磁感应定律：
当仅考虑磁场随时间变化，而导体回路不动时，则有
即
其中S表示以回路为边线的任一曲面的区域，其正法线方向与回路绕行方向成右手关系。
这就是感生电场与变化磁场之间的关系，是电磁场的基本方程之一。
注意：
不管回路是否由导体构成，也不管闭合回路是否在真空中还是在介质中，该式都适用；
若是闭合导体回路，因为有电荷在导体中作定向运动，故能形成电流，否则无感应电流。
3．感生电场与静电场（或库仑电场，Coulomb
Field）的相同点与不同点：
1）相同点：感生电场与库仑电场都是一种客观存在的物质，它们对电荷都有作用力。
2）感生电场与库仑电场的区别：
场源： 静电场： 场源是静止电荷
感生电场： 场源是变化的磁场
环流： 静电场：保守力场
感生电场：涡旋场Curl Electric
Field
通量： 静电场：不闭合曲线
感生电场： 闭合曲线
感生电场与静电场的比较
|
|
静电场
|
感生电场
|
|
场源
|
正负电荷
|
变化的磁场
|
|
场
的
性
质
|
有源场
|
无源场
|
|
保守场
|
非保守场
| |
|
力线
|
起源于正电荷，终止于负电荷,不闭合
|
闭合线
|
|
作用力
|
|
|
4．感生电动势的计算：
1）用公式计算（要求知道）。
2）用，又分两种情况：
①闭合回路感应电动势，只要知道，即可求。
②求一段非闭合的感应电动势——辅助线方法。
注意：作辅助线应满足两个条件之一：辅助线上的感应电动势为零；或辅助线上的感应电动势容易计算。
例1．在一长直螺线管内通以电流，其内部就会产生一轴向均匀的磁场B，如果使螺线管中的电流以一定规律变化，则磁感应强度B也将随之变化。这样，空间各点将产生涡旋电场Ek，设空间有磁场存在的圆柱形区域的半径为R=5cm，磁感应强度对时间的变化率为dB/dt=0.2T/s，试计算离开轴线的距离r等于r=2cm、r=5cm及r=10cm处涡旋电场的Ek。
解：如图所示，以为半径r作一圆形闭合回路L，根据磁场分布的轴对称性和感生电场的电场线呈闭合曲线特点，可知回路上感生电场的电场线处在垂直于轴线的平面内，它们是以轴为圆心的一系列同心圆，同一同心圆上任一点的感生电场的Ek大小相等，并且方向必然与回路相切。于是沿L取Ek的线积分，有：
若r<R，则
而
即：
所以
若r≥R，则
即：
所以
故本题的结果为：
r=2cm时，
r=5cm时，
r=10cm时，
例2．如图所示，半径为的无限长圆柱形空间分布着与轴线平行的均匀磁场，其变化率为，长为的导线放在所示的位置，求导线中的感应电动势。
解：作辅助线，则为一闭合回路，由Faraday电磁感应定律得
为中不为零的扇形面积。
如图，，，故
又因为，，故段不产生感应电动势，因而段的感应电动势为
方向。
例3．在半径为的长直螺线管中，均匀磁场随时间变化率，直导线，如图所示，求导线上的感应电动势。
解法1．用积分方法：
其中
对段：
对段：
令：，则，
所以
方向
解法2．用Faraday电感应定律
所以
边均与垂直，不产生电动势。
方向
三、电子感应加速器（Betatron）——应用感生电场来加速电子
1940年，由美国物理学家Kerst制造的，它是利用变化磁场产生的感生电场加速电子。
原理：在电磁铁的两磁极间放一个真空室，电磁铁是由交流电来激磁的。
当磁场发生变化时，两极间任意闭合回路的磁通发生变化，激起感生电场，电子在感生电场的作用下被加速，电子还要受到Lorentz力的作用，此Lorentz力作用下，电子将在环形室内沿圆周轨道运动。
问题1．如何使电子稳定在给定圆形轨道上。
假设电子以速率v在半径R的圆形轨道上运动，则
所以
若R固定，则与电子动量（mv）成比例地增加。
求导：
又：
其中是感生电场，用平均磁场描述，则有：
只考虑大小时，有
所以
有：
所以：
满足上式，则电子就在半径为R的轨道上运动。
问题2．怎样保证电子只被加速，不被减速？
如图所示，只在第一个1/4周期内对电子加速。
用途：
小型：几十万电子伏特
大型：数百万电子伏特
特点：电子感应加速器加速电子，并不会受到电子质量随其速度增大而增大这一相对论效应的影响。例如100MeV加速器，电子可以被加速到0.999986c。
缺点：电子加速时，辐射能量，限制加速能量的进一步提高。
四、涡电流（Eddy
Current）
1．涡电流：当大块导体在磁场中运动或者放在变化的磁场中，导体中就会有环形的电流产生。这就是涡电流，简称涡流。
2．涡流的热效应：
原理：电阻小，电流大，能够产生大量的热量。
现象：演示。
应用：（1）冶金——高频感应炉
（2）真空技术——真空无按触加热，避免氧化与玷污。
3．涡流的阻尼作用：电磁阻尼 electromagnetic
clamping
用于磁电式仪表。
4．涡流的防止：
防止涡流的产生：
方法1．变压器，电机的铁心不是整块的铁，而是一片片彼此绝缘的硅钢片迭合而成。
方法2．选用电阻率较高的材料做铁心。
§13－3 自感与互感 磁场的能量
引言：不论用什么方法，只要使穿过回路面积的磁通量发生变化，就会有电磁感应现象。在大多数情况下，磁通量的变化是由电流的变化引起的。如图所示，由磁场迭加原理：穿过回路1的磁通量，有
（1）回路1中电流的磁通量所产生的穿过回路1中的磁通量
（2）回路2中电流的磁通量所产生的穿过回路1中的磁通量
当电流、变化或者两电路位置发生变化，或一个电路形状发生变化时，都会发生变化，回路1中就会产生感应电动势，由电磁感应定律有：
其中：由回路1自身条件变化而在电路1中所引起的感应电动势，即自感电动势。
由回路2条件变化而在电路1中所引起的感应电动势，即互感电动势。
当一个电路附近有其它电路时，必须同时考虑上述两种效应；当周围电路离得很远时，自感占主要地位，当自感很弱时，就可只考虑互感效应。
当一个导体回路因通过回路自身的磁通量发生变化，从而在自身回路中产生感应电动势的现象—自感现象，相应的感应电动势称为自感电动势。
两个载流回路相互在对方回路中激起感应电动势的现象—互感现象，相应的感应电动势称为互感电动势。
一、自感（Self－Inductance）
1．自感现象
当一个线圈中的电流发生变化时，它所激发的磁场穿过线圈自身的磁通量发生变化，从而在线圈本身产生感应电动势，这种现象称为自感现象，相应的电动势称为自感电动势。
2．自感系数
设闭合回路中，电流为I，回路形状不变，没有铁磁质时，根据Biot-Savart定律，，，则有
（1）
式中的叫做回路的自感系数，简称自感，它由回路的大小、形状、匝数以及周围磁介质的性质决定。
说明：
1）令，则，即某回路自感系数，在数值上等于回路中的电流为1单位时，穿过此回路所围面积的磁通量。
2）若回路里有铁磁质时，与电流不是线性关系。
3）单位：亨利（H）
3．自感电动势
由Faraday电磁感应定律：
若回路形状、大小及周围介质不随时间变化时，则，故
（2）
说明：负号是椤次定律的表示，即感电动势将反抗回路中电流的变化，注意不是反抗电流本身，即电流增加时，自感电动势与原电流方向相反；反之，则与原电流方向相同。
若回路由N匝线圈串联而成，且穿过每匝线圈的磁通量都相等，则
当自感系数不变时，有
自感系数的再讨论：
将（2）变形：
（3）
此式表明，回路中的自感系数，在数值上等于回路中的电流，每单位时间改变1单位时，在回路中引起自感电动势的绝对值。
说明：通常将（3）作为L的定义式，故不论回路是否有铁磁质，也不论回路是否密绕，都适用。
注意：当L不变时，（1）（3）定义等价，否则二者不一致。
4．电磁惯性
根据楞次定律，中的负号表明，当回路中电流增加时，自感电动势小于零，即自感电动势与原电流方向相反；当回路中电流减少时，自感电动势大于零，即自感电动势与原电流方向相同，因而自感电动势总是阻碍回路中电流的变化。在相同电流变化的条件下，自感系数越大，自感电动势越大，即阻碍作用越强，回路电流越不容易改变。因而回路的自感有使回路的电流保持不变的性质，与力学中物体的惯性有些相似，故称为电磁惯性；自感系数就是回路电磁惯性的量度。
6．自感现象的利弊：
有利的一方面：扼流圈镇流器，共振电路，滤波电路
不利的一方面：(1)断开大电流电路，会产生强烈的电弧；
(2)不大电流可能因自感现象而引起事故。
7．关于L有计算：
一般比较复杂，简单情况下可用计算，实际上用实验来测量。
解题方法：（1）假设电流分布
（2）计算
（3）由求出。
例1．有一长直螺线管，长度为l，横截面积为S，线圈总匝数为N，管中介质磁导率为μ，试求其自感系数。
解：对于长直螺线管，当有电流I通过时，可以把管内的磁场看作是均匀的，其磁感应强度的大小为：
其中n=N/l为单位长度上的线圈匝数。
磁感应强度的方向与螺线管的轴线平行，因此穿过螺线管的磁通量等于：
因而自感系数为：
令V=Sl为螺线管的体积，则
讨论：增大L，方法：(1)
n大，(2) μ大。
附：亨利(J．Henry，1797-1879)，美国物理学家。1830年首先观察到自感现象，但于1832年才发表，一年后，Faraday发现电磁感应现象，强力实用电磁铁，磁电器都是亨利发明的。亨利的贡献很大，只是有的没有立即发表，因而失去了许多发明的专利权和发现的优先权。但人们没有忘记这些杰出的贡献，为了纪念亨利，用他的名字命名了自感系数和互感系数的单位，简称“亨”。
二、互感（Mutual
Inductance）
1．互感现象：
当一个线圈中的电流发生变化时，将在其周围空间产生变化的磁场，从而在它附近的另一个线圈中产生感应电动势，这种现象称为互感现象相应的电动势称为互感电动势。这样的两个电路叫互感耦合电路。
令 ——电流I1引起的通过线圈2的磁通量
——电流I2引起的通过线圈1的磁通量
由毕一萨定律可知，
所以：
2．互感系数
式中的M12，M21叫互感系数，与线圈形状大小，匝数相对位置，磁导率有关，实验与理论表示。令则
互感系数在数值上等于其中一个线圈中的电流为单位时，穿过另一线圈面积的磁通量。
单位：亨利（H）
3．互感电动势：
由Faraday电磁感应定律，线圈1中电流I1发生变化，在线圈2中引起感应电动势：
同理：
互感系数：
说明：（1）互感系数M的数值：为1单位时，互感电动势的绝对值；
（2）负号表明，在一个线圈中所引起的互感电动势要反抗另一线圈中电流的变化；
（3） 互感系数M是表征互感强弱的物理量，是两个电路耦合程度的量度。
4．应用：利用互感现象，可以把一个电路贮存的能量或信号转到另一个电路。
例如：变压器感应圈，互感器等。
避免磁屏幕（Magnetic
Shielding）
5．计算：
解题方法：（1）假设电流I分布
（2）计算Φ
（3）由M=Φ
/L求出M。
例2．设在一长度为l；横截面积为S，密绕有N1匝线圈的长直螺线管中部，再绕N2匝线圈，试计算这两个共轴螺线管的互感系数。
解：如果在长直线管上通过的电流为I1，则螺线管内中部的磁感应强度为：
穿过N2匝线圈的总磁通量为:
根据互感系数的定义可得
讨论：线圈1的电感系数：
线圈2的电感系数：
因为：
所以
讨论：
（1）以上讨论只适用于理想情况，即无漏磁地穿过每一匝线圈；
（2）一般情况下，有
k叫耦合系数(coupling
factor)
k的值可由实验测定，其大小取决于两线圈的耦合程度。
理想情况下，k=1；相距无限远时k=0
在实际中，有时要求k大，如变压器k=0.98，有时则有害，如电话。
线圈1中有中流I1，线圈1中磁通量，线圈2中磁通量。
线圈2中有中流I2，线圈1中磁通量，线圈2中磁通量是。
则
，
可得
小结：
感生电动势
感生电动势
电子感应加速器
涡电流
自感与互感
自感电动势 自感
互感电动势 互感
§8－4 位移电流、电磁场基本方程的积分形式
麦克斯韦（James
Clerk Maxwell 1831——1879）
19世纪伟大的英国物理学家、数学家。经典电磁理论的奠基人，气体动理论的创始人之一。
他提出了有旋电场和位移电流概念，建立了经典电磁理论，并预言了以光速传播的电磁波的存在。他的《电磁学通论》与牛顿时代的《自然哲学的数学原理》并驾齐驱，它是人类探索电磁规律的一个里程碑。
在气体动理论方面，他还提出气体分子按速率分布的统计规律。
一、位移电流（Displacement
Current）
1．问题的提出：
在稳恒电流的磁场中，安培环路定理为
为电流密度，对于非稳恒性电路，例如在有电容器的电路中，传导电流不连续，即是非稳恒电流，情况又如何呢?
在电容器放电过程中，不稳定的，随时间而变化，在A板附近，取闭合回路L，以L为边界作曲面S1和S2，其中S1与导线相交，S2在两极板之间，不与导线相交，S1与S2构成封闭曲面。对于曲面S1来说，有：
对于曲面S2来说，有
结果表明：在非稳恒电流的磁场中，磁场强度的环流与以闭合路径为边界的曲面有关，取不同的曲面，环流有不同的值。这说明，在非稳恒电流中，安培环路定理不适用，必须探求新的规律（根本原因是传导电流不连续）。
2．解决问题的方法：
方法1，在实验基础上，提出新概念，建立与实验事实相符合的新理论；
方法2，在原有定律的基础上，根据新观察到的实验，提出合理的假设对原有的定律作必要的修正，使矛盾得到解决。
3．Maxwell位移电流假设：
位移电流是Maxwell为修正安培环路定律而提出的。
以电容器放电为例：
t时刻：A极电荷，电荷面密度，B极电荷，电荷面密度。放电时，电荷由A沿导线流向B板，若板的面积为S，则导线中传导电流为：
传导电流密度为
电容器两极间无电流，对整个电路来说，传导电流不连续。
在放电过程，板上电荷面密度，随时间变化，同时两极板间场中电位移矢量的大小，与电通量与随时间变化，它们随时间变化率为
，
可见：在数值上等于板内的传导电流
在数值上等于板内的传导密度
考虑方向：电荷密度减少时，电位移矢量减少，与方向一致。
即与一致，如果用表示某中电流密度，它可以代替两极间中断了的传导电流密度，从而成电流的连续性。
Maxwell 位移电流定义：电场中某一点位移电流密度，等于该点的电位移矢量对时间的变化率，通过电场中某一截面位移电流等于通过该截面电位移通量对时间的变化率，即
，
Maxwell假设位移电流与传导电流一样，在其周期空间要产生磁场，但位移电流不产生热效应与化学效应。
4．位移电流与传导电流的比较
二者唯一共同点仅在于都可以在空间激发磁场，但二者本质是不同的：
位移电流的本质是变化着的电场，而传导电流则是自由电荷的定向运动；
传导电流在通过导体时会产生焦耳热，而位移电流则不会产生焦耳热；
位移电流也即变化着的电场可以存在于真空、导体、电介质中，而传导电流只能存在于导体中。
4．全电流定律：
若电路中同时存在传导电流与位移电流，定义全电流
此时，安培环路定理可修正为
或：
即：沿任意闭合回路的环流，等于通过此闭合回所围面积的全电流，称为全电流安培定律，简称全电流定律。
说明：
1）按定义，位移电流可以存在于电介质、导体，甚于真空中。在电介质中：大，可忽略；在导体中：大，可忽略；在高频电流场合，导体中的、都不可忽略；
2）和是两个截然不同的概念，它们只是在产生磁场方面是等效的，故都称为电流，事实上，与电荷流动无关，它只是电场变化引起的一种效应，也不会象那样产生焦耳热。
3）位移电流上本质是一种变化着的电场，即变化的电场可以激发磁场。
例题：一平板容器两极板都是半径5.0cm的圆导体片，设充电原电荷在极板上均匀分布，两极间电场强度的时间变化率为，求(1)两极板间的位移电流；(2)两极板间磁感应强度的分布及极板边缘的磁感应强度。
解：(1)
(2)磁场对两极板的中心轴线具有对称分布，在垂直于该轴的平面上，取以轴点为圆心，以r为半径的圆作积分环路，由对称性，在此积分回路上磁感应强度的大小相等，方向沿环路的切线方向，且与电流成右手螺旋。
所以
当时
可见，虽然电场强度的时间变化率已经很大，但它所触发的磁场仍然是很弱的，在实验中不易测量到。
二、电磁场
前面几章，从实验出发，分别研究了静电场与稳恒磁场的基本性质以及它们所遵循的规律，也研究过电磁感应的宏观规律。但是这些规律只是反映了电磁场在特殊条件下的特性。要把这些带有局限性的规律上升到具有普适意义的电磁场理论，必须从理论上进行概括、总结和推广。在19世纪中期，maxwell在这些定律的基础上，提出了几个基本概念，确立了电荷、电流和电场与磁场之间的普遍关系，建立了统一的电磁场理论。
Maxwell电磁场理论的基本概念包括两个主要内容：（1）除静止电荷激发无旋电场外，变化的磁场还将激发涡旋电场；（2）变化的电场和传导电流一样将激发涡旋磁场。即变化的电场和磁场不是彼此孤立的，它们相互联系，相互激发，在变化的电场空间必然存在变化磁场，在变化磁场的空间存在变化电场，变化电场与变化的磁场相互激发组成一个统一的电磁场整体，即电磁场。
说明：
（1）静电场与稳恒磁场也是电磁场的特殊形式；
（2）电磁场具有能量，质量，动量等物质特性，是物质的。
三、Maxwell方程组
麦克斯韦提出的涡旋电场和位移电流假说的核心思想是：变化的磁场可以激发涡旋电场；变化的电场可以激发涡旋磁场。
1．静电场与稳恒电流磁场规律：
1）静电场的高斯定理： 有源场
2）静电场的环流： 静电场均为保守力场无旋，有势场
3）磁场的高斯定理： 涡旋场（无源场）
4）安培环路定理： 非保守场（有旋场）
2．Maxwell 假设：
Maxwell引入涡旋电场与位移电流两个重要概念，将静电场环流改为
将安培环路定律改为
上面两式适用于一般电磁场。
Maxwell还认为，电场的高斯定理与磁场的高斯定理不仅适用于静电场与稳恒电流的磁场，也可适用于一般的电磁场。
3．Maxwell 方程组：
Maxwell 揭示了电场与磁场的内在联系，把电场与磁场统一为电磁场，并归纳出电磁场的基本分程——Maxwell 方程组，建立了完整的电磁场理论体系。1862年，Maxwell 从他所建立的电磁场理论出发，预言了电磁波的存在，并证明了光是一种电磁波。1888年，Hertz利用振荡器与共振器，在实验上证明了电磁波的存在。Maxwell 理论是物理学史上最伟大的成就之一，它奠定了经典电动力学的基础，也为无线电技术的进一步发展开辟了广阔的前景。
1）电场的性质：自由电荷激发的电场满足高斯定理，变化的磁场激发的电场是涡旋场，它的电位移线是闭合的，对封闭曲面的通量无贡献：
2）变化的电场与磁场的联系：
3）磁场的性质：传导电流与变化电场激发的磁场是涡旋场，磁感应线都是闭合的，因此在任何磁场中，通过任何封闭曲面的磁通量总是等于零：
4）变化的磁场和电场的关系：
4．Maxwell方程组的特点：
物理概念创新；
逻辑体系严密；
数学形式简洁优美；
演绎方法出色；
电场与磁场以及时间和空间的明显对称性。
Maxwell电磁场理论最卓越的成就，就是预言了电磁波的形式存在，变化的电磁场会以波的形式以一定的速度在空间传播。德国物理学家Hertz于1887年首先以实验证实了电磁波的存在。
Maxwell方程组在实际应用中，还必须考虑介质的实际情况，加上描述介质的方程就概述了电磁学的全部内容。
各向同性介质中，介质方程为：
在非均匀介质中，还要考虑电磁场量在介质分界面上的边值关系，以及具体问题中的初值条件。
Maxwell方程组，Lorentz力公式以及电荷守恒定律，组成了电动力学的基本方程。
四、Maxwell方程组的微分形式
在直角坐标系中：
说明：Maxwell方程组的积分形式与微分形式是等价的，在理论中经常使用的是微分形式。
小结：
磁场的能量
线圈贮存的能量——自感磁能
磁场的能量
互感磁能
位移电流、电磁场基本方程的积分形式
位移电流 全电流安培环路定理
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组的微分形式
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