phymath999: Quadratic 若一自由度xn只作為一個二次項anxn2於哈密頓函數H中出現, 熱能kbt=這自由度向平均能量所H提供的兩倍。因此二次能量系統的均分定理

Sunday, February 9, 2014

Quadratic 若一自由度xn只作為一個二次項anxn2於哈密頓函數H中出現, 熱能kbt=這自由度向平均能量所H提供的兩倍。因此二次能量系統的均分定理

若一自由度x_n只作為一個二次項a_nx_n²於哈密頓函數H中出現

http://oga.nthu.edu.tw/userfiles/files/02_ts/2elite/share/2007-937111.pdf

能量均分定理的通用公式化[编辑]

均分定理最通用的形式^[3]^[7]^[30] 明確表示在適當的假設下（下文會討論），對一個有哈密頓能量函數H及自由度x_n的物理系統而言，以下均分公式於熱平衡時對任何值的指數m及n都有效：

$\!{\Bigl \langle }x_{{m}}{\frac {\partial H}{\partial x_{{n}}}}{\Bigr \rangle }=\delta _{{mn}}k_{{B}}T.$

這裏δ_mn為克羅內克爾δ，當m=n時為一而其他情況為零。平均用的括號 $\left\langle \ldots \right\rangle$ 可以代表一個單系統長時間的平均，或，更多地是，相空間的系綜平均。定理內含的遍歷性假設意味着這兩個平均相符，而且都被用於複雜物理系統的內能估算。
通用均分定理在系統總能量恒定時於微正則系綜有效，^[7] 在跟能交換能量的熱庫耦合時於正則系綜亦都有效。^[3]^[31] 通式的推導在下文。
通式與以下兩式等價

對所有n， ${\Bigl \langle }x_{{n}}{\frac {\partial H}{\partial x_{{n}}}}{\Bigr \rangle }=k_{{B}}T$
對所有m≠n， ${\Bigl \langle }x_{{m}}{\frac {\partial H}{\partial x_{{n}}}}{\Bigr \rangle }=0$

若一自由度x_n只作為一個二次項a_nx_n²於哈密頓函數H中出現，則可從第一式引出

$k_{{B}}T={\Bigl \langle }x_{{n}}{\frac {\partial H}{\partial x_{{n}}}}{\Bigr \rangle }=2\langle a_{n}x_{n}^{2}\rangle ,$

即這自由度向平均能量 $\langle H\rangle$ 所提供的兩倍。因此二次能量系統的均分定理結果很容易就出來了。用一個相近的論點，將2換成s，以a_nx_n^s的形式應用於能量中。
自由度x_n是系統相空間的坐標，因此一般被細分成廣義位置坐標q_k及廣義動量坐標p_k，其中p_k為q_k的共軛動量。此時，1式對所有k值而言

${\Bigl \langle }p_{{k}}{\frac {\partial H}{\partial p_{{k}}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }q_{{k}}{\frac {\partial H}{\partial q_{{k}}}}{\Bigr \rangle }=k_{{B}}T.$

使用哈密頓力學的方程，^[6] 這些式子可被寫成

${\Bigl \langle }p_{{k}}{\frac {dq_{{k}}}{dt}}{\Bigr \rangle }=-{\Bigl \langle }q_{{k}}{\frac {dp_{{k}}}{dt}}{\Bigr \rangle }=k_{{B}}T.$

另外式2明確指出平均為

${\Bigl \langle }q_{{j}}{\frac {\partial H}{\partial q_{{k}}}}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }q_{{j}}{\frac {\partial H}{\partial p_{{k}}}}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }p_{{j}}{\frac {\partial H}{\partial p_{{k}}}}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }p_{{j}}{\frac {\partial H}{\partial q_{{k}}}}{\Bigr \rangle },\quad {\Bigl \langle }q_{{k}}{\frac {\partial H}{\partial p_{{k}}}}{\Bigr \rangle },$ 及 ${\Bigl \langle }p_{{k}}{\frac {\partial H}{\partial q_{{k}}}}{\Bigr \rangle }$

若j≠k則皆為零。

與均功定理的關係[编辑]

参见：均功定理及哈密頓力學

通用均分定理是均功定理的一個延伸。均功定理於1870年被提出，^[32] 它明確指出

${\Bigl \langle }\sum _{{k}}q_{{k}}{\frac {\partial H}{\partial q_{{k}}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\sum _{{k}}p_{{k}}{\frac {\partial H}{\partial p_{{k}}}}{\Bigr \rangle }={\Bigl \langle }\sum _{{k}}p_{{k}}{\frac {dq_{{k}}}{dt}}{\Bigr \rangle }=-{\Bigl \langle }\sum _{{k}}q_{{k}}{\frac {dp_{{k}}}{dt}}{\Bigr \rangle },$

其中t代表時間。兩個關鍵性的分別在於均功定理聯繫的是平均的總和而不是個別的平均，而且跟溫度T沒有關係。另一個分別是均功定理的傳統推導使用時間的平均，而均分定理則用相空間的平均。

quadratic - 二次

Quadratic equation - Wikipedia, the free encyclopedia

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In elementary algebra, a quadratic equation (from the Latin quadratus for "square") is any equation having the form. ax^{2}+bx+c=0. where x represents an ...

‎Quadratic function - ‎Solving quadratic equations - ‎Completing the square

Quadratic Equations - Math is Fun

www.mathsisfun.com/algebra/quadratic-equation.html‎
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The name Quadratic comes from "quad" meaning square, because the variable gets squared (like x2). It is also called an "Equation of Degree 2" (because of the ...

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