晶格(lattice) 中所有振動模式之間分享能量,若沒有該非線性項,“能量”便無法互通有無

晶

格(lattice) 中所有振動模式之間分享能

量

的方式。為了以數學方式表達其關係式他

們

必須加入一個微不足道的非線性項, 此項

對

應於振態的交互作用。實際上, 他們所用的

數

學模型正是離散形的KdV 方程。值得一

提的是

若沒有該非線性項。那麼在這個模型

中

“能量”便無法互通有無。實驗的結果, 這個

微

小的非線性項。控制了整個系統, 把它從一

個

線性行為良好的晶格搖身一變而為“孤立

子

”的競技場。更重要的是在這裡面並沒有所

謂的“能量等分”

孤

立波(Soliton) 淺談

林

琦焜

「

Yang-Mills方程式是非線性的, 因此

不可

能得其精確解(exact solution)。」

這

樣的敘述似乎是極具說服力, 尤其對

一

個曾經修過常微分方程的人而言。如果諸

位

還有印象的話, 當不難憶起這樣的經驗。

“

通常只有在線性常係數微分方程, 才可

得

其一般解(general solution)”。

這論

述當然是對的, 但不要忘了, 誠如生

命

的歷程一般, 許多時候, “特例”、“例外”, 反

而較

常規來得有意思。其中相散波(dispersive

wave)

就是這樣一個例子。

首

先我們解釋一下“相散(dispersion)”

是

什麼? 在水中, 不同頻率的波以

不同

的速度前進, 因為沒有什麼東西可以

把

這些不同的頻率一把抓在一起, 因此基

本

上, 複雜的波形會一路改變其形狀; 它的

波

峰漸漸達到最高點, 然後超越波的主體。

波浪

會碎成較小的擾動, 最終則變為一團

紊

流(turbulence)。此現象我們稱之為相

散

(dispersion)。

要談

孤立子(soliton); 任何的描寫都遠

不及

最初見證者的聲音, 來得那麼真實與直

接

。那是遠在150年前即1834年8月的某一

天

, 蘇格蘭造船工程師John. Scott Russell,

是日

沿著愛丁堡的聯合運河策馬前進,

突

然間:

「

我正觀察一艘小船由兩匹馬沿著狹窄水

道

的兩側拉著, 快速前進。此時, 船突然

停

止, 然而船欲靜而水不止。小船在水道

中

所排開的水。沿著船首聚集經過一陣狂

亂

之後, 突然離小船而往前邁進, 其外型

看

似一巨大的突起物, 圓滾滾, 平滑又形

狀

分明的水峰。它持續地沿著水道前行,

而

且其外形與速度並無明顯地改變。我騎

著馬

追逐它, 當超越它時, 水峰仍以時速8

到

10哩的速度翻騰前進, 且保持著它起

初

的形狀, 大約是30呎長1.5呎高。然後

其

高度漸漸降低。再追了1-2哩後, 它在

蜿

蜒的水道中消失。」

實

際上, Russell 發現這種不尋常的波, 為什

麼

不尋常呢? 主要是這種波浪在行進的途中,

保持穩