吕龙进博士毕业论文 第六章
分数阶奇异扩散方程在金融中的应用
§
6.1
简介
随着全球经济的发展和科学技术水平的不断提高
,
金融市场在带来巨大收益的
,
同时也蕴含了极大的风险
,
因此投资者为了能够更好的在规避风险的基础上获得更
大的收益
,
其对于新型金融工具的需求变得越发强烈
.
在这种环境下
,
期权应运而生
,
期权是指未来的选择权
,
其赋予了期权的持有者
(
多头
)
一种权力而不必承担义务
,
可以按预先敲定的价格购买或者出售一定数量的资产
.
也就是说期权是指其持有人
具有在确定的时间内
,
按照买卖双方约定的价格
(
简称协议价格或者执行价格
)
购买
或者销售一定数量某种金融资产
(
又称标的资产
)
的权利
,
并且不必承担必须购买或
者销售标的资产的义务的合约
.
期权的持有者为了获得这个权利向期权出售者支付
了一定的费用
,
称为期权费或者期权的价格
.
期权被赋予了一种权利
,
那这种权利的
价格又是多少呢？
最著名的期权定价模型为
1973
年
Black
和
Scholes
在其论文《
The
pricing
of
op-
tions
and
corporate
liabilities
》
[50]
中提出的
Black-Scholes
期权定价模型
.Black-
Scholes
期权定价模型的假设条件为
:(1)
市场的无摩擦性
,
主要包括
:
无税收
,
无交易成
本
,
所有的资产都可以进行无限细分
,
没有卖空的限制
;
（
2
）
在期权有效期内
(
即从时
刻
t
=
0
到
t
=
T
,
无风险利率
r
为常数
,
投资者可以以此利率无限制的进行借贷
;C3
在
期权有效期内
,
期权的标的资产股票没有红利支付
;(4)
不存在无风险套利机会
;(5)
标
的股票资产的价格变化遵循对数正态分布的随机过程
,
主要包括以下条件
:a)
股票价
格连续变化
,
b)
在整个期权生命周期中股票的预期收益和收益方差保持不变
,
c)
在任
何时段股票的收益和其他时间段股票的收益相互独立
,
d)
任何时间段股票的复利收
益率服从正态分布
.
在以上假设条件下
,
股票价格的运动遵循几何布朗运动
,
也称为
股票价格的
Itˆ
o
过程
,
即
dS
t
=
µS
t
dt
+
σS
t
dB
t
(6.1.1)
其中
,
S
t
为股票价格
,
B
t
为标准布朗运动
,
µ
为股票价格在单位时间内的期望收益
率
(
以连续复利表示
),
σ
为股票价格的波动率
,
也就是证券收益率在单位时间内的标
71
第六章
分数阶奇异扩散方程在金融中的应用
准差
.
Black-Seholes
期权定价方法的基本思想是
[81]:
衍生资产的价格及其所依赖的标
的资产价格都受同一种不确定因素的影响
,
二者遵循相同的伊藤过程
.
如果通过建立
一个包含恰当的衍生资产头寸和标的资产头寸的资产组合
,
可以消除随机项
,
标的
资产头寸与衍生资产头寸的盈亏可以相互抵消
.
由这样构成的资产组合为无风险的
资产组合
,
在不存在无风险套利机会的情况下
,
该资产组合的收益应等于无风险利
率
,
由此可以得到欧式期权的
Black-Seholes
定价模型
,
其在
t
时刻的价格
V
(
S,
t
)
满足
带偏微方程
∂V
∂t
+
1
2
σ
2
S
2
∂
2
V
∂S
2
+
rS
∂V
∂S
−
rV
=
0
,
(6.1.2)
满足边值条件
V
(
S,
T
)
=
(
S
T
−
K
)
+
,
call
option
(
K
−
S
t
)
+
,
put
option.
(6.1.3)
其中
,
T
是期权的到期日
,
K
为期权的执行价格
.
由此可得
,
欧式看涨期权（
Call
Option
）
在
t
时刻的价格
C
(
S,
t
)
为
C
(
S,
t
)
=
SN
(
d
1
)
−
Ke
−
r
(
T
−
t
)
N
(
d
2
)
(6.1.4)
欧式看跌期权
（
Put
Option
）
在
t
时刻的价格
P
(
S,
t
)
为
P
(
S,
t
)
=
Ke
−
r
(
T
−
t
)
N
(
−
d
2
)
−
SN
(
−
d
1
)
(6.1.5)
其中
N
(
d
)
表示正态分布的累积函数
,
即
N
(
d
)
=
1
√
2
π
∫
d
−∞
e
−
1
2
x
2
dx,
d
1
=
lnS/K
+
(
r
+
1
2
σ
2
)(
T
−
t
)
σ
√
(
T
−
t
)
,
d
2
=
lnS/K
+
(
r
−
1
2
σ
2
)(
T
−
t
)
σ
√
(
T
−
t
)
=
d
1
−
σ
√
T
−
t.
从理论意义上讲
,
有关期权定价的理论可以说是经济学领域最伟大的发现
,
从
金融期权研究得出的原理、
方法和结论可以广泛运用于宏、
微观经济和管理问题的
分析和决策
,
因此研究期权定价理论
,
对于促进金融市场的繁荣和发展以及金融理
论的扩展都有着具有十分重要的意义
.
进行新型期权产品的创新对于进行风险控制
72
第六章
分数阶奇异扩散方程在金融中的应用
和风险管理有着很好的实用价值
.
但是历史数据表明
,
这个结果与实际观测到的并
不十分相符
,
其根源在于
（
1
）
模型假定了股票价格服从几何布朗运动
,
其本质是假
设收益率是服从正态分布
,
而在现实中
,
由于经常会有突发性事件影响整个金融走
势
,
导致了收益率分布与正态分布相比具有尖峰厚尾性；
（
2
）模型假定了收益率的
波动率是常数
,
这导致了隐含波动率也是一个常数
,
而从期权市场上观测到的隐含
波动率具有微笑现象
.
为了处理这两个问题
,
当前主要采取的方法有两个
,
其一是将
模型中的布朗运动推广成其他更一般的随机过程
,
如
L´
e
vy
过程
[83],
或者分数布朗
运动
[84]
等等；
其二是将常数波动率推广为随机的
,
如假设波动率为一个
GARCH
模型
[82,85].
虽然根据第三章的分析
,
可以知道
L´
e
vy
过程也会导致收益率具有尖峰
厚尾性质
（见图
5.4
）
,
但是
L´
e
vy
过程具有独立增量的性质
,
即未来价格不依赖过去
价格
,
而历史数据常常表现为长程相依
,
且有记忆效果
[86]
;
而分数布朗运动虽然具
有长程相依和记忆效果
,
却服从正态分布
.
本章将利用前面几章讨论所得到的结果
,
假设股票价格服从次扩散的几何布朗运动
,
然后给出欧式看涨（看跌）
期权的定价
公式
.
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