Tuesday, February 11, 2014

white01 chem01 质量作用定律 对于每个分子该反应的等待时间是随机的,永不停歇的热运动,所以化学动力学与统计力学也是密不可分

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第二章数学和物理准备知识

www.bicmr.org/personal/gehao/.../Chapter2.pdf
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有永不停歇的热运动,所以化学动力学与统计力学也是密不可分的。可是,当. 生物学家 ... 作用定律是宏观上的,而对于每个分子来说,该反应的等待时间是随机的,有.
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    Bo丨tzmann方程的理论和应用 - 物理学进展

    pip.nju.edu.cn/Home/DownloadPDF/135
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    体, 但Bo‖zmann方程在非平祷态统计力学中仍然有重要的理坩意艾-. .... 长, 以至人的生命无法与之比拟, 成为实际上不可等待时间口因此宏观不可逆性并不.


  • *二章 *学和物理准备知识
     
    *二章 *学和物理准备知识
     
    ********************************
    ***********************:(1) *****(***

    *DNA,***********)*******************

    **,*****************;**(2)**********

    *************(************,********

    *)***,*************************,***


    *程学的角度来说,我们能从现象学上认识后者,而不需要前者的大量细节。
    *********(1),*******************,*

    ***************(2),*****************


    ****--********,*******************

    *,基本的方程将源于这样两个定律:原子守恒和质量作用定律。

    ***********,********************

    *********,**********************,*

    *****************,*************,**

    *,******;**************,**********

    ****,*******************,*********

    ********,******************,******

    ***,*********,********************
    *"*计学"*质。

    2.1 *应动力学方程: *子守恒和质量作用定律


    *面是一个简单的异构化反应

    *一个稍复杂一些的二阶化学反应
    X


    k
    * Y, (2.1)

    A + B


    1
    k
    * C. (2.2)


    2
    **********: **(2.1)*****,************,

    *J


    1
    = k


    1
    c


    X
    ,***(

    2.2)***J


    2
    = k


    2
    c


    A
    c


    B
    ***,c


    A
    , c


    B
    *c


    X
    *****
    – 13 –
    2.2. *阶反应的指数等待时间分布

    *A, B, *C*浓度。k


    1
    *量纲是(*间)


    -1
    ,k


    2
    *量纲是(*间)


    -1
    (*度)


    *

    * * * * * * * * * * * * * , * * * * * * * * * , * * * * *
    *(2.1)*

    dc

    *对于双分子反应(2.2)*

    J


    1
    *J


    2
    dc


    C

    Y
    dt

    = -

    dt

    = -

    dc


    A
    dc


    X
    dt

    = J

    dt

    = -

    dc


    B

    1
    = k

    dt

    = J


    2

    1
    c


    X
    = k


    -1
    , (2.3)


    2
    c


    A
    c


    B
    . (2.4)


    **************,****************

    ****,*********************,*******
    ******(**:*************************

    *?)

    2.2 *阶反应的指数等待时间分布

    ***********,*******X


    k
    * Y **********


    *********,*********,************,*

    *一定的概率分布,那么这二者又有何内在联系呢?
    1
    *T********,*****************g(t) =

    Pr(T > t)******X**c


    X
    (0),***t**X***c


    X
    (t)***c

    (t)*


    *
    *以g(t)*足


    dg(t)

    dt
    = -k


    1
    dc

    (t)

    dt


    X
    g(t),且g(0) = 1*


    *解为

    *是其分布密度为
    f

    *是参数为* = k


    1

    T
    (t) =

    d

    = -k

    g(t) = e


    1

    -k
    c


    1
    X

    t
    (t),

    , (2.5)

    dt

    (1 - g(t)) = k


    1
    e


    -k
    1
    t

    X
    . (2.6)


    *标准指数分布密度。

    ****,************,**************
    ******,****t**************,********


    – 14 –
    * 2.1 *数分布。From Annu. Rev. Biophys. (2008) 37:417-44.

    *小区间(t, t + t )*发生的概率,等于

    Pr(t < T < t + t )

    Pr(T > t)

    =

    g(t) - g(t + t )



    *二章 *学和物理准备知识
     
    g(t)

    = *t + o(t ).

    * *** * * * *t* * , * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

    * * *P(AB) = P(A)P(B|A), * *P(AB)* * * *A*B* * * * * *

    *P(B|A)*是在已知事件A*生情况下事件B*生的概率。

    *数分布在很多实验中都观测到了(*2.1)*

    2.3 *力学与反应常数


    *们还可以从热力学角度来分析可逆化学反应
    A


    k
    1

     


    k
    -1
    B. (2.7)

    *******,*******,**********µ = µ

    +

    k


    B
    T log c,**c****,k


    B
    *******,T****µ


    0
    ******,

    *与该溶质和溶剂的结构等静态性质决定。
    *质B*溶质A*化学势差为*µ = µ


    B



    A
    = *µ


    0
    +kT log


    [B]

    [A]
    ,而单位时间
    **A*B********J = k

    [B]**********(1)*µ =

    0*及(2)J = 0*由此我们可以得到平衡常数K


    1
    [A] - k


    -1

    eq
    =


    k

    k
    1

    -1
    =


    [B]

    [A]
    eq

    eq
    = e


    -*µ
    0
    /kT
    *
    0
    – 15 –
    2.4. *微分方程相图分析简介

    *于著名的ATP*解反应,ATP

    ADP +P


    i
    ,其


    0
    = -31kJ · mol

    =

    -k


    B
    T log


    [ADP]
    eq
    [ATP]

    [P
    i

    eq
    ]
    eq
    (******)*******,


    [ADP][P

    ]

    [ATP]
    *******
    *多(*平衡态),否则无法为生命体提供能量。

    2.4 *微分方程相图分析简介


    i
    **************,****************

    *,*******************************
    ********************************19*

    *80****,********************,*****

    *(***)*************,***************

    ***********************HH****,*****


    *了生物数学作为一门独立学科的发展。

    *们可以类比经典力学的哈密尔顿系统来理解常微分方程。比如
    dX

    dt

    = f(X),

    *************X(t)************(***),

    *f(X)*******,****************,******

    ****************************(f(X

    ) = 0*

    *)*其稳定性。

    2.4.1 *性常微分方程求解


    *于线性方程组
    dX

    *解X(t) = e


    ˆ

    At
    X(0)*其中e


    ˆ

    At
    =

    *

    dt

    =


    8

    n=0
    ˆ

    AX,


    (

    ˆ

    At)

    n!
    n
    *
    ************,*********det(*I -

    *值*


    1
    **


    2
    **


    1
    + *


    2
    = tr(

    ˆ

    A),和*


    1
    *


    2
    = det(

    ˆ

    A)*

    *果这两个特征值不一样的时候,那么方程的一般解形式为a


    ,
    *数由初值决定(*值包括初始值和初始导数值);

    ***************,****,********a

    +

    a


    2
    te

    ,系数也是由初值决定(*值包括初始值和初始导数值)*

    *****,*************ˆe


    *t
    – 16 –
    *
    *****e


    *t
    ˆe


    *

    *

    -1
    ˆ

    A) = 0***


    1
    e


    *
    1
    t
    +a


    2
    e


    1

    *
    e


    2
    t

    *t
    ******
    * 2.2 *维线性方程组不动点分类


    *解,但是当有重根的时候还有其他的基本形式。
    2.4.2 *图分析


    *********
    dX

    dt
    *二章 *学和物理准备知识
     
    = f(X)**X(t)(*******)***X***

    ***(**,*****)******X*,***f(X)********

    ****************X*****************


    *统。

    **************,***************
    *?(*案是不会,思考题)*

    2.4.2.1 *性不动点的稳定性


    *********
    dX

    dt
    =

    ˆ

    AX**,****(****)******

    *****,***************,**********(*

    *2.2*2.3)*

    **************,**********a


    ,

    *****************,*********,******

    **;*****,*****,*****************,*

    *程画出的相图是同心圆,称作中心。
    2.4.2.2 *线性不动点的稳定性


    ****************,******,******,

    ********,************************
    1
    e


    *
    1
    t
    + a


    2
    e


    *
    2
    t
    – 17 –
    2.4. *微分方程相图分析简介

    * 2.3 *维线性方程组不动点图示

    ********************,**X = (x

    ),f(X) =

    (f


    1
    (x


    1
    , x


    2
    ), f

    ****X


    2

    *
    (x


    1
    , x

    = (x


    2

    *

    1
    )),则微分方程组

    , x


    *

    2
    )**f


    1
    (x


    *

    1
    dX

    dt

    , x


    *

    2
    = f(X)

    ) = f


    2
    (x


    *

    1
    , x


    *

    2

    1
    , x


    2
    ) = 0****(X - X

    )**


    *,该微分方程组可以近似为
    d(x


    1
    - x


    *

    1
    )

    dt

    = f


    1
    (x


    1
    , x


    2
    ) ˜ f


    1
    (x


    *

    1
    , x


    *

    2
    ) +

    *f


    1
    (x


    *

    1
    , x


    *

    2
    )

    *x


    1
    (x


    1
    - x


    *

    1
    ) +

    *f


    1
    (x


    *

    1
    , x


    *

    2
    )

    *x

    );

    d(x


    2
    - x


    *

    2
    )

    dt

    = f


    2
    (x


    1
    , x


    2
    ) ˜ f


    *此线性矩阵
    A =

    2.4.3 *岔


    2
    (x


    *

    1
    [

    , x


    *

    2

    *f

    *f
    ) +

    *f


    1

    2
    (x
    *

    1
    ,x
    *

    2
    )

    *x

    (x
    1

    *

    1
    ,x
    *

    2
    )

    *x
    1
    2
    (x


    *

    1
    , x


    *

    2
    )

    *x


    *f

    *f

    1
    1

    2
    (x
    *

    1
    ,x
    (x


    *

    2
    )

    *x

    (x
    2

    *

    1
    ,x
    *

    2
    )

    *x
    2
    1
    - x

    ]

    .


    *

    1
    ) +

    *f


    2
    ***********,*******************,
    *就称作"*岔"*


    – 18 –
    (x


    2

    *

    1
    , x


    *

    2
    )

    *x


    2

    *
    (x

    (x


    2

    2
    - x

    - x


    *

    2

    *

    2
    ).


    *如
    dx

    dt
    = *-x


    2
    *结点(saddle-node)*岔;


    dx

    dt
    *二章 *学和物理准备知识
     
    *临界(transcritical)*


    *,
    dx

    dt
    = x(* ± x


    2
    = *x-x


    2
    )*(pitchfork) ************* = 0***,**


    *系统的线性矩阵有零特征值,出现稳定性变化。
    Hopf****:*X


    '
    * 2.4 *特征值分岔图

    = F(X, *)*********X

    (*),*A(*)***

    *矩阵,并且有一对复特征值a(*) ± iω(*)*如果下述条件满足:对于某个*

    1. a(*

    ) = 0(*对虚根);

    2. *(*


    0
    > 0;

    3. * =


    0
    ) = *


    da(*)


    |


    0
    * = 0;

    4. A(*


    0

    *=*
    0
    )*有其它的零实部特征值;

    ****


    0
    ******,**** > *


    0

    0
    *,**** < *


    *,****

    ****************
    v

    |* - *


    0

    0
    | ***,******


    ***
    ** > 0******** > *


    0
    *,**** < 0******** < *


    *,**

    *环是稳定的。

    *细的例子我们会在今后的课程中不断遇到。

    ***读**材**料**

    *习概率论与常微分方程相关知识。

    ***业**
    «Mathematical Physiology»1.1(a)(b) 1.2(a) 1.3


    0

    0

    0
    – 19 –
    2.4. *微分方程相图分析简介


    – 20 –
    * 2.5 *对复根分岔图





    10.1 率论

    10.1.1

    (random variable)现象(并不现相

    现象现象)


    车乘等等小写

    ()

    {𝑎𝑖}𝑋()

    𝐸(𝑋) = 𝑋=


    Σ︁
    𝑖
     
    𝑎𝑖𝑃(𝑋 = 𝑎𝑖),

    阶矩

    𝐸(𝑋2) = 𝑋2=


    Σ︁
    𝑖
     
    𝑎2



    𝑖
     
    𝑃(𝑋𝑖 = 𝑎𝑖),


    𝑣𝑎𝑟(𝑋) = (𝑋 𝐸(𝑋))2= 𝑋2⟩ − ⟨𝑋2.

    𝑋𝑓(𝑋)

    𝑃(𝑓(𝑋) = 𝑓(𝑎𝑖)) =


    Σ︁
    𝑗
     
    𝑃(𝑓(𝑎𝑗) = 𝑓(𝑎𝑖)).

    其期望为

    𝐸(𝑓(𝑋)) = 𝑓(𝑋)=


    Σ︁
    𝑖
     
    𝑓(𝑎𝑖)𝑃(𝑋𝑖 = 𝑎𝑖).

    – 2014– – 123 –

    10.1. 率论

    实数𝑥()𝑝(𝑥)

    𝑃(𝑎 𝑋 𝑏) =

    ∫︁𝑏



    𝑎
     
    𝑝(𝑥)𝑑𝑥.


    𝐸(𝑋) = 𝑋=

    ∫︁𝑥𝑝(𝑥)𝑑𝑥;

    阶矩

    𝐸(𝑋2) = 𝑋2=

    ∫︁𝑥2𝑝(𝑥)𝑑𝑥,


    𝑣𝑎𝑟(𝑋) = 𝑋2⟩ − ⟨𝑋2.

    线性性

    (1) 𝑓(𝑋) + 𝑔(𝑋)= 𝑓(𝑋)+ 𝑔(𝑋)

    (2) 𝑐 𝑓(𝑋)= 𝑐 ・ ⟨𝑓(𝑋)𝑐

    10.1.2 概公概公

    , 𝐴𝑃(𝐴),

    𝐵𝐴, ,

    𝑃(𝐴|𝐵)

    𝑃(𝐴|𝐵) =

    𝑃(𝐴𝐵)

    𝑃(𝐵)


    ,
    𝑃(𝐴𝐵)是事𝐴𝐵

    𝐴𝐵𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴)

    件集{𝐴1,𝐴2, ・ ・ ・ ,𝐴𝑛}两两

    𝑃(𝐴𝑖) > 0(𝑖 = 1, 2, ・ ・ ・ , 𝑛)

    Σ︀𝑛

    𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖) = 1

    (1)𝐵

    𝑃(𝐵) =

    Σ︁𝑛

    𝑖=1

    𝑃(𝐴𝑖𝐵) =

    Σ︁𝑛

    𝑖=1

    𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖),

    个公

    – 124 – – 2014


    (2)𝐵(𝑃(𝐵) > 0)

    𝑃(𝐴𝑘|𝐵) =

    Σ︀𝑃(𝐴𝑘)𝑃(𝐵|𝐴𝑘) 𝑛

    𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)


    ,
    个公概公

    10.2 ()

    10.2.1

    10.1 Galton board, http://probability.ca/jeff/java/utday/

    10.1Galton board𝑥 = 0

    𝑥 = 0,・}1,・}2, ・ ・ ・

    (50%)

    𝑁𝑥 = 𝑚(𝑚𝑁

    )

    𝑃(𝑚) =

    (︀ 𝑁! 𝑁+𝑚



    2
     
    )︀
    !
    (︀𝑁𝑚



    2
     
    )︀
    !
    (︂
    1

    2
    )︂𝑁


    .
    𝑋 = 𝜉1+𝜉2+・ ・ ・+𝜉𝑁

    𝑃(𝜉𝑖 = 1) = 𝑃(𝜉𝑖 = 1) = 1



    2
     
    – 2014– – 125 –

    10.2. ()

    ()

    𝜉1, 𝜉2, ・ ・ ・ , 𝜉𝑁𝑁𝑋 = 𝜉1 +

    𝜉2 + ・ ・ ・ + 𝜉𝑁𝑁𝜇𝑁𝜎2

    𝜇𝜎2𝜉𝑖

    该高

    𝑝(𝑋 = 𝑚) =


    1
    𝜎
    2𝑁𝜋

    𝑒(𝑚𝑁𝜇)2

    2𝑁𝜎2 .

    𝜇 = 0𝜎2 = 1

    10.2.2 动到

    𝑋𝑛n

    𝑝𝑛(𝑚) = 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑚)

    𝑝𝑛(𝑚) =


    1

    2
    𝑝𝑛1(𝑚 1) +


    1

    2
    𝑝𝑛1(𝑚 + 1). (10.1)

    设时 𝑡 𝑥, 𝑢(𝑥, 𝑡)



    𝑑𝑒𝑓
     
    =
    𝑝 𝑡Δ𝑡

    ( 𝑥

    Δ𝑥 )

    𝑥


    𝑢(𝑥, 𝑡 + 𝑡) =


    1

    2
    𝑢(𝑥 𝑥, 𝑡) +


    1

    2
    𝑢(𝑥 + 𝑥, 𝑡). (10.2)


    𝑢(𝑥, 𝑡 + 𝑡) 𝑢(𝑥, 𝑡)

    𝑡


    =
    ( 𝑥)2

    2 𝑡


    𝑢(𝑥 𝑥, 𝑡) + 𝑢(𝑥 + 𝑥, 𝑡) 2𝑢(𝑥, 𝑡)

    ( 𝑥)2 ,

    ()

    𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)


    𝜕𝑡
    = 𝐷

    𝜕2𝑢(𝑥, 𝑡)

    𝜕𝑥2 , (10.3)

    𝐷 = 𝑥)2

    𝑡



    lim
    Δ𝑡0

    ( 𝑥)2

    𝑡


    (10.4)
    单纯



    – 126 – – 2014


    𝐷 = 𝑥)2

    𝑡

    𝑌𝑡 = limΔ𝑡0 𝑋 𝑡

    Δ𝑡

    𝑋 𝑡

    Δ𝑡


    =
    Σ︀ 𝑡

    Δ𝑡

    𝑖=1 𝜉𝑖

    0( 𝑥)2 𝑡

    Δ𝑡 = 2𝐷𝑡以验𝑌𝑡

    (10.3)𝑢(𝑥, 𝑡)𝑌 2

    𝑡 = 2𝐷𝑡mean

    square displacement (MSD)方法(

    10.310.410.5)2𝑑𝐷𝑡 = ⟨‖ 𝑋𝑡 𝑋0 2d

    D
     





    -------------





    10.1 率论

    10.1.1

    (random variable)现象(并不现相

    现象现象)


    车乘等等小写

    ()

    {𝑎𝑖}𝑋()

    𝐸(𝑋) = 𝑋=


    Σ︁
    𝑖
     
    𝑎𝑖𝑃(𝑋 = 𝑎𝑖),

    阶矩

    𝐸(𝑋2) = 𝑋2=


    Σ︁
    𝑖
     
    𝑎2



    𝑖
     
    𝑃(𝑋𝑖 = 𝑎𝑖),


    𝑣𝑎𝑟(𝑋) = (𝑋 𝐸(𝑋))2= 𝑋2⟩ − ⟨𝑋2.

    𝑋𝑓(𝑋)

    𝑃(𝑓(𝑋) = 𝑓(𝑎𝑖)) =


    Σ︁
    𝑗
     
    𝑃(𝑓(𝑎𝑗) = 𝑓(𝑎𝑖)).

    其期望为

    𝐸(𝑓(𝑋)) = 𝑓(𝑋)=


    Σ︁
    𝑖
     
    𝑓(𝑎𝑖)𝑃(𝑋𝑖 = 𝑎𝑖).

    – 2014– – 123 –

    10.1. 率论

    实数𝑥()𝑝(𝑥)

    𝑃(𝑎 𝑋 𝑏) =

    ∫︁𝑏



    𝑎
     
    𝑝(𝑥)𝑑𝑥.


    𝐸(𝑋) = 𝑋=

    ∫︁𝑥𝑝(𝑥)𝑑𝑥;

    阶矩

    𝐸(𝑋2) = 𝑋2=

    ∫︁𝑥2𝑝(𝑥)𝑑𝑥,


    𝑣𝑎𝑟(𝑋) = 𝑋2⟩ − ⟨𝑋2.

    线性性

    (1) 𝑓(𝑋) + 𝑔(𝑋)= 𝑓(𝑋)+ 𝑔(𝑋)

    (2) 𝑐 𝑓(𝑋)= 𝑐 ・ ⟨𝑓(𝑋)𝑐

    10.1.2 概公概公

    , 𝐴𝑃(𝐴),

    𝐵𝐴, ,

    𝑃(𝐴|𝐵)

    𝑃(𝐴|𝐵) =

    𝑃(𝐴𝐵)

    𝑃(𝐵)


    ,
    𝑃(𝐴𝐵)是事𝐴𝐵

    𝐴𝐵𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴)

    件集{𝐴1,𝐴2, ・ ・ ・ ,𝐴𝑛}两两

    𝑃(𝐴𝑖) > 0(𝑖 = 1, 2, ・ ・ ・ , 𝑛)

    Σ︀𝑛

    𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖) = 1

    (1)𝐵

    𝑃(𝐵) =

    Σ︁𝑛

    𝑖=1

    𝑃(𝐴𝑖𝐵) =

    Σ︁𝑛

    𝑖=1

    𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖),

    个公

    – 124 – – 2014


    (2)𝐵(𝑃(𝐵) > 0)

    𝑃(𝐴𝑘|𝐵) =

    Σ︀𝑃(𝐴𝑘)𝑃(𝐵|𝐴𝑘) 𝑛

    𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖)𝑃(𝐵|𝐴𝑖)


    ,
    个公概公

    10.2 ()

    10.2.1

    10.1 Galton board, http://probability.ca/jeff/java/utday/

    10.1Galton board𝑥 = 0

    𝑥 = 0,・}1,・}2, ・ ・ ・

    (50%)

    𝑁𝑥 = 𝑚(𝑚𝑁

    )

    𝑃(𝑚) =

    (︀ 𝑁! 𝑁+𝑚



    2
     
    )︀
    !
    (︀𝑁𝑚



    2
     
    )︀
    !
    (︂
    1

    2
    )︂𝑁


    .
    𝑋 = 𝜉1+𝜉2+・ ・ ・+𝜉𝑁

    𝑃(𝜉𝑖 = 1) = 𝑃(𝜉𝑖 = 1) = 1



    2
     
    – 2014– – 125 –

    10.2. ()

    ()

    𝜉1, 𝜉2, ・ ・ ・ , 𝜉𝑁𝑁𝑋 = 𝜉1 +

    𝜉2 + ・ ・ ・ + 𝜉𝑁𝑁𝜇𝑁𝜎2

    𝜇𝜎2𝜉𝑖

    该高

    𝑝(𝑋 = 𝑚) =


    1
    𝜎
    2𝑁𝜋

    𝑒(𝑚𝑁𝜇)2

    2𝑁𝜎2 .

    𝜇 = 0𝜎2 = 1

    10.2.2 动到

    𝑋𝑛n

    𝑝𝑛(𝑚) = 𝑃(𝑋𝑛 = 𝑚)

    𝑝𝑛(𝑚) =


    1

    2
    𝑝𝑛1(𝑚 1) +


    1

    2
    𝑝𝑛1(𝑚 + 1). (10.1)

    设时 𝑡 𝑥, 𝑢(𝑥, 𝑡)



    𝑑𝑒𝑓
     
    =
    𝑝 𝑡Δ𝑡

    ( 𝑥

    Δ𝑥 )

    𝑥


    𝑢(𝑥, 𝑡 + 𝑡) =


    1

    2
    𝑢(𝑥 𝑥, 𝑡) +


    1

    2
    𝑢(𝑥 + 𝑥, 𝑡). (10.2)


    𝑢(𝑥, 𝑡 + 𝑡) 𝑢(𝑥, 𝑡)

    𝑡


    =
    ( 𝑥)2

    2 𝑡


    𝑢(𝑥 𝑥, 𝑡) + 𝑢(𝑥 + 𝑥, 𝑡) 2𝑢(𝑥, 𝑡)

    ( 𝑥)2 ,

    ()

    𝜕𝑢(𝑥, 𝑡)


    𝜕𝑡
    = 𝐷

    𝜕2𝑢(𝑥, 𝑡)

    𝜕𝑥2 , (10.3)

    𝐷 = 𝑥)2

    𝑡



    lim
    Δ𝑡0

    ( 𝑥)2

    𝑡


    (10.4)
    单纯



    – 126 – – 2014


    𝐷 = 𝑥)2

    𝑡

    𝑌𝑡 = limΔ𝑡0 𝑋 𝑡

    Δ𝑡

    𝑋 𝑡

    Δ𝑡


    =
    Σ︀ 𝑡

    Δ𝑡

    𝑖=1 𝜉𝑖

    0( 𝑥)2 𝑡

    Δ𝑡 = 2𝐷𝑡以验𝑌𝑡

    (10.3)𝑢(𝑥, 𝑡)𝑌 2

    𝑡 = 2𝐷𝑡mean

    square displacement (MSD)方法(

    10.310.410.5)2𝑑𝐷𝑡 = ⟨‖ 𝑋𝑡 𝑋0 2d

    D

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