http://125.71.228.222/wlxt/ncourse/physics/web/DXWL/wangluokecheng/main.htm
http://125.71.228.222/wlxt/ncourse/physics/web/DXWL/wangluokecheng/1722/main1.htm
二 不确定关系的内涵
1.不确定关系的特例说明
用电子单缝衍射实验说明不确定关系函数。
忽略次极大时，电子在x方向动量范围：
电子在x方向动量不确定度： 
考虑次极大时，电子在x方向动量不确定度：
结合单缝衍射第一级暗条纹出现位置的条件：
，以及德布罗意波：
，以及德布罗意波：
有： 
上式称为不确定关系，但并不是严格的表达式。不确定关系的推导过程较复杂，这里不作介绍[1]。
2.不确定关系
典型特例表示方法：
(17.2-1)
(17.2-1)
或：
(17.2-2)
(17.2-2)
一般表述方法： 
(17.2-3)
(17.2-3)
*严格表示方法： 
(17.2-4)
(17.2-4)
其中，Dp表示动量的不确定度，Dx表示位置的不确定度，DE表示能量的不确定度，(17.2-3)式中p、q分别表示广义动量与广义坐标，
、
、
表示量子力学中的算符。
、、表示量子力学中的算符。
讨论：
(1).不确定关系是微观粒子波粒二象性的直接结果，微观粒子的波粒二象性是其自身的内禀属性，因此，不确定关系也是微观粒子的内禀属性。
(2).量子力学中任何一对广义动量与广义坐标之乘积都满足不确定关系。
乘积具有与作用量相同量纲的物理量，称为量子力学中的一对广义坐标与广义动量。如动量与坐标、角动量与角位移、能量与时间等。
(3).不确定关系的本质含义是：任何一对广义动量与广义坐标在理论上不可能同时具有确定值。即，如果将广义坐标精确测定，那么，广义动量的不确定度为无限大，反之亦然。
(4).不确定关系只有在量子系统中才明显表现出来。
将上式代入能量表达式：
求极值：
于是：
说明：A.利用不确定关系进行估算时，基本模式就是取
，然后利用不确定关系得到极值。
，然后利用不确定关系得到极值。
B.利用不确定关系所作的计算，均是估算，绝不是精确计算。估算只需要确定数量级。
在科研过程中，估算是十分重要的。大学物理课程中讨论估算的机会不多，本节的估算，我们将作重点考试要求。
例：利用不确定关系估算谱线的自然宽度，取Dt~10-8s。
解：原子中电子的能级有一个宽度，称为能级宽度；电子在每一个能级上停留的时间有一个时间宽度，称为电子寿命；电子在能级间跃迁时有一个频率宽度，称为谱线的自然宽度。
由(17.2-2)式 
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