§1−3 函數的基本概念
(甲)函數的概念
16 世紀中葉,歐洲科學革命的興起,科學和技術有了長足的進步,有關運
動的研究已在自然科學領域中逐漸居主導的地位,這就影響了數學研究的方
法:從定量觀念為中心轉移到以變量觀念為中心,而實現這一轉變的關鍵人物
是笛卡爾、牛頓、萊布尼茲,函數的概念在解析幾何、微積分誕生的背景下,
被引入數學的殿堂。
現在公認最早的函數定義是由 德國 數學家 萊布尼茲 給出的,他在一篇手稿
中,首先採用「函數」(拉丁文functio,英文function)一詞,並用函數表示曲線
上的點的「橫坐標」、「縱坐標」、「切線長度」等,由此可見一開始人們對
於函數的認識是相當膚淺的,後來函數的概念經過一次一次的修正,內涵逐漸
的擴大,瑞士數學家歐拉在他寫的「無窮小分析引論」書中明確指出:變量的
函數是由這個變量和一些定量通過任何方式形成的解析表達式」,例如:
f(x)=x 2 ,這個定義在 18 世紀被認為是標準的函數概念。西元 1821 年,法國數
學家柯西在「分析教程」中給出了自變數的概念,並且初步有了對應的概念,
不過他並沒有特別強調。西元 1837 年德國數學家狄利克雷引入新的函數定義:
對於某區間上每個確定的x值,只要y有完全確定的值與之對應,不論x,y所建立
之對應方式為何,y都稱為x的函數。
⎧1 , x為有理數
有名的狄利克雷函數f(x)= ⎨ ,就說明了 狄利克雷對於函數的看法。
⎩0 , x為無理數
19 世紀末,德國數學家 Cantor 創立了集合論,人們把函數的定義提昇到更
抽象的層次:設 A、B 是非空的集合,,f 是一法則,若 A 中的每個元素 x,經
由法則 f,總有集合 B 中確定的元素 y 與之對應,則稱 f 是定義於集合 A 上的
一個函數。這個抽象的定義,提煉出函數概念的精隨,使它為 17 世紀函數概念
萌芽、發展做了一個完美的結果,也使得函數在 20 世紀有更廣泛的應用。
(1)函數的定義:
例一:
設高中一年級某班學生的座號與體重之間的關係如下表所示:
座號 1 2 3 4 5 .... 45 46 47
體重 63 公斤 56 公斤 75 公斤 70 公斤 55 公斤 ... 67 公斤 75 公斤 63 公斤
對於這班的學生每個人都有唯一的一個座號,每一個座號都有一個體重值
(公斤)與之對應。
例二:
設正方形的面積A是由它的邊長x所決定,即A=x 2,當邊長x確定了,則面積A亦
隨之確定。換句話說,給定一個邊長x,都有一個面積值與之對應。
就是這樣！
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