§5.6 二次曲线方程的化简与分类
设在平面上给出了由两个标架 {O；i, j } 和 {O'；i', j' } 所决定的右手直角坐标系，这里i和j以及i' 和j' 是两组坐标基向量，它们是平面上的两个标准正交基，我们依次称这两个坐标系为旧坐标系和新坐标系．
由于坐标系的位置完全由原点和坐标基向量所决定，所以新坐标系与旧坐标系之间的关系，就由O' 在 {O；i, j } 中的坐标以及i' 和j' 在 {O；i, j } 中的分量所决定．
任一直角坐标变换总可以分解成移轴（也叫坐标平移）和转轴（也叫坐标旋转）两个步骤．
1．移轴
如果两个标架 {O；i, j } 和 {O'；i, j' } 的原点O与O' 不同，O' 在{O；i, j }中的坐标为 (x0，y0)，但两标架的坐标基向量相同，即有
i' = i， j' = j
那么标架 {O'；i', j'} 可以看成是由标架 {O；i, j } 将原点平移到O'点而得来的（图5.7.1）．这种坐标变换叫做移轴（坐标平移）．
设P是平面内任意一点，它对标架 {O；i, j} 和 {O'；i', j'} 的坐标分别为 (x，y) 与 ( )，则有
但  ，
 ，
于是有
故 {x，y} = {x0，y0} ＋ {x'，y' }
|
|
根据向量相等的定义得移轴公式为
|
图5.6.1
|
 (5.6－1)
从中解出x' 和y'，就得逆变换公式为
 (5.6－2)
2．转轴
若两个标架 {O；i, j } 和 {O'；i', j'} 的原点相同，即O = O'，但坐标基向量不同，且有∠(i，i' ) = a，则标架 {O'；i'，j'} 可以看成是由标架 {O；i，j } 绕O点旋转a 角而得来的（图5.6.2）．这种由标架 {O；i，j } 到标架 {O'；i'，j'}的坐标变换叫做转轴（坐标旋转）．
下面推导转轴公式．
设P是平面内任意一点，它对 {O；i, j } 和 {O'；i', j'} 的坐标分别为 (x，y) 与 ( )，即有
因为∠(i，i' ) = a，新旧坐标基本向量之间有关系
|
|
图5.6.2
|
于是有
因为O和O'是同一点， ，故可直接得到转轴公式：
 (5.6－3)
从（5.7－3）中解出x' 和y '，就得到用旧坐标表示新坐标的逆变换公式：
 (5.6－4)
式中的a 为坐标轴的旋转角．
（5.6－4）式也可看成是由标架 {O；i'，j'} 绕O旋转－ a 角变到 {O；i，j} 的转轴公式．
* 根据线性代数的理论，（5.6－3）可写为 ，这里的坐标变换的矩阵 是一个正交矩阵，因而其逆矩阵 ，逆变换公式可以直接由 写出．
3．一般坐标变换公式
在一般情况下，由旧坐标系O－xy变成新坐标系O'－x'y'，总可以分两步来完成．即先移轴使坐标原点与新坐标系的原点O' 重合，变成坐标系O'－ ，然后再由辅助坐标系O'－x"y" 转轴而成新坐标系O'－x'y'（图5.6.3）．
设平面上任一点P的旧坐标与新坐标分别为 (x，y) 与 (x'，y' )，而在辅助坐标系O'－x"y" 中的坐标为 (x"，y" )，那么由（5.6－1）与（5.6－4）分别得
与 
由上两式得一般坐标变换公式为
|
|
图5.6.3
|
 (5.6－5)
由（5.6－5）解出x'，y' 便得逆变换公式
 (5.6－6)
平面直角坐标变换公式（5.6－5）是由新坐标系原点的坐标 (x0, y0) 与坐标轴的旋转角 a 决定的．
4．由给定的新坐标轴确定的坐标变换
确定坐标变换公式，除了坐标平移和旋转外，还可以有其它方法．
假定已给出了新坐标系的两坐标轴在旧坐标系中的方程，并规定了一个轴的正方向，就可以确定又一种坐标变换公式．
设在直角坐标系xOy里给定了两条相互垂直的直线
同理可得 
于是在去掉绝对值符号以后，便得到一个坐标变换公式
 (5.6－7)
为了使新坐标系仍然是右手坐标系，可将（5.6－7）式与公式（5.6－4）比较来决定（5.6－7）中的符号．因
因此（5.6－7）中的第一式右端的x的系数应与第二式的右端的y的系数相等，所以（5.6－7）的符号选取要使得这两项的系数是同号的．
这种坐标变换的方法常用来在求得一般中心二次曲线的主直径的情况下，用两条主直径作为新坐标轴，把二次曲线的方程化为标准方程．
5．坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律
设二次曲线G 的方程为
F (x, y)≡ (1)
为了选择适当的坐标变换以使曲线G在新坐标系下的方程最为简单，我们必须先了解在坐标变换下二次曲线方程的系数的变化规律．因为一般的坐标变换总可以看成是由移轴与转轴组成的，我们首先分别考察在移轴与转轴下，二次曲线G 的方程（1）的系数是怎样变化的．
在移轴（5.6－1）
下，设二次曲线G 的新方程为
化简整理得：
这里  (2)
因此可得
命题5.6.1 在移轴（5.6－1）下，二次曲线方程（1）的系数的变换规律为：
1°二次项系数不变；
2°一次项系数变为 与 ；
3°常数项变为 ．
因为当（x0，y0）为二次曲线（1）的中心时，有 = 0， ，所以当二次曲线有中心时，作移轴使新原点与二次曲线的中心重合，则在新坐标系下二次曲线的新方程中就不再包含一次项．
把转轴公式（5.6－3），即
代入（1），得在转轴（5.6－3）下二次曲线（1）的新方程为
这里
 (3)
于是有
命题5.6.2 在转轴（5.6－3）下，二次曲线方程（1）的系数的变换规律为：
1°二次项系数一般要改变．新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关，而与一次项系数及常数项无关．
2°一次项系数一般要改变．新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关，与二次项系数及常数项无关．
3°常数项不变．
从（3）中的
中解出 ，得
则可看到，在转轴下，二次曲线方程（1）的一次项系数 的变换规律与点的坐标x，y的变换规律完全一致．当原方程有一次项时，通过转轴不能完全消去一次项；当原方程无一次项时，通过转轴也不会产生一次项．
二次曲线方程（1）里，若 ，我们往往使用转轴使新方程中的 ．为此，只要取旋转角a，使 即可．
令 
得  (5.6－8)
因为余切的值可以是任意实数，所以总有a 满足（5.6－8），也就是说总可以经过适当的转轴消去（1）中的xy项．
2．确定坐标变换步骤的基本原则
对任何一条二次曲线的方程，我们都可以先移轴、后转轴进行坐标变换，也可以先转轴、后移轴进行坐标变换，两种方法都可以将方程化简．
如果决定先转轴，则根据（5.6－8）可以确定坐标系的旋转角．因而无论对于何种类型的二次曲线，先转轴总是可行的．
如果决定先平移，就得先确定把旧坐标系的原点移到何处．对于中心二次曲线，我们一般把新坐标系的中心定为曲线的中心，而中心可以先求出．但对于无心二次曲线，为了得到曲线的标准方程，应该把新坐标系的中心定为曲线的顶点，而顶点却不易先求出．
于是，我们在利用坐标变换对二次曲线的方程进行化简时，一般都按照下面的原则进行：
先根据I2判断曲线的类型．
如果I2 ≠ 0，说明曲线是中心型的．应先求出中心，再移轴，然后转轴．
如果I2＝0，说明曲线是非中心型的，先转轴，消去交叉项xy后把所得的方程配方，一般就可以确定新坐标系的原点，再移轴．
经验证明，这里给出的原则可以在一定程度上减少方程化简的运算量．
3．二次曲线方程的化简实例与方法分析
以下通过对几个例题的分析，说明如何具体地对一个给定的二次曲线方程进行化简．
例1 化简二次曲线方程 ，并画出它的图形．
解 I2 = 1 × 4 － 2 2 = 0，曲线是抛物型（非中心型）的，应先转轴．
设旋转角为a，则应有：
即 
所以 
从而得  或 tana＝2
取tana＝2（若取tana＝－ 1 / 2，同样可将原方程化简），则有
所以得转轴公式为
代入原方程化简整理得转轴后的新方程为
配方得 
再作移轴 
曲线方程就化为最简形式 
或写成标准方程为
这是一条抛物线．它的顶点是新坐标系O"－x"y" 的原点，原方程的图形可以根据它在坐标系O"－x"y" 中的标准方程作出，如图5.6.1所示．
作图要点：坐标系O－xy旋转角度 ，成O'－x'y'，再把坐标系O'－x'y' 平移到（ ，0），
|
|
图5.6.4
|
得 O"－x"y"．在新坐标系O"－x"y" 中可
根据抛物线的标准方程 作图．
为了看出曲线在原坐标系中的位置，作图时需要将新旧坐标系同时画出．
例2 化简二次曲线方程
并画出它的图形．
解 因 I2＝5 × 2 － 22＝6≠0，所以曲线为中心二次曲线．解方程组
得中心为 (2，1)．取 (2，1) 为新原点，作移轴
原方程变为  ①
这里实际上只需计算F (2，1)＝－ 4，因为移轴时二次项系数不变．
再转轴消去 项．令
即 
所以 
从而得  或 tana＝－ 2
取tana＝1 / 2，可得 ，用转轴公式
|
代入 ①，可将方程化简为
标准方程是
这是一个椭圆，它的图形如图5.6.5
|
|
图5.6.5
|
所示．
要比较准确地画出新旧坐标系和曲线的图形，必须掌握好比例、新旧原点的位置以及坐标轴的旋转角．本题中坐标轴的旋转角 ．
注 本题转轴时若取tana＝－ 2，则可得 （旋转角是 ），所得的转轴公式是
得到的标准方程为  ，图形相对于原坐标系的位置不变．此时O"x"轴的正向恰好是图5.6.2中y" 轴的反向．
利用转轴消去二次曲线方程的xy项的几何意义，就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置．这是因为，如果二次曲线的特征根l确定的主方向为X︰Y，那么有
由此可得平行于主方向的斜率为
∴ 
因此，上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法，实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径（即对称轴）重合的位置．如果是中心曲线，坐标原点与曲线的中心重合；如果是无心曲线，坐标原点与曲线的顶点重合；如果是线心曲线，坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合．
根据消去二次曲线方程中交叉项的几何意义，我们在化简二次曲线（1）的方程时，也可以先求出曲线的主直径，然后以它作为新坐标轴，作坐标变换．
例3 化简二次曲线方程
并作出它的图形．
解法1 I2＝1 × 1 －  < 0，所给的二次曲线是双曲型的．
令 
解得中心坐标为 (－ 2，2) ．
作坐标平移
就将原方程化为
令 
得转轴应取的旋转角为 p / 4．故转轴
|
|
图5.6.6
|
就把二次曲线的方程化简为
即 
这是一条双曲线，其图形如图5.6.3所示．
解法2
I1＝1 ＋ 1＝2， I2＝1 × 1 － 
于是曲线的特征方程是
解得两特征根为 
因而曲线的两个主方向为
曲线的两条主直径为
与 
即 x ＋ y＝0 与x － y ＋ 4＝0
取x － y ＋ 4＝0为x' 轴，x ＋ y＝0为y' 轴，根据（5.7－7）可取坐标变换公式为
反解出x与y得
代入已知曲线方程，经过整理得曲线在新坐标系下的标准方程为
这是一条双曲线．
在作图时，必须首先确定x' 轴的正向．在变换公式的x' 表达式的右端，x项的系数为 y项的系数为 把这些系数与公式（5.7－7）比较就知道 ，因此x' 轴与x轴的交角为 ，同时从坐标变换公式也可以直接看到新坐标系的原点的旧坐标是 (－ 2，2)．当新坐标系确定之后，曲线就可以在新坐标系里按标准方程作出，其图形还是图3－7，可认为移轴和转轴是一次完成的．
两种解法相比，解法1显得简便一些，其计算量小，步骤也比较规范，具有较强的“可操作性”．但解法2强调直接根据主直径得出一般坐标变换公式，在理论上有一定的价值．
无心二次曲线只有一条主直径，若按解法2选其为坐标轴后，另一条坐标轴如何确定呢？我们可以求出这条主直径与二次曲线的交点——二次曲线的顶点，然后取过顶点垂直于已知主直径的直线作为另一条坐标轴，则可写出一般坐标变换公式，进而将二次曲线的方程化简．
例4 化简二次曲线方程 ．
解 由于I1 = 1 ＋ 1 = 2，I2 = 1 × 1 － 12 = 0，曲线是非中心型的．
解特征方程 ，得特征根为 l 1 = 2， l 2 = 0．
曲线的非渐近主方向为对应于l 1 = 2的主方向X︰Y＝1︰1，所以曲线的主直径为
即 x ＋ y ＋ = 0
将此主直径的方程与原曲线的方程联立，即求得曲线的顶点为(3 / 16，－15 / 16)．过顶点且以求得的非渐近主方向为方向的直线为
即 x － y －= 0
这也是过顶点垂直于主直径的直线．
取主直径 为新坐标系的x' 轴，取直线 为y' 轴，作坐标变换，则变换公式为
解出x与y得到 
代入已知方程，经过整理得 ，化为标准方程就是
这是一条抛物线．若要画出这条抛物线，必须确定代表x' 轴的直线的正向．设x' 轴与x轴的交角为a，则根据变换公式有 ， ，因此 ，于是 轴的正向就能确定了．新坐标轴作出后，就能在新坐标系下，根据抛物线的标准方程来作出它的图形（图形略）．
例5 化简二次曲线的方程  ．
解 所给二次曲线的矩阵为
A =
A的第一行和第二行的元素成比例，这表示F1 (x，y) = 0和F2 (x，y) = 0是同一条直线，曲线为线心曲线，它的惟一的一条直径即曲线的中心直线，也就是曲线的主直径，其方程就是F1 (x, y) = 0：
x － y ＋ 1 = 0
取其为新坐标系的x' 轴，再取任意垂直于此中心直线的直线，比如x ＋ y＝0为新坐标系的y' 轴作坐标变换，则变换公式为
解出x与y，得
代入已知方程，经过整理得
即  = 2 或 y'＝
这是两条平行直线（图5.6.4）．
对于线心曲线，我们可以直接从原方程分解为两个一次因式，从而可立即作出它的图形．如例5的方程可以改写为 
就是 
因此原方程表示两条直线
|
|
图5.6.7
|
x － y ＋ 3 = 0 与 x － y － 1 = 0
它们的图象如图5.6.4所示．
当二次曲线的方程表示两条实直线时，直接分解得到两个一次方程通常是最简单有效的化简方法，因为这样可避免进行坐标变换．除了线心曲线外，中心二次曲线是两条相交直线时，也可对原方程直接分解．
例6 化简二次曲线方程 ．
解 计算得I2 < 0，I3 = 0，可知所给二次曲线是退化的双曲型曲线，表示两条相交直线．直接将原方程左边分解因式，得
(x － y ＋ 3)(2x ＋ 3y － 7) = 0
故原二次曲线的方程表示两条相交直线
x － y ＋ 3 = 0 和 2x ＋ 3y － 7 = 0
4．二次曲线的简化方程
通过上面的例子，我们可以得出下面的一般结论．
命题5.6.3 通过适当的坐标变换，二次曲线的方程总可以化成下面三个简化方程中的一个：
（ = 1 \* ROMAN I） ；
（ = 2 \* ROMAN II） ；
（ = 3 \* ROMAN III） ．
证 二次曲线可分为中心曲线、无心曲线与线心曲线三类，现按这三种情况来讨论．
1°当已知二次曲线为中心曲线时，取它的一对既共轭又相互垂直的主直径作为坐标轴建立直角坐标系．设二次曲线在这样的坐标系下的方程为
因为这时原点就是曲线的中心，所以方程中没有一次项，即
其次，二次曲线的两条主直径（即坐标轴）的方向为1︰0与0︰1，它们互相共轭，因此必有 ．
所以曲线的方程为
（I）
又因为它是中心曲线，所以又有
2°当已知二次曲线为无心曲线时，取它的惟一主直径为x轴，取过顶点（即主直径与曲线的交点）且以非渐近主方向为方向的直线（即过顶点垂直于主直径的直线）为y轴建立坐标系，这时假设曲线的方程为
因为这时主直径的共轭方向为X︰Y＝0︰1，所以主直径的方程为
它就是x轴，即与直线y＝0重合，所以有
又因为顶点与坐标原点重合，所以 (0，0) 满足曲线方程，从而又有a33 = 0．
因而曲线的方程为
（II）
3°当已知二次曲线为线心曲线时，取它的中心直线（即曲线的惟一直径，也是主直径）为x轴，任意垂直于中心直线的直线为y轴建立坐标系，设曲线的方程为
因为线心曲线的中心直线的方程是
 与 
中的任何一个，而第二个方程表示x轴的条件为
 ，
但第一个方程在的条件下，不可能再表示x轴，所以它必须是恒等式，因而有 ，
所以线心曲线的简化方程为：
（III）
命题证毕．
5．二次曲线的分类
根据命题5.6.3中二次曲线的三种简化方程系数的各种不同情况，我们可以写出二次曲线的各种标准方程，从而得出二次曲线的分类．
（I）中心曲线
当 时，方程可化为
其中  ．
如果A > 0，B > 0，那么设
就得方程
[1]  （椭圆）
如果A < 0，B < 0，那么设
就得方程
[2]  （虚椭圆）
若A与B异号，不失一般性，可设A＞0，B＜0（在相反情况下，只要把两坐标轴Ox和Oy对调）．设
则得方程
[3] （双曲线）
当 时，如果a11与a22同号，可以假设a11＞0，a22＞0（在相反情况只要在方程两边同乘 － 1），再设
就得方程
[4]  （点椭圆，也可看作相交于实点的二共轭虚直线）
如果a11与a22异号，那么类似地有
[5] （两相交直线）
（II）无心曲线
不妨设a13与a22异号（同号时令x = － x'，y = y'即异号），令 ，即得
[6]  （抛物线）
（III）线心曲线
 ，a22≠0
方程可以改写为：
当a33与a22异号时，设 ，则得方程
[7] （两平行实直线）
若a33与a22同号，设 ，则得方程
[8]  （两平行共轭虚直线）
当a33＝0时，得方程为
[9]  （两重合实直线）
于是我们就得到了下面的命题：
命题5.6.4 通过适当地选取坐标系，二次曲线的方程总可以写成下面9种标准方程中的一种形式：
[1] （椭圆）；
[2] （虚椭圆）；
[3] （双曲线）；
[4] （点椭圆，或看成相交于实点的两共轭虚直线）；
[5] （两相交直线）；
[6] （抛物线）；
[7] （两平行直线）；
[8] （两平行共轭虚直线）；
[9] （两重合直线）．
根据此命题，二次曲线共分为9类．其中，把圆、虚圆和点圆分别归入 [1]、[2] 和 [4]类中．
| 
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