Monday, July 1, 2013

从狄拉克谈起

从狄拉克谈起

王世坤

中国科学院数学与系统科学研究院

清华大学,2010 12 13


谢谢季教授邀请我来给大家作这个报告。这个报告主要是开阔大家视

野,所以我就找了这么一个题目。因为不是非常学术的,所以有些细节之

处不是数学上非常严格的,主要目的是让大家知道数学物理里的一点事情、

关心什么问题,我想就可以了。
保罗· 狄拉克是1933 年诺贝尔奖得主,他是相对性量子力学的奠基


者。这个物理学教授的数学很好。我为什么作这个报告呢?两个因素:一

个是最近退休了想干点事,看看的诺贝尔奖的物理学家的数学工作怎么样,

觉得狄拉克的数学很厉害;另一方面,狄拉克的数学不但厉害,而且他还

很推崇数学,他说:“上帝是用漂亮的数学创造这个世界的。”

狄拉克是相对性量子力学的奠基者,所以我先要解释一下“相对性”

和“量子力学”。
大家都知道牛顿力学。牛顿在1686 年发表了一本令世人震惊的奠基之


作《自然哲学的数学原理》。在牛顿的时代,大家知道有两个物理学家,他

们数学其实也挺好,只不过那时候年代比较早,没有诺贝尔奖。一个是伽

利略,一个是开普勒。开普勒主要是研究行星运动的,天上的,伽利略则

是研究地上的。牛顿发现,天上的和地上的这两者实际上是很和谐的。他

从数学逻辑演绎的角度把这两者合在一起,所以牛顿说他的成就是站在巨

人的肩膀上。他对伽利略和开普勒的工作都有所推进,但是基本上是在他

们俩人的基础之上才形成了牛顿的三大定律和万有引力定律。

按照经典的牛顿力学,一个粒子是由两个量来确定的:一个是它的位

置,一个是它的速度。经典力学基本上由这两者就可以确定了。从牛顿这

本书,大家可以看出数学演绎对他奠定经典力学基础所起的作用。我来读

一段:“我献出这一作品,作为哲学(科学)的数学原理:因为哲学的全部

困难似乎在于从运动现象研究自然界的力,然后从这些力去阐明其它现象;

为了这一目的,一般性的命题定理将在第一和第二篇中给出;在第三篇中,

我们将给出阐述世界体系的一个例子,因为根据在第一篇中已从数学上证

明了的命题,可以在此从天体现象中获得关于引力的学说,物体由于引力
1
而趋向太阳和几大行星。同时,从这些力出发,根据数学原理,我们再推
导出关于行星、彗星、月亮、海洋的运动。我希望,自然界的其它现象,


亦可以用同样的方法,由数学原理推导出来。”

牛顿的经典力学很成功,能够解释很多的物理现象。拉普拉斯说:“如

果在某一时刻,我们知道宇宙中所有粒子的位置和速度,那么科学规律就

使我们能够计算这些粒子在过去和未来的所有时刻的位置和速度。”牛顿的

书同时也奠定了微积分的基础,它把物理科学从实验科学转变为精确科学。

牛顿的经典力学奠定了牛顿至高无上的地位。后来还是有些问题经典力学

解决不了,比如描述电磁学的麦克斯韦方程。
我现在用现代的语言来叙述麦克斯韦方程:设F 是一个微分2-形式,

d F = 0, δ F = 0,

其中d 是外微分,学过微分几何的同学都知道; δ d 的共轭算子。用局

部坐标写出来就是F = f
dx
dx

{ @f

@x + @f

@x
+ @f

@x = 0

@f
0

@x0

@f
1

@x1

@f
2

@x2

@f
3

@x3 = 0


在经典力学里,有一个对称性:物理规律在相对匀速运动的坐标系

(即惯性系)里都应该是一样的。把一个惯性系变为另一个惯性系的变换
叫伽利略变换,于是经典力学里的物理规律有伽利略协变性。例如,沿x


轴匀速运动的伽利略变换可写为
x= x v t, y= y, z= z, t= t.


这其中隐含了绝对时间和绝对空间的概念。如果把伽利略变换作用在麦克

斯韦方程上,可以发现麦克斯韦方程的形式不再保持不变。这是经典力学

解释不了的。这也是相对论产生的因素之一。

下面说量子力学。在量子力学里,经典粒子是由波函数来描述的。原

来在经典力学里,态空间是流形,可观测量是流形上面的函数,或者用现

代的语言讲,是向量丛上的截面。等到量子力学的时候,流形要变成希尔

伯特空间,可观测量要变成希尔伯特空间上的算子,粒子的状态由希尔伯

特空间中的一维子空间给出。量子力学说,我们可以很精确的测量一个粒

子的位置,但是不能同时测量它的速度;如果你要很精确的测量它的速度,

就不能很精确地知道它的位置。这是量子力学的测不准原理,当然也可以

用数学推导出来。在量子力学里,保留了经典力学里的绝对时空,但是把

观测者和被观测量搅进来了。原来在经典力学里,不管观测者观不观测,

经典粒子的运动都是由它初始的位置和速度决定的,但在量子力学中就不

是这样了。
2
波函数要服从薛定鄂方程:
i~



d

dt

Ψx, t) = H Ψx, t),


其中左边是波函数随时间的变化率,右边是由物理定律决定的哈密顿算子

对波函数的作用。

我这样就把量子力学给大家简单地介绍了一下,接下来看什么叫相对

性。我们前面说过,麦克斯韦方程在伽利略变换下不是不变的,当时为了

解决这个困难,人们设想了很多得办法。比如,有人设想,麦克斯韦方程

所在的参考系不是任意的惯性系,而是有一个绝对参考系,即有以太存在,

麦克斯韦方程是在相对以太静止的参考系中成立的。但是后来的迈克耳

逊—莫雷实验证明了两件事情,其一是宇宙中不存在以太,其二是光速是

不依赖于参照系的选取的。当时,爱因斯坦在前人基础上花了很短的时间

(据他自己讲,只花了五个星期)就建立了狭义相对论。

狭义相对论就两条,一个是相对性原理,一个是光速不变。相对性原

理同样要求物理规律在惯性系中保持形式不变,但是此时的惯性系是四维

时空中的惯性系,所用的坐标变换变为洛伦兹变换。

爱因斯坦在狭义相对论中留了两个问题:一个问题说惯性系究竟是什

么?还有一个问题是万有引力,人们一直想找一种洛伦兹不变的引力理论,

但是发现很困难。后来爱因斯坦发现用一个统一的办法可以解决这两个问

题。对于惯性系问题,把惯性系推广到非惯性系,这就是广义协变原理;

对于引力,引入等效原理,将引力效应同样地转化为非惯性系。这样爱因

斯坦就走到了广义相对论。

广义相对论最核心的问题是爱因斯坦场方程,一会儿我讲得最多的也

是这个场方程:
R 1


2
g R = 8 π GT .


这个方程左边是几何量:度规、里奇曲率、标量曲率;右边是物质量:能

量、动量。它把几何量和物质量连在一起。

到了爱因斯坦的引力理论,时空紧密地联系在一起,引力就成了时空

的几何。广义相对论和量子力学有很大的差别:在量子力学中,时空的绝

对性保留下来了,到了广义相对论,时空的绝对性消失了,但是观测与被

观测的关系保留下来了。它们各取了牛顿力学的一部分,所以我们说引力

和量子力学基础不一样,不好统一。很多搞数学物理的或者搞理论物理的

人都企图统一这两者。
狄拉克在1928 年时建议了一个方程,叫做狄拉克方程:

Ψ= imΨ,


3
其中=


(
0 D

D0


)
D = ηab σa ej

(b)Djej

(b)

是纵标架, σa 是泡利矩


阵:
σ0 =


(
1 0

0 1
)
, σ1 =


(
0 1

1 0
)
, σ2 =


(
0 i

i 0


)
, σ3 =


(
1 0
0 1


)
,

Dj = E2




@


@xj + BjBj 是自旋联络。

如果在闵可夫斯基空间,度规ηab 是比较简单的:

η00 = 1, η

= 1, (α = 1, 2, 3), η
= 0, (α ̸= β).


此时狄拉克方程有两个解,叫做平面波解。其中第一个解描述电子,另一

个解描述一个与电子电荷相反的粒子。狄拉克大胆猜测,这是正电子解。
1932 年,安德森在宇宙射线中发现了正电子。这就是狄拉克最著名的工


作,从中可以看出他的数学很厉害。另外,从狄拉克方程中自然可以出现
自旋1



2

这个概念。所以这个方程给了我们三条信息:第一,它是量子性的,

即用波函数描述粒子;第二,它是相对性的,即可以描述电子的高速运动;

第三就是给了我们自旋的概念,以后我们在数学上将这个概念推广到自旋

流形及其上的旋量。

狄拉克还有一个贡献。他在物理上有很多贡献,如二次量子化、费米
-狄拉克统计等,我现在讲的是数学上的。他建议了磁单极。我们知道电有


正电子、电子,可是磁场一定有北极和南极,没有单独的北极或者南极。
磁单极是由狄拉克建议的一种粒子,现在在CERN 的加速器的一个任务就


是希望找到磁单极。磁单极是从麦克斯韦方程的一种解:
E
= f0
= 0, (α = 1, 2, 3),

H1 = f23 =

η x1

r3 , H2 = f31 =

η x2

r3 , H3 = f12 =

η x3

r3 ,


相应的电磁势为
A0 = A1 = 0, A2 = η

x1



0

x3 du

u2 + x22

+ x23

, A3 = η

x1



0

x2 du

u2 + x22

+ x23



.

若取球面
S : x21

+ x22

+ x23

= R2,


4
并把电磁场张量F = f
dx
dx
S 上积分可得:


∫∫
S

f
dx
dx
=
η

R3


∫∫
S


(x1 dx2 dx3 + x2 dx3 dx1 + x3 dx1 dx2)


=
3 η

R3


∫∫∫
r2<R2

dx1 dx2 dx3 = 4 π η,

其中η 就是磁单极所带的磁荷。


所以,狄拉克在数学上给我们留下三样比较好的遗产:
流形上的狄拉克方程

旋量,或者说是旋量丛的截面

U(1) 规范理论的磁单极解


事实上,麦克斯韦方程和狄拉克方程可以说统治了大部分物理学和全

部的化学、生物学。
狄拉克还有另外一件工作就很少有人知道了。他在1933 年获得诺贝尔

奖之后,在1935 年和1936 年各写了一篇文章,这两篇文章研究的是德西


特空间以及共形空间上电的波动方程。狄拉克在文章中指出:

原子物理中的方程是用狭义相对论的语言写出来的。它们在时

空变换下保持形式不变。这些变换包含洛伦兹群和平移群,它

们构成一个新的群。研究不同的变换对方程的作用以及物理与

群的联系将会成为一个有趣的问题。

这里关键的想法是,研究粒子的运动方程时要考虑它所允许的最大对称性。

闵可夫斯基空间的曲率是零,还有两个空间是正常曲率空间和负常曲率空

间。考虑五维射影空间里面的李球:
L : z2

1 + z2

2 + · · · + z2

6 = 0,

然后用三个平面P (μ = 1, 2, 3) 去截它

P : z1 = r1, . . . , z = r , z +1 = i r +1, . . . , z6 = i r6,


5
得到三个实的空间:
S4 = L ∩ P1 : r2



1

r2



2

r2



3

r2



4

r2



5

r2

6 = 0,

M= L ∩ P2 : r2

1 + r2



2

r2



3

r2



4

r2



5

r2

6 = 0,

N = L ∩ P3 : r2

1 + r2

2 + r2



3

r2



4

r2



5

r2

6 = 0,


它们分别是德西特空间、反德西特空间和德西特—陆空间的边界,因为陆

启铿是最早介绍狄拉克的这两篇文章的:
dS5 : x21

x22

x23

x24

x25

x26

< 0,

AdS5 : x21

+ x22

x23

x24

x25

x26

> 0,

DL5 : x21

+ x22

+ x23

x24

x25

x26

> 0.


当时,狄拉克研究这三个空间上电子的波动方程。在三十年代,流形的概

念刚刚出现,所以狄拉克本人一点都不知道流形的概念。在这种条件下要

研究上述的几个空间,还要在上面解微分方程,可想其困难。

那么,为什么狄拉克把它们叫共形空间呢?首先定义何谓共形变换。
F : M N 是流形间的映射,如果

FdsN = ef dsM,

其中f C(M)F 就称为一个共形变换。最简单的例子,用球极投影

可以把Rn 做共形紧化,得到Sn。对于闵可夫斯基空间,共形紧化的结果

S1 × S3 =

U(1) × SU(2)

=

U(2)


共形空间都是华罗庚研究过的典型域的特殊情况。用华罗庚的矩阵写

法,
D (m, n) = {X Rm×n | E λX J X> 0},

其中J = (1,1, . . . ,1) J = (1, 1,1, . . . ,1)λ 是实数。例如

D1(1, 4) = {X R4 | 1 x21

+ x22

+ x23

+ x24

> 0},

其对称群为SO(1, 4),其上的度量可以写为

ds2 =

dX(J λXX)1dX

1 λX J X,


它叫做华—陆度量。

为什么要重提狄拉克的这项工作呢?最近哈勃望远镜发现,我们的宇

宙是加速膨胀的。由此可以得出,宇宙的边缘不是渐近平坦的,而是带有

正曲率的德西特空间,

最后再来讲几个问题。
6
第一个问题是AdS/CFT 对应。一个完备、负常曲率爱因斯坦流形内


部的量子引力和它共形边界上的共形场论是等价的。这是物理上很难的问

题,同时也提出很多相关的数学问题。

第二个问题是共形空间上的场方程,如拉普拉斯方程、杨—米尔斯方

程、狄拉克方程、爱因斯坦方程等等。

第三个问题是爱因斯坦方程的解。爱因斯坦方程除了平凡的解以外,

还有很多不平凡的精确解,如史瓦西解:
ds2 = (

1 2M



r

)
dt2 +


(
1 2M



r

)1

dr2 + r2 (

2 + sin2 θ dϕ2)


;
克尔解:
ds2 = (

1 2M r

Σ)

dt24M r a sin2 θ

Σdt dϕ+

ΣΔdr22+

A sin2 θ

Σ2,

其中Σ= r2+a2 cos2 θΔ= r22M r+a2A = (r2+a2)2a2 Δsin2 θ


克尔—纽曼解等等。我们也在这方面做过一些工作。另外,通常求解时都

假设度规渐近平坦,如果把条件换成渐近德西特,又会带来很多新的问题,

例如黑洞无毛定理会有什么样的变化。

第四个问题是正质量问题。丘成桐及其合作者所证明的正质量猜想是

彭罗斯不等式的特殊情况。彭罗斯不等式的大意是,一个黑洞的质量下界

由它视界的面积给出。在过去三十年,彭罗斯不等式的求证一直是广义相

对论中公认的难题。

第五个问题是数值广义相对论。这类方法可以用来研究黑洞碰撞、超

新星爆发等剧烈天体过程中的引力波辐射。还可以在地球附近建立精确的

引力场数据,用来帮助处理军事、地理信息等领域的问题。

我就讲到这里。

最后再让我们回到狄拉克,我为什么今天在清华数学系讲狄拉克呢?
因为狄拉克思想深邃、逻辑理性、数学睿智,他在1935 7 月曾应邀访


问清华大学,做关于正电子的演讲。在他的墓碑上,刻有以他名字命名的
方程: Ψ= imΨ


7

No comments:

Post a Comment