tensor01 反協變向量以座標參數的變化（遞增）方向來作為方向參考的依據,協變向量則以正交於等座標曲面方向（即法方向）來作為方向參考的依據

張量：定義、基本操作 與 實例

 

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前言：追求與座標變換下公式的不變性

座標變換下，分量的分量會消長變化，但向量則保持不變。
物理量中，比向量複雜的量還很多，例如固體的彈性係數（"張"量名稱之來源）。我們要怎麼來制定與特定座標系之選定無關的物理量描述方式？（若不在意這個，根本連向量都不必定義了，不過就當它們是不相干的三個數罷了。）
除了物理量本身外，物理量的導數 (各種向量場微分) 也經常出現在公式中，我們也會希望在座標轉換下形式不變。但想達到這一點，一開始就必須採用不同的曲線性座標己有之複雜的通式。
思考：已知向量場微分算子通式較複雜，必須在卡氏座標系才較簡單的情況下，讓我們想想數學形式為何獨厚卡氏座標系？它有何特殊之處？此一特性是否有機會也建構給非卡氏座標系？

張量的定義、實例與張量分析

張量的定義

與向量一樣，張量也是根據其作座標變換下的轉換規則模式來定義與分類的。事實上，向量也是屬於張量的一種。
 

從本節開始，我們把向量分量的指標寫為上標

也就是說， x¹ = x¹(x'₁, x'₂, x'₃),   x² = x²(x'₁, x'₂, x'₃), x³ = x³(x'₁, x'₂, x'₃)

思考：這裏的 x¹ = x¹(x'₁, x'₂, x'₃) 會是什麼樣子呢？能是什麼樣子呢？

座標變換所使用的矩陣，卡氏座標間要轉換所對應到的矩陣形式很簡單。現在我們問，曲線性座標系呢？公式不可能會一樣了吧？（軸向量的方向隨座標而變。）以下建立轉換矩陣：
當座標變換進行時，座標微小量的變換 (的微積分) 規則如下(重要)：

上式中 ν 是要加總的，即 dx^μ = Σ_ν (∂x^μ/∂x'^ν) dx'^ν
Einstein's summation convention : 碰到一上一下指標是成對出現時，自動執行該座指標的加總，換具話說，對應該指標的 Σ 符號逕自省略，如下例：


範例：座標軸轉動 θ 角，座標反轉 θ 角

如何記？基底 正交、歸一，把單位向量轉動到另一個單位向量
x' = x cos(-θ) + y sin(-θ) = x cosθ − y sinθ
y' = - x sin(-θ) + y cos(-θ) = x sinθ + y cosθ
∂x'/∂x = cosθ 、 ∂x'/∂y = -sinθ
∂y'/∂x = sinθ 、 ∂y'/∂y = cosθ
 

 

協變、反協變向量

學向量到現在，接觸到的有方向的東西，卻有兩種不同的轉換方式。一種是向量的分量，另一種是切線（常被拿來作為基底向量），但它們的轉換方式卻不一樣：
其中，有一類是循向量之座標分量的規則來作轉換，叫反協變 (contravariant) 向量

問題：從針對座標微小量而言成立的轉換公式，為什麼對不是微小量的也是對？可以這樣偷渡嗎？
（關鍵是：座標轉換是線性的，故微小向量與一般向量使用同一個矩陣作轉換。）

另一類，轉換矩陣與上述 contravariant vector 者的結構必須呈倒數，叫協變 (covariant) 向量

純量函數之梯度向量，以及基底向量屬之。

注意轉換公式與指標之搭配情形。

問題：為什麼純量函數梯度的座標轉換就需要這麼轉？（自行驗證）
（光看出現符號的位置，即上下有別）

A^μ 這個符號既是代表分量，我們也常直接用它來描述整個張量。

思考：

之間有何不同？
一定只有兩種？

微小變化，只有 dx 及 d/dx。一個出現在分子，另一個其原本也是 dx，但出現在分母。微分運算只能有這兩種。

反協變向量的範例是：速度、加速度
協變向量的範例是：靜電位梯度（即靜電場）

幾何意義

反協變向量以座標參數的變化（遞增）方向來作為方向參考的依據
協變向量則以正交於等座標曲面方向（即法方向）來作為方向參考的依據
在卡氏座標系下，座標參數的變化恰與等座標曲面法方向一致，故無差別。
補充：

拿同一座標的
A = A^μ e_μ= A_^μ e^μ
其中 e_μ·  e^ν = δ _μ^ν，它們互為 dual 基底向量

補充：[畫在黑板上]

反協變向量 A^μ 為（任意非正交）基底 e_μ 的係數，因此用作圖法畫向量的話，是各基底向量乘倍數後，平移頭尾連（平行四邊形表法）。
而與協變向量的分量 A_μ 則是 A_μ= A · e_μ 。（注意此處下標的承續沿用） （錐形表法）
 

想想看在什麼情況下，A^μ 與 A_^μ不同？ （回憶 A = A^μ e_μ= A_^μ e^μ）
(係數的倍數與投影的長度怎樣會不同，又與向量長度的關係為何？)

 

二級張量

T_μν = (∂x'^α/∂x^μ) (∂x'^β/∂x^ν) T ' _αβ

(此式課文沒印成上標，小心)

T^μ_ν = (∂x^μ/ ∂x'^α) (∂x'^β/∂x^ν) T '^α_β
看清楚有 prime 及 沒 prime 自變數出現在分母及分子位置的規則，不要眼花了。

一個張量所帶的自由指標數目，叫做張量的級或階 (rank)。

 

張量間的基本運算（與性質）

相等

每個元素相同（相等）
 

相加

同個數大小者才能相加，加完仍是張量。
 

外積

元素各自直接相乘。例如 A_μ^να 與 B^β_λ 外積得 C _μλ^ναβ。張量外積仍是一張量。
 

縮約 (contraction)

選出一對的協變（下）、反協變（上）指標，設成相同，即進行 summation convention 加總。一個張量縮約之後仍是張量。
 

內積

外積後選一對上下指標後縮約。
（一個張量就好像是好幾個向量綁在一起，因此談到要做內積，可自不同的指標找一對縮約，降低維度。）
思考：張量內積是縮約，而縮約僅發生在對一上一下的對標指配，為什麼要上下配一對的才叫內積？內積的意義與特性是什麼？
 

對稱性與反 對稱性

如 A_αβ = A_βα，叫做對稱張量
A_αβ = - A_βα 者，叫做反對稱張量

 

物理中的例子（補充）

介電常數 ε_ij
彈性常數 η_ijkl

 

商律（選）

以上下指標寫出之量 Q^α..._μ... 未必是張量（因為來自與其他張量共組成數式的緣故，最有名的例子是 克里斯多菲爾符號 Γⁱ_jk，見後），以下方法可判定：

X 不知是否為張量，若 X 與任意張量之內積仍為 張量，則 X 為一張量。

隨堂測驗：

1. contravariant 與 covariant 向量各需遵守什麼樣形式的座標轉換？
2.

 

 

© Ming-Hsien Lee