第二章数学和物理准备知识
Bo丨tzmann方程的理论和应用 - 物理学进展
*二章 *学和物理准备知识
*二章 *学和物理准备知识
********************************
***********************:(1) *****(***
*DNA,***********)*******************
**,*****************;**(2)**********
*************(************,********
*)***,*************************,***
*程学的角度来说,我们能从现象学上认识后者,而不需要前者的大量细节。
*********(1),*******************,*
***************(2),*****************
****--********,*******************
*,基本的方程将源于这样两个定律:原子守恒和质量作用定律。
***********,********************
*********,**********************,*
*****************,*************,**
*,******;**************,**********
****,*******************,*********
********,******************,******
***,*********,********************
*"*计学"*质。
2.1 *应动力学方程: *子守恒和质量作用定律
*面是一个简单的异构化反应
*一个稍复杂一些的二阶化学反应
X
k
* Y, (2.1)
A + B
1
k
* C. (2.2)
2
**********: **(2.1)*****,************,
*J
1
= k
1
c
X
,***(
2.2)***J
2
= k
2
c
A
c
B
***,c
A
, c
B
*c
X
*****
– 13 –
2.2. *阶反应的指数等待时间分布
*A, B, *C*浓度。k
1
*量纲是(*间)
-1
,k
2
*量纲是(*间)
-1
(*度)
*
* * * * * * * * * * * * * , * * * * * * * * * , * * * * *
*(2.1)*
dc
*对于双分子反应(2.2)*
J
1
*J
2
dc
C
Y
dt
= -
dt
= -
dc
A
dc
X
dt
= J
dt
= -
dc
B
1
= k
dt
= J
2
1
c
X
= k
-1
, (2.3)
2
c
A
c
B
. (2.4)
**************,****************
****,*********************,*******
******(**:*************************
*？)
2.2 *阶反应的指数等待时间分布
***********,*******X
k
* Y **********
*********,*********,************,*
*一定的概率分布,那么这二者又有何内在联系呢？
1
*T********,*****************g(t) =
Pr(T > t)******X**c
X
(0),***t**X***c
X
(t)***c
(t)*
*
*以g(t)*足
dg(t)
dt
= -k
1
dc
(t)
dt
X
g(t),且g(0) = 1*
*解为
*是其分布密度为
f
*是参数为* = k
1
T
(t) =
d
= -k
g(t) = e
1
-k
c
1
X
t
(t),
, (2.5)
dt
(1 - g(t)) = k
1
e
-k
1
t
X
. (2.6)
*标准指数分布密度。
****,************,**************
******,****t**************,********
– 14 –
* 2.1 *数分布。From Annu. Rev. Biophys. (2008) 37:417-44.
*小区间(t, t + t )*发生的概率,等于
Pr(t < T < t + t )
Pr(T > t)
=
g(t) - g(t + t )
*二章 *学和物理准备知识
g(t)
= *t + o(t ).
* *** * * * *t* * , * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
* * *P(AB) = P(A)P(B|A), * *P(AB)* * * *A*B* * * * * *
*P(B|A)*是在已知事件A*生情况下事件B*生的概率。
*数分布在很多实验中都观测到了(*2.1)*
2.3 *力学与反应常数
*们还可以从热力学角度来分析可逆化学反应
A
k
1
k
-1
B. (2.7)
*******,*******,**********µ = µ
+
k
B
T log c,**c****,k
B
*******,T****µ
0
******,
*与该溶质和溶剂的结构等静态性质决定。
*质B*溶质A*化学势差为*µ = µ
B
-µ
A
= *µ
0
+kT log
[B]
[A]
,而单位时间
**A*B********J = k
[B]**********(1)*µ =
0*及(2)J = 0*由此我们可以得到平衡常数K
1
[A] - k
-1
eq
=
k
k
1
-1
=
[B]
[A]
eq
eq
= e
-*µ
0
/kT
*
0
– 15 –
2.4. *微分方程相图分析简介
*于著名的ATP*解反应,ATP
ADP +P
i
,其*µ
0
= -31kJ · mol
=
-k
B
T log
[ADP]
eq
[ATP]
[P
i
eq
]
eq
(******)*******,
[ADP][P
]
[ATP]
*******
*多(*平衡态),否则无法为生命体提供能量。
2.4 *微分方程相图分析简介
i
**************,****************
*,*******************************
********************************19*
*80****,********************,*****
*(***)*************,***************
***********************HH****,*****
*了生物数学作为一门独立学科的发展。
*们可以类比经典力学的哈密尔顿系统来理解常微分方程。比如
dX
dt
= f(X),
*************X(t)************(***),
*f(X)*******,****************,******
****************************(f(X
) = 0*
*)*其稳定性。
2.4.1 *性常微分方程求解
*于线性方程组
dX
*解X(t) = e
ˆ
At
X(0)*其中e
ˆ
At
=
*
dt
=
8
n=0
ˆ
AX,
(
ˆ
At)
n!
n
*
************,*********det(*I -
*值*
1
**
2
**
1
+ *
2
= tr(
ˆ
A),和*
1
*
2
= det(
ˆ
A)*
*果这两个特征值不一样的时候,那么方程的一般解形式为a
,
*数由初值决定(*值包括初始值和初始导数值);
***************,****,********a
+
a
2
te
,系数也是由初值决定(*值包括初始值和初始导数值)*
*****,*************ˆe
*t
– 16 –
*
*****e
*t
ˆe
*
*
-1
ˆ
A) = 0***
1
e
*
1
t
+a
2
e
1
*
e
2
t
*t
******
* 2.2 *维线性方程组不动点分类
*解,但是当有重根的时候还有其他的基本形式。
2.4.2 *图分析
*********
dX
dt
*二章 *学和物理准备知识
= f(X)**X(t)(*******)***X***
***(**,*****)******X*,***f(X)********
****************X*****************
*统。
**************,***************
*？(*案是不会,思考题)*
2.4.2.1 *性不动点的稳定性
*********
dX
dt
=
ˆ
AX**,****(****)******
*****,***************,**********(*
*2.2*2.3)*
**************,**********a
,
*****************,*********,******
**;*****,*****,*****************,*
*程画出的相图是同心圆,称作中心。
2.4.2.2 *线性不动点的稳定性
****************,******,******,
********,************************
1
e
*
1
t
+ a
2
e
*
2
t
– 17 –
2.4. *微分方程相图分析简介
* 2.3 *维线性方程组不动点图示
********************,**X = (x
),f(X) =
(f
1
(x
1
, x
2
), f
****X
2
*
(x
1
, x
= (x
2
*
1
)),则微分方程组
, x
*
2
)**f
1
(x
*
1
dX
dt
, x
*
2
= f(X)
) = f
2
(x
*
1
, x
*
2
1
, x
2
) = 0****(X - X
)**
*,该微分方程组可以近似为
d(x
1
- x
*
1
)
dt
= f
1
(x
1
, x
2
) ˜ f
1
(x
*
1
, x
*
2
) +
*f
1
(x
*
1
, x
*
2
)
*x
1
(x
1
- x
*
1
) +
*f
1
(x
*
1
, x
*
2
)
*x
);
d(x
2
- x
*
2
)
dt
= f
2
(x
1
, x
2
) ˜ f
*此线性矩阵
A =
2.4.3 *岔
2
(x
*
1
[
, x
*
2
*f
*f
) +
*f
1
2
(x
*
1
,x
*
2
)
*x
(x
1
*
1
,x
*
2
)
*x
1
2
(x
*
1
, x
*
2
)
*x
*f
*f
1
1
2
(x
*
1
,x
(x
*
2
)
*x
(x
2
*
1
,x
*
2
)
*x
2
1
- x
]
.
*
1
) +
*f
2
***********,*******************,
*就称作"*岔"*
– 18 –
(x
2
*
1
, x
*
2
)
*x
2
*
(x
(x
2
2
- x
- x
*
2
*
2
).
*如
dx
dt
= *-x
2
*结点(saddle-node)*岔;
dx
dt
*二章 *学和物理准备知识
*临界(transcritical)*
*,
dx
dt
= x(* ± x
2
= *x-x
2
)*(pitchfork) ************* = 0***,**
*系统的线性矩阵有零特征值,出现稳定性变化。
Hopf****:*X
'
* 2.4 *特征值分岔图
= F(X, *)*********X
(*),*A(*)***
*矩阵,并且有一对复特征值a(*) ± iω(*)*如果下述条件满足:对于某个*
1. a(*
) = 0(*对虚根);
2. *(*
0
> 0;
3. * =
0
) = *
da(*)
dλ
|
0
* = 0;
4. A(*
0
*=*
0
)*有其它的零实部特征值;
****
0
******,**** > *
0
0
*,**** < *
*,****
****************
v
|* - *
0
0
| ***,******
***
** > 0******** > *
0
*,**** < 0******** < *
*,**
*环是稳定的。
*细的例子我们会在今后的课程中不断遇到。
***读**材**料**
*习概率论与常微分方程相关知识。
***业**
«Mathematical Physiology»1.1(a)(b) 1.2(a) 1.3
0
0
0
– 19 –
2.4. *微分方程相图分析简介
– 20 –
* 2.5 *对复根分岔图
第十章重要概率分布及随机过程简介
第十章重要概率分布及随机过程简介
概率与不确定性早就深入到了物理化学领域，尤其在近些年的单分子实验
中，涨落更是随处可见。
10.1 概率论基本知识
10.1.1 随机变量、均值和方差
随机变量(random variable)表示随机现象(在一定条件下，并不总是出现相同
结果的现象称为随机现象)各种结果的变量。例如，随机投掷一枚硬币，可能出
现的结果有正面朝上和反面朝上两种；又例如每天的同一时间内公共汽车站等
车乘客人数等等。一般情况下，我们用大写字母表示随机变量本身，而小写字
母表示该随机变量的结果(也称一次实现)。
对于取离散值{𝑎𝑖}的随机变量𝑋，其均值(又称期望)定义为
𝐸(𝑋) = ⟨𝑋⟩ =
Σ︁
𝑖
𝑎𝑖𝑃(𝑋 = 𝑎𝑖),
二阶矩定义为
𝐸(𝑋2) = ⟨𝑋2⟩ =
Σ︁
𝑖
𝑎2
𝑖
𝑃(𝑋𝑖 = 𝑎𝑖),
所以方差
𝑣𝑎𝑟(𝑋) = ⟨(𝑋 − 𝐸(𝑋))2⟩ = ⟨𝑋2⟩ − ⟨𝑋⟩2.
更一般的，随机变量𝑋的函数𝑓(𝑋)也是随机变量，其概率分布为
𝑃(𝑓(𝑋) = 𝑓(𝑎𝑖)) =
Σ︁
𝑗
𝑃(𝑓(𝑎𝑗) = 𝑓(𝑎𝑖)).
而其期望为
𝐸(𝑓(𝑋)) = ⟨𝑓(𝑋)⟩ =
Σ︁
𝑖
𝑓(𝑎𝑖)𝑃(𝑋𝑖 = 𝑎𝑖).
– 2014春季– – 123 –
10.1. 概率论基本知识
对于取连续实数值𝑥的随机变量，其概率(分布)密度为𝑝(𝑥)，即
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) =
∫︁𝑏
𝑎
𝑝(𝑥)𝑑𝑥.
其均值定义为
𝐸(𝑋) = ⟨𝑋⟩ =
∫︁𝑥𝑝(𝑥)𝑑𝑥;
二阶矩定义为
𝐸(𝑋2) = ⟨𝑋2⟩ =
∫︁𝑥2𝑝(𝑥)𝑑𝑥,
所以方差
𝑣𝑎𝑟(𝑋) = ⟨𝑋2⟩ − ⟨𝑋⟩2.
均值运算具有线性性质：
(1) ⟨𝑓(𝑋) + 𝑔(𝑋)⟩ = ⟨𝑓(𝑋)⟩ + ⟨𝑔(𝑋)⟩；
(2) ⟨𝑐 ・ 𝑓(𝑋)⟩ = 𝑐 ・ ⟨𝑓(𝑋)⟩，其中𝑐是一个常数。
10.1.2 条件概率，全概公式和逆概公式
在实际问题中, 除了要知道事件𝐴的概率𝑃(𝐴)外, 有时还需要知道在事
件𝐵已发生的条件下，事件𝐴发生的概率, 这就是我们所要讲的条件概率, 将它记
为𝑃(𝐴|𝐵)。其计算公式为
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐴𝐵)
𝑃(𝐵)
,
其中𝑃(𝐴𝐵)指的是事件𝐴和事件𝐵都发生的概率。
两事件𝐴和𝐵独立，即𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)，也即𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴)。
如果事件集合{𝐴1,𝐴2, ・ ・ ・ ,𝐴𝑛}构成一个完备事件组，即两两互斥，
且𝑃(𝐴𝑖) > 0(𝑖 = 1, 2, ・ ・ ・ , 𝑛)和
Σ︀𝑛
𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖) = 1。
(1)对任一事件𝐵，有
𝑃(𝐵) =
Σ︁𝑛
𝑖=1
𝑃(𝐴𝑖𝐵) =
Σ︁𝑛
𝑖=1
𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖),
这个公式称为全概率公式。
– 124 – – 2014春季–
第十章重要概率分布及随机过程简介
(2)对任一事件𝐵(𝑃(𝐵) > 0)，有
𝑃(𝐴𝑘|𝐵) =
Σ︀𝑃(𝐴𝑘)𝑃(𝐵|𝐴𝑘) 𝑛
𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)
,
这个公式被称为逆概公式，也称贝叶斯公式。
10.2 高斯(正态)分布和布朗运动
10.2.1 对称随机游动和中心极限定理
图10.1 Galton board, http://probability.ca/jeff/java/utday/
图10.1中是著名的Galton board，从𝑥 = 0的正上方落下的每一个小球，最后
都会随机的落到最下面的某个位置𝑥 = 0,・}1,・}2, ・ ・ ・上。我们假设每一步，该
小球都是随机地选择往左一格还是往右一格(各50%的概率)，这就是对称随机游
动。对于小球来说，在经过了𝑁步之后，其处于位置𝑥 = 𝑚的概率(𝑚需与𝑁同
奇偶性)是
𝑃(𝑚) =
(︀ 𝑁! 𝑁+𝑚
2
)︀
!
(︀𝑁−𝑚
2
)︀
!
(︂
1
2
)︂𝑁
.
二项分布可以看成独立的两点分布随机变量的和，即𝑋 = 𝜉1+𝜉2+・ ・ ・+𝜉𝑁，
其中𝑃(𝜉𝑖 = 1) = 𝑃(𝜉𝑖 = −1) = 1
2
。
– 2014春季– – 125 –
10.2. 高斯(正态)分布和布朗运动
根据中心极限定理，该二项分布会最终趋于高斯分布(又称正态分布)。
一般来说，对于独立同分布的随机变量𝜉1, 𝜉2, ・ ・ ・ , 𝜉𝑁，当𝑁很大时，𝑋 = 𝜉1 +
𝜉2 + ・ ・ ・ + 𝜉𝑁的分布密度函数近似于均值为𝑁𝜇，方差为𝑁𝜎2的高斯分布，其
中𝜇和𝜎2分别为𝜉𝑖的均值和方差。
该高斯分布密度函数：
𝑝(𝑋 = 𝑚) =
1
𝜎
√
2𝑁𝜋
𝑒−(𝑚−𝑁𝜇)2
2𝑁𝜎2 .
对于对称随机游动来说，𝜇 = 0，𝜎2 = 1。
10.2.2 从对称随机游动到布朗运动
继续考虑一维对称随机游动，随机变量𝑋𝑛是随机游动在第n步的位置，其
分布𝑝𝑛(𝑚) = 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑚)满足
𝑝𝑛(𝑚) =
1
2
𝑝𝑛−1(𝑚 − 1) +
1
2
𝑝𝑛−1(𝑚 + 1). (10.1)
我们设时间步长为 𝑡，空间步长为 𝑥, 那么我们有概率密度𝑢(𝑥, 𝑡)
𝑑𝑒𝑓
=
𝑝 𝑡Δ𝑡
( 𝑥
Δ𝑥 )
2Δ𝑥
满足
𝑢(𝑥, 𝑡 + 𝑡) =
1
2
𝑢(𝑥 − 𝑥, 𝑡) +
1
2
𝑢(𝑥 + 𝑥, 𝑡). (10.2)
上式可以改写成
𝑢(𝑥, 𝑡 + 𝑡) − 𝑢(𝑥, 𝑡)
𝑡
=
( 𝑥)2
2 𝑡
・
𝑢(𝑥 − 𝑥, 𝑡) + 𝑢(𝑥 + 𝑥, 𝑡) − 2𝑢(𝑥, 𝑡)
( 𝑥)2 ,
即(由泰勒展开)
𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
= 𝐷
𝜕2𝑢(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥2 , (10.3)
其中𝐷 = (Δ𝑥)2
2Δ𝑡
。所以如果
lim
Δ𝑡→0
( 𝑥)2
𝑡
(10.4)
存在，那么这就是我们之前说过的单纯扩散方程，即布朗运动。这里实际上我
们是给出了菲克定律的微观解释。
更进一步，我们来考虑布朗运动所对应的随机过程，即在限制条
– 126 – – 2014春季–
第十章重要概率分布及随机过程简介
件𝐷 = (Δ𝑥)2
2Δ𝑡
下，𝑌𝑡 = limΔ𝑡→0 𝑋 𝑡
Δ𝑡
的分布。由中心极限定理，𝑋 𝑡
Δ𝑡
=
Σ︀ 𝑡
Δ𝑡
𝑖=1 𝜉𝑖是
正态分布的，其均值是0，方差是( 𝑥)2 ・ 𝑡
Δ𝑡 = 2𝐷𝑡。可以验证，𝑌𝑡的正态
概率密度函数即是满足式(10.3)的𝑢(𝑥, 𝑡)。特别的，⟨𝑌 2
𝑡 ⟩ = 2𝐷𝑡被称为“mean
square displacement (MSD)”，实验上这也是用来验证扩散过程的方法(见
图10.3，10.4和10.5)。对于高维情形，我们有2𝑑𝐷𝑡 = ⟨‖ 𝑋𝑡 − 𝑋0 ‖2⟩，其中d是
维数，D是
-------------
第十章重要概率分布及随机过程简介
第十章重要概率分布及随机过程简介
概率与不确定性早就深入到了物理化学领域，尤其在近些年的单分子实验
中，涨落更是随处可见。
10.1 概率论基本知识
10.1.1 随机变量、均值和方差
随机变量(random variable)表示随机现象(在一定条件下，并不总是出现相同
结果的现象称为随机现象)各种结果的变量。例如，随机投掷一枚硬币，可能出
现的结果有正面朝上和反面朝上两种；又例如每天的同一时间内公共汽车站等
车乘客人数等等。一般情况下，我们用大写字母表示随机变量本身，而小写字
母表示该随机变量的结果(也称一次实现)。
对于取离散值{𝑎𝑖}的随机变量𝑋，其均值(又称期望)定义为
𝐸(𝑋) = ⟨𝑋⟩ =
Σ︁
𝑖
𝑎𝑖𝑃(𝑋 = 𝑎𝑖),
二阶矩定义为
𝐸(𝑋2) = ⟨𝑋2⟩ =
Σ︁
𝑖
𝑎2
𝑖
𝑃(𝑋𝑖 = 𝑎𝑖),
所以方差
𝑣𝑎𝑟(𝑋) = ⟨(𝑋 − 𝐸(𝑋))2⟩ = ⟨𝑋2⟩ − ⟨𝑋⟩2.
更一般的，随机变量𝑋的函数𝑓(𝑋)也是随机变量，其概率分布为
𝑃(𝑓(𝑋) = 𝑓(𝑎𝑖)) =
Σ︁
𝑗
𝑃(𝑓(𝑎𝑗) = 𝑓(𝑎𝑖)).
而其期望为
𝐸(𝑓(𝑋)) = ⟨𝑓(𝑋)⟩ =
Σ︁
𝑖
𝑓(𝑎𝑖)𝑃(𝑋𝑖 = 𝑎𝑖).
– 2014春季– – 123 –
10.1. 概率论基本知识
对于取连续实数值𝑥的随机变量，其概率(分布)密度为𝑝(𝑥)，即
𝑃(𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) =
∫︁𝑏
𝑎
𝑝(𝑥)𝑑𝑥.
其均值定义为
𝐸(𝑋) = ⟨𝑋⟩ =
∫︁𝑥𝑝(𝑥)𝑑𝑥;
二阶矩定义为
𝐸(𝑋2) = ⟨𝑋2⟩ =
∫︁𝑥2𝑝(𝑥)𝑑𝑥,
所以方差
𝑣𝑎𝑟(𝑋) = ⟨𝑋2⟩ − ⟨𝑋⟩2.
均值运算具有线性性质：
(1) ⟨𝑓(𝑋) + 𝑔(𝑋)⟩ = ⟨𝑓(𝑋)⟩ + ⟨𝑔(𝑋)⟩；
(2) ⟨𝑐 ・ 𝑓(𝑋)⟩ = 𝑐 ・ ⟨𝑓(𝑋)⟩，其中𝑐是一个常数。
10.1.2 条件概率，全概公式和逆概公式
在实际问题中, 除了要知道事件𝐴的概率𝑃(𝐴)外, 有时还需要知道在事
件𝐵已发生的条件下，事件𝐴发生的概率, 这就是我们所要讲的条件概率, 将它记
为𝑃(𝐴|𝐵)。其计算公式为
𝑃(𝐴|𝐵) =
𝑃(𝐴𝐵)
𝑃(𝐵)
,
其中𝑃(𝐴𝐵)指的是事件𝐴和事件𝐵都发生的概率。
两事件𝐴和𝐵独立，即𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)，也即𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴)。
如果事件集合{𝐴1,𝐴2, ・ ・ ・ ,𝐴𝑛}构成一个完备事件组，即两两互斥，
且𝑃(𝐴𝑖) > 0(𝑖 = 1, 2, ・ ・ ・ , 𝑛)和
Σ︀𝑛
𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖) = 1。
(1)对任一事件𝐵，有
𝑃(𝐵) =
Σ︁𝑛
𝑖=1
𝑃(𝐴𝑖𝐵) =
Σ︁𝑛
𝑖=1
𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖),
这个公式称为全概率公式。
– 124 – – 2014春季–
第十章重要概率分布及随机过程简介
(2)对任一事件𝐵(𝑃(𝐵) > 0)，有
𝑃(𝐴𝑘|𝐵) =
Σ︀𝑃(𝐴𝑘)𝑃(𝐵|𝐴𝑘) 𝑛
𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)
,
这个公式被称为逆概公式，也称贝叶斯公式。
10.2 高斯(正态)分布和布朗运动
10.2.1 对称随机游动和中心极限定理
图10.1 Galton board, http://probability.ca/jeff/java/utday/
图10.1中是著名的Galton board，从𝑥 = 0的正上方落下的每一个小球，最后
都会随机的落到最下面的某个位置𝑥 = 0,・}1,・}2, ・ ・ ・上。我们假设每一步，该
小球都是随机地选择往左一格还是往右一格(各50%的概率)，这就是对称随机游
动。对于小球来说，在经过了𝑁步之后，其处于位置𝑥 = 𝑚的概率(𝑚需与𝑁同
奇偶性)是
𝑃(𝑚) =
(︀ 𝑁! 𝑁+𝑚
2
)︀
!
(︀𝑁−𝑚
2
)︀
!
(︂
1
2
)︂𝑁
.
二项分布可以看成独立的两点分布随机变量的和，即𝑋 = 𝜉1+𝜉2+・ ・ ・+𝜉𝑁，
其中𝑃(𝜉𝑖 = 1) = 𝑃(𝜉𝑖 = −1) = 1
2
。
– 2014春季– – 125 –
10.2. 高斯(正态)分布和布朗运动
根据中心极限定理，该二项分布会最终趋于高斯分布(又称正态分布)。
一般来说，对于独立同分布的随机变量𝜉1, 𝜉2, ・ ・ ・ , 𝜉𝑁，当𝑁很大时，𝑋 = 𝜉1 +
𝜉2 + ・ ・ ・ + 𝜉𝑁的分布密度函数近似于均值为𝑁𝜇，方差为𝑁𝜎2的高斯分布，其
中𝜇和𝜎2分别为𝜉𝑖的均值和方差。
该高斯分布密度函数：
𝑝(𝑋 = 𝑚) =
1
𝜎
√
2𝑁𝜋
𝑒−(𝑚−𝑁𝜇)2
2𝑁𝜎2 .
对于对称随机游动来说，𝜇 = 0，𝜎2 = 1。
10.2.2 从对称随机游动到布朗运动
继续考虑一维对称随机游动，随机变量𝑋𝑛是随机游动在第n步的位置，其
分布𝑝𝑛(𝑚) = 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑚)满足
𝑝𝑛(𝑚) =
1
2
𝑝𝑛−1(𝑚 − 1) +
1
2
𝑝𝑛−1(𝑚 + 1). (10.1)
我们设时间步长为 𝑡，空间步长为 𝑥, 那么我们有概率密度𝑢(𝑥, 𝑡)
𝑑𝑒𝑓
=
𝑝 𝑡Δ𝑡
( 𝑥
Δ𝑥 )
2Δ𝑥
满足
𝑢(𝑥, 𝑡 + 𝑡) =
1
2
𝑢(𝑥 − 𝑥, 𝑡) +
1
2
𝑢(𝑥 + 𝑥, 𝑡). (10.2)
上式可以改写成
𝑢(𝑥, 𝑡 + 𝑡) − 𝑢(𝑥, 𝑡)
𝑡
=
( 𝑥)2
2 𝑡
・
𝑢(𝑥 − 𝑥, 𝑡) + 𝑢(𝑥 + 𝑥, 𝑡) − 2𝑢(𝑥, 𝑡)
( 𝑥)2 ,
即(由泰勒展开)
𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑡
= 𝐷
𝜕2𝑢(𝑥, 𝑡)
𝜕𝑥2 , (10.3)
其中𝐷 = (Δ𝑥)2
2Δ𝑡
。所以如果
lim
Δ𝑡→0
( 𝑥)2
𝑡
(10.4)
存在，那么这就是我们之前说过的单纯扩散方程，即布朗运动。这里实际上我
们是给出了菲克定律的微观解释。
更进一步，我们来考虑布朗运动所对应的随机过程，即在限制条
– 126 – – 2014春季–
第十章重要概率分布及随机过程简介
件𝐷 = (Δ𝑥)2
2Δ𝑡
下，𝑌𝑡 = limΔ𝑡→0 𝑋 𝑡
Δ𝑡
的分布。由中心极限定理，𝑋 𝑡
Δ𝑡
=
Σ︀ 𝑡
Δ𝑡
𝑖=1 𝜉𝑖是
正态分布的，其均值是0，方差是( 𝑥)2 ・ 𝑡
Δ𝑡 = 2𝐷𝑡。可以验证，𝑌𝑡的正态
概率密度函数即是满足式(10.3)的𝑢(𝑥, 𝑡)。特别的，⟨𝑌 2
𝑡 ⟩ = 2𝐷𝑡被称为“mean
square displacement (MSD)”，实验上这也是用来验证扩散过程的方法(见
图10.3，10.4和10.5)。对于高维情形，我们有2𝑑𝐷𝑡 = ⟨‖ 𝑋𝑡 − 𝑋0 ‖2⟩，其中d是
维数，D是
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