Fight with Infinity
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分析力学的几何观点：Hamilton力学与辛几何
06/11/2011 by zx31415
我不知道这是否算是一种盲目的信仰：上帝是用几何设计世界的——毕竟，这一教条的首倡者是伟大的Einstein，而他的拥趸也都是一时名流：Penrose，Yang，等等（某种意义上，甚至包括对哲学不太感兴趣的Witten）。
我的目标要小得多：逐步厘清这一论断中“几何”的所指，包括几何量的物理意义和不同几何理论的数学特征。简单而基本的例子来自分析力学。
熟知构型空间
的余切丛
可视为力学系统的相空间，其上带有非退化的
型张量(2-微分形式)
。特别的，
是闭的：
。余切丛是分析力学中辛流形的范本(Kähler流形则是复几何中辛流形的范本，其辛结构由Hermite度量的虚部给出)。
注记1
Darboux定理指出辛流形总是局部平坦的，而Riemann流形有额外的障碍(Riemann曲率张量)。这说明辛流形的刚性较Riemann流形为弱，因此辛几何也常称为辛拓扑。
与Riemann度量
不同，并非所有(偶数维可定向)流形都容许一个辛结构。例如，对于闭流形，的非退化性要求
非平凡。然而与也有不少相似性：1）
诱导余切丛到切丛的微分同胚
(依赖于切丛上的Riemann度量。此处的非退化性是关键的)。给定相空间上的Hamilton函数
，向量场
称为Hamilton向量场，其诱导的单参数微分同胚群
称为Hamilton相流。代表总能量时，控制系统演化的常微分方程即经典的Hamilton方程。2）辛同胚(保持
的微分同胚，物理上称为正则变换)构成(无限维)Lie群(准确地说，伪群)
，相应的Lie代数
(由辛向量场构成)是辛流形
上向量场Lie代数的子代数。注记2
Riemann流形的刚性体现在其等距群总是有限维的，绝大多数情况下是平凡的。
相流保持辛结构，即：
是一族辛同胚。所有Hamilton向量场构成的Lie代数
是的理想。一般地，辛向量场有形式
，
是闭1-形式，故
等于流形的第1Betti数。Hamilton场的Lie代数诱导物理量
的Lie代数，此时Lie括号称为Poisson括号：
Hamilton方程现可写为正则形式：
由此推出Noether定理：自治系统中，物理量
守恒当且仅当
。用Jacobi恒等式不难证明Poisson定理：2个守恒量的Poissson括号仍是守恒量。特别地，相流保持
，此为能量守恒。注记3
Hamilton力学的正则形式在量子化后成为量子力学的Heisenberg表象：
![\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{1}{i\hbar}[A,H]](http://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Cdisplaystyle+%5Cfrac%7BdA%7D%7Bdt%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+A%7D%7B%5Cpartial+t%7D%2B%5Cfrac%7B1%7D%7Bi%5Chbar%7D%5BA%2CH%5D&bg=ffffff&fg=333333&s=0 "\displaystyle \frac{dA}{dt}=\frac{\partial A}{\partial t}+\frac{1}{i\hbar}[A,H]")
Noether定理和Poisson定理也依然成立。
Hamilton场是无散场，因而相流保持体积/测度，此即著名的Liouville定理(与不可压缩流体类比是有启发性的）。更精细地，Poincaré证明了相流保持
(绝对积分不变量)。注记4
Liouville定理提供了保测变换的典型例子，从而开启了遍历理论的研究。这方面的第一个结果是Poincaré回复定理。
维辛流形的子流形
称为Lagrange流形，如果
且在上恒为0。构型空间是相空间的Lagrange子流形。更一般地，对于上的(多值)函数
，
的图像是的Lagrange子流形。我们将专文讨论这一构造与几何光学的联系。Lagrage流形的定义只取决于辛结构，因此：
1）给定辛同胚
，可构造对应的Lagrange流形
。这一对应将Lagrange流形范畴化。2）
给出一族Lagrange流形。对于充分小的
，微分同胚于。长期演化则可能出现非常复杂的特征。对这类问题的考察给出量子力学的准经典近似(类比物理光学与几何光学的关系)，在数学上则可应用于振荡积分的渐进理论。Hörmander Fourier integral operators.Ⅰ
一个密切相关的问题是研究余切丛的Lagrange子流形到底空间的投影映射(称为Lagrange映射)的奇性。1972年，Arnold发现Lagrange映射的奇点分类问题与Coxeter群有关。这一联系的深层机理至今尚未得到彻底的理解。
以上内容可参考Arnold Mathematical methods of classical mechanics Appendix 11,12以及16。
此书的Appendix 9讨论Poincaré最后定理。Arnold将这个不动点定理的一般情形描述为对Lagrange子流形相交数的下界估计。具体地说，对于紧致的
和“典型”的，充分小，
与微分同胚且横截相交，此时交点的个数是有限的。Arnold进一步猜想下述Morse型不等式成立：交点个数不小于的Betti数之和。此即著名的Arnold猜想。Floer从无限维Morse理论的角度研究此问题，建立了Floer同调理论。
注记5
Arnold推广Poincaré最后定理的方式类似于Lefschetz不动点定理对Brouwer不动点定理的推广。注意到Lefschetz不动点定理(结合Poincaré-Hopf定理)的陈述是：交点的代数个数(视定向计入正负)等于
的Euler示性数(Betti数的交错和)。Arnold猜想说明辛流形的刚性较一般的微分流形为强。
V.I.Arnold (1937-2010)
“Symplectic”来自希腊语中的”complex”，最早由Weyl采用，局部理论的研究由Lagrange、Hamilton和Jacobi奠定基础，整体几何的研究则可以上溯到Poincaré。60年代至70年代，苏联学派的工作推动了辛几何研究的复苏，Kirillov的轨道方法更将辛几何应用到表示论的研究中。美国学派的主要代表是2组数学家：Marsten-Weinstein和Guillemin-Sternberg。1985年，Gromov关于伪全纯曲线的工作改变了辛几何的发展方向。随后发展出的Gromov-Witten不变量，Floer同调等工具，使辛几何进入理论物理和低维拓扑的研究，成为90年代炙手可热的“显学”。
4 Responses
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我也坚信物理规律是几何的 而且是分形几何的
我很希望多一些数学家来研究分形
一个简单的例子
在连续函数中 不可微函数才是主体 是绝大多数 而现在的几何 只关心可微甚至光滑的的“一小撮”
如果粒子的运动轨迹是不可微的 该如何描述？
Hamilton力学与辛几何这一套该如何推广？