当
Π
t
=
λ
t
时，
C
(
t
)
有与
N
(
t
)
一样的分布，则称
C
(
t
)
是由
Π
t
生成的
Cox
过程
.
现
65
第五章
分数阶奇异扩散方程的随机表示
令
Π((
s,
t
])
=
S
α
(
t
)
−
S
α
(
s
)
，
则此时由
Π
t
生成
C
(
t
)
是一个
Cox
过程，
且是一个更新
过程，
有
u
(
t
)
=
E
[
C
(
t
)]
=
E
[
S
α
(
t
)]
=
t
α
Γ(
α
+
1)
.
(5.6.25)
由文
[
?
]
的定理
1
，
可知
E
[
n
∏
i
=1
(
S
α
1
(
t
i
)
−
S
α
1
(
s
i
))
k
i
]
=
n
∏
i
=1
(
k
i
)!
∫
C
k
i
∏
j
=1
u
(
dx
j
−
x
j
−
1
)
(5.6.26)
其中，
0
≤
s
1
<
t
1
≤
s
2
<
·
·
·
<
t
n
and
k
i
∈
N
\
{
0
}
，
满足
k
1
+
k
2
+
·
·
·
+
k
n
=
k
,
and
C
=
{
x
0
,
·
·
·
,
x
k
:
x
0
=
0
,
s
i
<
x
k
0
+
···
+
k
i
−
1
+1
<
x
k
0
+
···
+
k
i
≤
t
i
,
i
=
1
,
·
·
·
,
n,
k
0
=
0
}
.
故有
E
[
∫
t
0
f
1
(
t
1
)
∫
t
1
0
f
2
(
t
2
)
·
·
·
∫
t
n
−
1
0
f
n
(
t
n
)
dS
α
(
t
n
)
·
·
·
dS
α
(
t
2
)
dS
α
(
t
1
)
]
=
∫
t
0
f
1
(
t
1
)
R
0
D
1
−
α
t
1
E
[
∫
t
1
0
f
2
(
t
2
)
dS
α
(
t
n
)
·
·
·
∫
t
n
−
1
0
f
n
(
t
n
)
·
·
·
dS
α
(
t
2
)
]
dt
1
.
其中，
f
1
,
f
2
,...,
f
n
为任意函数
.
以此类推，
可以得到上式的最终表达式。
该结果可
推广至，
对于
g
1
(
x
)
,
g
2
(
x
)
,...,
g
n
(
x
)
∈
C
∞
((
−∞
,
+
∞
)),
有
E
[
∫
t
0
f
1
(
t
1
)
g
1
(
∫
t
1
0
d
1
(
τ
)
dS
α
(
τ
))
∫
t
1
0
f
2
(
t
2
)
g
2
(
∫
t
2
0
d
2
(
τ
)
dS
α
(
τ
))
·
·
·
∫
t
n
−
1
0
f
n
(
t
n
)
·
g
n
(
∫
t
n
0
d
n
(
τ
)
dS
α
(
τ
))
dS
α
(
t
n
)
·
·
·
dS
α
(
t
2
)
dS
α
(
t
1
)
]
=
∫
t
0
f
1
(
t
1
)
R
0
D
1
−
α
t
1
E
[
g
1
(
∫
t
1
0
d
1
(
τ
)
dS
α
(
τ
))
∫
t
1
0
f
2
(
t
2
)
g
2
(
∫
t
2
0
d
2
(
τ
)
dS
α
(
τ
))
·
·
·
∫
t
n
−
1
0
f
n
(
t
n
)
g
n
(
∫
t
n
0
d
n
(
τ
)
dS
α
(
τ
))
dS
α
(
t
n
)
·
·
·
dS
α
(
t
2
)
]
dt
1
.
这里只需对
g
1
(
x
)
,
g
2
(
x
)
,...,
g
n
(
x
)
泰勒展开即可得到上式。
对于随机微分方程
（
5.6.17
）
,
可以把它看成
dX
(
ξ
t
,
η
t
)
=
F
(
X
(
ξ
t
,
η
t
))
dξ
t
+
√
D
(
X
(
ξ
t
,
η
t
))
dB
(
η
t
)
.
(5.6.27)
其中
ξ
t
=
∫
t
0
f
(
t
1
)
dS
α
(
t
1
),
η
t
=
∫
t
0
d
(
t
1
)
dS
α
(
t
1
).
又由于
F
(
x
),
D
(
x
)
∈
C
∞
((
−∞
,
+
∞
))
因此只要随机微分方程
（
5.6.17
）
的解存在，
则其必然可以表示成关于
ξ
t
,
η
t
,
B
(
η
t
)
的
累次积分
.
66
第五章
分数阶奇异扩散方程的随机表示
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
t
S
α
(
t
)
图
5.5
随机过程
S
α
(
t
)
的样本轨道
同样由次扩散下的
Itˆ
o
积分
（
5.6.21
）
,
可以得到式
（
5.6.22
）
.
由于
F
(
x
)
e
ikx
,
D
(
x
)
e
ikx
∈
C
∞
((
−∞
,
+
∞
)),
故有
E
[
ik
∫
t
0
f
(
t
1
)
F
(
X
(
t
1
))
e
ikX
(
t
)
dS
α
(
t
1
)
]
=
ik
∫
t
0
f
(
t
1
)
R
0
D
1
−
α
t
1
E
[
F
(
X
(
t
1
)
e
ikX
(
t
1
)
)
]
dt
1
.
E
[
k
2
2
∫
t
0
d
(
t
1
)
D
(
X
(
t
1
))
e
ikX
(
t
)
dS
α
(
t
1
)
]
=
k
2
2
∫
t
0
d
(
t
1
)
R
0
D
1
−
α
t
1
E
[
D
(
X
(
t
1
)
e
ikX
(
t
1
)
)
]
dt
1
.
因此，
有
∂
∂t
E
[
e
ikX
(
t
)
]
=
ikf
(
t
)
R
0
D
1
−
α
t
E
[
F
(
X
(
t
)
e
ikX
(
t
)
)
]
−
k
2
2
d
(
t
)
R
0
D
1
−
α
t
E
[
D
(
X
(
t
)
e
ikX
(
t
)
)
]
.
所以说随机过程
X
(
t
)
(
见式
(5.6.17))
是分数阶微分方程方程
(5.6.3)
的随机表示
,
证
毕
.
67
No comments:
Post a Comment