《走近混沌》-20-混沌魔鬼‘不稳定’
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王二正在总结他的演讲，谈到他计划中的毕业论文课题：
“你们知道，我们这个由各类生物群体组成的大千世界，盘根错节、繁杂纷纭；天下万物，互相制约、互相依存；自然界中形形色色的动植物不停地出生、繁殖、变化、死亡，时而大浪淘沙、优胜劣汰；时而又相辅相成、维持平衡。在永不间断的争争斗斗、生生死死中, 各种生物群体的数目变化莫测，有时侯表现一定程度的周期性, 有时侯又貌似一片混沌，的确有些类似于上两章中所研究的逻辑斯蒂方程的解的行为。我正在想，用逻辑斯蒂方程为基础，是否可能找出一个描述包括多种生物竞争，群体数如何变化的生态模型来……”
王二的想法引起了好几个生物相关专业学生的兴趣，他们聚在一起开始热烈讨论生态学的问题。
其实，逻辑斯蒂方程不仅在生态研究方面意义重大，在别的领域也有诸多应用。是啊，逻辑斯蒂映射看起来太简单了，只有1个变量，1个方程，却能表现出混沌系统的种种特征。还记得我们曾经讨论过的其它混沌系统，比如洛伦茨系统和三体问题吗？相对于它们的原始问题来说，最后的方程也算够简单了，但是，仍然有三个变量、三个微分方程。
混沌理论的老祖宗庞加莱曾经提出一个定理，稍后被瑞典数学家本迪克松证明，说的是混沌现象只能出现在三维以上的连续系统中。但这个定理不适用于离散系统，逻辑斯蒂迭代方程所描述的就是一个特别简单的1维离散系统。混沌魔鬼在这个简单系统中轻巧地跳出来，成为混沌研究者们的最爱。
李四对此深有体会，因为他正在做一个与流体力学、湍流等有关的课题，涉及的系统很复杂。当系统维数太多想不清楚时，李四就总是回到最简单的一维逻辑斯蒂方程，用图形的方法来考虑问题，感觉容易多了。不过，张三今天却说：
“总的来说，1个变量的确比3个变量简单很多。不过，有时候，3维的图像也挺直观的。比如说你看，当我用计算机画奇异吸引子的时候，画出来的洛伦茨吸引子多漂亮！洛伦茨方程的解，是随时间变化而无限绕下去、却又永不重复的轨道，在三维空间中画出来，好像一只翩翩起舞、展翅欲飞的蝴蝶。可是，这个逻辑斯蒂方程的吸引子，用图形表示就不好看了。”
张三的说法不无道理。对逻辑斯蒂方程来说，每个不同的k值都有一个吸引子，在‘平衡’区域，吸引子是1个固定点；在‘双态平衡’区域，吸引子是2个固定点；在‘多态平衡’区域，吸引子是多个分离的固定点；而在‘混沌’区域，吸引子是连成一片的点；最后的状态在这些点无规律地蹦来蹦去，到底是如何蹦的？分岔图上对具体过程显示得并不清楚。不过，我们可以用如图（20.1）所示的逻辑斯蒂迭代图，清楚地看到在不同k值下，迭代过程中xn的收敛情形。
图（20.1）中，标为红色的是迭代的最后过程。图中的抛物线对应于逻辑斯蒂方程右边的非线性迭代函数（xn+1 = kxn·（1-xn））。
从左向右看：第一个小图中的xn最后收敛于一个红点；第二个小图中的xn最后收敛于一个红色矩形，标志着有两个不同的x值；而第三个小图中的xn最后收敛的红色区域，是在4个不同的x值中循环；最右边的‘混沌’情况，大家一看圈来圈去的红色曲线便明白了：有点类似于洛伦茨的蝴蝶图了，这是魔鬼现身的表现！
图（20.1）：不同k值下的逻辑斯蒂迭代图
逻辑斯蒂系统还有一个少有的优点：它所对应的微分方程可以求得精确的解析解。而大多数非线性系统是无法得出精确解的，只能用迭代法来研究数值解的定性性质，以及解的稳定性。
混沌魔鬼的出现，与参数k的数值有关，k越大，魔鬼出现的几率就越大。这其中有何奥秘呢？我们回到逻辑斯蒂方程描述的生态学，回忆一下参数k的意义是什么？k是群体数的线性增长率，与出生率有关。想到这点，我们恍然大悟：如果k比较大，群体繁殖得太多了，数目增长太快，增加社会不稳定的因素，当然就容易造成混乱，令魔鬼现身啰。
图（20.2）：不稳定和稳定
混沌的产生的确与方程的‘稳定性’有关，因此，我们有必要讨论讨论系统状态的稳定性。哪种状态是稳定的？哪种状态是不稳定的？从图（20.2）的左图中一目了然，那是在重力场中‘稳定’和‘不稳定’的概念：对小圆球来说，坡顶和坡谷都是重力场中可能的平衡状态。但是人人都知道，位于顶点的蓝色球不稳定，位于谷底的红色球很稳定。究其根源，是因为只要蓝色球开始时被放斜了那么一丁点儿，就会因不能平衡而掉下去。而红球呢，则不在乎这点起始小误差，它总能够滚到谷底而平衡。用稍微科学一点的语言来说，稳定就是对初值变化不敏感，不稳定就是对初值变化太敏感。我们将这个意思发挥扩展到逻辑斯蒂方程上，考虑图（20.2）的右图中k=2.9时，即吸引子是一个固定点的情况。这时，逻辑斯蒂方程的解应该是图中的抛物线和45度直线的交点，图中的这两条线有两个交点。因此，除了固定吸引子x无穷=0.66之外，x无穷=0也是一个解。但是，在图中所示的条件下，x无穷=0.66是稳定的解，x无穷=0却是不稳定的解。为什么呢？因为只要初始值从0偏离一点点，像图中所画的情况，迭代的最后结果就会一步一步地远离0点，沿着绿色箭头，最终收敛到x无穷=0.66这个稳定的平衡点。
研究三体问题的大数学家庞加莱，是微分方程定性理论的始创者。有关微分方程解的稳定性问题，则由另一位数学家李亚普洛夫始开先河。亚历山大·李亚普洛夫（1857-1918）是与庞加莱同时代的俄国数学家和物理学家。与稳定性密切相关的李亚普洛夫指数，便是以他命名。
如何来判定系统稳定与否？李亚普洛夫想，可以用对重力场中两个小球是否稳定的类似判定方法。于是，他研究当初值变化一点点时，看看系统的最终结果如何变化，并以此来作为稳定性的判据。更具体地说，我们可以将系统的最终结果x无穷表示成初始值x0的函数，用图形画出来。然后，系统的稳定性取决于这个函数图形的走向：它是更接近图（20.3）中的哪一种曲线呢？是向下指数衰减（λ小于0）？还是向上指数增长（λ大于0）？还是平直一条（λ等于0）？第一种情况被认为是稳定的，第二种情况被认为是不稳定的，而λ等于0则是临界状态。这儿的λ便是李亚普洛夫指数。
图（20.3）：指数函数的性质随λ变化
图（20.4）显示的便是不同k值下，逻辑斯蒂系统的李雅普诺夫指数及对应的分岔图，从中不难看出λ的符号变化与倍周期分岔的产生及混沌魔鬼出现之间的关系：k值比较小的时候，λ小于0，系统处于稳定状态；从k=3.0开始，λ有时等于0，出现分岔现象，系统变到多态平衡，但仍然是稳定的，大多数时候，λ小于0；从k>3.57开始，λ开始大于0，系统不稳定，过渡到混沌。有趣的是，混沌魔鬼露脸后又经常躲藏起来。在λ大于0的区间中，λ的数值还经常返回到小于0的数值。也就是说，混沌有时又变成有序，这对应于分岔图中（黄色图像）中的空白地带。
图（20.4）：逻辑斯蒂系统的李雅普诺夫指数及对应的分岔情形
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