李球几何中的子流形理论-国家自然科学基金摘要查询-MedSci ...
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宋宇萍 - 数学学院个人网站
121.192.180.131/...I1))/display.aspx?tid=47
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力学中的不变量
武际可
（北京大学力学与工程科学系，100871）
提要 本文从方法论的角度讨论力学中的不变量理论。指出在寻求不变量与了解力学系统变化的关系。指出不变量与变换的关系，并且指出利用不变量方法求力学定解问题的准确解和对已有准确解的分类和整理的研究途径。
关键词不变量 变换变换群 准确解 李群
1.引言
力学是研究物质宏观机械运动规律的科学。即研究物体位置变化的科学，平衡即不变化，可以看作变化的特殊情形。
从方法论的观点来看，变化和不变化是相对而言的。变化的事物，一定存在某些不变的东西。这种不变的东西，就是后一事物与前一事物的联系。古希腊哲学家赫拉克利特（Heraclitus,约公元前540年~前480年）说：・人不能两次踏进同一条河。・极言事物的变化。我们所以可以研究这条河，是因为它具有一些不变的东西，至少它的名字是不变的。但是如果我们后一次所踏进的河与前一次所踏进的河之间没有任何不变的东西，连名字也变了。这样两次所踏进的河之间就没有任何联系，我们就不可能认识这条河。
可见，只有充分了解了事物的不变的性质，我们才能研究事物的变化。同时，为了研究事物的变化，也必须了解事物的不变性质。也就是说，只有把一个事物的变化与不变化的性质都分清楚后我们才能充分地认识事物，把握它们的性质。也可以这样说，认识事物不变的性质是认识事物变化性质的一个侧面。
在力学学科发展的过程中，研究不变量的方法贯穿整个力学史。
2.不变量与变换
在力学中不变量是相对于变换来说的。即一种不变量是在一种特定的变换之下是不变的。
最早认识到的不变量是：1644年笛卡尔引进动量，17世纪初开普勒在研究火星时引进
了角动量，1686年莱布尼兹引进了动能。这些概念经过许多学者逐步扩展。后来发现这些不变量分别对应于坐标平移、转动，和时间平移变换之下的不变量。
与此同时人们还发现在坐标变换下，向量的大小是不变量。到19世纪末张量引进后，坐标变换下又逐渐认识了张量的不变量。在力学中最常遇到的张量不变量就是应力和应变不变量。
人们的认识是逐步扩大的。起先了解的只是个别的不变量，后来就逐步认识不变量的系列，即在一种变换之下所有的不变量类。起先只考虑标量的不变量，后来有了向量与张量的不变量。
人们把在伽利略变换下的所有的不变性质，称为经典力学。1904年罗伦茨（H.Lorentz，1853-1928）引进了时间和空间变量的罗伦茨变换，人们把在罗伦茨变换下的所有不变性质称为相对论力学。
人们对变换的研究也在逐步扩展。最早是坐标的变换，后来是加进了坐标随时间的导数即速度的变换。由于导数在几何上表示切线，含导数的变换下，有一类保持曲线或曲面相切或相接触的性质，所以人们把这类特别的变换称为接触变换。
进一步，人们还考虑问题的未知量也参加变换，进而未知量的导数也包含在包含内。1787年，勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752-1833）在蒙日关于最小曲面研究的启发下，给出了勒让德变换。勒让德变换在力学和物理上的应用，可以把作用量的自变量换成与原来变量对偶的变量。勒让德变换是在坐标作对偶变换时，从老不变量得到新不变量的重要方法。因此勒让德变换在物理和力学中具有非常重要的意义。1883年瑞典数学家贝克隆（A.V. Bäcklund ，1845 - 1922)为研究负高斯曲率曲面的弯曲变形，即保持高斯曲率不变的变形，这种变形下与曲面有关的一个参数要满足一个二阶非线性偏微分方程，称为sine－Gorden方程，引进了一个包含未知函数的一阶导数的变换。在这个变换下，方程保持不变。
1870年瑞典数学家李（Sophus Lie，1840-1899）从最一般的观点讨论变换，这种变换可以变换未知函数、坐标，坐标与未知函数的各阶导数。并且研究这类变换组成的群，称为李群。
此后人们不但研究简单的不变量，而且研究微分不变量。进而把微分方程和微分方程组也看作不变量来研究。
总之，把变换与不变量联系起来研究是研究不变量的基本方法。一定的不变量对应于一定的变换，同样给定一类变换就可以找到适当的不变量。所以从方法论上来说，我们所说的事物的变化，可以把它分解为许多变换，有时可以分解为无限多变换。然后对系统在这些变换下的行为分别研究，只有我们对系统在这些变换下的行为了解得足够多，我们对系统也就了解得足够多。
3.寻求力学系统特解的重要方法
我们研究力学系统，经常是把它们提为一组方程或初边值问题。对这组初边值问题求解，就成为求解力学问题的主要内容。从历史发展上来看，求解力学问题，最初是求所提出的初边值问题的特别解，即求在特别条件下的系统的解。这种解通常是用函数的有限表达式或分析表达式来表示的，这种解也称为特解，它是一种准确解。后来由于所提出的问题愈来愈不容易解，就发展出数值解方法。在计算机充分发展和普及的今天，对许多问题来说采用数值方法用得更多，几乎有成为唯一求解方法的趋势。
不过，数值解也不能完全取代特解的地位。这是因为，首先，特解是一种表达式，它能够充分表达系统中各种参数的依存关系，这是数值解所难于实现的。其次，因为特解是准确解，要考核体现数值方法软件的正确性，必须要用准确解来校验。如果没有经过准确解校验的软件，就贸然用来求解实际问题，那是很危险的。有时会得出错误的结果。
早期，由于力学系统的定解问题相对简单，求特解主要靠解题人的能力和灵感。后来由于定解问题愈来愈难，所以就需要发展比较普遍适用的方法。特别是现今遇到的非线性问题愈来愈多，单靠解题人的直觉和灵感是很难奏效的了。所以利用变换和求不变量方法便成为求解非线性问题的最重要的途径了。
如果把控制力学系统的方程或方程组看作不变量。我们若能够找到对应的变换，在这种变换之下方程或方程组不变，则就相当于找到了一类特解。就是说，只要找到一个特解，在这一变换下，因为方程是不变的，所以特解还变为特解。于是只要是得到了一个这种变换，我们便可以从一个特解经过变换得到一个特解的系列，或一类特解。
有时，我们找到的这类变换是带未知函数的导数的，这时得到新的特解需要经过一次积分。历史上，贝克隆变换用来求解sine-Gorden方程就是一个含导数的变换。
举例来说，考虑近年来研究得比较多的KDV(Korteweg-de Vries)方程
(),,ftxu=0txxxxuuuu++=
它在如下四个参数变换群作用下是不变的, 即
⑴（时间平移） tt→
⑵xxa→ (平移)
⑶xxta→ (Galileo变换) uu→
⑷,3ta→xax→, (膨胀) 2ua−→
于是可得四个向量场
1234,,,32XXXtXtxutxxutx∂∂∂∂∂∂==+=+−∂∂∂∂∂∂(a=1 邻域)
对应于这四种变换可以得到以下的解：
1.为不变量即不依赖于t, ,uxu
即方程化为则积分可得 ''''0ϕϕϕ=
2()(3sec1)2cxchxϕ−当''''(,,0,(0)0, ）
2. 为不变，即u与,utx无关，于是方程
平凡解 0.tuuconst=⇒
3. 两个不变,/,uxtt−33(()0,(/)0Xtxuxt =−∵
由第一个得 代入方程得 /(uxtVt=+ /,()/vctuxct==+
4. 对是不变量, 这时可令2/331,utxt−2/331(),utVyyxt−−==
代入原方程得 2'''''2/3'161918()93yVyVyVvyV+=+−
4 对于13,xx+得不变解 2(),2tutVyyx=+=−, ''''10VVV++=.
对于13,xx−得不变解 2(),2tutVyyx=−=+,''''10VVV+−
如果引用变换还可以使上述方程线性化，扩展变量后，包含导数讨论不变量。 Backlund
在力学中，常用的变换有正则变换、达布变换、贝克隆变换等。至于对于给定的定解问题如何去求相应的变换，这需要有一定李群方面的知识。
前面说的在一定变换下方程或方程组保持不变。如果这组方程是连续介质的本构方程，则在坐标变换下应当保持不变，这种性质直到20世纪50年代才提得比较明确，这种性质被称为不变性原则。
4.对已有理论系统的整理
在几何学中，1872年，德国数学家克莱因（Felix Christian Klein，1849-1925）
在论文《Vergleichende Betrachtungen üer neuere geometrische Forschungen》中提出以变换来区分非欧几何的理论。后来被称为rlangen program即爱尔朗根纲领。此后，已有的几何学知识就按照变换下的性质来分类。例如拓扑学是研究连续变换下的不变性质，欧氏几何是研究正交变换之下的不变性质，射影几何是研究射影变换下的不变性质，仿射几何是研究仿射变换下的不变性质等等。
以变换群的方法对于已有的力学问题来整理，发展得比较晚。虽然在19世纪末已经发展了一系列关于保守系统的正则变换理论。可是后来一直没有什么前进。直到20世纪0年代人们发展了李群对微分方程研究应用，力学界也开始从变换的角度来整理已有的力学问题的特解。其中比较突出的是W.H.Hui对流体力学的文章〔2〕〔3〕和Б.Д.Аннин等对弹塑性理论的书〔1〕这两个文件系统把已有的流体力学和固体力学的解从变换群的角度加以整理。
量纲分析和相似性的理论，实际上本身就是变换群的一种特例。前者就是当基本量的单位改变时讨论各个量的变化与不变的性质。而后者是讨论当尺寸改变时两个物理问题的相似性。在这里，无量纲的量就是这种变换下的不变量。
要了解力学中的变换与不变量问题，需要一定的数学准备。〔4〕是一本比较好的参考书。
参考 文 献
1. Б.Д.Аннин,В.О.Бытев,С.И.СенашовГруповыеСвойстваУравненийУпргостииПластичости, Изд. НАУКА，1986
2. Ma, P.K.H. & Hui, W. H. "Similarity solutions of the two-dimensional unsteady boundary layer equations", Journal of Fluid Mechanics, 216, 537-559，1990
3. W.H. Hui，Exact solutions of the unsteady two-dimensional Navier-Stokes equations，
Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP)， Volume 38，umber 5 / September, 1987
4. Peter J. Olver，Applications of Lie Groups to Differential Equations，Springer Verlag World Publishing Corp, 1990.
5. V.I.Arnold，B.A.Khesin， Topological methods in hydrodynamics，springer，1998
"大学物理导论導體球面abcd被平面ac分成两部分"
在量子力学中，时空的绝
和量子力学基础不一样，不好统一
7
地球轨道失重因为物体在弯曲时空中做匀速直线运动，物体不受力，当然没重量了
水表面有张力，水的表面积越大，维持这样的表面积所消耗的能量越大，而在同样的体积或容积条件下，圆球消耗的能量最小，外表面积最小，结构最稳定，因此液体的本能就是变成小球
实际上，这个空间站跟万有引力有很大的关系，当我们通过卫星实况转播看到航天员王亚平在太空站内做那种没有重力的实验时，都觉得非常有趣，那个时候，因为空间站距离地面比较高，一般是在地面以上300到400千米的样子，这时的地球引力（也可以说是重力）要明显变小，基本可以认为是重力消失了，在这种情况下，我们看到王亚平的最后一个实验就是拿一个塑料口袋，倒了一些水进去，然后她用一个直径约有十几厘米的圆形铁环穿过塑料袋里的水，于是就在铁环圆面上形成了一个很明显的直径同样在十几厘米的水膜，她轻轻地摇晃手里的铁环，水膜就跟着来回摆动，但水膜既没有掉下来，也没有破裂。记得当时中央电视台是在上午10点左右现场直播王亚平的空间教学节目的，全国有很多中学生收看了这个节目，很多孩子观看时都觉得非常有意思、非常兴奋。要知道，我们在地面上用自来水或纯水做这个实验是不可能的，除非你在水里面加上特殊的药剂（例如肥皂），这也就是小孩子玩的吹泡泡或吹肥皂泡的情况。而在重力可以忽略的几百千米高 的空间站里，因为基本不用考虑重力的作用，于是王亚平同样用纯净水或自来水就可以拉出这么漂亮的水膜，其实这就是一种水泡。这是水的本性决定的，也就是说水本身具有一种张力，可以将水分子彼此紧密地连接在一起。在地面上，由于水本身受到的重力远远大于水本身的张力，这样的膜就不可能存在了。而当我们在水里加入肥皂以后，水的张力变大，超过了重力，因此肥皂泡就可以形成。在中央电视台转播的这个节目里我们还看到，王亚平用医生常用的一种注射器给膜里面注水，这个环状水膜并不会破裂，反而会变厚，最后变成一个直径基本等同于铁环的球（也可以说是球膜），而且膜的厚度还增大了。
为什么会是这样？这是一个非常有趣的问题。我们知道，在没有重力作用的情况下，一滴水会自然地变成圆球，任何液体都会这样，原因非常简单，还是跟张力有关，水表面有张力，水的表面积越大，维持这样的表面积所消耗的能量越大，而在同样的体积或容积条件下，圆球消耗的能量最小，外表面积最小，结构最稳定，因此液体的本能就是变成小球。比如说，我们把一个水膜拉长，或者说把橡皮筋拉长，橡皮筋拉长也会做功，也会消耗能量，在外力消失的时候，橡皮筋就会很自然地恢复原状。水膜也是如此，当一个水膜变扁圆的时候，它的面积越大，那它消耗的能量越大，物理里面有个能量的原因，就是说所有的物体都喜欢趋于能量最低或耗能最少的状态，这就是水膜或水滴成球的原因
物理学家的乱七八糟的数学（4）——吐槽一下牛二律
2012-05-14 02:46
力是什么？相信众多物理学子在这上面耗费过不少脑细胞吧？
本文是想给这个概念一个终结，把牛顿第二定律到底是怎么回事说清楚。
我的物理哲学：物理学研究的就是物理量和时空变化之间的关系。
物理量：譬如质量，譬如电荷。
时空变化：其实就是时空中的运动，但现在有个问题是：同样一个物理过程，不同的人观察，得到的时空运动曲线是不一样的，但这又是同一个物理过程，所以你的曲线和我的曲线之间，必定有某种与参照系无关的几何不变量关联着。
为了把物理量和时空变化之间的关系弄清楚，可以把物理哲学更改表述如下：
物理学研究的就是物理量和几何不变量之间的关系。
物理量对所有参照系都是相同的，几何不变量对所有参照系也是相同的，这样，我的物理哲学表述也就ok了。
第一个例子：万有引力定律
这里表述的是，地球和太阳在同一条直线上相互吸引时候的定律·。左边，是几何上的不变量，右边是物理上的不变量。
本来物理量和几何不变量的关系给出来，事情就可以结束了，牛顿力学是不需要力这个概念的。可牛顿偏偏作了如下一件事：
这个新的式子与旧的式子在数学上是等价的，不同的只是形式。牛顿为什么要这样做？明显的是，单就引力而言，这么做纯属“数学娱乐”，所以答案必定和非引力有关。
所谓的非引力，在牛顿的时代，其实就是电磁力，站在21世纪回望，电磁力与引力的区别就在于物理量多了一个叫做电荷的东西。添加进电荷，物理学的定律可以表述如下：
几何不变量=f(m1,m2;q1,q2)
如果f的具体表达式知道，那么牛顿力学同样是不需要引入力这个概念的，但偏偏在牛顿的时代，电荷只是一个隐含的东西，即便想象也想象不到的。
不过很凑巧，f(m1,m2;q1,q2)=(q1/m1)*g(q2,m2)，转化过来就是：
m1*几何不变量=h(m2;q1,q2)
牛顿最终把上边的式子写成了：
m1*加速度1=h(m2;q1,q2)*新的几何不变量
左边都是跟1相关的物理和几何，右边表示隐含的未知物理量，2的物理量，表示1和2之间相互关联的几何量。现在牛顿第二定律可以表述如下：
1的已知物理量*1的几何不变量=f(2的已知物理量，未知的物理量，1和2的几何关系）
所谓的力其实就是右边那个复杂关系。
说明1：单就物理学而言，知道几何不变量和物理量的关系就足够了，力的概念是多余的。
说明2：如果不是电磁学中凑巧f(m1,m2;q1,q2)=(q1/m1)*g(q2,m2)，各位物理学子就不用费那么大劲学习牛顿第二定律了，因为根本就不会有这个定律。
说明3：牛顿力学很有意思，正是电磁学孕育了牛顿力学，而推翻牛顿力学的却恰恰是电磁学定律，感觉上帝跟牛顿开了一个玩笑。
说明4：从牛顿力学到相对论，变化的仅仅是对几何不变量的理解，也就是说原本认为是几何不变量的东西，实际上不是几何不变量，像加速度，实际上是跟参照系有关的。
说明5：建立新的物理学，其实很简单，无非就是找出新的几何不变量，从数学的角度，这个是很简单的，但当年着实难为了物理学家好一阵子。
说明6：几何不变量=f(m1,m2;q1,q2)，这个在我看来是好的物理。现在的电磁学公式，包含着速度，包含着对时间的求导，这些从牛顿力学继承过来的概念，从数学的角度看，是很不自然的。最后当然，也能折腾出几何不变量，但过程没必要地繁琐。
说明7：物理量指的是物体本身所固有的属性，你观察和我观察，数值应该是相同的。所以物理学里边引入动质量这个概念，实在是混淆视听。
说明8：我说过，也因此被人揶揄，那就是动量不是一个基础的物理概念，为何？如果假定质量是不变的，那么动量的定义在牛顿和爱因斯坦那里是不一样的，一个基础的物理概念怎么可以有完全不同的数学表达式？在这个意义上，我说，动量不是一个基本的物理概念，而是由其他的概念导出来的。而明显，这个其他的概念，是速度的函数，而不是速度，速度已经失掉了在牛顿力学中的地位。那如果质量是变化的呢？我上篇文章攻击动质量这个概念，结果被人说打了空靶，连教科书的截图都搬出来了，可我当初就是因为那些截图，才对动质量这个概念产生抵触的。
说明:9：现在物理上区分惯性质量和引力质量，原因在于，上边的物理量可能不仅仅是两种，而是三种，质量也许有两个，不过现在来说，看成一个是ok的。
说明10：我的哲学公式：几何不变量=f(m1,m2;q1,q2)，是基于现有的物理学体系的。但我也在问我自己，几何与物理是不是真的可以分开写在左右两侧？对于一个开放系统，物理量一直在变化，此时的物理哲学该如何表述？质量和电荷之间如果有某种相互影响又如何？如果物理常数，所谓的物理不变量都随宇宙膨胀而变化，那此时又该如何表述？
本文是想给这个概念一个终结，把牛顿第二定律到底是怎么回事说清楚。
我的物理哲学：物理学研究的就是物理量和时空变化之间的关系。
物理量：譬如质量，譬如电荷。
时空变化：其实就是时空中的运动，但现在有个问题是：同样一个物理过程，不同的人观察，得到的时空运动曲线是不一样的，但这又是同一个物理过程，所以你的曲线和我的曲线之间，必定有某种与参照系无关的几何不变量关联着。
为了把物理量和时空变化之间的关系弄清楚，可以把物理哲学更改表述如下：
物理学研究的就是物理量和几何不变量之间的关系。
物理量对所有参照系都是相同的，几何不变量对所有参照系也是相同的，这样，我的物理哲学表述也就ok了。
第一个例子：万有引力定律
这里表述的是，地球和太阳在同一条直线上相互吸引时候的定律·。左边，是几何上的不变量，右边是物理上的不变量。
本来物理量和几何不变量的关系给出来，事情就可以结束了，牛顿力学是不需要力这个概念的。可牛顿偏偏作了如下一件事：
这个新的式子与旧的式子在数学上是等价的，不同的只是形式。牛顿为什么要这样做？明显的是，单就引力而言，这么做纯属“数学娱乐”，所以答案必定和非引力有关。
所谓的非引力，在牛顿的时代，其实就是电磁力，站在21世纪回望，电磁力与引力的区别就在于物理量多了一个叫做电荷的东西。添加进电荷，物理学的定律可以表述如下：
几何不变量=f(m1,m2;q1,q2)
如果f的具体表达式知道，那么牛顿力学同样是不需要引入力这个概念的，但偏偏在牛顿的时代，电荷只是一个隐含的东西，即便想象也想象不到的。
不过很凑巧，f(m1,m2;q1,q2)=(q1/m1)*g(q2,m2)，转化过来就是：
m1*几何不变量=h(m2;q1,q2)
牛顿最终把上边的式子写成了：
m1*加速度1=h(m2;q1,q2)*新的几何不变量
左边都是跟1相关的物理和几何，右边表示隐含的未知物理量，2的物理量，表示1和2之间相互关联的几何量。现在牛顿第二定律可以表述如下：
1的已知物理量*1的几何不变量=f(2的已知物理量，未知的物理量，1和2的几何关系）
所谓的力其实就是右边那个复杂关系。
说明1：单就物理学而言，知道几何不变量和物理量的关系就足够了，力的概念是多余的。
说明2：如果不是电磁学中凑巧f(m1,m2;q1,q2)=(q1/m1)*g(q2,m2)，各位物理学子就不用费那么大劲学习牛顿第二定律了，因为根本就不会有这个定律。
说明3：牛顿力学很有意思，正是电磁学孕育了牛顿力学，而推翻牛顿力学的却恰恰是电磁学定律，感觉上帝跟牛顿开了一个玩笑。
说明4：从牛顿力学到相对论，变化的仅仅是对几何不变量的理解，也就是说原本认为是几何不变量的东西，实际上不是几何不变量，像加速度，实际上是跟参照系有关的。
说明5：建立新的物理学，其实很简单，无非就是找出新的几何不变量，从数学的角度，这个是很简单的，但当年着实难为了物理学家好一阵子。
说明6：几何不变量=f(m1,m2;q1,q2)，这个在我看来是好的物理。现在的电磁学公式，包含着速度，包含着对时间的求导，这些从牛顿力学继承过来的概念，从数学的角度看，是很不自然的。最后当然，也能折腾出几何不变量，但过程没必要地繁琐。
说明7：物理量指的是物体本身所固有的属性，你观察和我观察，数值应该是相同的。所以物理学里边引入动质量这个概念，实在是混淆视听。
说明8：我说过，也因此被人揶揄，那就是动量不是一个基础的物理概念，为何？如果假定质量是不变的，那么动量的定义在牛顿和爱因斯坦那里是不一样的，一个基础的物理概念怎么可以有完全不同的数学表达式？在这个意义上，我说，动量不是一个基本的物理概念，而是由其他的概念导出来的。而明显，这个其他的概念，是速度的函数，而不是速度，速度已经失掉了在牛顿力学中的地位。那如果质量是变化的呢？我上篇文章攻击动质量这个概念，结果被人说打了空靶，连教科书的截图都搬出来了，可我当初就是因为那些截图，才对动质量这个概念产生抵触的。
说明:9：现在物理上区分惯性质量和引力质量，原因在于，上边的物理量可能不仅仅是两种，而是三种，质量也许有两个，不过现在来说，看成一个是ok的。
说明10：我的哲学公式：几何不变量=f(m1,m2;q1,q2)，是基于现有的物理学体系的。但我也在问我自己，几何与物理是不是真的可以分开写在左右两侧？对于一个开放系统，物理量一直在变化，此时的物理哲学该如何表述？质量和电荷之间如果有某种相互影响又如何？如果物理常数，所谓的物理不变量都随宇宙膨胀而变化，那此时又该如何表述？
43条评论
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1楼 - 2楼 2012-05-14 03:01 ofey
评论引用@方弦 的话：http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_least_action
几年来一直在学这个，这么重要的东西怎么可能放过。但，我还没有用我自己的方式去理解它。
你是从来没听说过最小作用量原理或者拉氏量或者变分法吧？ - 3楼
- 4楼 2012-05-14 03:07 ofey
评论引用@方弦 的话：http://en.wikipedia.org/wiki/Principle_of_least_action
你了解Finsler几何吗？当年陈省身每天都在推动的东西，这个比最小作用量深刻多了。
你是从来没听说过最小作用量原理或者拉氏量或者变分法吧？ - 5楼 2012-05-14 03:30 方弦 科学松鼠会成员，信息学硕士生 ψ
评论引用@ofey 的话：几年来一直在学这个，这么重要的东西怎么可能放过。但，我还没有用我自己的方式去理解它。
那不就行了？无论是通过不变量导出物理定律，还是通过作用量导出物理定律，都是非常古老的思想。你的做法不仅没有新意，而且做出来还是有问题的。
讲到物理教育的话，你觉得写一个作用量出来大部分的学生会懂吗？对于很多常见的物理系统来说，的确作用量就包含了整个物理体系，但要是这么教的话就要害死一大批学生了。我不懂物理，但我知道对于物理系的学生来说，一开始当然是谈力比较直观，但是不能老是谈力，所以稍微好点的物理系都会开理论力学这门课，然后讲Lagrangian和Hamiltonian之类的东西（我道听途说物理系的各位不要打我……）。
数学上漂亮不一定算起来快，我不是学物理的，但是搞物理的人怎么算东西自然有他们的道理。就比如weighted MaxSAT是无场非局域spin glass的一个数学表述，喜欢的话还可以做arithmetrization，但要算什么东西的话还是要上统计物理。 - 6楼 2012-05-14 03:36 ofey
评论引用@方弦 的话：那不就行了？无论是通过不变量导出物理定律，还是通过作用量导出物理定律，都是非常古老的思想。你的做法不仅没有新意，而且做出来还是有问题的。
这个当成哲学偏好吧，至少在数学上，在物理内容上，并没有什么冲突的地方，只是研究方法的不同。个人有个人的偏好，最后看结果就是了。
讲到物理教育的话，你觉得写一个作用量出来大部分的学生会懂吗？对于很多常见的物理系统来说，的确作用量就包含了整个物理体系，但要是这么教的话就要害死一大批学生了。我不懂物理，但我知道对于物理系的学生来说，一开始当然是谈力比较直观，但是不能老是谈力，所以稍微好点的物理系都会开理论力学这门课，然后讲Lagrangian和Hamiltonian之类的东西（我道听途说物理系的各位不要打我……）。
数学上漂亮不一定算起来快，我不是学物理的，但是搞物理的人怎么算东西自然有他们的道理。就比如weighted MaxSAT是无场非局域spin glass的一个数学表述，喜欢的话还可以做arithmetrization，但要算什么东西的话还是要上统计物理。 - 7楼
- 8楼
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9楼 2012-05-14 06:03 feng1734
当初牛顿写下万有引力定律的时候有一个中间变量，力，，反正不管当初牛顿是怎么考虑的，现在看来，这种引入力场作为中间变量的做法是一个非常有价值的想法，，，评论
一个物体产生力场，另外一个物体在力场受到力的作用而运动，，，这种分解物理问题的方法可以帮助我们理解辐射阻尼，所谓辐射阻尼，就是物体不仅受到其他物体的力场作用，也同时会受到自己制造的立场的反作用，，，，
既然我们现在不大可能彻底解决辐射阻尼问题（因为发散关系，能量不守恒，也就不能通过衡量守恒定律找到质点自己辐射的力场对自身的反作用大小的确切值），所以，在不同的物理环境下参考实验调整不同的自己对自己的立场反作用项是很有实用价值的 - 10楼
- 11楼
- 12楼
- 13楼
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14楼 2012-05-15 13:21 rupt
评论引用@ofey 的话：数学上，对曲线来说，最重要的是曲率，可是牛顿时空中，为什么物理学家不用数学家的概念呢？都可以表示受外界影响，不再直线了。
这背后有一种很重要的数学内容在里边，我就是明白上边问题的答案，所以才说加速度只属于牛顿力学，不属于电磁学。
你所说的"曲率"根本不能称之为通常意义上的曲率.Frenet标架是Darboux标架的特例,"子流形"上的几何量可以由"子流形"到"母流形"的嵌入映射诱导出来,结构方程也可随之诱导出.但Frenet标架描述的对象是1维的,Darboux标架是1维以上的,曲率在Darboux标架上能有很好的表现而在Frenet标架中恒为零.尽管如此,两者还是能从"母流形"上继承到联络,也就是你称之为"曲率"的东西
κ是联络,不是曲率,这一切都是一场美丽的误会. - 15楼 2012-05-15 13:35 rupt
评论引用@ofey 的话：数学上，对曲线来说，最重要的是曲率，可是牛顿时空中，为什么物理学家不用数学家的概念呢？都可以表示受外界影响，不再直线了。
这背后有一种很重要的数学内容在里边，我就是明白上边问题的答案，所以才说加速度只属于牛顿力学，不属于电磁学。
什么是物理学家眼中的"曲率"呢?
同样,物理学家所认为曲率的概念也是从微分几何上来的,”包含电场,磁场“的电磁张量F被认为是U(1)主从上左不变联络的曲率,其他主从[如SU(2),SU(3)]左不变联络的曲率也同样地被认为是场强(W,Z,胶子)
牛顿的质点力学根本不是经典场论(或者更后的规范理论),也不是关于连续介质的理论(如弹性体理论,流体理论,如果你想在其中引入自然的曲率描述我不会反对),所描述的质点轨迹也没有真正意义上内蕴的曲率,这是我一直反对你的根本原因. - 16楼 2012-05-15 19:13 ofey
评论引用@rupt 的话：
你所说的"曲率"根本不能称之为通常意义上的曲率.Frenet标架是Darboux标架的特例,"子流形"上的几何量可以由"子流形"到"母流形"的嵌入映射诱导出来,结构方程也可随之诱导出.但Frenet标架描述的对象是1维的,Darboux标架是1维以上的,曲率在Darboux标架上能有很好的表现而在Frenet标架中恒为零.尽管如此,两者还是能从"母流形"上继承到联络,也就是你称之为"曲率"的东西
κ是联络,不是曲率,这一切都是一场美丽的误会.
曲面的时候，对应的是联络。不过曲线称之为曲率的那个量也是这个就是了。
数学上的微分几何大都在谈欧氏空间，广义相对论的空间是不同于欧式空间的，所以相对论其实是有自己的几何学的，其实同样的意思，牛顿力学也有自己对应的几何学。我最开始的文章是想说明这个，每个物理学体系都有自己对应的几何学。
由此演化而来，电磁学中是不应该用牛顿几何学的概念的，因为分属不同的几何体系。
至于你说的，质点轨迹没有内蕴曲率，这个我回来会自己看书弄明白是什么意思，多谢指教。
我直到现在，其实还没弄明白，电荷之间为什么会有磁的作用，所以电磁张量还完全不理解，这几天会把这块学一下。 - 17楼 2012-05-15 23:36 rupt
评论引用@ofey 的话：数学上的微分几何大都在谈欧氏空间
目测lz在数学系中是从欧氏空间(三维)曲线论曲面论起步开始理解微分几何的,而我当年把陈维恒的微分几何弄丢了又不想再买一本就直接从找了本从微分流形进入微分几何的书——一开始就提起坐标覆盖,并强调流形上有无穷套可以相互变换的坐标覆盖.其实物理学家很早就注意到了物理定律应该在不同坐标表述下有相同的形式,这也是当年爱因斯坦从数学家手中接过的最为珍贵的财产.
牛顿的力学体系在通常的直角坐标表述下有着"在伽利略群作用下不变"的性质,此时群直接作用在坐标上,方程中的量仅仅改了个字母.物理学家称这种特性为协变性(或者叫,共变).可以预见的是在一般的曲线坐标中在坐标变换下方程并不能保持"在变换下方程中的量仅仅改了个字母"这种简单性质,取而代之的是变字母,加入jacobi矩阵(也就是切映射,余切映射)及其高次导数,整个方程就变了.但是这并不代表物理定律有变化,变的只是该物理定律在特定坐标的表现形式.虽然丧失了协变性,但这种性质常在解方程中派上用场,因此物理学家也不会嫌弃它.
协变性是物理学中的中心概念之一,更远的源头大约可以追溯到"埃尔朗根纲领",也就是你所说的"对应的几何学". - 18楼 2012-05-16 00:01 ofey
评论引用@rupt 的话：
目测lz在数学系中是从欧氏空间(三维)曲线论曲面论起步开始理解微分几何的,而我当年把陈维恒的微分几何弄丢了又不想再买一本就直接从找了本从微分流形进入微分几何的书——一开始就提起坐标覆盖,并强调流形上有无穷套可以相互变换的坐标覆盖.其实物理学家很早就注意到了物理定律应该在不同坐标表述下有相同的形式,这也是当年爱因斯坦从数学家手中接过的最为珍贵的财产.
牛顿的力学体系在通常的直角坐标表述下有着"在伽利略群作用下不变"的性质,此时群直接作用在坐标上,方程中的量仅仅改了个字母.物理学家称这种特性为协变性(或者叫,共变).可以预见的是在一般的曲线坐标中在坐标变换下方程并不能保持"在变换下方程中的量仅仅改了个字母"这种简单性质,取而代之的是变字母,加入jacobi矩阵(也就是切映射,余切映射)及其高次导数,整个方程就变了.但是这并不代表物理定律有变化,变的只是该物理定律在特定坐标的表现形式.虽然丧失了协变性,但这种性质常在解方程中派上用场,因此物理学家也不会嫌弃它.
协变性是物理学中的中心概念之一,更远的源头大约可以追溯到"埃尔朗根纲领",也就是你所说的"对应的几何学".
我是从黎曼最初的思想出发的：欧式几何的弧长是平方和，相对论的弧长是平方差，牛顿的弧长是时间
三种不同的弧长，演化出三种不同的几何学。-----这个在数学上属于常识吧？
我数学学得真不怎么的，可是我看到的是，电磁学里边居然在应用牛顿几何学的几何量，这是分属不同的几何体系的。
于是具有了第一张贴，嘲弄一下速度，加速度。----从我的思维出发，这些原本是很简单的，就是每个几何体系都有自己的几何语言，不能混用。 - 19楼
- 20楼 2012-05-16 00:30 rupt
评论引用@ofey 的话：
我是从黎曼最初的思想出发的：欧式几何的弧长是平方和，相对论的弧长是平方差，牛顿的弧长是时间
三种不同的弧长，演化出三种不同的几何学。-----这个在数学上属于常识吧？
我数学学得真不怎么的，可是我看到的是，电磁学里边居然在应用牛顿几何学的几何量，这是分属不同的几何体系的。
于是具有了第一张贴，嘲弄一下速度，加速度。----从我的思维出发，这些原本是很简单的，就是每个几何体系都有自己的几何语言，不能混用。
其实你的理解不全对,欧氏空间和闵氏空间的度规可以由Sylvester的惯性定理来区分,比如说四维,欧氏空间对应的标准型是diag(1,1,1,1),闵氏空间是diag(1,-1,-1,-1)[或者diag(-1,1,1,1)],时间和空间的区别由符号界定.牛顿时空就不能这样看,它的时间维和空间维是分开算的,Penrose将它看成是R上的R3丛而我更喜欢把它看成仿射空间.
速度,加速度本来就是一些由曲线中抽离出来的几何量,按照我之前的说法,其不具备内蕴的几何意义.更好的类似物是向量场.在四维时空中,如果某一向量场是时空平移不变性由诺特定理导出的诺特流,其对于某一超平面的积分就会是4-动量.由于粒子的静质量是不变的,我们就可以从4-动量中除个静质量使它成为4-速度,这些量都是Lorentz群作用下协变的.至于加速度的引入就毫无道理了,通常都不会在相对论力学中提及.
弧长的变分只是变分学中非常非常小的一部分,老大中有本浅入深出的著作. - 21楼 2012-05-16 00:47 ofey
评论引用@rupt 的话：
这么说吧，学习欧氏微分几何或者广义相对论的时候，每走一步，推导出一个重要的几何量，我都可以把它放到我所谓的牛顿几何中。
其实你的理解不全对,欧氏空间和闵氏空间的度规可以由Sylvester的惯性定理来区分,比如说四维,欧氏空间对应的标准型是diag(1,1,1,1),闵氏空间是diag(1,-1,-1,-1)[或者diag(-1,1,1,1)],时间和空间的区别由符号界定.牛顿时空就不能这样看,它的时间维和空间维是分开算的,Penrose将它看成是R上的R3丛而我更喜欢把它看成仿射空间.
速度,加速度本来就是一些由曲线中抽离出来的几何量,按照我之前的说法,其不具备内蕴的几何意义.更好的类似物是向量场.在四维时空中,如果某一向量场是时空平移不变性由诺特定理导出的诺特流,其对于某一超平面的积分就会是4-动量.由于粒子的静质量是不变的,我们就可以从4-动量中除个静质量使它成为4-速度,这些量都是Lorentz群作用下协变的.至于加速度的引入就毫无道理了,通常都不会在相对论力学中提及.
弧长的变分只是变分学中非常非常小的一部分,老大中有本浅入深出的著作.
在数学结构上，三者是一一对应的。
欧式几何的单位标架，在牛顿几何中对应速度（时间的分量为1），在相对论中对应四维速度。（在各自弧长意义下是单位的）
有了单位标架，对弧长求微分，欧式几何就是曲线的曲率，牛顿几何就是加速度，相对论中不知道加什么名字。
曲线曲率在欧式几何中是不变量，加速度在牛顿几何中是不变量，相对论中还不清楚。
有了几何不变量，剩下的就是考虑物理量和几何不变量的关系，关系列出来，物理学也就ok了。
这是我的理解。至于1，-1的那个矩阵，我没有真正懂，但从物理的角度，我不接受这个。
另外，我前边说的是变分的弧长，不是弧长的变分，差别大了去了。 - 22楼
- 23楼
- 24楼
- 25楼
- 26楼
- 27楼
- 28楼 2012-05-17 23:06 ofey
评论引用@rupt 的话：
带电粒子在电磁场中运动带有类似加速度的项是dp/dτ.牛顿力学中一切加速度项的实质是dp/dt,只是展开来写而已.动量与能量是粒子不受力时运动的不变量,在有力的作用下,其对时间的变化正比于所受的力.
我一直搞不明白lz的point在哪里,只是为了竖起一个不存在的靶子攻击而攻击?
我第一篇帖子说的很清楚，我的point是，速度和加速度是牛顿力学的几何概念，不具有物理学的意义，在电磁学里，速度和加速度只是一个没有意义的数学式子而已。-----我看你的回复，应该和我是一个意思吧？我的靶子就是，人们把速度和加速度当成了物理学的概念，可对于电磁学，这些仅仅是一个非常糟糕的数学式子而已。
之后，我的数学被你批评，我就用大家都接受的数学，写了第二篇帖子，指出，在相对论里，牛顿的速度有一个对应的相对论的速度，牛顿的加速度有一个对应的相对论的加速度，牛顿的时间对应的是时空距离。---我的观点你应该同意吧？我本来是想科普下相对论的。
另外再谈3点：
1.我是看费曼物理学讲义学习电磁学，这里边我看到大量的对时间的求导，还有速度的运用，如果如你所说，你的物理书使用的是dp/dτ，那么我收回对物理学的批评，仅仅改为对费曼物理学讲义的批评。
2.dp/dt=d(m*shw)/dt=d(m*shw)/dτ *(dτ/dt)=m*(dw/dτ)*chw*(1/chw)=m**(dw/dτ)
这是一个不随参照系变化而变化的量。而你的dp/dτ是随参照系的变化而变化的。---------所以，即便你用相对论的数学表述了电磁学，我也依然觉得不够好。有不变的形式不用，偏偏用一个变化的做什么？
3.把w换成w1,w2,w3--二维自然就推广到四维了，我现在想做的是，我的的数学形式，重新表述现在的经典电磁学。 - 29楼 2012-05-17 23:15 ofey
@rupt :"这个帖子想特别强调一点：速度和加速度并没有什么物理上的意义，只是纯粹的数学式子罢了。而且对于物理学来说，是非常糟糕的数学式子。"----------这是我第一篇贴子的第一句话，你应该是同意我的观点的吧？可你的却是第一个回帖反对我人。评论
另外，从dp/dt=d(m*shw)/dt=d(m*shw)/dτ *(dτ/dt)=m*(dw/dτ)*chw*(1/chw)=m**(dw/dτ)
也容易看到，物理中的动质量概念，不具有任何物理上的意义，当年爱因斯坦是把m*shw变成mchw*v，然后说mchw是动质量，这不胡闹吗？
但你看看人们解释超光速无法超越的时候的理由，其中之一就是质量会无限增大，这算什么？不懂物理，就知道瞎背教科书。 - 30楼
- 31楼
- 32楼 2012-05-17 23:37 rupt
评论引用@ofey 的话：1.我是看费曼物理学讲义学习电磁学，这里边我看到大量的对时间的求导，还有速度的运用，如果如你所说，你的物理书使用的是dp/dτ，那么我收回对物理学的批评，仅仅改为对费曼物理学讲义的批评。
Feynman在第二卷公式(26.27)就已经给出正确的dp/dτ的解释了,这种对lecture断章取义式的武断是不公平的.
2.dp/dt=d(m*shw)/dt=d(m*shw)/dτ *(dτ/dt)=m*(dw/dτ)*chw*(1/chw)=m**(dw/dτ)
3.把w换成w1,w2,w3--二维自然就推广到四维了，我现在想做的是，我的的数学形式，重新表述现在的经典电磁学。
相信我,这种指数映射式的李群表示会在高维遇上非交换的麻烦,而这种麻烦的引入并不是必要的.
牛顿的加速度有一个对应的相对论的加速度
不敢苟同,加速度这个概念虽然在相对论力学中存在,但是已经不再位于理论体系的中心,后续的学习将会给学生这样的一个直观的,物理的观念.
牛顿的时间对应的是时空距离。---我的观点你应该同意吧？
不同意,难道空间就不算时空距离?牛顿时空的距离只是要求时间和空间分开来算而已. - 33楼 2012-05-17 23:53 ofey
Feynman在第二卷公式(26.27)就已经给出正确的dp/dτ的解释了,这种对lecture断章取义式的武断是不公平的.评论
------我对相对论数学的理解，就是通过看费曼物理学讲义才得来的。我说大量采用，也没说错吧？特别是加速电荷的场方程，推导起来好像不简单。
我是从数学的角度来看待物理概念的。从数学的角度，速度，时间，加速度是牛顿力学中非常自然的数学结构，也正因为这个原因，这些数学结构在电磁学中就很不自然。相对论有自己的速度，有自己的时空距离，当然也就有自己的加速度了。不管怎么说，到现在为止，在数学的内容上，在物理学的内容上，我们应该没什么冲突了吧？我们的冲突，仅在于数学工具的使用上。
不同意,难道空间就不算时空距离?牛顿时空的距离只是要求时间和空间分开来算而已.-----在牛顿那，空间还真不算时空距离。
想想，相对论里边为什么认为时空差是时空距离？因为平方差在洛伦兹变换下不变，而牛顿力学中，在伽利略变换下不变的量就是时间。
你不接受我引入时空数和牛顿数的方式不要紧，你只要看看我的那些指数表示，这个在代数上，是完全没有问题的，而对应牛顿数的距离就是时间坐标。
相信我,这种指数映射式的李群表示会在高维遇上非交换的麻烦,而这种麻烦的引入并不是必要的.--------------这个多谢提醒了，只是这是我选择的思维路子，我总是要往下走走的。 - 34楼 2012-05-18 00:05 rupt
评论引用@ofey 的话：求教 @rupt ：变速电荷的场方程，用相对论的数学形式是怎么表述的？我看的费曼物理学讲义里有个对时间的二阶导数。这个拿眼睛一看就知道是不懂相对论的人写的。
我这几天试图用我的w，推导出这个来，如果你能说出答案，我的速度也许会快一些。
这玩意是用含时Green函数算出来..大二的表示未学Green函数,大概的思想是用Green函数法求(∂²/∂t²-∇²)A=J的直接积分公式(http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A8%E9%81%B2%E5%8B%A2),再将J变成单电荷分布.
如果再用势求场强的话,你也可以见到,存在着∂J/∂t这些项,变成单电荷分布后产生对时间的二阶导数是无可避免的 - 35楼
- 36楼
- 37楼 2012-05-18 00:35 ofey
评论引用@rupt 的话：
只有速度变换，不包括别的。
我不知道你的伽利略变换是否包含平移部分,如果只有速度变换,确实只有dt²是不变的.只有平移的话,dx²+dy²+dz²不变,两个混起来的话,估计你啥不变量都得不到
其实，这里还是我们数学系的最基本套路：
1.给出弧长
2.得出单位标架
3.单位标架对弧长求导
牛顿力学里，弧长就是时间了，相对论里就是时空距离，欧式几何就是欧氏距离。------就是这么简单的套路而已。
但是从这个套路出发，我看到电磁学里边，不对弧长求导，居然对时间求导，我受的数学训练很看不惯这个。另外，对时间求导也就罢了，数学上总不能说错，问题是爱因斯坦当年居然由此得出一个叫做动质量的概念，当人们问自然界为什么不能超光速时，书上就说质量随速度增大，光速时会趋于无穷大，根据牛二律，此时需要无穷大的力才行。----------------人们认为很物理的东西，其实不过纯粹是数学的。 - 38楼
- 39楼 2012-05-18 00:55 rupt
评论引用@ofey 的话：我看费曼物理学讲义是很头痛的，而且头痛的不是物理，恰恰是里边的数学。我数学系的那个套路，相对论的很多东西非常简单就得出来了，而且在数学结构上是很简洁的。可费曼讲义里谈到相对论的时候，那个数学繁得要死。
同样是数学的那个讨论，我能看到，速度，加速度，对时间求导都是符合“自然的数学结构”的，可费曼把牛顿力学中的各种概念，直接拿到电磁学中，好不自然的。
当年庞加莱,洛伦兹,外尔这些数学家也像你这样瞎捣和真实的时空几何,当然他们水平比你高..最终只有爱因斯坦搞出了相对论的正确形式.历史站在物理学家这一边,如果你硬要否认的话就可以去试试一拍脑袋直接写出这个世界的终极方程好了. - 40楼 2012-05-18 05:14 feng1734
评论引用@ofey 的话：求教 @rupt ：变速电荷的场方程，用相对论的数学形式是怎么表述的？我看的费曼物理学讲义里有个对时间的二阶导数。这个拿眼睛一看就知道是不懂相对论的人写的。
个人认为这个方程相当不错，，
我这几天试图用我的w，推导出这个来，如果你能说出答案，我的速度也许会快一些。
在经典电动力学中，点电荷是物理模型的基本，电流密度这种东西实际上只是一种近似，当考虑到点电荷是体积为零的离散的对象的时候，会发现电流密度的概念实际上只是数学上的一种近似处理，，，这就是李纳维谢尔势方程比麦克斯韦场方程更加严格的地方
费曼的这个方程等价于李纳维谢尔势方程+洛伦兹力方程，，我不知道费曼的这个方程（或者说李纳维谢尔势方程）是否也可以用洛伦兹不变量重新改写，如果可以的话，可能是类似于 四维力=（四维动量，四维加速度，原时）的函数 的形式，，，
电磁作用的光速延迟似乎表明类似于加速度这样的坐标对时间的高阶导数是严格的经典电动力学中不可或缺的概念 - 41楼 2012-05-18 05:39 feng1734
评论引用@rupt 的话：
将J变换成点电荷的状态函数的过程其实是猜的，并不是严格的数学推导，，同样的电流密度可能对应于点电荷的不同的微观状态，实例有没有我不清楚，但理论上应该存在这种可能的
这玩意是用含时Green函数算出来..大二的表示未学Green函数,大概的思想是用Green函数法求(∂²/∂t²-∇²)A=J的直接积分公式(http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A8%E9%81%B2%E5%8B%A2),再将J变成单电荷分布.
如果再用势求场强的话,你也可以见到,存在着∂J/∂t这些项,变成单电荷分布后产生对时间的二阶导数是无可避免的 - 42楼
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对性保留下来了，到了广义相对论，时空的绝对性消失了，但是观测与被
观测的关系保留下来了。它们各取了牛顿力学的一部分，所以我们说引力
和量子力学基础不一样，不好统一
从狄拉克谈起
王世坤
中国科学院数学与系统科学研究院
清华大学，2010 年12 月13 日
谢谢季教授邀请我来给大家作这个报告。这个报告主要是开阔大家视
野，所以我就找了这么一个题目。因为不是非常学术的，所以有些细节之
处不是数学上非常严格的，主要目的是让大家知道数学物理里的一点事情、
关心什么问题，我想就可以了。
保罗· 狄拉克是1933 年诺贝尔奖得主，他是相对性量子力学的奠基
者。这个物理学教授的数学很好。我为什么作这个报告呢？两个因素：一
个是最近退休了想干点事，看看的诺贝尔奖的物理学家的数学工作怎么样，
觉得狄拉克的数学很厉害；另一方面，狄拉克的数学不但厉害，而且他还
很推崇数学，他说：“上帝是用漂亮的数学创造这个世界的。”
狄拉克是相对性量子力学的奠基者，所以我先要解释一下“相对性”
和“量子力学”。
大家都知道牛顿力学。牛顿在1686 年发表了一本令世人震惊的奠基之
作《自然哲学的数学原理》。在牛顿的时代，大家知道有两个物理学家，他
们数学其实也挺好，只不过那时候年代比较早，没有诺贝尔奖。一个是伽
利略，一个是开普勒。开普勒主要是研究行星运动的，天上的，伽利略则
是研究地上的。牛顿发现，天上的和地上的这两者实际上是很和谐的。他
从数学逻辑演绎的角度把这两者合在一起，所以牛顿说他的成就是站在巨
人的肩膀上。他对伽利略和开普勒的工作都有所推进，但是基本上是在他
们俩人的基础之上才形成了牛顿的三大定律和万有引力定律。
按照经典的牛顿力学，一个粒子是由两个量来确定的：一个是它的位
置，一个是它的速度。经典力学基本上由这两者就可以确定了。从牛顿这
本书，大家可以看出数学演绎对他奠定经典力学基础所起的作用。我来读
一段：“我献出这一作品，作为哲学（科学）的数学原理：因为哲学的全部
困难似乎在于从运动现象研究自然界的力，然后从这些力去阐明其它现象；
为了这一目的，一般性的命题定理将在第一和第二篇中给出；在第三篇中，
我们将给出阐述世界体系的一个例子，因为根据在第一篇中已从数学上证
明了的命题，可以在此从天体现象中获得关于引力的学说，物体由于引力
1
而趋向太阳和几大行星。同时，从这些力出发，根据数学原理，我们再推
导出关于行星、彗星、月亮、海洋的运动。我希望，自然界的其它现象，
亦可以用同样的方法，由数学原理推导出来。”
牛顿的经典力学很成功，能够解释很多的物理现象。拉普拉斯说：“如
果在某一时刻，我们知道宇宙中所有粒子的位置和速度，那么科学规律就
使我们能够计算这些粒子在过去和未来的所有时刻的位置和速度。”牛顿的
书同时也奠定了微积分的基础，它把物理科学从实验科学转变为精确科学。
牛顿的经典力学奠定了牛顿至高无上的地位。后来还是有些问题经典力学
解决不了，比如描述电磁学的麦克斯韦方程。
我现在用现代的语言来叙述麦克斯韦方程：设F 是一个微分2-形式，
d F = 0, δ F = 0,
其中d 是外微分，学过微分几何的同学都知道； δ 是d 的共轭算子。用局
部坐标写出来就是F = f
dx
∧ dx ，
dx
∧ dx ，
{ @f
@x + @f
@x
+ @f
+ @f
@x = 0
@f
0
0
@x0
−@f
1
1
@x1
−@f
2
2
@x2
−@f
3
3
@x3 = 0
在经典力学里，有一个对称性：物理规律在相对匀速运动的坐标系
（即惯性系）里都应该是一样的。把一个惯性系变为另一个惯性系的变换
叫伽利略变换，于是经典力学里的物理规律有伽利略协变性。例如，沿x
轴匀速运动的伽利略变换可写为
x′ = x −v t, y′ = y, z′ = z, t′ = t.
这其中隐含了绝对时间和绝对空间的概念。如果把伽利略变换作用在麦克
斯韦方程上，可以发现麦克斯韦方程的形式不再保持不变。这是经典力学
解释不了的。这也是相对论产生的因素之一。
下面说量子力学。在量子力学里，经典粒子是由波函数来描述的。原
来在经典力学里，态空间是流形，可观测量是流形上面的函数，或者用现
代的语言讲，是向量丛上的截面。等到量子力学的时候，流形要变成希尔
伯特空间，可观测量要变成希尔伯特空间上的算子，粒子的状态由希尔伯
特空间中的一维子空间给出。量子力学说，我们可以很精确的测量一个粒
子的位置，但是不能同时测量它的速度；如果你要很精确的测量它的速度，
就不能很精确地知道它的位置。这是量子力学的测不准原理，当然也可以
用数学推导出来。在量子力学里，保留了经典力学里的绝对时空，但是把
观测者和被观测量搅进来了。原来在经典力学里，不管观测者观不观测，
经典粒子的运动都是由它初始的位置和速度决定的，但在量子力学中就不
是这样了。
2
波函数要服从薛定鄂方程：
i~
d
dt
Ψx, t) = H Ψx, t),
其中左边是波函数随时间的变化率，右边是由物理定律决定的哈密顿算子
对波函数的作用。
我这样就把量子力学给大家简单地介绍了一下，接下来看什么叫相对
性。我们前面说过，麦克斯韦方程在伽利略变换下不是不变的，当时为了
解决这个困难，人们设想了很多得办法。比如，有人设想，麦克斯韦方程
所在的参考系不是任意的惯性系，而是有一个绝对参考系，即有以太存在，
麦克斯韦方程是在相对以太静止的参考系中成立的。但是后来的迈克耳
逊—莫雷实验证明了两件事情，其一是宇宙中不存在以太，其二是光速是
不依赖于参照系的选取的。当时，爱因斯坦在前人基础上花了很短的时间
（据他自己讲，只花了五个星期）就建立了狭义相对论。
狭义相对论就两条，一个是相对性原理，一个是光速不变。相对性原
理同样要求物理规律在惯性系中保持形式不变，但是此时的惯性系是四维
时空中的惯性系，所用的坐标变换变为洛伦兹变换。
爱因斯坦在狭义相对论中留了两个问题：一个问题说惯性系究竟是什
么？还有一个问题是万有引力，人们一直想找一种洛伦兹不变的引力理论，
但是发现很困难。后来爱因斯坦发现用一个统一的办法可以解决这两个问
题。对于惯性系问题，把惯性系推广到非惯性系，这就是广义协变原理；
对于引力，引入等效原理，将引力效应同样地转化为非惯性系。这样爱因
斯坦就走到了广义相对论。
广义相对论最核心的问题是爱因斯坦场方程，一会儿我讲得最多的也
是这个场方程：
R −1
2
g R = 8 π GT .
这个方程左边是几何量：度规、里奇曲率、标量曲率；右边是物质量：能
量、动量。它把几何量和物质量连在一起。
到了爱因斯坦的引力理论，时空紧密地联系在一起，引力就成了时空
的几何。广义相对论和量子力学有很大的差别：在量子力学中，时空的绝
对性保留下来了，到了广义相对论，时空的绝对性消失了，但是观测与被
观测的关系保留下来了。它们各取了牛顿力学的一部分，所以我们说引力
和量子力学基础不一样，不好统一。很多搞数学物理的或者搞理论物理的
人都企图统一这两者。
狄拉克在1928 年时建议了一个方程，叫做狄拉克方程：
ℑΨ= −imΨ,
3
其中ℑ=
(
0 D
D∗0
)
， D = ηab σa ej
(b)Dj， ej
(b)
是纵标架， σa 是泡利矩
阵：
σ0 =
(
1 0
0 1
)
, σ1 =
(
0 1
1 0
)
, σ2 =
(
0 −i
i 0
)
, σ3 =
(
1 0
0 −1
)
,
Dj = E2
@
@xj + Bj， Bj 是自旋联络。
如果在闵可夫斯基空间，度规ηab 是比较简单的：
η00 = 1, η
= −1, (α = 1, 2, 3), η
= 0, (α ̸= β).
= −1, (α = 1, 2, 3), η
= 0, (α ̸= β).
此时狄拉克方程有两个解，叫做平面波解。其中第一个解描述电子，另一
个解描述一个与电子电荷相反的粒子。狄拉克大胆猜测，这是正电子解。
1932 年，安德森在宇宙射线中发现了正电子。这就是狄拉克最著名的工
作，从中可以看出他的数学很厉害。另外，从狄拉克方程中自然可以出现
自旋1
2
这个概念。所以这个方程给了我们三条信息：第一，它是量子性的，
即用波函数描述粒子；第二，它是相对性的，即可以描述电子的高速运动；
第三就是给了我们自旋的概念，以后我们在数学上将这个概念推广到自旋
流形及其上的旋量。
狄拉克还有一个贡献。他在物理上有很多贡献，如二次量子化、费米
-狄拉克统计等，我现在讲的是数学上的。他建议了磁单极。我们知道电有
正电子、电子，可是磁场一定有北极和南极，没有单独的北极或者南极。
磁单极是由狄拉克建议的一种粒子，现在在CERN 的加速器的一个任务就
是希望找到磁单极。磁单极是从麦克斯韦方程的一种解：
E
= f0
= 0, (α = 1, 2, 3),
= f0
= 0, (α = 1, 2, 3),
H1 = f23 =
η x1
r3 , H2 = f31 =
η x2
r3 , H3 = f12 =
η x3
r3 ,
相应的电磁势为
A0 = A1 = 0, A2 = η
∫ x1
0
x3 du √
u2 + x22
+ x23
, A3 = −η
∫ x1
0
x2 du √
u2 + x22
+ x23
.
若取球面
S : x21
+ x22
+ x23
= R2,
4
并把电磁场张量F = f
dx
∧ dx 在S 上积分可得：
dx
∧ dx 在S 上积分可得：
∫∫
S
f
dx
∧ dx
dx
∧ dx
=
η
R3
∫∫
S
(x1 dx2 ∧ dx3 + x2 dx3 ∧ dx1 + x3 dx1 ∧ dx2)
=
3 η
R3
∫∫∫
r2<R2
dx1 ∧ dx2 ∧ dx3 = 4 π η,
其中η 就是磁单极所带的磁荷。
所以，狄拉克在数学上给我们留下三样比较好的遗产：
•流形上的狄拉克方程
•旋量，或者说是旋量丛的截面
•U(1) 规范理论的磁单极解
事实上，麦克斯韦方程和狄拉克方程可以说统治了大部分物理学和全
部的化学、生物学。
狄拉克还有另外一件工作就很少有人知道了。他在1933 年获得诺贝尔
奖之后，在1935 年和1936 年各写了一篇文章，这两篇文章研究的是德西
特空间以及共形空间上电的波动方程。狄拉克在文章中指出：
原子物理中的方程是用狭义相对论的语言写出来的。它们在时
空变换下保持形式不变。这些变换包含洛伦兹群和平移群，它
们构成一个新的群。研究不同的变换对方程的作用以及物理与
群的联系将会成为一个有趣的问题。
这里关键的想法是，研究粒子的运动方程时要考虑它所允许的最大对称性。
闵可夫斯基空间的曲率是零，还有两个空间是正常曲率空间和负常曲率空
间。考虑五维射影空间里面的李球：
L : z2
1 + z2
2 + · · · + z2
6 = 0,
然后用三个平面P (μ = 1, 2, 3) 去截它
P : z1 = r1, . . . , z = r , z +1 = i r +1, . . . , z6 = i r6,
5
得到三个实的空间：
S4 = L ∩ P1 : r2
1
−r2
2
−r2
3
−r2
4
−r2
5
−r2
6 = 0,
M= L ∩ P2 : r2
1 + r2
2
−r2
3
−r2
4
−r2
5
−r2
6 = 0,
N = L ∩ P3 : r2
1 + r2
2 + r2
3
−r2
4
−r2
5
−r2
6 = 0,
它们分别是德西特空间、反德西特空间和德西特—陆空间的边界，因为陆
启铿是最早介绍狄拉克的这两篇文章的：
dS5 : x21
−x22
−x23
−x24
−x25
−x26
< 0,
AdS5 : x21
+ x22
−x23
−x24
−x25
−x26
> 0,
DL5 : x21
+ x22
+ x23
−x24
−x25
−x26
> 0.
当时，狄拉克研究这三个空间上电子的波动方程。在三十年代，流形的概
念刚刚出现，所以狄拉克本人一点都不知道流形的概念。在这种条件下要
研究上述的几个空间，还要在上面解微分方程，可想其困难。
那么，为什么狄拉克把它们叫共形空间呢？首先定义何谓共形变换。
设F : M → N 是流形间的映射，如果
F∗dsN = ef dsM,
其中f ∈ C∞(M)， F 就称为一个共形变换。最简单的例子，用球极投影
可以把Rn 做共形紧化，得到Sn。对于闵可夫斯基空间，共形紧化的结果
是S1 × S3 ∼=
U(1) × SU(2)
∼=
U(2)。
共形空间都是华罗庚研究过的典型域的特殊情况。用华罗庚的矩阵写
法，
D (m, n) = {X ∈ Rm×n | E −λX J X′ > 0},
其中J = (1,−1, . . . ,−1) 或J = (1, 1,−1, . . . ,−1)， λ 是实数。例如
D1(1, 4) = {X ∈ R4 | 1 −x21
+ x22
+ x23
+ x24
> 0},
其对称群为SO(1, 4)，其上的度量可以写为
ds2 =
dX(J −λX′ X)−1dX
1 −λX J X′ ,
它叫做华—陆度量。
为什么要重提狄拉克的这项工作呢？最近哈勃望远镜发现，我们的宇
宙是加速膨胀的。由此可以得出，宇宙的边缘不是渐近平坦的，而是带有
正曲率的德西特空间，
最后再来讲几个问题。
6
第一个问题是AdS/CFT 对应。一个完备、负常曲率爱因斯坦流形内
部的量子引力和它共形边界上的共形场论是等价的。这是物理上很难的问
题，同时也提出很多相关的数学问题。
第二个问题是共形空间上的场方程，如拉普拉斯方程、杨—米尔斯方
程、狄拉克方程、爱因斯坦方程等等。
第三个问题是爱因斯坦方程的解。爱因斯坦方程除了平凡的解以外，
还有很多不平凡的精确解，如史瓦西解：
ds2 = −(
1 −2M
r
)
dt2 +
(
1 −2M
r
)−1
dr2 + r2 (
dθ2 + sin2 θ dϕ2)
;
克尔解：
ds2 = −(
1 −2M r
Σ)
dt2−4M r a sin2 θ
Σdt dϕ+
ΣΔdr2+Σdθ2+
A sin2 θ
Σdϕ2,
其中Σ= r2+a2 cos2 θ， Δ= r2−2M r+a2， A = (r2+a2)2−a2 Δsin2 θ；
克尔—纽曼解等等。我们也在这方面做过一些工作。另外，通常求解时都
假设度规渐近平坦，如果把条件换成渐近德西特，又会带来很多新的问题，
例如黑洞无毛定理会有什么样的变化。
第四个问题是正质量问题。丘成桐及其合作者所证明的正质量猜想是
彭罗斯不等式的特殊情况。彭罗斯不等式的大意是，一个黑洞的质量下界
由它视界的面积给出。在过去三十年，彭罗斯不等式的求证一直是广义相
对论中公认的难题。
第五个问题是数值广义相对论。这类方法可以用来研究黑洞碰撞、超
新星爆发等剧烈天体过程中的引力波辐射。还可以在地球附近建立精确的
引力场数据，用来帮助处理军事、地理信息等领域的问题。
我就讲到这里。
最后再让我们回到狄拉克，我为什么今天在清华数学系讲狄拉克呢？
因为狄拉克思想深邃、逻辑理性、数学睿智，他在1935 年7 月曾应邀访
问清华大学，做关于正电子的演讲。在他的墓碑上，刻有以他名字命名的
方程： ℑΨ= −imΨ。
7
地球轨道失重因为物体在弯曲时空中做匀速直线运动，物体不受力，当然没重量了
水表面有张力，水的表面积越大，维持这样的表面积所消耗的能量越大，而在同样的体积或容积条件下，圆球消耗的能量最小，外表面积最小，结构最稳定，因此液体的本能就是变成小球
实际上，这个空间站跟万有引力有很大的关系，当我们通过卫星实况转播看到航天员王亚平在太空站内做那种没有重力的实验时，都觉得非常有趣，那个时候，因为空间站距离地面比较高，一般是在地面以上300到400千米的样子，这时的地球引力（也可以说是重力）要明显变小，基本可以认为是重力消失了，在这种情况下，我们看到王亚平的最后一个实验就是拿一个塑料口袋，倒了一些水进去，然后她用一个直径约有十几厘米的圆形铁环穿过塑料袋里的水，于是就在铁环圆面上形成了一个很明显的直径同样在十几厘米的水膜，她轻轻地摇晃手里的铁环，水膜就跟着来回摆动，但水膜既没有掉下来，也没有破裂。记得当时中央电视台是在上午10点左右现场直播王亚平的空间教学节目的，全国有很多中学生收看了这个节目，很多孩子观看时都觉得非常有意思、非常兴奋。要知道，我们在地面上用自来水或纯水做这个实验是不可能的，除非你在水里面加上特殊的药剂（例如肥皂），这也就是小孩子玩的吹泡泡或吹肥皂泡的情况。而在重力可以忽略的几百千米高 的空间站里，因为基本不用考虑重力的作用，于是王亚平同样用纯净水或自来水就可以拉出这么漂亮的水膜，其实这就是一种水泡。这是水的本性决定的，也就是说水本身具有一种张力，可以将水分子彼此紧密地连接在一起。在地面上，由于水本身受到的重力远远大于水本身的张力，这样的膜就不可能存在了。而当我们在水里加入肥皂以后，水的张力变大，超过了重力，因此肥皂泡就可以形成。在中央电视台转播的这个节目里我们还看到，王亚平用医生常用的一种注射器给膜里面注水，这个环状水膜并不会破裂，反而会变厚，最后变成一个直径基本等同于铁环的球（也可以说是球膜），而且膜的厚度还增大了。
为什么会是这样？这是一个非常有趣的问题。我们知道，在没有重力作用的情况下，一滴水会自然地变成圆球，任何液体都会这样，原因非常简单，还是跟张力有关，水表面有张力，水的表面积越大，维持这样的表面积所消耗的能量越大，而在同样的体积或容积条件下，圆球消耗的能量最小，外表面积最小，结构最稳定，因此液体的本能就是变成小球。比如说，我们把一个水膜拉长，或者说把橡皮筋拉长，橡皮筋拉长也会做功，也会消耗能量，在外力消失的时候，橡皮筋就会很自然地恢复原状。水膜也是如此，当一个水膜变扁圆的时候，它的面积越大，那它消耗的能量越大，物理里面有个能量的原因，就是说所有的物体都喜欢趋于能量最低或耗能最少的状态，这就是水膜或水滴成球的原因
越弱 越暗 越美丽
(首都科学讲堂演讲)
有这样一种说法：越是难以理解的东西，越是神秘的东西，就觉得越美丽。
这句话应该怎么理解呢？
我在这里要讲的是一种弱的作用力，也可以说是一种引力。我觉得，上面这句话应该这样来理解，越是难以理解的东西，越是神秘的东西，它就越能勾起人们的好奇心。小孩子是这样，科学家也是这样。对自然界的好奇，对一切未知事物的探求欲，这就是人类不同于其他物种的关键所在，也是人类得以进步、科学得以发展的关键所在。
那么，我这里要讲的这种弱作用力是否具有“难以理解”或“神秘”的特性呢？
实际上，这里的美丽指的是我们非常难以理解这个世界，因为你想去理解，因为它不是我们普通的常识可以解释的，所以这个世界才充满了神秘，充满了好奇，它才对我们有了足够大的吸引力。我们在中学物理中都已经学过万有引力定律，知道艾萨克-牛顿，还有开普勒，知道用这个定律可以计算地球和月亮之间的作用力，知道地月之间引力的变化与潮汐形成的关系。没错，我们在日常生活中看到和知道的很多很多现象都与万有引力有关，都可以用万有引力来解释。
这些都是人们常识范围内容易理解的现象，因为是容易理解、容易看到的现象，人们可能并不觉得有什么稀奇的，自然也就不会觉得有什么美妙或美丽了。然而，当讨论的两个互相构成作用力或互相具有吸引力的物体逐渐变小，从地球、月球那么大，变到铅球或馒头那么大，变到绿豆和芝麻那么大，再变到肉眼看不见的分子、质子那么大，这时，再用我们常识范围内的万有引力定律去理解这么小的分子或质子之间的作用力，我们就会发现，原先的概念或定律可能并不适用。
对于万有引力，我们都觉得容易理解，实际上不完全是这样。对万有引力还需要有更进一步的了解，对于分子、原子和质子，万有引力当然是弱作用力，但它跟强相互作用、弱相互作用或电磁力最大的区别之一就是这种引力永远不可能形成中性，因为万有引力与能量和质量有关，没有中性能量，物质的能量加在一起只能是越来越多，不可能越来越少。这与电荷不一样，电荷是可以聚集的，正负电荷聚在一块会形成中性，这样就可以把电磁力抵消很多，剩下来的就不是原来的电荷，我们通常说的电流、电势，这些东西相互抵消，对外显示的总体作用力就会弱很多。可是，万有引力不存在正与负，不会相互抵消，而是累积的，尽管原子或质子之间的万有引力非常弱，但是宏观物体之间，例如地球与月球之间，我们自己与地球之间，因为彼此的质量相对较大，相互之间形成的万有引力作用就不再是弱的作用力，而是比较大的作用力。我们每个人的体重，实际上就是地球对我们的万有引力。但是，这样的作用力与地球本身的质量相比又会显得比较小，也可以说比较弱，就是因为地球对我们的这种吸引力或万有引力不是那么强，我们才有可能在地球上成长起来，身高可以达到1米到2米，或者说成年人在1.5米~2米之间。这种身高实际上也可以计算，在地球的重力场即引力场中，重力加速度是每秒每秒9.8米，根据这种重力加速度可以计算出我们人类的平均身高。读者如果有兴趣，可以做这个练习，也就是说，你知道9.8这个数字以后，可以估算出人类的身高大概是在1.5米~2米之间。同样，由此还可以得到一个很简单的数据，就是说我们人类在地球上走路的话，大概是平均每秒2米到3米这个速度，如果是体育比赛中的竞走，这与普通的步行当然不一样，但是这种竞走也不会特别快，速度也是在每秒3或4米的样子，不可能再快，为什么人类在地球上的竞走速度只能是每秒3或4米的样子，不能太快呢？这个道理也是很简单的，用我们熟悉的重力加速度乘以腿长开个平方，这基本上就是人们走路比较快的速度。所以说，虽然我们感知的万有引力算是比较弱的，但是这种引力和我们的日常生活却有比较密切的关系。
这种引力还跟我们的星空有关系。这个话题说来话长，我们人类有两件事情显得不可思议，一件事涉及人类的敬畏感，那就是我们心中的道德律，也是内心的底线，它往往与传统或宗教有关；还有一件事就是我们头顶看到的星空，在人类文明的数千年历史上，人类对这个既近在眼前，又总是显得虚无缥缈、深邃莫测的星空充满了神秘感和畏惧感。我们已经知道，地球之所以能够存在，是因为有一个万有引力将地球上所有的物质“绑”在一起，我们生活在地球上面，是万有引力作用的结果，包括我们国家发射升空的神舟系列飞船、天宫一号空间站，这些飞行器实际上是在地球的同步轨道上运转，这个同步轨道也是万有引力作用形成的。所谓地球同步轨道，就是假定有人站在这个轨道上，地面上的人会发现这个轨道上的人好象跟着地球一起动，或者说好像停在空中一样，这样的轨道就叫地球同步轨道。
实际上，这个空间站跟万有引力有很大的关系，当我们通过卫星实况转播看到航天员王亚平在太空站内做那种没有重力的实验时，都觉得非常有趣，那个时候，因为空间站距离地面比较高，一般是在地面以上300到400千米的样子，这时的地球引力（也可以说是重力）要明显变小，基本可以认为是重力消失了，在这种情况下，我们看到王亚平的最后一个实验就是拿一个塑料口袋，倒了一些水进去，然后她用一个直径约有十几厘米的圆形铁环穿过塑料袋里的水，于是就在铁环圆面上形成了一个很明显的直径同样在十几厘米的水膜，她轻轻地摇晃手里的铁环，水膜就跟着来回摆动，但水膜既没有掉下来，也没有破裂。记得当时中央电视台是在上午10点左右现场直播王亚平的空间教学节目的，全国有很多中学生收看了这个节目，很多孩子观看时都觉得非常有意思、非常兴奋。要知道，我们在地面上用自来水或纯水做这个实验是不可能的，除非你在水里面加上特殊的药剂（例如肥皂），这也就是小孩子玩的吹泡泡或吹肥皂泡的情况。而在重力可以忽略的几百千米高 的空间站里，因为基本不用考虑重力的作用，于是王亚平同样用纯净水或自来水就可以拉出这么漂亮的水膜，其实这就是一种水泡。这是水的本性决定的，也就是说水本身具有一种张力，可以将水分子彼此紧密地连接在一起。在地面上，由于水本身受到的重力远远大于水本身的张力，这样的膜就不可能存在了。而当我们在水里加入肥皂以后，水的张力变大，超过了重力，因此肥皂泡就可以形成。在中央电视台转播的这个节目里我们还看到，王亚平用医生常用的一种注射器给膜里面注水，这个环状水膜并不会破裂，反而会变厚，最后变成一个直径基本等同于铁环的球（也可以说是球膜），而且膜的厚度还增大了。
为什么会是这样？这是一个非常有趣的问题。我们知道，在没有重力作用的情况下，一滴水会自然地变成圆球，任何液体都会这样，原因非常简单，还是跟张力有关，水表面有张力，水的表面积越大，维持这样的表面积所消耗的能量越大，而在同样的体积或容积条件下，圆球消耗的能量最小，外表面积最小，结构最稳定，因此液体的本能就是变成小球。比如说，我们把一个水膜拉长，或者说把橡皮筋拉长，橡皮筋拉长也会做功，也会消耗能量，在外力消失的时候，橡皮筋就会很自然地恢复原状。水膜也是如此，当一个水膜变扁圆的时候，它的面积越大，那它消耗的能量越大，物理里面有个能量的原因，就是说所有的物体都喜欢趋于能量最低或耗能最少的状态，这就是水膜或水滴成球的原因。一般的高中生都可以用数学方法证明这样的问题，就是给定一个固定体积的东西，请问它的表面积在什么情况下最小？答案是球状，所以说给定一个固定的体积，它的表面积最小的状态就是球状，这时候的能量最低，所以在太空失重情况下，无论水滴的体积有多大，它一定是球状的。这就是王亚平做出那个球状水膜的原因。
关于重力的作用，我们就不能不讲到阿基米德定律。用这个定律，我们可以解释我们为什么可以游泳，船为什么可以浮在水面上。道理很简单，阿基米德定律告诉我们，如果你有一定的体积在水里面，你得到的浮力将等于这个体积水的重量，如果你的密度超过水，你就会沉入水中；如果你的密度小于水，你就能浮上来或浮在水面上。气泡在水里面，气泡里面是空气，密度非常小，重量非常轻，它的浮力大于气泡的重量，所以气泡肯定要朝上方运动，也就是冒泡。当我们烧开水的时候，水泡总是往上冒，钓鱼的时候也会发现鱼吐出的气泡往上冒，而在王亚平向水里的气泡注射气体的时候，气泡并没有移动，但是却变大了，这是因为没有重力的作用，气泡在水里就没有浮力，所以气泡呆在那儿不动。这个实验就是为了说明重力和浮力的形成原理。
我们再回到星空上来。我们头顶的星空非常灿烂，这些非常漂亮的星体，比如太阳、我们居住的地球，还有木星，所有这些东西都跟万有引力有关。宇宙中离我们最近的一颗恒星叫做半人马座，科幻片《三体》告诉我们，在半人马座里面，离我们地球最近的这颗恒星距离我们有大约4.2光年，读者可以通过万有引力计算一下，确确实实在银河系里面，恒星的平均距离是15光年，这也是万有引力定律确定的。这就非常有趣了，万有引力可以帮助我们做那么多事。同样可以计算（这是比较困难的计算，通常要由专家来算）一下，一个银河系能包含多少颗恒星，这也是万有引力起作用，答案就是2000亿到3000亿颗。可能多数人不知道这个事情，2000亿~3000亿颗。人们经常会说，什么星宿下凡、太白星，或其他什么星，从某种意义上讲，这些说法是有道理的，因为确确实实银河系里面包含的恒星的数量，有可能远远超过地球上人类的总数，我们在地球上的人口只有70亿，可是银河系里面有2000亿~3000亿恒星，到底有多少亿颗，所有的天文学家都还没有数清楚，读者所能知道的就是2000亿到3000亿颗。
我们的宇宙有多大？这个问题也是大家喜欢问的问题，这个好回答，同样这也是万有引力定律所决定的，所以，读者千万不要觉得引力弱，它能决定很多重要的东西，比如说一颗恒星大概有多大，一颗太阳有多大，一个星系有多大。如果问到宇宙到底有多大，大部分学过辩证唯物论的人会说宇宙是无限的，无限就是没有办法证明的。从科学角度，或者说从天文观测的角度，我们至今可以知道的是，我们能够观测到的宇宙里面大概有一千亿个银河系，一千亿个银河系，可以想象宇宙有多大，非常之大。再想象一下，给大家一个尺度，一千亿个银河系组成的宇宙到底有多大，刚才说了，距离我们最近的恒星是半人马座，它离我们大概是4.2光年左右，听起来4.2是很小的一个数字，可以计算，也是最近一段时间一则科学新闻报道的，美国的旅行者一号空间探测器，它是以超过宇宙第三速度飞行的，将要跑出我们的太阳系，也就是脱离太阳的万有引力的束缚。迄今为止，这个飞行器在我们的太阳系里已经以这样高的速度跑了36年（1977年发射），还没有跑出去。有人会问为什么还没有跑出去？答案很简单，我们的太阳系太大了。其实，这个问题也没有那么简单，我们知道，通常我们认为太阳系的边界大约是两个恒星之间距离的一半，两个恒星之间的距离就是前面介绍的4.2光年，一半就是2光年，2光年有点夸张，实际上太阳系的边界大概有1光年。在靠近太阳系边缘有一个奥特星云，该星云里面有很多小行星，有些小行星可能就是小石头，这些小行星离我们大概是1光年，它还在太阳系的范围之内，这个奥特星云也是围绕太阳转的。1光年，就是光线传播1年所经过的距离。我们设想旅行者一号以每秒30千米（公里）的速度飞行，而光的传播速度是每秒30万公里，这就是说，旅行者一号的飞行速度只是光速的一万分之一，如果假定太阳系的半径有1光年，这就意味着旅行者一号以每秒30公里的速度飞行，它要到达太阳系的边缘位置，它至少需要飞行一万年。所以，可以告诉大家的是，宇宙的空间是不可思议的广大。像旅行者一号，它要抵达奥特星云，需要走一万年，可它目前才走了36年，一万年的时间已经超过我们人类的文明史了。我们知道，中国从三皇五帝算起，至今起码有四五千年，我们中国的灿烂文明有那么长时间，可这个时间比旅行者一号飞出太阳系需要的时间还是要短很多，由此大家可以想象宇宙空间有多大。
再回到宇宙有多大的问题。实际上，宇宙有多大，这个问题是不可能有准确答案的。我们都知道宇宙大爆炸，我们都喜欢讲宇宙大爆炸发生至今已有137亿年。2013年3月21日，欧洲的普朗克卫星传回很多资料，科学家分析了两年的时间，得到的结论是，宇宙大爆炸不是发生在137亿年前，而是138亿年前，多了1亿年。138亿年是什么意思？就是说，在138亿年以前，我们的宇宙刚刚诞生，这个标准的大爆炸理论告诉我们，我们的宇宙产生于一次大爆炸，在大爆炸发生的时候，宇宙非常非常小，可能与我们用的手机差不多大，或者比它略小一点，在138亿年前，宇宙就是这么大，开始它就像发面包一样，它不是真正像我们地球上的这个爆炸，我们知道的炸药包爆炸是从中心一点向外传播物质和能量，而宇宙大爆炸不是这样的，宇宙大爆炸是每一点都是中心，有点像发面包，当你在烤箱里蒸面包的时候，面包膨胀不是以一点为中心，而是每个点都在向外膨胀，任意两点之间的距离都在拉大，所以宇宙大爆炸实际上是均匀的向外膨胀。
既然在138亿年前，宇宙发生了大爆炸，那么，为什么我们是在宇宙大爆炸之后的38万年才发现了这次大爆炸的线索呢？因为一开始爆炸的时候，宇宙处于一个致密的状态，它相当于一个原始汤，是不透明的，当宇宙膨胀了38万年以后，宇宙就变成透明了，就像水一样，后来的变化就是比水还要透明，因为它几乎是真空了。所以，我们后来看到的第一缕光线是宇宙大爆炸发生38万年以后形成的，这就是所谓的宇宙背景辐射。实际上，我们可以用打开电视机来作比较，假定信号不好，人们最初看到的电视机显示屏上会是雪花，这个雪花大概有一百万分之一就属于宇宙的第一缕曙光。事情就是这样简单，宇宙在发生大爆炸以后38万年所形成的那个微波背景辐射，就有一部分可以在我们家里看的电视机屏幕上找到，比例大约是一百万分之一，所以，当我们说宇宙虚无缥渺的时候，它似乎又是可以触摸到的，它在我们的日常生活里就可以看到，只不过我们自己并不知道而已。
我们再回来看宇宙大爆炸。很多人，包括有些科学家都容易搞错，以为宇宙的半径应当是138亿光年。其实，应该是138亿年的3倍。有人可能会问，我们现在获得的宇宙最早发出的光线不是从138亿年前发过来的嘛，这个光线走了138亿年，说明宇宙只能这么大，怎么会是400多亿光年，为什么是3倍呢？我们可以举个例子，有一个人从某个地方向我们跑过来，这个人起动的时候，假定距离我们有7、8米，那这个人跑动的距离确实就是7、8米；可是，我们现在讨论的宇宙从大爆炸以后就一直在膨胀，在这样的宇宙里，即使这个人站在原地不动，他与我们之间的距离也是在不断变化的，或者说是距离不断增加，所以，当这个人真的跑到我们跟前时，他实际跑动的距离肯定不是7、8米，而是明显大于这个距离。就是因为存在膨胀的缘故，我们现在看到的宇宙最初发出的光线，它传播的距离肯定也不是138亿光年，而应该是这个数字的3倍，宇宙半径至少在400多亿光年，这个数据就是这样得到的。
以上讲的万有引力作用就涉及天体之间的引力作用和宇宙的起源，我们可以看到，所谓的弱引力作用，其实它并不弱，在这样的引力作用背后，我们可以得到很多有意思的结论，可以发现很多有意思的现象，这就是越弱越美丽的含义。
下面我们再来看看所谓的“暗”是怎么回事。
在天文学中，所谓“暗”，指的就是暗物质或暗能量。当我们说宇宙成分的时候，我们是在指能量，或者是质量，按照爱因斯坦的理论，能量就等于质量，质量就等于能量，这两个字是可以互相转换的。有一个著名的公式，就是能量=质量×光速的平方，或者讲E=mc2，E代表能量，m代表质量，c代表光传播的速度，所以能量跟质量是一样的概念。我们来看这幅图【】，图上显示了三种组合，实际上应当有四种组合。另外一种组合就是刚才提到的，我们在电视机屏幕上看到的雪花的一部分，那个组分非常少，虽然我们能看到，可是因为它是光嘛，光非常轻，所以说它只占我们宇宙组分的一百万分之一。其实，这个图已经过时了，这是比较老的图，它告诉我们宇宙里面能量最多的部分不是我们看到的物质，不是我们在地球上看到的物质，不是太阳的物质，不是银河系的物质，也不是更远的其他星系的物质，而是一种看不见、摸不着的东西，我们管它叫暗能量。这个暗能量大概占了宇宙能量组分的75%。当然，后面第二位数字5不一定准确，不同的时间可能得出不同的数据，原因是什么呢？原因就是天文测量的精度，因为天文计算是在那么大的尺度上，也就是前面介绍的宇宙半径在400多亿光年这么大的尺度，所以得出来的数据当然不会那么准确。75%不够准确，70%左右是比较准确的，有人会得出68%，还有人会说72%、73%，这些结果都对，为什么都对呢？因为我们不知道到底是多少。
暗物质是什么？它也是看不见，摸不着的一种东西。到现在为止，科学家们一直在尝试，希望在太空中能够捕捉到一个暗物质的粒子，可惜还没有捕捉到。如果能捕捉到一个暗物质的粒子，这个人一定会获得诺贝尔物理学奖。就是在2013年4月，丁肇中先生领导的研究团队采用AMS探测器进行观测。AMS就是磁谱仪，它是放在国际空间站上的一套研究装置，大概花了20亿美元，实际上在我们中国人看来这样的花费不是太多，因为我们一个科技馆的造价没那么大，但是鸟巢的造价比这个数字还要多。他们这个团队已经观测了几年，看到了一些现象，这些现象有可能跟暗物质有关，但是现在还没有结论。为什么说没有结论呢？原因就是这个现象与一些正电子和负电子的超出有关，大家都知道，我们看到的通常的物质，就是在地球上，质子、中子、电子，这些都是物质，还有一种叫反物质，也有反质子，质子带一个正电荷，反质子带一个负电荷，它的电荷跟电子一样大小，但是它的质量跟质子一样大，比电子要大得多。同样，反物质里面有反电子，实际上就是正电子，它带正电荷，丁肇中的在这个团队有数百人，他们看到了正电子，也看到了负电子，这个现象很奇怪，因为在地球上通常看不到正电子，那么这些正电子是从哪儿来的？有一种可能就是我们至今还不清楚的物质，这些物质相互之间会湮灭，它湮灭的几率非常非常小，至于几率为什么小，这个原因还很难解释，科学家们目前可以确定的是，这个几率必须要小，否则暗物质早就不存在了，早就变成正负电子对了。所以，他们认为这可能就是暗物质互相之间湮灭得到的正电子，这是我们在地球上看不见的。可是，天体物理学家有一个竞争的理论，根据这个理论，虽然正电子很少，但是在中子星附近由于一些其他的相互作用，比如宇宙射线打到上面去了，也会产生正电子，这些正电子在中子星附近，它受到中子星磁场的相互作用，会变得能量很高，能量会加速，因为该团队确实看到了能量增高的现象，正电子数越来越多，这是很奇怪的现象。天体物理学家还有另外一个解释，因为中子星在天上不是到处都有的，就像我们看天上的星星一样，它是一个一个的，这些正电子应该是从固定的一个点来的，很可能跟中子星有关，如果说天上所有的方向都有正电子，那就可能是跟中子星没有关系，所以天文学家们就会想到这么一点，到底暗物质是不是中子星来的？有一个非常麻烦的事情，就是说银河系里面有磁场，到处都有，非常弱，但是由于银河系非常大，就像我们刚才解释的，人类发射的旅行者一号探测器需要跑一万年才有可能跑出太阳系，更别说银河系了，所以说银河系很大，这些正电子在这个磁场中跑了很多很长时间以后，它的方向可能就改变了，它不见得是从中子星那个方向来，它可以从任何方向来，这个事情就很麻烦，科学家就没有办法说，我们看到的正电子就是从中子星来的，我们确实看到各个方向都有，所以，丁先生这个团队目前还不能确定他们看到的正电子到底是中子星来的，还是暗物质湮灭得来的，他们还无法得到最后的结论。
什么时候有结论？有一种可能是，科学家们也许会发现，当正电子能量向上升的时候，突然到一个地方掉下来了，那个时候我们就可以确定这些正电子是从暗物质来的，因为根据爱因斯坦的指针北向原理，暗物质的质量是有限的，它可能是任意的，是固定的，当暗物质湮灭时，它辐射出的电子只能低于这个能量，不能高于这个能量，一旦高于这个能量，电子就会掉下来，就会变少了、变没了。我们可以再隔几年看这个问题，如果丁先生的团队通过实验发现正电子超出，电子能量突然掉下来，那就说明他们间接地探测到了暗物质，还是间接的，不是直接的。
当我们说宇宙里面有暗能量暗物质时，这些能量或物质应该在96%左右，剩下的4%左右才是我们日常生活中能够看到的物质，就是我们地球上通常的物质，太阳系是这样，银河系我们肉眼看到的，包括利用望远镜看到的都是这种普通的物质，而我们通过肉眼或望远镜，包括射电望远镜都看不见的，则是比例更大的暗物质和暗能量，所以说，越暗的物质越是主宰我们的宇宙，我们的宇宙很有可能是由“黑暗势力”主导的，这些“黑暗势力”是迄今为止我们还没有看到的东西。
我们看看这幅图【】。这就是我们的宇宙，很大尺度的一个结构，这个结构呈网状，我们可以通过超级计算机把它重复出来，就是通过万有引力和暗能量来重复，暗能量是斥力，不是万有引力，暗能量提供的是万有斥力，就是相互排斥的力，那么，把万有引力和万有斥力加起来，天文学家可以在超级计算机里面模拟我们宇宙的结构，这是模拟出来的一个结构。当然，这是我画出来的结构，不包括暗物质，只是可见物质。假如这个结构跟观测结果非常像，就说明我们采用的万有引力、暗能量和暗物质都是对的。如果把暗能量减少5%，甚至50%，把暗物质增加70%，看到的图可能就不是这样，与观测结果可能也对不上，所以说，宇宙里面有暗能量和暗物质是有道理的。
这里给暗物质另外一个证据，这个证据是这样的，就是有两个星系团，比如我们的星系所在的星系团，我们知道有仙女座大星云，它跟我们所在的星系类似，也有类似的银河系。有人预测，银河系跟仙女座是不是会碰撞？这是有可能的，因为这两个星系团确实距离比较近。什么时候相撞？我不知道，相信其他天文学家也不知道。但是有一点我们是可以确定的，那就是在我们这一代人或下几代人的有生之年，我们都不会看到这种相撞的情况。这个图【】是说明星系团碰撞的，这个图告诉我们，暗物质是存在的，当然我们用肉眼是看不出来的，因为我们能够看到的都是可见的物质。为什么说暗物质存在？我们看到图上有很多亮点，组成一个星系，不是星系团，是银河星系，跟我们所在的银河系一样的星系，这些亮点有的是圆的，有的是扁的，这些扁的点并不是天生就这样，而是经过万有引力最弱的力的作用，使得通过它的光发生变形，因为万有引力对光也有作用，就是光在万有引力作用下会变形，那么，通过计算这张图的引力场，我们会发现这个引力场与我们看到的由可见物质形成的万有引力不一样，这是什么原因？那就是有暗物质存在。可是，有人会问，物质跟暗物质在一起总是相伴共生的，有物质的地方必有暗物质，为什么在这个地方暗物质分布和物质不一样呢？这个问题容易解释，当两个星系团碰撞的时候，可见物质之间除了万有引力，还会有其他的相互作用，所以光线就不太容易通过；可是，暗物质之间除了万有引力以外，就没有其他的相互作用力了，或者说其他的相互作用力非常弱，光线容易通过，所以，通过这个图就可以分析出来，暗物质跟可见物质的分布是不一样的，这也就说明暗物质是存在的。这是暗物质存在的另外一个天文学证据，它不是直接观测发现的。
我们讲的美丽，也可以说是美妙。前面已经说过，这些暗的东西，弱的东西实际上是最深刻的东西，也是最令天文学家们着迷的东西。为什么宇宙里面会有暗物质？为什么宇宙里面会有暗能量？这些问题人们现在还没有理解，很有可能是世纪之谜。所以说，这些问题的后面一定有非常深刻的原因，我们没有办法理解，所以我才说，越弱越暗越美丽。
最后，我想借用宇宙学中的人择原理（Anthropic principle）来说明我们对宇宙的认识。根据这一原理，万物与自然定律如果存在，人类或早或晚总是能够发现这些万物与自然定律的。如果万物与自然定律不是那个形态出现的话，人类就不会知道这些万物或自然定律是怎样出现的。如果只有在像我们一样的很少的一些星系中，智慧及生命才得以发展并能提出这样的问题：“为何宇宙是我们看到的这种样子？”那么，答案也是很简单的，那就是：“如果它不是这个样子，我们就不会在这里。”
这个人择原理有点哲学的味道。的确，它就是产生于人们对自身、对周围、对星空和宇宙的不断认识过程。人择原理最早产生的时候，需要回答的问题是：地球为什么离太阳那么远？我们知道，光从太阳走到地球大概要8分多钟，人择原理就很简单地回答，这没有什么奥秘，就应当是8分钟，否则的话人类就不会存在。设想把人类移民到其他星球上，出现的第一个问题可能就是人很快被热死，即使不被热死，到了夜里也会被冻死，因为这个星球没有大气，它不能把热量保留起来。而在地球上，我们白天不会被热死，这是因为我们离太阳比较远，到了夜晚，我们不会被冻死，那是因为地球周围有稠密的大气层，可以把太阳辐射过来的热量保存在地球表面。假如没有这样的大气层，太阳辐射过来的热量就很容易散发出去。这也就是说，地球如果距离太阳太近或太远，我们人类就不会存在，所以，读者也就别问地球为什么那么远了，因为一旦人类不存在，也就不会有人想到这个问题了，这就是所谓的人择原理。
我们可以把这个人择原理推广到宇宙里面，就是说，为什么宇宙里面有70%的暗能量，20%的暗物质？前面已经说过，天文学家也用电脑模拟过，如果没有那么多的东西，宇宙这个大体的结构形成不了，或者形成之后也不是这样的。假如说我们宇宙里面暗物质太多，可以看到的物质太少，那么就会出现这样的情形，当太阳形成之前，所有的恒星都已经变成黑洞了，既然所有的恒星都变成了黑洞，那我们人类怎么可能产生呢？因为我们人类的生存需要能量，黑洞是不发光的，所以宇宙中的暗物质不能太多。同样的道理，宇宙中的暗能量也不能太多，因为暗能量是斥力，如果暗能量太多，假定暗能量占99.99%，那么，在100多亿年以前，我们的恒星和星系就不可能形成，当然也不会形成黑洞，既然星系和恒星都不能形成，人类自然也不会出现了。
根据这个人择原理，我们可以粗略地解释为什么宇宙里面有那么多暗物质和暗能量，尽管这种解释还不是那么令人信服，也缺少科学实验的验证，但它至少有助于我们了解我们这个宇宙。比如电磁相互作用那么强，万有引力那么弱，暗物质和暗能量那么多，读者已经知道或者是还不知道的万事万物，还有各种自然现象和自然规律，这些听起来有点“玄妙”的东西其实就在我们的身边，每时每刻都与我们的生活发生着联系。所以，这个带有哲学味道的人择原理有一个好处，那就是有些东西解释不了，也就用不着解释了，就跟地球太阳的距离一样。如果有人认为宇宙不是这样的，那我们可以说，如果不是这样，人类就不会存在；人类如果不存在，也就不会有人问这个问题。也许，我们所理解的宇宙不只是一个，还有很多其他的宇宙，宇宙之外可能还有其他的宇宙，这些宇宙可能就不是我们这样的，那我们同样可以推断，这些宇宙中是没有智慧生物的，所以在这样的宇宙中就不会出现这样的问题。
当然，我这里说的越弱越暗越美丽，并不是人择原理这个意思。我是说，我们生活的地球、太阳系、银河系确实是非常美丽的，也确实是非常美妙的。作为万物之灵，我们人类毫无疑问是最漂亮的，最有智慧的，然而，人类的存在是需要很多条件的，这些条件有的是很容易感知的，有的则是不明显的，是隐隐约约的。我们可以举个例子，假如地球没有月亮，我们人类会不会存在？已经有天文学家研究过这个问题，如果地球没有月亮，我们人类肯定不会存在，这是因为月亮的存在使得地球的自转变得稳定下来，如果地球自转不稳定，地球上一会儿变冷，一会儿变热，在这种条件下生物的进化是不可能发生的。因此，月亮跟我们人类的存在也是有关系的，这个事实同样可以说明我们生活的这个地球确实充满了神秘性，我们的地球确实美丽。
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有这样一种说法：越是难以理解的东西，越是神秘的东西，就觉得越美丽。
这句话应该怎么理解呢？
我在这里要讲的是一种弱的作用力，也可以说是一种引力。我觉得，上面这句话应该这样来理解，越是难以理解的东西，越是神秘的东西，它就越能勾起人们的好奇心。小孩子是这样，科学家也是这样。对自然界的好奇，对一切未知事物的探求欲，这就是人类不同于其他物种的关键所在，也是人类得以进步、科学得以发展的关键所在。
那么，我这里要讲的这种弱作用力是否具有“难以理解”或“神秘”的特性呢？
实际上，这里的美丽指的是我们非常难以理解这个世界，因为你想去理解，因为它不是我们普通的常识可以解释的，所以这个世界才充满了神秘，充满了好奇，它才对我们有了足够大的吸引力。我们在中学物理中都已经学过万有引力定律，知道艾萨克-牛顿，还有开普勒，知道用这个定律可以计算地球和月亮之间的作用力，知道地月之间引力的变化与潮汐形成的关系。没错，我们在日常生活中看到和知道的很多很多现象都与万有引力有关，都可以用万有引力来解释。
这些都是人们常识范围内容易理解的现象，因为是容易理解、容易看到的现象，人们可能并不觉得有什么稀奇的，自然也就不会觉得有什么美妙或美丽了。然而，当讨论的两个互相构成作用力或互相具有吸引力的物体逐渐变小，从地球、月球那么大，变到铅球或馒头那么大，变到绿豆和芝麻那么大，再变到肉眼看不见的分子、质子那么大，这时，再用我们常识范围内的万有引力定律去理解这么小的分子或质子之间的作用力，我们就会发现，原先的概念或定律可能并不适用。
对于万有引力，我们都觉得容易理解，实际上不完全是这样。对万有引力还需要有更进一步的了解，对于分子、原子和质子，万有引力当然是弱作用力，但它跟强相互作用、弱相互作用或电磁力最大的区别之一就是这种引力永远不可能形成中性，因为万有引力与能量和质量有关，没有中性能量，物质的能量加在一起只能是越来越多，不可能越来越少。这与电荷不一样，电荷是可以聚集的，正负电荷聚在一块会形成中性，这样就可以把电磁力抵消很多，剩下来的就不是原来的电荷，我们通常说的电流、电势，这些东西相互抵消，对外显示的总体作用力就会弱很多。可是，万有引力不存在正与负，不会相互抵消，而是累积的，尽管原子或质子之间的万有引力非常弱，但是宏观物体之间，例如地球与月球之间，我们自己与地球之间，因为彼此的质量相对较大，相互之间形成的万有引力作用就不再是弱的作用力，而是比较大的作用力。我们每个人的体重，实际上就是地球对我们的万有引力。但是，这样的作用力与地球本身的质量相比又会显得比较小，也可以说比较弱，就是因为地球对我们的这种吸引力或万有引力不是那么强，我们才有可能在地球上成长起来，身高可以达到1米到2米，或者说成年人在1.5米~2米之间。这种身高实际上也可以计算，在地球的重力场即引力场中，重力加速度是每秒每秒9.8米，根据这种重力加速度可以计算出我们人类的平均身高。读者如果有兴趣，可以做这个练习，也就是说，你知道9.8这个数字以后，可以估算出人类的身高大概是在1.5米~2米之间。同样，由此还可以得到一个很简单的数据，就是说我们人类在地球上走路的话，大概是平均每秒2米到3米这个速度，如果是体育比赛中的竞走，这与普通的步行当然不一样，但是这种竞走也不会特别快，速度也是在每秒3或4米的样子，不可能再快，为什么人类在地球上的竞走速度只能是每秒3或4米的样子，不能太快呢？这个道理也是很简单的，用我们熟悉的重力加速度乘以腿长开个平方，这基本上就是人们走路比较快的速度。所以说，虽然我们感知的万有引力算是比较弱的，但是这种引力和我们的日常生活却有比较密切的关系。
这种引力还跟我们的星空有关系。这个话题说来话长，我们人类有两件事情显得不可思议，一件事涉及人类的敬畏感，那就是我们心中的道德律，也是内心的底线，它往往与传统或宗教有关；还有一件事就是我们头顶看到的星空，在人类文明的数千年历史上，人类对这个既近在眼前，又总是显得虚无缥缈、深邃莫测的星空充满了神秘感和畏惧感。我们已经知道，地球之所以能够存在，是因为有一个万有引力将地球上所有的物质“绑”在一起，我们生活在地球上面，是万有引力作用的结果，包括我们国家发射升空的神舟系列飞船、天宫一号空间站，这些飞行器实际上是在地球的同步轨道上运转，这个同步轨道也是万有引力作用形成的。所谓地球同步轨道，就是假定有人站在这个轨道上，地面上的人会发现这个轨道上的人好象跟着地球一起动，或者说好像停在空中一样，这样的轨道就叫地球同步轨道。
实际上，这个空间站跟万有引力有很大的关系，当我们通过卫星实况转播看到航天员王亚平在太空站内做那种没有重力的实验时，都觉得非常有趣，那个时候，因为空间站距离地面比较高，一般是在地面以上300到400千米的样子，这时的地球引力（也可以说是重力）要明显变小，基本可以认为是重力消失了，在这种情况下，我们看到王亚平的最后一个实验就是拿一个塑料口袋，倒了一些水进去，然后她用一个直径约有十几厘米的圆形铁环穿过塑料袋里的水，于是就在铁环圆面上形成了一个很明显的直径同样在十几厘米的水膜，她轻轻地摇晃手里的铁环，水膜就跟着来回摆动，但水膜既没有掉下来，也没有破裂。记得当时中央电视台是在上午10点左右现场直播王亚平的空间教学节目的，全国有很多中学生收看了这个节目，很多孩子观看时都觉得非常有意思、非常兴奋。要知道，我们在地面上用自来水或纯水做这个实验是不可能的，除非你在水里面加上特殊的药剂（例如肥皂），这也就是小孩子玩的吹泡泡或吹肥皂泡的情况。而在重力可以忽略的几百千米高 的空间站里，因为基本不用考虑重力的作用，于是王亚平同样用纯净水或自来水就可以拉出这么漂亮的水膜，其实这就是一种水泡。这是水的本性决定的，也就是说水本身具有一种张力，可以将水分子彼此紧密地连接在一起。在地面上，由于水本身受到的重力远远大于水本身的张力，这样的膜就不可能存在了。而当我们在水里加入肥皂以后，水的张力变大，超过了重力，因此肥皂泡就可以形成。在中央电视台转播的这个节目里我们还看到，王亚平用医生常用的一种注射器给膜里面注水，这个环状水膜并不会破裂，反而会变厚，最后变成一个直径基本等同于铁环的球（也可以说是球膜），而且膜的厚度还增大了。
为什么会是这样？这是一个非常有趣的问题。我们知道，在没有重力作用的情况下，一滴水会自然地变成圆球，任何液体都会这样，原因非常简单，还是跟张力有关，水表面有张力，水的表面积越大，维持这样的表面积所消耗的能量越大，而在同样的体积或容积条件下，圆球消耗的能量最小，外表面积最小，结构最稳定，因此液体的本能就是变成小球。比如说，我们把一个水膜拉长，或者说把橡皮筋拉长，橡皮筋拉长也会做功，也会消耗能量，在外力消失的时候，橡皮筋就会很自然地恢复原状。水膜也是如此，当一个水膜变扁圆的时候，它的面积越大，那它消耗的能量越大，物理里面有个能量的原因，就是说所有的物体都喜欢趋于能量最低或耗能最少的状态，这就是水膜或水滴成球的原因。一般的高中生都可以用数学方法证明这样的问题，就是给定一个固定体积的东西，请问它的表面积在什么情况下最小？答案是球状，所以说给定一个固定的体积，它的表面积最小的状态就是球状，这时候的能量最低，所以在太空失重情况下，无论水滴的体积有多大，它一定是球状的。这就是王亚平做出那个球状水膜的原因。
关于重力的作用，我们就不能不讲到阿基米德定律。用这个定律，我们可以解释我们为什么可以游泳，船为什么可以浮在水面上。道理很简单，阿基米德定律告诉我们，如果你有一定的体积在水里面，你得到的浮力将等于这个体积水的重量，如果你的密度超过水，你就会沉入水中；如果你的密度小于水，你就能浮上来或浮在水面上。气泡在水里面，气泡里面是空气，密度非常小，重量非常轻，它的浮力大于气泡的重量，所以气泡肯定要朝上方运动，也就是冒泡。当我们烧开水的时候，水泡总是往上冒，钓鱼的时候也会发现鱼吐出的气泡往上冒，而在王亚平向水里的气泡注射气体的时候，气泡并没有移动，但是却变大了，这是因为没有重力的作用，气泡在水里就没有浮力，所以气泡呆在那儿不动。这个实验就是为了说明重力和浮力的形成原理。
我们再回到星空上来。我们头顶的星空非常灿烂，这些非常漂亮的星体，比如太阳、我们居住的地球，还有木星，所有这些东西都跟万有引力有关。宇宙中离我们最近的一颗恒星叫做半人马座，科幻片《三体》告诉我们，在半人马座里面，离我们地球最近的这颗恒星距离我们有大约4.2光年，读者可以通过万有引力计算一下，确确实实在银河系里面，恒星的平均距离是15光年，这也是万有引力定律确定的。这就非常有趣了，万有引力可以帮助我们做那么多事。同样可以计算（这是比较困难的计算，通常要由专家来算）一下，一个银河系能包含多少颗恒星，这也是万有引力起作用，答案就是2000亿到3000亿颗。可能多数人不知道这个事情，2000亿~3000亿颗。人们经常会说，什么星宿下凡、太白星，或其他什么星，从某种意义上讲，这些说法是有道理的，因为确确实实银河系里面包含的恒星的数量，有可能远远超过地球上人类的总数，我们在地球上的人口只有70亿，可是银河系里面有2000亿~3000亿恒星，到底有多少亿颗，所有的天文学家都还没有数清楚，读者所能知道的就是2000亿到3000亿颗。
我们的宇宙有多大？这个问题也是大家喜欢问的问题，这个好回答，同样这也是万有引力定律所决定的，所以，读者千万不要觉得引力弱，它能决定很多重要的东西，比如说一颗恒星大概有多大，一颗太阳有多大，一个星系有多大。如果问到宇宙到底有多大，大部分学过辩证唯物论的人会说宇宙是无限的，无限就是没有办法证明的。从科学角度，或者说从天文观测的角度，我们至今可以知道的是，我们能够观测到的宇宙里面大概有一千亿个银河系，一千亿个银河系，可以想象宇宙有多大，非常之大。再想象一下，给大家一个尺度，一千亿个银河系组成的宇宙到底有多大，刚才说了，距离我们最近的恒星是半人马座，它离我们大概是4.2光年左右，听起来4.2是很小的一个数字，可以计算，也是最近一段时间一则科学新闻报道的，美国的旅行者一号空间探测器，它是以超过宇宙第三速度飞行的，将要跑出我们的太阳系，也就是脱离太阳的万有引力的束缚。迄今为止，这个飞行器在我们的太阳系里已经以这样高的速度跑了36年（1977年发射），还没有跑出去。有人会问为什么还没有跑出去？答案很简单，我们的太阳系太大了。其实，这个问题也没有那么简单，我们知道，通常我们认为太阳系的边界大约是两个恒星之间距离的一半，两个恒星之间的距离就是前面介绍的4.2光年，一半就是2光年，2光年有点夸张，实际上太阳系的边界大概有1光年。在靠近太阳系边缘有一个奥特星云，该星云里面有很多小行星，有些小行星可能就是小石头，这些小行星离我们大概是1光年，它还在太阳系的范围之内，这个奥特星云也是围绕太阳转的。1光年，就是光线传播1年所经过的距离。我们设想旅行者一号以每秒30千米（公里）的速度飞行，而光的传播速度是每秒30万公里，这就是说，旅行者一号的飞行速度只是光速的一万分之一，如果假定太阳系的半径有1光年，这就意味着旅行者一号以每秒30公里的速度飞行，它要到达太阳系的边缘位置，它至少需要飞行一万年。所以，可以告诉大家的是，宇宙的空间是不可思议的广大。像旅行者一号，它要抵达奥特星云，需要走一万年，可它目前才走了36年，一万年的时间已经超过我们人类的文明史了。我们知道，中国从三皇五帝算起，至今起码有四五千年，我们中国的灿烂文明有那么长时间，可这个时间比旅行者一号飞出太阳系需要的时间还是要短很多，由此大家可以想象宇宙空间有多大。
再回到宇宙有多大的问题。实际上，宇宙有多大，这个问题是不可能有准确答案的。我们都知道宇宙大爆炸，我们都喜欢讲宇宙大爆炸发生至今已有137亿年。2013年3月21日，欧洲的普朗克卫星传回很多资料，科学家分析了两年的时间，得到的结论是，宇宙大爆炸不是发生在137亿年前，而是138亿年前，多了1亿年。138亿年是什么意思？就是说，在138亿年以前，我们的宇宙刚刚诞生，这个标准的大爆炸理论告诉我们，我们的宇宙产生于一次大爆炸，在大爆炸发生的时候，宇宙非常非常小，可能与我们用的手机差不多大，或者比它略小一点，在138亿年前，宇宙就是这么大，开始它就像发面包一样，它不是真正像我们地球上的这个爆炸，我们知道的炸药包爆炸是从中心一点向外传播物质和能量，而宇宙大爆炸不是这样的，宇宙大爆炸是每一点都是中心，有点像发面包，当你在烤箱里蒸面包的时候，面包膨胀不是以一点为中心，而是每个点都在向外膨胀，任意两点之间的距离都在拉大，所以宇宙大爆炸实际上是均匀的向外膨胀。
既然在138亿年前，宇宙发生了大爆炸，那么，为什么我们是在宇宙大爆炸之后的38万年才发现了这次大爆炸的线索呢？因为一开始爆炸的时候，宇宙处于一个致密的状态，它相当于一个原始汤，是不透明的，当宇宙膨胀了38万年以后，宇宙就变成透明了，就像水一样，后来的变化就是比水还要透明，因为它几乎是真空了。所以，我们后来看到的第一缕光线是宇宙大爆炸发生38万年以后形成的，这就是所谓的宇宙背景辐射。实际上，我们可以用打开电视机来作比较，假定信号不好，人们最初看到的电视机显示屏上会是雪花，这个雪花大概有一百万分之一就属于宇宙的第一缕曙光。事情就是这样简单，宇宙在发生大爆炸以后38万年所形成的那个微波背景辐射，就有一部分可以在我们家里看的电视机屏幕上找到，比例大约是一百万分之一，所以，当我们说宇宙虚无缥渺的时候，它似乎又是可以触摸到的，它在我们的日常生活里就可以看到，只不过我们自己并不知道而已。
我们再回来看宇宙大爆炸。很多人，包括有些科学家都容易搞错，以为宇宙的半径应当是138亿光年。其实，应该是138亿年的3倍。有人可能会问，我们现在获得的宇宙最早发出的光线不是从138亿年前发过来的嘛，这个光线走了138亿年，说明宇宙只能这么大，怎么会是400多亿光年，为什么是3倍呢？我们可以举个例子，有一个人从某个地方向我们跑过来，这个人起动的时候，假定距离我们有7、8米，那这个人跑动的距离确实就是7、8米；可是，我们现在讨论的宇宙从大爆炸以后就一直在膨胀，在这样的宇宙里，即使这个人站在原地不动，他与我们之间的距离也是在不断变化的，或者说是距离不断增加，所以，当这个人真的跑到我们跟前时，他实际跑动的距离肯定不是7、8米，而是明显大于这个距离。就是因为存在膨胀的缘故，我们现在看到的宇宙最初发出的光线，它传播的距离肯定也不是138亿光年，而应该是这个数字的3倍，宇宙半径至少在400多亿光年，这个数据就是这样得到的。
以上讲的万有引力作用就涉及天体之间的引力作用和宇宙的起源，我们可以看到，所谓的弱引力作用，其实它并不弱，在这样的引力作用背后，我们可以得到很多有意思的结论，可以发现很多有意思的现象，这就是越弱越美丽的含义。
下面我们再来看看所谓的“暗”是怎么回事。
在天文学中，所谓“暗”，指的就是暗物质或暗能量。当我们说宇宙成分的时候，我们是在指能量，或者是质量，按照爱因斯坦的理论，能量就等于质量，质量就等于能量，这两个字是可以互相转换的。有一个著名的公式，就是能量=质量×光速的平方，或者讲E=mc2，E代表能量，m代表质量，c代表光传播的速度，所以能量跟质量是一样的概念。我们来看这幅图【】，图上显示了三种组合，实际上应当有四种组合。另外一种组合就是刚才提到的，我们在电视机屏幕上看到的雪花的一部分，那个组分非常少，虽然我们能看到，可是因为它是光嘛，光非常轻，所以说它只占我们宇宙组分的一百万分之一。其实，这个图已经过时了，这是比较老的图，它告诉我们宇宙里面能量最多的部分不是我们看到的物质，不是我们在地球上看到的物质，不是太阳的物质，不是银河系的物质，也不是更远的其他星系的物质，而是一种看不见、摸不着的东西，我们管它叫暗能量。这个暗能量大概占了宇宙能量组分的75%。当然，后面第二位数字5不一定准确，不同的时间可能得出不同的数据，原因是什么呢？原因就是天文测量的精度，因为天文计算是在那么大的尺度上，也就是前面介绍的宇宙半径在400多亿光年这么大的尺度，所以得出来的数据当然不会那么准确。75%不够准确，70%左右是比较准确的，有人会得出68%，还有人会说72%、73%，这些结果都对，为什么都对呢？因为我们不知道到底是多少。
暗物质是什么？它也是看不见，摸不着的一种东西。到现在为止，科学家们一直在尝试，希望在太空中能够捕捉到一个暗物质的粒子，可惜还没有捕捉到。如果能捕捉到一个暗物质的粒子，这个人一定会获得诺贝尔物理学奖。就是在2013年4月，丁肇中先生领导的研究团队采用AMS探测器进行观测。AMS就是磁谱仪，它是放在国际空间站上的一套研究装置，大概花了20亿美元，实际上在我们中国人看来这样的花费不是太多，因为我们一个科技馆的造价没那么大，但是鸟巢的造价比这个数字还要多。他们这个团队已经观测了几年，看到了一些现象，这些现象有可能跟暗物质有关，但是现在还没有结论。为什么说没有结论呢？原因就是这个现象与一些正电子和负电子的超出有关，大家都知道，我们看到的通常的物质，就是在地球上，质子、中子、电子，这些都是物质，还有一种叫反物质，也有反质子，质子带一个正电荷，反质子带一个负电荷，它的电荷跟电子一样大小，但是它的质量跟质子一样大，比电子要大得多。同样，反物质里面有反电子，实际上就是正电子，它带正电荷，丁肇中的在这个团队有数百人，他们看到了正电子，也看到了负电子，这个现象很奇怪，因为在地球上通常看不到正电子，那么这些正电子是从哪儿来的？有一种可能就是我们至今还不清楚的物质，这些物质相互之间会湮灭，它湮灭的几率非常非常小，至于几率为什么小，这个原因还很难解释，科学家们目前可以确定的是，这个几率必须要小，否则暗物质早就不存在了，早就变成正负电子对了。所以，他们认为这可能就是暗物质互相之间湮灭得到的正电子，这是我们在地球上看不见的。可是，天体物理学家有一个竞争的理论，根据这个理论，虽然正电子很少，但是在中子星附近由于一些其他的相互作用，比如宇宙射线打到上面去了，也会产生正电子，这些正电子在中子星附近，它受到中子星磁场的相互作用，会变得能量很高，能量会加速，因为该团队确实看到了能量增高的现象，正电子数越来越多，这是很奇怪的现象。天体物理学家还有另外一个解释，因为中子星在天上不是到处都有的，就像我们看天上的星星一样，它是一个一个的，这些正电子应该是从固定的一个点来的，很可能跟中子星有关，如果说天上所有的方向都有正电子，那就可能是跟中子星没有关系，所以天文学家们就会想到这么一点，到底暗物质是不是中子星来的？有一个非常麻烦的事情，就是说银河系里面有磁场，到处都有，非常弱，但是由于银河系非常大，就像我们刚才解释的，人类发射的旅行者一号探测器需要跑一万年才有可能跑出太阳系，更别说银河系了，所以说银河系很大，这些正电子在这个磁场中跑了很多很长时间以后，它的方向可能就改变了，它不见得是从中子星那个方向来，它可以从任何方向来，这个事情就很麻烦，科学家就没有办法说，我们看到的正电子就是从中子星来的，我们确实看到各个方向都有，所以，丁先生这个团队目前还不能确定他们看到的正电子到底是中子星来的，还是暗物质湮灭得来的，他们还无法得到最后的结论。
什么时候有结论？有一种可能是，科学家们也许会发现，当正电子能量向上升的时候，突然到一个地方掉下来了，那个时候我们就可以确定这些正电子是从暗物质来的，因为根据爱因斯坦的指针北向原理，暗物质的质量是有限的，它可能是任意的，是固定的，当暗物质湮灭时，它辐射出的电子只能低于这个能量，不能高于这个能量，一旦高于这个能量，电子就会掉下来，就会变少了、变没了。我们可以再隔几年看这个问题，如果丁先生的团队通过实验发现正电子超出，电子能量突然掉下来，那就说明他们间接地探测到了暗物质，还是间接的，不是直接的。
当我们说宇宙里面有暗能量暗物质时，这些能量或物质应该在96%左右，剩下的4%左右才是我们日常生活中能够看到的物质，就是我们地球上通常的物质，太阳系是这样，银河系我们肉眼看到的，包括利用望远镜看到的都是这种普通的物质，而我们通过肉眼或望远镜，包括射电望远镜都看不见的，则是比例更大的暗物质和暗能量，所以说，越暗的物质越是主宰我们的宇宙，我们的宇宙很有可能是由“黑暗势力”主导的，这些“黑暗势力”是迄今为止我们还没有看到的东西。
我们看看这幅图【】。这就是我们的宇宙，很大尺度的一个结构，这个结构呈网状，我们可以通过超级计算机把它重复出来，就是通过万有引力和暗能量来重复，暗能量是斥力，不是万有引力，暗能量提供的是万有斥力，就是相互排斥的力，那么，把万有引力和万有斥力加起来，天文学家可以在超级计算机里面模拟我们宇宙的结构，这是模拟出来的一个结构。当然，这是我画出来的结构，不包括暗物质，只是可见物质。假如这个结构跟观测结果非常像，就说明我们采用的万有引力、暗能量和暗物质都是对的。如果把暗能量减少5%，甚至50%，把暗物质增加70%，看到的图可能就不是这样，与观测结果可能也对不上，所以说，宇宙里面有暗能量和暗物质是有道理的。
这里给暗物质另外一个证据，这个证据是这样的，就是有两个星系团，比如我们的星系所在的星系团，我们知道有仙女座大星云，它跟我们所在的星系类似，也有类似的银河系。有人预测，银河系跟仙女座是不是会碰撞？这是有可能的，因为这两个星系团确实距离比较近。什么时候相撞？我不知道，相信其他天文学家也不知道。但是有一点我们是可以确定的，那就是在我们这一代人或下几代人的有生之年，我们都不会看到这种相撞的情况。这个图【】是说明星系团碰撞的，这个图告诉我们，暗物质是存在的，当然我们用肉眼是看不出来的，因为我们能够看到的都是可见的物质。为什么说暗物质存在？我们看到图上有很多亮点，组成一个星系，不是星系团，是银河星系，跟我们所在的银河系一样的星系，这些亮点有的是圆的，有的是扁的，这些扁的点并不是天生就这样，而是经过万有引力最弱的力的作用，使得通过它的光发生变形，因为万有引力对光也有作用，就是光在万有引力作用下会变形，那么，通过计算这张图的引力场，我们会发现这个引力场与我们看到的由可见物质形成的万有引力不一样，这是什么原因？那就是有暗物质存在。可是，有人会问，物质跟暗物质在一起总是相伴共生的，有物质的地方必有暗物质，为什么在这个地方暗物质分布和物质不一样呢？这个问题容易解释，当两个星系团碰撞的时候，可见物质之间除了万有引力，还会有其他的相互作用，所以光线就不太容易通过；可是，暗物质之间除了万有引力以外，就没有其他的相互作用力了，或者说其他的相互作用力非常弱，光线容易通过，所以，通过这个图就可以分析出来，暗物质跟可见物质的分布是不一样的，这也就说明暗物质是存在的。这是暗物质存在的另外一个天文学证据，它不是直接观测发现的。
我们讲的美丽，也可以说是美妙。前面已经说过，这些暗的东西，弱的东西实际上是最深刻的东西，也是最令天文学家们着迷的东西。为什么宇宙里面会有暗物质？为什么宇宙里面会有暗能量？这些问题人们现在还没有理解，很有可能是世纪之谜。所以说，这些问题的后面一定有非常深刻的原因，我们没有办法理解，所以我才说，越弱越暗越美丽。
最后，我想借用宇宙学中的人择原理（Anthropic principle）来说明我们对宇宙的认识。根据这一原理，万物与自然定律如果存在，人类或早或晚总是能够发现这些万物与自然定律的。如果万物与自然定律不是那个形态出现的话，人类就不会知道这些万物或自然定律是怎样出现的。如果只有在像我们一样的很少的一些星系中，智慧及生命才得以发展并能提出这样的问题：“为何宇宙是我们看到的这种样子？”那么，答案也是很简单的，那就是：“如果它不是这个样子，我们就不会在这里。”
这个人择原理有点哲学的味道。的确，它就是产生于人们对自身、对周围、对星空和宇宙的不断认识过程。人择原理最早产生的时候，需要回答的问题是：地球为什么离太阳那么远？我们知道，光从太阳走到地球大概要8分多钟，人择原理就很简单地回答，这没有什么奥秘，就应当是8分钟，否则的话人类就不会存在。设想把人类移民到其他星球上，出现的第一个问题可能就是人很快被热死，即使不被热死，到了夜里也会被冻死，因为这个星球没有大气，它不能把热量保留起来。而在地球上，我们白天不会被热死，这是因为我们离太阳比较远，到了夜晚，我们不会被冻死，那是因为地球周围有稠密的大气层，可以把太阳辐射过来的热量保存在地球表面。假如没有这样的大气层，太阳辐射过来的热量就很容易散发出去。这也就是说，地球如果距离太阳太近或太远，我们人类就不会存在，所以，读者也就别问地球为什么那么远了，因为一旦人类不存在，也就不会有人想到这个问题了，这就是所谓的人择原理。
我们可以把这个人择原理推广到宇宙里面，就是说，为什么宇宙里面有70%的暗能量，20%的暗物质？前面已经说过，天文学家也用电脑模拟过，如果没有那么多的东西，宇宙这个大体的结构形成不了，或者形成之后也不是这样的。假如说我们宇宙里面暗物质太多，可以看到的物质太少，那么就会出现这样的情形，当太阳形成之前，所有的恒星都已经变成黑洞了，既然所有的恒星都变成了黑洞，那我们人类怎么可能产生呢？因为我们人类的生存需要能量，黑洞是不发光的，所以宇宙中的暗物质不能太多。同样的道理，宇宙中的暗能量也不能太多，因为暗能量是斥力，如果暗能量太多，假定暗能量占99.99%，那么，在100多亿年以前，我们的恒星和星系就不可能形成，当然也不会形成黑洞，既然星系和恒星都不能形成，人类自然也不会出现了。
根据这个人择原理，我们可以粗略地解释为什么宇宙里面有那么多暗物质和暗能量，尽管这种解释还不是那么令人信服，也缺少科学实验的验证，但它至少有助于我们了解我们这个宇宙。比如电磁相互作用那么强，万有引力那么弱，暗物质和暗能量那么多，读者已经知道或者是还不知道的万事万物，还有各种自然现象和自然规律，这些听起来有点“玄妙”的东西其实就在我们的身边，每时每刻都与我们的生活发生着联系。所以，这个带有哲学味道的人择原理有一个好处，那就是有些东西解释不了，也就用不着解释了，就跟地球太阳的距离一样。如果有人认为宇宙不是这样的，那我们可以说，如果不是这样，人类就不会存在；人类如果不存在，也就不会有人问这个问题。也许，我们所理解的宇宙不只是一个，还有很多其他的宇宙，宇宙之外可能还有其他的宇宙，这些宇宙可能就不是我们这样的，那我们同样可以推断，这些宇宙中是没有智慧生物的，所以在这样的宇宙中就不会出现这样的问题。
当然，我这里说的越弱越暗越美丽，并不是人择原理这个意思。我是说，我们生活的地球、太阳系、银河系确实是非常美丽的，也确实是非常美妙的。作为万物之灵，我们人类毫无疑问是最漂亮的，最有智慧的，然而，人类的存在是需要很多条件的，这些条件有的是很容易感知的，有的则是不明显的，是隐隐约约的。我们可以举个例子，假如地球没有月亮，我们人类会不会存在？已经有天文学家研究过这个问题，如果地球没有月亮，我们人类肯定不会存在，这是因为月亮的存在使得地球的自转变得稳定下来，如果地球自转不稳定，地球上一会儿变冷，一会儿变热，在这种条件下生物的进化是不可能发生的。因此，月亮跟我们人类的存在也是有关系的，这个事实同样可以说明我们生活的这个地球确实充满了神秘性，我们的地球确实美丽。
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水表面张力大，分子间相互吸引强，更容易收缩成团（实心球）。 换个角度，假设表面张力系数恒定，对于体积一定的水滴，球的表面积最小，因而表面自由能最小。
加了表面活性剂，表面张力变小，比较容易形成空心球壳。
地球轨道失重因为物体在弯曲时空中做匀速直线运动，物体不受力，当然没重量了。