半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。
不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上
正定矩阵怎么理解较好？
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我来说一个正定矩阵在物理上的应用。Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2009-01-24 22:35:35
物理上有个定理叫做最小作用量原理，这是力学的基础。这个定理说，粒子总是沿着作用量极小的那条路径运动的。
作用量说白了就是粒子的动能和势能的差。大家都知道动能正比于速度的平方。但是你考虑粒子未必只有一个独立的速度分量，特别是那些由许多粒子构成的系统，可能会有成千上万个速度。所以一般来说，动能是速度的二次型。也就是说，可以写成中间一个矩阵，速度矢量夹在两边。中间那个矩阵地位与质量相当，有时就称为质量矩阵。
好了，现在我们有一个很重要的要求，就是质量矩阵必须是正定的。
为什么呢？因为正定矩阵的二次型也是正定的，也就是说最少最少也要是0.
作用量要极小化，如果质量矩阵不是正定的，那么动能就可以是负的。这样我们如果使某些速度无限地增大，动能就越来越负，作用量就没有底了，怎么极小化呢。所以质量矩阵的正定性是能够实现作用量极小的要求，一切物理上合理的系统都应该具有正定的质量矩阵。
- 嗯，还有一个例子，就是量子力学。
Everett (╮(╯▽╰)╭ ~(=￣ U ￣=)~) 2009-01-24 22:59:48
量子力学的数学基础之一是Hilbert空间。Hilbert空间是一个内积空间。向量和自己的内积也是二次型，一般都是正定的。更装逼一点地说，就是Hilbert空间的度规是正定的。但是在相对论性量子力学里，我们发现Hilbert空间再也不能完备所有的波函数了，我们必须引入非定度规的线性向量空间。在非定的度规下，波函数和自己的内积可以是负的，整个量子力学的测量理论都要为此而改写。
一个向量的模方还可以是负的？不要感到诧异，这有着非常重要的物理意义，这代表了反物质的出现。描写正常物质的波函数的模方是正的，而描写反物质的波函数的模方是负的。从物理上说，反物质的出现是一种狭义相对论的量子效应，而其数学基础与度规的正定性有着密切的关系。
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我建議從雙線性函數的角度來看,荒野大嫖客 (Je pense donc je suis!) 2009-12-20 15:59:46
因為不論是二次型還是正交變換, 實際上都可以統一的理解到雙性性函數來, 而進一步的, 我們就會想到會不會和算子有關? 會不會有空間的理論有關, 那麼由此引出用特徵值來描繪一下:
A正定 iff. 其每個特徵值均為正數!
為什麼呢? 比如\lamda是特徵值, 那麼\alpha^{'}A\alpha=\alpha^{'}\lamda\alpha, 整理成\lamda的式子就得到了.
好了, 再進一步, 我們又知道, 對於對稱矩陣而言, 一定正交相似於diag{\lamda_1,\cdots,\lamda_n}, 那麼對於正定矩陣呢?
首先, 可以看到正定矩陣正交合同於diag{\lamda_1,\cdots,\lamda_n};
然後, 再看看, for each k\ge2, 一定有A=B^k, 其中B為正定矩陣
當然, 如果你還記得矩陣的QR分解, 那麼除了你先前明白的正定陣可以表為P^{'}P, P為可逆陣, 還可以進一步的發現正定陣可以表為R^{'}R, R為正線上三角陣
至於說到應用, 別的不說, 就來談談比較兩個簡單的數學應用好了:
1.分析裡講到的多元函數極佳法的原理;
2.解析幾何對二次曲線的分類討論
etc...
如果你是念數學科的, 建議你多看看泛函方面的知識, 如果實在不行, 看看矩陣論之類的書應該也行
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- 2009-12-21 09:23:51 楚天舒 (Google on a surface)
whale|抛砖引玉的砖 2009-12-22 19:21:12
正定二次型的一个典型例子，隐形眼镜，其零点是唯一的。
半正定的二次型的一个典型例子是鸭舌帽的帽舌，其零点是一条线。
不定型的典型例子，工作中的护翼型卫生巾。护翼部分在零下，其他部分在零上。
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good!
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