Saturday, October 18, 2014

求迹 trace 迹 標量 张量与空间及坐标变换密切相关 任一直角坐标变换总可以分解成移轴(也叫坐标平移)和转轴(也叫坐标旋转)两个步骤


[PDF]第二节张量初步
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第二节. 张量初步. § 2.1 坐标变换与爱因斯坦(Einstein)求和约定. ☆ 张量与空间及坐标变换密切相关。 .... 则称该量T为n阶张量。 ☆ 零阶张量标量,坐标变换下不变,如质量、电荷、达朗贝尔算符等;. T = T .... 无对称张量Tij = Tji 且Tii = 0 自由度为5 

PDF]第二节张量初步
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  • 也叫坐标平移)和转轴(也叫坐标旋转)两个步骤

    http://jpkc.xxu.edu.cn/xiaonei09/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%87%A0%E4%BD%95/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%87%A0%E4%BD%95%E7%B2%BE%E5%93%81%E8%AF%BE%E7%A8%8B%E7%94%B3%E6%8A%A5%E6%9D%90%E6%96%99/%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%87%A0%E4%BD%95%E7%BD%91%E7%AB%99/Skin/secondpage/Skin2/zcr-56.htm

    角动量为0的波函数是一个中心对称的圆球,在任何方向没有极化。


    [PPT]二次曲线的直径 - 浙江师范大学网络课程
    course.zjnu.cn/hnc/jieji/二次曲线一般理论.ppt
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    转轴公式,其中α为坐标轴的旋转角. ... 用转轴消去交叉项 ... 直径; 主直径(对称轴; 切线; 二次曲线:曲线(椭圆,双曲线,抛物线);直线(两相交,两平行,两重合);点.
  • 平移坐標軸

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    設一橢圓通過(2,-1),(2,-3),(0,-1),(1,0)四點,且一對稱軸平行於x軸,試求此橢圓之方程式. <<>> .... 轉軸一個銳角 ,求曲線 之新方程式,並作出 的圖形. <<>> ... 設二次曲線 ,若將原坐標系旋轉一銳角 ,使新方程式中不含交叉項,則新方程式為何?
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    jpkc.xxu.edu.cn/xiaonei09/解析几何/.../Skin/.../zcr-56.htm
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    如果I2=0,说明曲线是非中心型的,先转轴,消去交叉项xy后把所得的方程 .... 曲线方程的方法,实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径(即对称轴)重合的位置.
  • [PPT]空间解析几何(第5章).

    eol.aku.edu.cn/eol/common/fckeditor/openfile.jsp?id...
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    显然,主直径是二次曲线的对称轴(简称轴). ... 消去交叉项,即xy项,然后再通过移轴 ... 先进行移轴消去一次项,然后再转轴消去其交叉项最终把曲线方程化为最简的形式.

  •  
     

     第一章 | 第二章 | 第三章 | 第四章 | 第五章 |
     
    §5.6  二次曲线方程的化简与分类
    设在平面上给出了由两个标架 {Oij } {O'i'j' } 所决定的右手直角坐标系,这里ij以及i' j' 是两组坐标基向量,它们是平面上的两个标准正交基,我们依次称这两个坐标系为旧坐标系和新坐标系.
    由于坐标系的位置完全由原点和坐标基向量所决定,所以新坐标系与旧坐标系之间的关系,就由O' {Oij } 中的坐标以及i' j' {Oij } 中的分量所决定.
    任一直角坐标变换总可以分解成移轴(也叫坐标平移)和转轴(也叫坐标旋转)两个步骤.
    1.移轴
    如果两个标架 {Oij } {O'ij' } 的原点OO' 不同,O' {Oij }中的坐标为 (x0y0),但两标架的坐标基向量相同,即有
    i' = i  j' = j
    那么标架 {O'i'j'} 可以看成是由标架 {Oij } 将原点平移到O'点而得来的(图5.7.1).这种坐标变换叫做移轴坐标平移).
    P是平面内任意一点,它对标架 {Oij} {O'i'j'} 的坐标分别为 (xy) (),则有
             
    于是有
         {xy} = {x0y0} {x'y' }
    根据向量相等的定义得移轴公式为
    5.6.1
     
                                                                        (5.61)
    从中解出x' y',就得逆变换公式为
                                                                         (5.62)
    2.转轴
    若两个标架 {Oij } {O'i'j'} 的原点相同,即O = O',但坐标基向量不同,且有∠(ii' ) = a,则标架 {O'i'j'} 可以看成是由标架 {Oij } O点旋转a 角而得来的(图5.6.2).这种由标架 {Oij } 到标架 {O'i'j'}的坐标变换叫做转轴坐标旋转).
    下面推导转轴公式.
    P是平面内任意一点,它对 {Oij } {O'i'j'} 的坐标分别为 (xy) (),即有
    因为∠(ii' ) = a,新旧坐标基本向量之间有关系
    5.6.2
    于是有
    因为OO'是同一点,,故可直接得到转轴公式:
                     (5.63)
    从(5.73)中解出x' y ',就得到用旧坐标表示新坐标的逆变换公式:
                   (5.64)
    式中的a 为坐标轴的旋转角.
    5.64)式也可看成是由标架 {Oi'j'} O旋转 a 角变到 {Oij} 的转轴公式.
    * 根据线性代数的理论,(5.63)可写为,这里的坐标变换的矩阵是一个正交矩阵,因而其逆矩阵,逆变换公式可以直接由写出.
    3.一般坐标变换公式
    在一般情况下,由旧坐标系Oxy变成新坐标系O'x'y',总可以分两步来完成.即先移轴使坐标原点与新坐标系的原点O' 重合,变成坐标系O',然后再由辅助坐标系O'x"y" 转轴而成新坐标系O'x'y'(图5.6.3).
    设平面上任一点P的旧坐标与新坐标分别为 (xy) (x'y' ),而在辅助坐标系O'x"y" 中的坐标为 (x"y" ),那么由(5.61)与(5.64)分别得
     
     
          
    由上两式得一般坐标变换公式为
    5.6.3
                   (5.65)
    由(5.65)解出x'y' 便得逆变换公式
               (5.66)
    平面直角坐标变换公式(5.65)是由新坐标系原点的坐标 (x0, y0) 与坐标轴的旋转角 a 决定的.
    4.由给定的新坐标轴确定的坐标变换
    确定坐标变换公式,除了坐标平移和旋转外,还可以有其它方法.
    假定已给出了新坐标系的两坐标轴在旧坐标系中的方程,并规定了一个轴的正方向,就可以确定又一种坐标变换公式.
    设在直角坐标系xOy里给定了两条相互垂直的直线
    l1
    l2
    其中.如果取直线l1为新坐标系中的横轴O'x',而直线l2为纵轴O'y',并设平面上任意点M的旧坐标与新坐标分别是(xy)与(x'y').因为 | x' | 是点Mxy)到O'y' 轴的距离,也就是M点到l2的距离(图5.6.4),所以有
    5.6.4
    同理可得  
    于是在去掉绝对值符号以后,便得到一个坐标变换公式
                                                                  (5.67)
    为了使新坐标系仍然是右手坐标系,可将(5.67)式与公式(5.64)比较来决定(5.67)中的符号.因
    因此(5.67)中的第一式右端的x的系数应与第二式的右端的y的系数相等,所以(5.67)的符号选取要使得这两项的系数是同号的.
    这种坐标变换的方法常用来在求得一般中心二次曲线的主直径的情况下,用两条主直径作为新坐标轴,把二次曲线的方程化为标准方程.
    5.坐标变换下二次曲线方程的系数变化规律
    设二次曲线G 的方程为
          F (x, y)      (1)
    为了选择适当的坐标变换以使曲线G在新坐标系下的方程最为简单,我们必须先了解在坐标变换下二次曲线方程的系数的变化规律因为一般的坐标变换总可以看成是由移轴与转轴组成的,我们首先分别考察在移轴与转轴下,二次曲线G 的方程(1)的系数是怎样变化的
    在移轴(5.61
    下,设二次曲线G 的新方程为
                    
                                                     
    化简整理得:
    这里       (2)
    因此可得
    命题5.6.1  在移轴(5.61)下,二次曲线方程(1)的系数的变换规律为:
    1°二次项系数不变;
    2°一次项系数变为
    3°常数项变为
    因为当(x0y0)为二次曲线(1)的中心时,有= 0,所以当二次曲线有中心时,作移轴使新原点与二次曲线的中心重合,则在新坐标系下二次曲线的新方程中就不再包含一次项
    把转轴公式(5.63),即
    代入(1),得在转轴(5.63)下二次曲线(1)的新方程为
    这里
                 (3)
    于是有
    命题5.6.2  在转轴(5.63)下,二次曲线方程(1)的系数的变换规律为:
    1°二次项系数一般要改变新方程的二次项系数仅与原方程的二次项系数及旋转角有关,而与一次项系数及常数项无关
    2°一次项系数一般要改变新方程的一次项系数仅与原方程的一次项系数及旋转角有关,与二次项系数及常数项无关
    3°常数项不变
    从(3)中的
    中解出,得
    则可看到,在转轴下,二次曲线方程(1)的一次项系数的变换规律与点的坐标xy的变换规律完全一致当原方程有一次项时,通过转轴不能完全消去一次项;当原方程无一次项时,通过转轴也不会产生一次项
    二次曲线方程(1)里,若,我们往往使用转轴使新方程中的为此,只要取旋转角a,使即可
      
                 (5.68)
    因为余切的值可以是任意实数,所以总有a 满足(5.68),也就是说总可以经过适当的转轴消去(1)中的xy
    2.确定坐标变换步骤的基本原则
    对任何一条二次曲线的方程,我们都可以先移轴、后转轴进行坐标变换,也可以先转轴、后移轴进行坐标变换,两种方法都可以将方程化简
    如果决定先转轴,则根据(5.68)可以确定坐标系的旋转角因而无论对于何种类型的二次曲线,先转轴总是可行的
    如果决定先平移,就得先确定把旧坐标系的原点移到何处对于中心二次曲线,我们一般把新坐标系的中心定为曲线的中心,而中心可以先求出但对于无心二次曲线,为了得到曲线的标准方程,应该把新坐标系的中心定为曲线的顶点,而顶点却不易先求出
    于是,我们在利用坐标变换对二次曲线的方程进行化简时,一般都按照下面的原则进行:
    先根据I2判断曲线的类型
    如果I2 0,说明曲线是中心型的.应先求出中心,再移轴,然后转轴
    如果I20,说明曲线是非中心型的,先转轴,消去交叉项xy后把所得的方程配方,一般就可以确定新坐标系的原点,再移轴
    经验证明,这里给出的原则可以在一定程度上减少方程化简的运算量
    3.二次曲线方程的化简实例与方法分析
    以下通过对几个例题的分析,说明如何具体地对一个给定的二次曲线方程进行化简
    1  化简二次曲线方程,并画出它的图形
      I2 = 1 × 4 2 2 = 0,曲线是抛物型(非中心型)的,应先转轴
    设旋转角为a,则应有:
      
    所以     
    从而得       tana2
    tana2(若取tana 1 / 2,同样可将原方程化简),则有
    所以得转轴公式为
    代入原方程化简整理得转轴后的新方程为
    配方得  
    再作移轴      
    曲线方程就化为最简形式      
    或写成标准方程为
    这是一条抛物线它的顶点是新坐标系O"x"y" 的原点,原方程的图形可以根据它在坐标系O"x"y" 中的标准方程作出,如图5.6.1所示
    作图要点:坐标系Oxy旋转角度,成O'x'y',再把坐标系O'x'y' 平移到(0),
    5.6.4
    O"x"y"在新坐标系O"x"y" 中可
    根据抛物线的标准方程作图
    为了看出曲线在原坐标系中的位置,作图时需要将新旧坐标系同时画出
    2  化简二次曲线方程
    并画出它的图形
      I25 × 2 2260,所以曲线为中心二次曲线解方程组
    得中心为 (21) (21) 为新原点,作移轴
    原方程变为              
    这里实际上只需计算F (21) 4,因为移轴时二次项系数不变
    再转轴消去
         
    所以  
    从而得       tana 2
    tana1 / 2,可得,用转轴公式
    代入  ①,可将方程化简为
    标准方程是
    这是一个椭圆,它的图形如图5.6.5
    5.6.5
    所示
    要比较准确地画出新旧坐标系和曲线的图形,必须掌握好比例、新旧原点的位置以及坐标轴的旋转角本题中坐标轴的旋转角
      本题转轴时若取tana 2,则可得(旋转角是),所得的转轴公式是
    得到的标准方程为 ,图形相对于原坐标系的位置不变此时O"x"轴的正向恰好是图5.6.2y" 轴的反向
    利用转轴消去二次曲线方程的xy项的几何意义,就是把坐标轴旋转到与二次曲线的主方向平行的位置这是因为,如果二次曲线的特征根l确定的主方向为XY,那么有
    由此可得平行于主方向的斜率为
          
    因此,上面介绍的通过转轴与移轴来化简二次曲线方程的方法,实际上是把坐标轴变换到与二次曲线的主直径(即对称轴)重合的位置如果是中心曲线,坐标原点与曲线的中心重合;如果是无心曲线,坐标原点与曲线的顶点重合;如果是线心曲线,坐标原点可以与曲线的任何一个中心重合
    根据消去二次曲线方程中交叉项的几何意义,我们在化简二次曲线(1)的方程时,也可以先求出曲线的主直径,然后以它作为新坐标轴,作坐标变换
    3  化简二次曲线方程
    并作出它的图形
    解法I21 × 1  < 0,所给的二次曲线是双曲型的
                                              
    解得中心坐标为 ( 22)
    作坐标平移
    就将原方程化为
           
    得转轴应取的旋转角为 p / 4故转轴
    5.6.6
    就把二次曲线的方程化简为
     
    这是一条双曲线,其图形如图5.6.3所示
    解法2
    I11 12 I21 × 1
    于是曲线的特征方程是
    解得两特征根为                    
    因而曲线的两个主方向为
    1
    1
    曲线的两条主直径为
      
        x yx y 40
    x y 40x' 轴,x y0y' 轴,根据(5.77)可取坐标变换公式为
    反解出xy
    代入已知曲线方程,经过整理得曲线在新坐标系下的标准方程为
    这是一条双曲线
    在作图时,必须首先确定x' 轴的正向在变换公式的x' 表达式的右端,x项的系数为y项的系数为把这些系数与公式(5.77)比较就知道,因此x' 轴与x轴的交角为,同时从坐标变换公式也可以直接看到新坐标系的原点的旧坐标是 ( 22)当新坐标系确定之后,曲线就可以在新坐标系里按标准方程作出,其图形还是图37,可认为移轴和转轴是一次完成的
    两种解法相比,解法1显得简便一些,其计算量小,步骤也比较规范,具有较强的“可操作性”但解法2强调直接根据主直径得出一般坐标变换公式,在理论上有一定的价值
    无心二次曲线只有一条主直径,若按解法2选其为坐标轴后,另一条坐标轴如何确定呢?我们可以求出这条主直径与二次曲线的交点——二次曲线的顶点,然后取过顶点垂直于已知主直径的直线作为另一条坐标轴,则可写出一般坐标变换公式,进而将二次曲线的方程化简
    4  化简二次曲线方程
      由于I1 = 1 1 = 2I2 = 1 × 1 12 = 0,曲线是非中心型的
    解特征方程,得特征根为 l 1 = 2 l 2 = 0
    曲线的非渐近主方向为对应于l 1 = 2的主方向XY11,所以曲线的主直径为
       x y = 0
    将此主直径的方程与原曲线的方程联立,即求得曲线的顶点为(3 / 1615 / 16)过顶点且以求得的非渐近主方向为方向的直线为
        x y = 0
    这也是过顶点垂直于主直径的直线
    取主直径为新坐标系的x' 轴,取直线y' 轴,作坐标变换,则变换公式为
    解出xy得到                     
    代入已知方程,经过整理得,化为标准方程就是
    这是一条抛物线若要画出这条抛物线,必须确定代表x' 轴的直线的正向x' 轴与x轴的交角为a,则根据变换公式有,因此,于是轴的正向就能确定了新坐标轴作出后,就能在新坐标系下,根据抛物线的标准方程来作出它的图形(图形略)
    5  化简二次曲线的方程
      所给二次曲线的矩阵为
    A =
    A的第一行和第二行的元素成比例,这表示F1 (xy) = 0F2 (xy) = 0是同一条直线,曲线为线心曲线,它的惟一的一条直径即曲线的中心直线,也就是曲线的主直径,其方程就是F1 (x, y) = 0
    x y 1 = 0
    取其为新坐标系的x' 轴,再取任意垂直于此中心直线的直线,比如x y0为新坐标系的y' 轴作坐标变换,则变换公式为
    解出xy,得
    代入已知方程,经过整理得
         = 2 y'
    这是两条平行直线(图5.6.4
    对于线心曲线,我们可以直接从原方程分解为两个一次因式,从而可立即作出它的图形如例5的方程可以改写为      
    就是     
    因此原方程表示两条直线
    5.6.7
    x y 3 = 0    x y 1 = 0
    它们的图象如图5.6.4所示
    当二次曲线的方程表示两条实直线时,直接分解得到两个一次方程通常是最简单有效的化简方法,因为这样可避免进行坐标变换除了线心曲线外,中心二次曲线是两条相交直线时,也可对原方程直接分解
    6  化简二次曲线方程
      计算得I2 < 0I3 = 0,可知所给二次曲线是退化的双曲型曲线,表示两条相交直线直接将原方程左边分解因式,得
    (x y 3)(2x 3y 7) = 0
    故原二次曲线的方程表示两条相交直线
    x y 3 = 0 2x 3y 7 = 0
    4.二次曲线的简化方程
    通过上面的例子,我们可以得出下面的一般结论.
    命题5.6.3  通过适当的坐标变换,二次曲线的方程总可以化成下面三个简化方程中的一个:
    = 1 \* ROMAN I
    = 2 \* ROMAN II
    = 3 \* ROMAN III
      二次曲线可分为中心曲线、无心曲线与线心曲线三类,现按这三种情况来讨论.
    1°当已知二次曲线为中心曲线时,取它的一对既共轭又相互垂直的主直径作为坐标轴建立直角坐标系.设二次曲线在这样的坐标系下的方程为
    因为这时原点就是曲线的中心,所以方程中没有一次项,即
    其次,二次曲线的两条主直径(即坐标轴)的方向为1001,它们互相共轭,因此必有
    所以曲线的方程为
    I
    又因为它是中心曲线,所以又有
    2°当已知二次曲线为无心曲线时,取它的惟一主直径为x轴,取过顶点(即主直径与曲线的交点)且以非渐近主方向为方向的直线(即过顶点垂直于主直径的直线)为y轴建立坐标系,这时假设曲线的方程为
    因为这时主直径的共轭方向为XY01,所以主直径的方程为
    它就是x轴,即与直线y0重合,所以有
    又因为顶点与坐标原点重合,所以 (00) 满足曲线方程,从而又有a33 = 0
    其次,由于曲线为无心曲线,所以,而所以有
    因而曲线的方程为
    II
    3°当已知二次曲线为线心曲线时,取它的中心直线(即曲线的惟一直径,也是主直径)为x轴,任意垂直于中心直线的直线为y轴建立坐标系,设曲线的方程为
    因为线心曲线的中心直线的方程是
    中的任何一个,而第二个方程表示x轴的条件为
    但第一个方程在的条件下,不可能再表示x轴,所以它必须是恒等式,因而有
    所以线心曲线的简化方程为:
    III
    命题证毕.
    5.二次曲线的分类
    根据命题5.6.3中二次曲线的三种简化方程系数的各种不同情况,我们可以写出二次曲线的各种标准方程,从而得出二次曲线的分类.
    I)中心曲线
    时,方程可化为
    其中
    如果A > 0B > 0,那么设
    就得方程
    [1]        (椭圆)
    如果A < 0B < 0,那么设
    就得方程
    [2]       (虚椭圆)
    AB异号,不失一般性,可设A0B0(在相反情况下,只要把两坐标轴OxOy对调).设
    则得方程
    [3]        (双曲线)
    时,如果a11a22同号,可以假设a110a220(在相反情况只要在方程两边同乘 1),再设
    就得方程
    [4]      (点椭圆,也可看作相交于实点的二共轭虚直线)
    如果a11a22异号,那么类似地有
    [5]      (两相交直线)
    II)无心曲线
    不妨设a13a22异号(同号时令x = x'y = y'即异号),令,即得
    [6]       (抛物线)
    III)线心曲线
    a220
    方程可以改写为:
    a33a22异号时,设,则得方程
    [7]       (两平行实直线)
    a33a22同号,设,则得方程
    [8]       (两平行共轭虚直线)
    a330时,得方程为
    [9]        (两重合实直线)
    于是我们就得到了下面的命题:
    命题5.6.4  通过适当地选取坐标系,二次曲线的方程总可以写成下面9种标准方程中的一种形式:
    [1]                 (椭圆);
    [2]            (虚椭圆);
    [3]                 (双曲线);
    [4]              (点椭圆,或看成相交于实点的两共轭虚直线);
    [5]              (两相交直线);
    [6]                  (抛物线);
    [7]                        (两平行直线);
    [8]                  (两平行共轭虚直线);
    [9]                      (两重合直线).
    根据此命题,二次曲线共分为9类.其中,把圆、虚圆和点圆分别归入 [1][2] [4]类中.
     
     
                  

    是不是想问为什么角动量的转轴是对称轴才成立?
    我想是因为L=Iω中,转动惯量I需必须满足平行轴定理
    这是维基百科中给的图例,其中正在转动的圆球是一个质点,当质点转动时,我们在计算转动惯量I时不需要计算转轴的位置

    但是,当转动物体是一个多质点组成的系统时(比如一个圆盘或者圆柱),转动惯量,我们就要用积分计算转动惯量,为了便于计算,在计算常用的转动惯量时,可以参照转动惯量列表
    也就是说,如果定义中不规定转轴不是对称轴的话,我们就无法计算积分
    [0] |
  • 2楼
    2013-03-19 16:58 Mannose 只看Ta
    引用@杨氏的量 的话:是不是想问为什么角动量的转轴是对称轴才成立?我想是因为L=Iω中,转动惯量I需必须满足平行轴定理这是维基百科中给的图例,其中正在转动的圆球是一个质点,当质点转动时,我们在计算转动惯量I时不需要计算转轴的位置但是,当转动物体是一个多质点组成的系统时(比如一个圆盘或者圆柱),转动惯量,我们就要用积分计算转动惯量,为了便于计算,在计算常用的转动惯量时,可以参照也就是说,如果定义中不规定转轴不是对称轴的话,我们就无法计算积分

    是说当转动轴不是对称轴的时候,用积分就没办法算转动惯量了吗?
    [0] |
  • 3楼
    2013-03-19 17:15 杨氏的量 只看Ta
    引用@Mannose 的话:是说当转动轴不是对称轴的时候,用积分就没办法算转动惯量了吗?
    对的,计算还原到微积分中,你会发现,如同这样的刚体:

    Z轴必须在对称轴才能计算
    [0] |
  • 4楼
    2013-03-19 18:42 Mannose 只看Ta
    引用@杨氏的量 的话:对的,计算还原到微积分中,你会发现,如同这样的刚体:Z轴必须在对称轴才能计算
    谢谢
    [0] |
  • 5楼
    2013-03-22 11:46 蜡笔桶装鬼小戏 物理专业 只看Ta
    一般情况下的L=Iω是个矢量方程,其中的I是一个二阶张量……
    在转轴为对称轴的情况下可以退化为对应的标量方程,否则会有一些烦死人的交叉项……

     
     

    SOME PHYSICS

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    原子跃迁的秘密
    主说:让原子跃迁
    于是
    原子见到光,便会了跃迁
     
    原子中每个电子原本都存在于各自稳定的能级之中,因此原子自身是稳定的。假使有一束光子袭来,实验告诉我们,电子能够一份一份地吸收这些光子,且自身从低能级跃迁到高能级上去。与此同时,激光告诉我们,电子也能被这个光子诱导,从一个高能级衰变到低能级下来;此外,led灯也告诉我们,即便没有外加光子的骚扰,因为真空震荡,这些真空中的虚光子也可以诱导电子衰变,形成自发辐射。电子和光子的相互作用,不可谓不丰富,不可谓不独特,不可谓不神奇。
    然而电子-光子相互作用的跃迁是要满足一定条件的。从能量上看,能量要守恒:Ei=Ef+gamma。其中Ef是终态电子在原子核中的能量,Ei是初态的能量,gamma是光子的能量。除此之外,角动量也要守恒:电子的初态绕着原子核转,有这么一个角动量a,终态上,电子以另外一种形态绕着原子核转,有这么一个角动量b。这两个角动量的差必须由光子来补充,这就是角动量守恒的限制。
    不过一个以概率云存在的电子,是通过何种机制辐射和吸收光子的呢?那么电子波函数的跃迁和一个经典的辐射模型有没有什么联系?从经典的电磁理论中我们且知,一个变速运动的电子能发出光子;一个简谐震荡的偶极子也能够发射光子(偶极子辐射)。这两者之间是否存在着联系?本文希望能在有限的篇幅内理其深意,予以解答。
     
    1. 稳态的波函数:
    作为准备,我们以氢原子为例,将电子在稳态下各个能级的波函数绘出如下:
    原子跃迁的秘密
    其中L代表不同的角动量,ml代表不同的角动量分量,主量子数n决定波函数的能量但不影响其角度分布。我们只主要注意L<n即可,因此这里略去。不难发现一下几点:

    1,角动量为0的波函数是一个中心对称的圆球,在任何方向没有极化。
    2,角动量不为0的波函数,在空间存在极化。这里选择z为我们的极化轴,那么ml就代表波函数在z轴上的角动量分量。不难看出,当ml=1,2,3时,波函数呈以z轴为中心的扁平状,这其实可以看作是电子的相位沿着扁平状的轨道绕着z 轴旋转。ml取的正,负号无非是电子旋转的方向顺/逆时针不同罢了。当ml=0时候,电子的相位轨迹可以看作是沿着z轴在z正负半轴震荡,因此其运动在z轴上的投影为0。
    3,注意,电子相位的轨迹并不是电子运动的轨迹。电子的相位速度不是0,但群速度为0,因为稳态的电子波函数是驻波。波函数的模中已经没有了相位信息,因此电子在上述能级中是依照空间中的概率密度稳定存在的这时候的电子因为静止,自然无法辐射光子。
     
     
     

    2. 波函数的相干:
    由上可知,虽然波的相位运动能决定角动量,但波的相位不会决定电子存在的概率分布。这是不是说波的相位从物理观测的角度上说,就毫无意义了呢?
    如果能够回想起光的干涉试验,我们就会明白,在干涉中,波的相位将会呈现出明确的物理意义:它能通过相消和相长干涉重新定义波的概率分布
    把电子看作波,本质上说也就等价于允许电子进行干涉。那么电子究竟是否会发生干涉么?如果是,在什么条件下发生,干涉的结果又是如何呢?
     
    3. 电子的干涉:
    如果没有外界扰动,电子将永远地在自己地能级上呆下去,他们的确并不会干涉。然而在外加电磁波存在的情况下,局面就发生了改变。
    由微扰理论我们可知,系统在存在扰动情况下的本征态,将不可避免地成为无微扰时本征态的线性组合,也就是相干态。假定原子有2个能态|1>和|2>。那么微扰后,系统新的本征态将会变成[1]:
    |1>'=a|1>+b|2>, ....
    这里的a和b是一个和扰动大小以及形式有关的系数。和电磁波中光的干涉一样,此处的线性组合,就代表了电子波函数之间的干涉:因为如果我们算新状态|1>'的强度(概率密度),也就是他的模,那么在表达式中将不可避免地出现|1>和|2>的交叉项,他们互相之间的相位就会开始起作用。
    从薛定锷时间演化方程我们知道,电子波函数含时分量的相位正比于其能量:
    原子跃迁的秘密
    也就是说,交叉项本身非但不为0,而且还含有一个和两个能级能量差相等的振荡频率。实际上我们下面就会说明,这么一个振荡频率,就是干涉后,电子概率波运动的频率,这也就决定了电子偶极子振荡后,发出/吸收光子的频率。转化成我们熟悉的语言,这就是著名的:
    原子跃迁的秘密
    跃迁能量守恒关系
    为方便比较,我们将各稳态波函数相位随时间演化的函数作图如下。由图明确可以看出,磁量子数ml大小及其符号和角动量z轴分量大小,方向等的对应关系:
    3.1 L=0, ml=0:
    原子跃迁的秘密
    3.2 L=1,ml=0:
    原子跃迁的秘密
    3.3 L=1, ml=1:
    原子跃迁的秘密
    3.4 L=1,ml=-1:
    原子跃迁的秘密
    3.5 L=2, ml=0:
    原子跃迁的秘密
    3.6 L=2, ml=1:
    原子跃迁的秘密
    3.7 L=2, ml=2:
    原子跃迁的秘密
    3.8 L=3, ml=0:
    原子跃迁的秘密
    3.9 L=3, ml=1:
    原子跃迁的秘密
    3.10 L=3, ml=2:
    原子跃迁的秘密
    3.11 L=3, ml=3:
    原子跃迁的秘密
     
     
    4. 干涉,偶极子允许跃迁和跃迁禁闭:
    由上可知,微扰导致干涉,而最后一节我们会看到,干涉就是引起跃迁根本原因。根据已知的本征态波函数和上面的含时相位关系,我们依次计算出不同能级干涉状态下的演化波函数。为了方便观察,我们将其做成了动画的形式(下图作者版权所有),依次列举如下:
    4.1  态 l=0 和 l=1, ml=0 的干涉:
    原子跃迁的秘密
    不难发现,这描述的是一个概率波沿着z轴振荡的电子。其振荡频率就等于两个能级之差(除以hbar)。考虑到电子带负电,原子核带正电,原子核不动,因此这就是一个振荡的偶极子。显然,该偶极子能够释放或者吸收一个线偏振光子。这就形象描述了一个从l=0到l=1,delta l=1这么一个跃迁过程中,电子波函数的演化过程。
    4.2  态 l=0 和 l=1, ml=1 的干涉
    原子跃迁的秘密

    这是一个概率波绕着着z轴旋转振荡的电子。同时它就构成了一个旋转振荡的偶极子。显然,该偶极子能够释放或者吸收一个逆时针的圆偏振光子这就形象描述了一个delta l=1 同时 delta ml=1 这么一个跃迁过程中,电子波函数的演化过程。
    4.2  态 l=0 和 l=1, ml=-1 的干涉
    原子跃迁的秘密
     
     
    这是一个概率波绕着着z轴旋转振荡的电子同时它就构成了一个旋转振荡的偶极子。显然,该偶极子能够释放或者吸收一个顺时针的圆偏振光子这就形象描述了一个delta l=1 同时 delta ml=-1 这么一个跃迁过程中,电子波函数的演化过程。
     
    以上3种情态对应了经典电磁场中振荡的电偶极子,因此能释放/吸收光子。这种跃迁叫做电偶极子允许跃迁
     
    4.3  态 l=0 和 l=2, ml=0 的干涉
    我们下面来看一看一个电子如果要从l=0跃迁到l=2 上去,将会出现什么样子的情态:
    原子跃迁的秘密
    你能看到,此刻,电子云虽然也在振荡,可由于其关于z轴原点处对称,在正半轴的电子云和负半轴的电子云恰好抵消,因此无法产生一个非零的偶极子,这样的跃迁不能辐射和吸收光子。这因此也叫做电偶极子跃迁禁闭。也就是说,如果你对氢原子照射一个光子,在电偶极子理论下,它是无论如何也不会发生从l=0到l=2的跃迁的。
     
    出于好奇,我们再看一看ml=1和2情况下,l从0到2的“跃迁”情态:
    (ml=1)
    原子跃迁的秘密
    (ml=2)
     原子跃迁的秘密
     
    这些ml非零的跃迁虽然存在围绕z轴的角动量,但因为电子云始终关于原点对称,无法形成有效的极化(你可以看成2个头尾相反的偶极子的叠加,他们的有效偶极子就是0),因此无法进行偶极子辐射。他们因此也是电偶极子跃迁禁闭的。

    4.4  态 l=0 和 l=3, ml=0 的干涉
    出于好奇,我们再看看从0到3的干涉图样:
    原子跃迁的秘密
    能够证明,此时的波函数仍旧是关于z轴对称的(虽然形状不同,但积分之后,总电荷量是对称的)。因此同理,也无法进行电偶极子辐射。
     
    4.5  其他几种从l=1到l=2态的干涉
    原子跃迁的秘密原子跃迁的秘密原子跃迁的秘密
    从上到下依次是ml=0,1,2。如果取ml=-1,-2,那么旋转方向变成顺时针。这些情态下,不难发现当ml=0和1时,是存在偶极子跃迁的,ml=2时没有偶极子跃迁。
     
    5. 偶极子跃迁选择定理
    由上分析,我们不难得到著名的偶极子跃迁选择定理(selection rule):
    原子跃迁的秘密
    这也就是偶极子跃迁能发生的条件。从上面的动画,我相信大家此刻都对这么一条抽象的定理有了更为形象和深刻的理解:因为只有满足这些条件的跃迁,才会干涉出有效的振荡偶极子。其一般性可以从偶极子的空间对称性中得到证明。
     
    6. 多极子的跃迁[3]
    上面4.3,4.4,和4.5(3)所述之情态是否就完全无法辐射光子了呢?答案是否定的。这些非偶极子的电荷分布完全可能发射出四极子,八极子甚至更高数目极子的辐射,详细的说明可以参考jackson的关于偶极展开这部分内容。只不过这些多极子的强度将大大小于偶极子(每一级约为1000倍)。在存在偶极子跃迁的系统中,我们观察到的吸收主要来自于偶极子。
    例如关于四极子,我们也有对应的允许/禁闭条件:
    原子跃迁的秘密
    这也就是说,类似4.3的情况,将会存在四偶极子振荡;类似4.4的情况,将会存在八偶极子。类似4.5(3)的情况,因为既不满足偶极子又不满足四极子或更高极子的条件,因此不会有任何辐射,也就不会和对应的光子发生任何耦合(4.5(3)的形状也的确够扭曲的)。
     
    7. 跃迁
    在电磁场对原子体系进行扰动的过程中,电子云的相关各态之间发生了干涉。在做图的时候,我们假定了a,b系数恒定。这是不符合事实全貌的,但却是合理的,因为外加扰动的振荡频率应该远小于电子波函数本身的演化频率(或者说,电磁波的能量小于电子所在能态的能量)。因此,上文给出的演化情态在扰动过程中来看,是符合事实的。
    但干涉的电磁波本身毕竟是时间的函数,严格地说,我们应该使用含时微扰。因为篇幅限制,我们不可能继续展开,但有一点可以肯定的是,此刻系数a,b也会是时间的函数。在吸收开始前,a=1,b=0,系统完全处于初态;在吸收结束后b=1,a=0,系统终结于末态。因此电子的波函数不会是永远振荡的,而是始于作用开始,结于作用完成。在这一过程中,电子将完成数十到数百次如上述的振荡,释放出一个频率满足E1-E2关系的光子波包。这个波包的长度可以从这一振荡总的持续时间来估算;这一时间总的来说满足时间-能量的测不准定理。
    从上述偶极子振荡发出的功率,我们还能算出每秒钟,电子振荡所释放/吸收的光子数。由此我们能得到吸收/辐射的概率,并推算跃迁通道的life time。这些结论都和爱因斯坦的公式完全吻合[2]。
    最后,我们以l=0 到 l=1且ml=0为例,考虑一个a,b含时变化下,电子云真实的振荡情况。由此我们能形象的看出一个电子是如何从初始状态,通过干涉,最终振荡跃迁到终止状态中去的:
    原子跃迁的秘密
     
     
    全文完
    [1]:量子力学的不含时微扰论
    [2]:具体的计算细节可参考:Introduction to Modern Optics, Grant R Fowles.
    [3]:注意到多极子跃迁中,角动量变化可能大于光子的自旋角动量,Lphoton=1,这一部分多余的角动量将由光子的轨道角动量提供。
     
    Bo Zeng
    (c)2013
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