上两个世纪数学上最突出的成就之一是处理非平直多维空间的各种技术的发展。这对本书要达到的目标至关重要，在此我向读者概述-下这些发展，当代物理全仰仗它们。
到目前为止，我们一直考虑的是一维空间。读者可能对这种说法感到奇怪，前几章叙述的不正是复平面、黎曼球面和其他各种黎曼曲面吗?但是，从全纯函数的角度看，这些曲面本质上都只是一维的，这个维是复维。我们可用一个参数将这种空间点与其他种类的(局域)空间点区别开来，虽然这个参数是个复数。因此，这些"曲面"实际上应被看成是曲线，即复曲线。
我们可以将一个复数z 分成实部和虚部(x ，y) ,即z = x + iy ，这里z 和y是两个独立的实参数。但如何将一个复数按此方式进行划分已不属于全纯运算的范畴。只要我们关心的只是全纯结构.就像我们到目前为止所考虑的复空间情形，我们就必须把单个复参数看成是仅提供一维。这至少是我建议应当采取的观点。
另一方面，人们也可以采取相反的观点，就是说，全纯运算只是更一般运算的一种特例。只要愿意， x 和y 就都可以分开来作为各自独立的参数来考虑。实现这一想法的适当方法是通过复共轭概念.这是一种非全纯的运算。
在z 复平面内，得到一个复数的复共轭的运算相当于平面关于实线的反射，全纯运算总是保复平面定向的。如果我们打算考虑(部分)倒向复平面的共形映射，那么我们就需要将复共轭运算包括进来。但考虑到其他标准运算(加、乘、取极限)，复共轭也允许我们将映射一般化，使它们不必是共形的。
实际上，部分复平面到部分复平面的任何映射(譬如说是连续变换)都可以通过共轭运算和其他运算一起共同来实现。
我们可以将一个复数z 分成实部和虚部(x ，y) ,即z = x + iy ，这里z 和y是两个独立的实参数。但如何将一个复数按此方式进行划分已不属于全纯运算的范畴。只要我们关心的只是全纯结构.就像我们到目前为止所考虑的复空间情形，我们就必须把单个复参数看成是仅提供一维。这至少是我建议应当采取的观点。
另一方面，人们也可以采取相反的观点，就是说，全纯运算只是更一般运算的一种特例。只要愿意， x 和y 就都可以分开来作为各自独立的参数来考虑。实现这一想法的适当方法是通过复共轭概念.这是一种非全纯的运算。
在z 复平面内，得到一个复数的复共轭的运算相当于平面关于实线的反射，全纯运算总是保复平面定向的。如果我们打算考虑(部分)倒向复平面的共形映射，那么我们就需要将复共轭运算包括进来。但考虑到其他标准运算(加、乘、取极限)，复共轭也允许我们将映射一般化，使它们不必是共形的。
实际上，部分复平面到部分复平面的任何映射(譬如说是连续变换)都可以通过共轭运算和其他运算一起共同来实现。
说得具体点，我们可以将全纯函数考虑成由加法、乘法运算加上取极限构成的函数，因为这些运算足以构成幂级数，一种作为连续部分和的极限的无限和。如果再综合进复共轭，那么我们就能够生成一般的(譬如说连续的) x 和y 的函数。
当考虑z 的非全纯函数时，我们启用记号F(z ，Z），这里Z的意义同前。这么做是要强调， 一旦离开了全纯领域，我们就必须把函数看成是定义在实二维而不是复一维空间上的。函数F(z ，Z) 同样可看成是由z 的实部和虚部来表示，譬如说，我们可将这个函数写成f(x ，y) 。
当考虑z 的非全纯函数时，我们启用记号F(z ，Z），这里Z的意义同前。这么做是要强调， 一旦离开了全纯领域，我们就必须把函数看成是定义在实二维而不是复一维空间上的。函数F(z ，Z) 同样可看成是由z 的实部和虚部来表示，譬如说，我们可将这个函数写成f(x ，y) 。
由于考虑的是不止一个变量的函数，现在我们正进入离维空间，因此有必要就高维空间下的"微积分"交代几句。正如下一章我们将清楚看到的那样，空间一一即流形-一可以是n 维的，这里n 是一个正实数。)爱因斯坦的广义相对论用四维流形描述时空，许多现代理论甚至要用到更高维的流形。
我们将在第12章在来讨论一般的n 维流形，但在本章，出于简单计，我们只考虑实二维流形(或曲面)S的情形。这样，我们可用局部(实)坐标z 和y 来标出S 的不同的点(S的某个局部区域上的点）。实际上，这里的讨论也可以看作是一般n 维情形的代表。
例如， 一个二维曲面可以是一个普通的平面或球面。但这种曲面不是"复平面"或"黎曼曲面"，因为我们并不在意它是否像复空间那样被赋予了结构(即具有定义在该曲面上的"全纯函数"概念)。我们关心的只是它是否是光滑流形。
几何上看，这意味着我们不必像对黎曼曲面所做的那样在意诸如局部共形结构之类的事情，而是需要能够辨别定义在空间上的函数(即函数的定义域为该空间)是否"光滑" 。
我们将在第12章在来讨论一般的n 维流形，但在本章，出于简单计，我们只考虑实二维流形(或曲面)S的情形。这样，我们可用局部(实)坐标z 和y 来标出S 的不同的点(S的某个局部区域上的点）。实际上，这里的讨论也可以看作是一般n 维情形的代表。
例如， 一个二维曲面可以是一个普通的平面或球面。但这种曲面不是"复平面"或"黎曼曲面"，因为我们并不在意它是否像复空间那样被赋予了结构(即具有定义在该曲面上的"全纯函数"概念)。我们关心的只是它是否是光滑流形。
几何上看，这意味着我们不必像对黎曼曲面所做的那样在意诸如局部共形结构之类的事情，而是需要能够辨别定义在空间上的函数(即函数的定义域为该空间)是否"光滑" 。
为了得到何谓"光滑" 流形的直观概念.我们来考虑与立方体相对的球面，这里我谈的都是指其表面而非内部。以球面上的光滑函数为例，我们可将表示赤道面上方高度的函数称为"高度函数”，这里球面就是普通三维欧几里得空间内的图形，赤道面向下的距离计为负。
另一方面，如果所考虑的函数是高度函数的模，则赤道面向下的距离也计为正，这样，这个函数沿赤道而就不光滑了。但如果我们考虑的是高度函数的平方，那么这个函数在球面上依然是光滑的。
在所有这些情形里，函数在北极和南极点都是光滑的，尽管在极点处等高度的周线呈"奇点”状。
另一方面，如果所考虑的函数是高度函数的模，则赤道面向下的距离也计为正，这样，这个函数沿赤道而就不光滑了。但如果我们考虑的是高度函数的平方，那么这个函数在球面上依然是光滑的。
在所有这些情形里，函数在北极和南极点都是光滑的，尽管在极点处等高度的周线呈"奇点”状。
为了加深对此的理解，我们引人曲面S上的坐标系。这些坐标仅需应用于局部，我们可将S 想象为是由一系列局部拼块一一坐标拼块一一对黎曼曲面所做的那样"粘合"而成的，例如对于球面，我们需要不止一块这种拼块。
在一个拼块内，光滑坐标可标示不同的点。这里坐标皆取实数值，我们不妨称其为x和y,这里没有任何暗示要将它们组合成复数形式。
假定我们有某个定义在S上的光滑函数φ。在现代数学的词汇里，φ是指从S 到实数空间内的光滑映射。如果φ 是S 上的复值函数，则它表示的是S 到复数空间C 的光滑映射。
因为φ 为S 的每一个点赋一个实(复)数一一即φ 映射S 到实(复)数。这种函数有时被称为S上的标量场。
在一个特定拼块上，量φ可表示为一个两坐标的函数:φ =f(x ，y) 。这里量φ的光滑性可用函数f(x ，y) 的可微性来表示。
在一个拼块内，光滑坐标可标示不同的点。这里坐标皆取实数值，我们不妨称其为x和y,这里没有任何暗示要将它们组合成复数形式。
假定我们有某个定义在S上的光滑函数φ。在现代数学的词汇里，φ是指从S 到实数空间内的光滑映射。如果φ 是S 上的复值函数，则它表示的是S 到复数空间C 的光滑映射。
因为φ 为S 的每一个点赋一个实(复)数一一即φ 映射S 到实(复)数。这种函数有时被称为S上的标量场。
在一个特定拼块上，量φ可表示为一个两坐标的函数:φ =f(x ，y) 。这里量φ的光滑性可用函数f(x ，y) 的可微性来表示。
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- 2013-03-20 16:02
假定f 作为一对变量(x，y) 的函数是可微的，我们不妨先将f(x，y) 看成是关于单个变量x的函数，此时y 取定为某个常数值。这样，这个函数作为单变量x的函数, 一定是光滑的。进而我们将f(x，y) 看成是关于单变量y 的函数，x 取定某个常数值。此时这个单变量y 的函数一定也是光滑的。
但这还远远不够充分。有许多关于x和y分别光滑的函数未必对变量对(x，y)也一定是光滑的。光滑的充分条件是，该函数分别关于z 和y的导数每一个都必须是变量对(x，y) 的连续函数。类似要求对变量数超过两个的函数也成立。
我们用"偏导数"符号ə来标记关于每个变量的微分。
f( x , y) 关于x 和y 的偏导数分别写成 əf/əx 和 əf/əy。
如果这些量存在并连续， 那么我们说φ 是曲面上的连续函数。
但这还远远不够充分。有许多关于x和y分别光滑的函数未必对变量对(x，y)也一定是光滑的。光滑的充分条件是，该函数分别关于z 和y的导数每一个都必须是变量对(x，y) 的连续函数。类似要求对变量数超过两个的函数也成立。
我们用"偏导数"符号ə来标记关于每个变量的微分。
f( x , y) 关于x 和y 的偏导数分别写成 əf/əx 和 əf/əy。
如果这些量存在并连续， 那么我们说φ 是曲面上的连续函数。
我们还可以考虑高阶偏导数，f关于z 和y 的二阶偏导数分别为 ə^2f/əx^2 和 ə^2f/əy^2。
我之所以要用不同的字母将f 与φ 仔细地区分开来，是因为我们打算根据各种不同坐标系下的表达式来考虑定义在曲面上的量φ 。函数f(x，y) 的数学表达式可以随拼块不同而变化，即使φ 在被这些拼块"覆盖"的曲面上任意特定点上的值保持不变。特别是这种情形可以出现在不同坐标拼块之间的重叠区域。
如果第二套坐标集记为(X ，Y).则对新坐标拼块下的φ值，我们有新的表达式φ =F (X，Y) 。因此在两个坐标拼块之间的重叠区域，我们有F(X，Y) =f(x，y).
但如上所述，由量X 和Y 表示的特定的F 表达式一般不同于由x和y 表示的f的表达式。在重叠区，X 和Y 都可能是x 和y 的复杂函数，这些函数可能必须被结合进从f 到F 的转换中去.
我之所以要用不同的字母将f 与φ 仔细地区分开来，是因为我们打算根据各种不同坐标系下的表达式来考虑定义在曲面上的量φ 。函数f(x，y) 的数学表达式可以随拼块不同而变化，即使φ 在被这些拼块"覆盖"的曲面上任意特定点上的值保持不变。特别是这种情形可以出现在不同坐标拼块之间的重叠区域。
如果第二套坐标集记为(X ，Y).则对新坐标拼块下的φ值，我们有新的表达式φ =F (X，Y) 。因此在两个坐标拼块之间的重叠区域，我们有F(X，Y) =f(x，y).
但如上所述，由量X 和Y 表示的特定的F 表达式一般不同于由x和y 表示的f的表达式。在重叠区，X 和Y 都可能是x 和y 的复杂函数，这些函数可能必须被结合进从f 到F 的转换中去.
存在着一种独立于坐标选择的函数"导数"概念，这个导数的标准记号为dφ。
首先，像"dφ" 或"dx"这样的量最初都看作是"无穷小"量，它们出现在我们利用微积分里的导数"dy/dx"公式求极限的运算中。
尽管对"d" 的解释前后差异很大，但数学表达式的形式一一只要等号两边不除以dx——则完全不变。上面所示的公式里还存在着另一种潜在的混淆，它出现在如下情形中:我们在等号左边用φ，而在右边用f。我提及这一点主要还是出于区分φ 与f 的考虑。量φ 是定义域在流形S 上的函数，而f 的定义域则是某个特定坐标拼块的(x,y) 平面上的某个(开)区域。
如果我要用"关于x的偏导数"的概念，那么我就需要知道"保持另一个变量y 不变"是指什么。正是因为这一点，因此f 而不是φ，总是用在右边，因为f" 知道" x 和y 坐标是指什么，而φ 则不知道这些。
但即使如此，以这种方式显示的公式也还存在着弄混的可能，因为这里没涉及函数的自变援。
首先，像"dφ" 或"dx"这样的量最初都看作是"无穷小"量，它们出现在我们利用微积分里的导数"dy/dx"公式求极限的运算中。
尽管对"d" 的解释前后差异很大，但数学表达式的形式一一只要等号两边不除以dx——则完全不变。上面所示的公式里还存在着另一种潜在的混淆，它出现在如下情形中:我们在等号左边用φ，而在右边用f。我提及这一点主要还是出于区分φ 与f 的考虑。量φ 是定义域在流形S 上的函数，而f 的定义域则是某个特定坐标拼块的(x,y) 平面上的某个(开)区域。
如果我要用"关于x的偏导数"的概念，那么我就需要知道"保持另一个变量y 不变"是指什么。正是因为这一点，因此f 而不是φ，总是用在右边，因为f" 知道" x 和y 坐标是指什么，而φ 则不知道这些。
但即使如此，以这种方式显示的公式也还存在着弄混的可能，因为这里没涉及函数的自变援。
当φ 是定义在S 上的某个函数时，它们具有类似于"əφ/əx"的意义。
我们怎么来理解像。ə/əx这样的算符能够应用于定义在S 上的φ 函数，而不只是应用于变量x和y 的函数这样的事情呢?
当我们将ə/əx应用于另一坐标系(X ，Y) 时，我们有看上去更复杂的表达式,它与(x,y) 坐标系下看起来简单的表达式ə/əx表示的是完全同样的运算.
这个更复杂的表达式可以写成如下形式的一个量ξ:ξ=A ə/əx +B ə/əy .这里A 和B 都是X 和Y 的(C^∞)光滑函数。
在眼下用ξ表示(x,y) 坐标系下,ə/əx的特定情形，我们有A =əX/əx和B =əY/əx。
但我们可以考虑更一般的A 和B 不取具体形式的量ξ。这种量ξ称为S 上的矢量场——在(X，Y) 坐标拼块下。
我们怎么来理解像。ə/əx这样的算符能够应用于定义在S 上的φ 函数，而不只是应用于变量x和y 的函数这样的事情呢?
当我们将ə/əx应用于另一坐标系(X ，Y) 时，我们有看上去更复杂的表达式,它与(x,y) 坐标系下看起来简单的表达式ə/əx表示的是完全同样的运算.
这个更复杂的表达式可以写成如下形式的一个量ξ:ξ=A ə/əx +B ə/əy .这里A 和B 都是X 和Y 的(C^∞)光滑函数。
在眼下用ξ表示(x,y) 坐标系下,ə/əx的特定情形，我们有A =əX/əx和B =əY/əx。
但我们可以考虑更一般的A 和B 不取具体形式的量ξ。这种量ξ称为S 上的矢量场——在(X，Y) 坐标拼块下。
我们重写原始坐标系(x,y) 下的ξ，发现它和(X,Y) 坐标系下的具有相同的一般形式:
ξ=a ə/əx +b ə/əy。
这使我们能够将矢量场从(X,Y) 拼块扩展到重叠的(x,y) 拼块。通过这种方式，取足够多的所需的拼块，我们就能将矢量场ξ扩充到整个S 上。
我们称为"矢量场"的微分算符ξ有一个非常明确的几何解释。我们将ξ想象为描述了一个画在S 上的"小箭头场"，虽然在S 的某些地方，箭头可能会收缩成一点,ξ在这些地方取值为零。为了得到更鲜明的矢量场图像，我们可以将其想象成电视上天气预报节目里的风向图。箭头所指的方向代表着ξ的微商这个函数的增长方向。
ξ=a ə/əx +b ə/əy。
这使我们能够将矢量场从(X,Y) 拼块扩展到重叠的(x,y) 拼块。通过这种方式，取足够多的所需的拼块，我们就能将矢量场ξ扩充到整个S 上。
我们称为"矢量场"的微分算符ξ有一个非常明确的几何解释。我们将ξ想象为描述了一个画在S 上的"小箭头场"，虽然在S 的某些地方，箭头可能会收缩成一点,ξ在这些地方取值为零。为了得到更鲜明的矢量场图像，我们可以将其想象成电视上天气预报节目里的风向图。箭头所指的方向代表着ξ的微商这个函数的增长方向。
我们将这个函数取为φ,ξ对φ 的作用，即ξ(φ)=a əφ/əx +b əφ/əy，度量φ 沿箭头方向的增长率。
箭头的大小(长度)具有根据所测得的增长率来确定"尺度"的意义。更恰当地说，我们应当把所有箭头都当作无穷小，每一个都将S 上的一点p ( 处于箭"尾")与"相邻的”S上的另一点p' (处于箭"头")连接起来。
为了看得更清楚点，让我们取某个小的正数e作为两分离点p 和p'之间沿ξ方向分离程度的量度。于是，差φ(p') - φ (p) 除以e 给出量ξ（φ)的近似值。e 取得越小，近似程度就越好。最后，当p'无限趋近p (即e →0) 时，我们就得到了实际的ξ(φ) 。有时我们也称其为φ 在ξ 方向上的梯度(或斜率)。
箭头的大小(长度)具有根据所测得的增长率来确定"尺度"的意义。更恰当地说，我们应当把所有箭头都当作无穷小，每一个都将S 上的一点p ( 处于箭"尾")与"相邻的”S上的另一点p' (处于箭"头")连接起来。
为了看得更清楚点，让我们取某个小的正数e作为两分离点p 和p'之间沿ξ方向分离程度的量度。于是，差φ(p') - φ (p) 除以e 给出量ξ（φ)的近似值。e 取得越小，近似程度就越好。最后，当p'无限趋近p (即e →0) 时，我们就得到了实际的ξ(φ) 。有时我们也称其为φ 在ξ 方向上的梯度(或斜率)。
在矢量场ə/əx 这一特定情形，箭头全都指向常量y 的坐标线方向。这就形象地说明了经常引起困扰的对偏导数"ə/əx"这一标准数学概念的理解问题。我们可能一直认为表达式"ə/əx"主要涉及的是量x。但其实它更多的则是与未经言明的变量相联系，在此即为变量y 而不是x 。当我们考虑坐标变换时，譬如说从(x,y) 到(X,Y) 且使一个坐标维持不变，这个记号特别容易引起误解。
我们看到，ə/əX 不等同于ə/əx，尽管事实上X 等同于x一一-反之，在这个例子中， ə/əY 则等同于ə/əy，尽管Y 并不等同于y。这种情形就是尼克·伍德豪斯( Nick Woodhouse) 所说的"微积分第二基本困惑" !另一方面，为什么ə/əX ≠ə/əx,这在几何上很清楚，因为相应的"箭头"指向不同的坐标线。
我们看到，ə/əX 不等同于ə/əx，尽管事实上X 等同于x一一-反之，在这个例子中， ə/əY 则等同于ə/əy，尽管Y 并不等同于y。这种情形就是尼克·伍德豪斯( Nick Woodhouse) 所说的"微积分第二基本困惑" !另一方面，为什么ə/əX ≠ə/əx,这在几何上很清楚，因为相应的"箭头"指向不同的坐标线。
现在我们来解释量dφ。它称为φ 的梯度（或外导数) ，表示φ 沿S 的所有可能方向如何变化。dφ 的一种好的几何图像是借助于S 的等高线系。我们将S 视为一幅普通的地图，它可以是球状的，如果我们打算将S 看成是弯曲的流形的话。
函数φ 可以代表海拔高度。这样dφ 就代表了地面相对于水平面的坡度。等高线标出的是所有海拔高度相同的位置。在S 的任意一点p 上，等高线的周线方向给出梯度为零的方向(地表坡度的"斜轴" ) ，因此它是p 点处满足ξ( φ) =0 的箭头ξ所指的方向。当我们顺着等高线行走时，我们既不爬坡也不下坡。但如果我们横越等高线，那么就存在φ 的增长，其上升率，即ξ(φ) .可通过等高线沿该方向的拥挤程度来量度。
函数φ 可以代表海拔高度。这样dφ 就代表了地面相对于水平面的坡度。等高线标出的是所有海拔高度相同的位置。在S 的任意一点p 上，等高线的周线方向给出梯度为零的方向(地表坡度的"斜轴" ) ，因此它是p 点处满足ξ( φ) =0 的箭头ξ所指的方向。当我们顺着等高线行走时，我们既不爬坡也不下坡。但如果我们横越等高线，那么就存在φ 的增长，其上升率，即ξ(φ) .可通过等高线沿该方向的拥挤程度来量度。
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按照表达式ξ=a ə/əx +b ə/əy，矢量场ξ可看成是由两部分组成的， 一部分正比于ə/əx，指向常数y 的坐标线方向;另一部分正比于ə/əy，指向常数x的坐标线方向。因此在(x,y) 坐标系下，我们可用相关的权重因子对(a,b)来表示ξ.数字a和b 分别表示占在该坐标系下的分量.
严格来说，ξ的这两个"分量"实际上是组成矢量场ξ的两个矢量场a ə/əx和b ə/əy，对下面dφ 的分量我们也可作同样的理解。但"分量" 一词现在在许多数学文献中已获得"坐标标签"的意义，特别是联系到张量计算的情形就更是如此.
按照表达式ξ=a ə/əx +b ə/əy，矢量场ξ可看成是由两部分组成的， 一部分正比于ə/əx，指向常数y 的坐标线方向;另一部分正比于ə/əy，指向常数x的坐标线方向。因此在(x,y) 坐标系下，我们可用相关的权重因子对(a,b)来表示ξ.数字a和b 分别表示占在该坐标系下的分量.
严格来说，ξ的这两个"分量"实际上是组成矢量场ξ的两个矢量场a ə/əx和b ə/əy，对下面dφ 的分量我们也可作同样的理解。但"分量" 一词现在在许多数学文献中已获得"坐标标签"的意义，特别是联系到张量计算的情形就更是如此.
类似地，量dφ( "1 形式")由dx 和dy 两项组成:dφ = udx +vdy.
这样，(u,v)可用来表示dφ ，数字u 和v是dφ 在同一坐标系下的分量。实际上，这里我们有u=əφ/əx 和v=əφ/əy.
1 形式dφ 的分量(u,v)的与矢量场ξ的分量(a,b)的之间的关系可通过量ξ(φ) 获得，正如我们上面看到的，这个量量度φ 在ξ方向上的增长率。
我们发现ξφ) 的值由下式给出:ξ(φ )=au+bv。
我们称au +bv 为(a,b)的代表的ξ与(u,v)代表的dφ之间的标量积(或内积)。
实际上， 1 形式的定义本质上可看成是这样一个量，它和矢量场结合形成"标量积"。因此，量dφ 与矢量场形成标量积这个事实也可以刻画为1 形式。(在有些文献中， 1 形式又称为余矢量。)在这个意义上， 1 形式(余矢量)与矢量场是对偶关系。
这样，(u,v)可用来表示dφ ，数字u 和v是dφ 在同一坐标系下的分量。实际上，这里我们有u=əφ/əx 和v=əφ/əy.
1 形式dφ 的分量(u,v)的与矢量场ξ的分量(a,b)的之间的关系可通过量ξ(φ) 获得，正如我们上面看到的，这个量量度φ 在ξ方向上的增长率。
我们发现ξφ) 的值由下式给出:ξ(φ )=au+bv。
我们称au +bv 为(a,b)的代表的ξ与(u,v)代表的dφ之间的标量积(或内积)。
实际上， 1 形式的定义本质上可看成是这样一个量，它和矢量场结合形成"标量积"。因此，量dφ 与矢量场形成标量积这个事实也可以刻画为1 形式。(在有些文献中， 1 形式又称为余矢量。)在这个意义上， 1 形式(余矢量)与矢量场是对偶关系。
但在进入下一章要说的高维情形之前，我们先回到本章开始时提出的问题:那种能够重新解释为一维复流形的所需的二维曲面的性质是什么。基本上看，我们需要一种刻画这些全纯复值函数φ 的方法。全纯条件是一种局部条件，因此我们可将其看成是在每个拼块上满足的条件，并要求它在拼块间的重叠处具有相容性。
在(x ， y) -拼块上，我们要求φ 关于复数z = x + iy是全纯的，在重叠的(X ， Y) 拼块上，则要求φ 关于复数Z=X + iY 是全纯的。二者间的相容性由下述要求来保证:在重叠区域， Z 是z 的全纯函数，反之亦然。如果在z 拼块上φ 是全纯的，那么φ 必在Z 拼块上也是全纯的，因为全纯函数的全纯函数仍是全纯函数。
在(x ， y) -拼块上，我们要求φ 关于复数z = x + iy是全纯的，在重叠的(X ， Y) 拼块上，则要求φ 关于复数Z=X + iY 是全纯的。二者间的相容性由下述要求来保证:在重叠区域， Z 是z 的全纯函数，反之亦然。如果在z 拼块上φ 是全纯的，那么φ 必在Z 拼块上也是全纯的，因为全纯函数的全纯函数仍是全纯函数。
现在，我们如何根据φ 和z 的实部和虚部来表示φ 的全纯性条件呢?这些条件就是柯西-黎曼方程。
由于在(x,y) 坐标拼块与(X,Y) 坐标拼块的重叠区，我们要求Z=X + iY 关于复数z=x + iy是全纯的，因此在(x,y) 与(X,Y) 之间也有柯西-黎曼方程成立如果这个条件在任意两坐标拼块之间成立，那么经过总合我们就得到黎曼曲面S，这些就是我提到的必需的解析条件。
我们知道，这种曲面也可以看成是一维复流形。但是，按照目前的"柯西-黎曼"观点，我们认为S 是一种具有特殊结构(即由柯西-黎曼方程确定的)的二维实流形。
与那种"纯粹的"坚持全纯运算并将S 视为"曲线"的观点)相比，"柯西-黎曼"观点在许多方面都显得非常有力。例如，它容许我们利用偏微分方程的存在性理论方面的许多有用的技术来证明结果。
由于在(x,y) 坐标拼块与(X,Y) 坐标拼块的重叠区，我们要求Z=X + iY 关于复数z=x + iy是全纯的，因此在(x,y) 与(X,Y) 之间也有柯西-黎曼方程成立如果这个条件在任意两坐标拼块之间成立，那么经过总合我们就得到黎曼曲面S，这些就是我提到的必需的解析条件。
我们知道，这种曲面也可以看成是一维复流形。但是，按照目前的"柯西-黎曼"观点，我们认为S 是一种具有特殊结构(即由柯西-黎曼方程确定的)的二维实流形。
与那种"纯粹的"坚持全纯运算并将S 视为"曲线"的观点)相比，"柯西-黎曼"观点在许多方面都显得非常有力。例如，它容许我们利用偏微分方程的存在性理论方面的许多有用的技术来证明结果。
如果柯西-黎曼方程 əα/əx =əβ/əy 和 əα/əy =- əβ/əx 成立，那么α 和β 中的每一个量都将单独满足特定的方程(拉普拉斯方程)。因为我们有▽²α =0 ，▽²β =0 ，
这里二阶导数算子▽²称为( 二维)拉普拉斯算子，定义为,▽²=ə²/əx² +ə²/əy².
拉普拉斯算子在许多物理领域有着重要应用。例如，假如我们合在金属丝框架上张起一层肥皂液膜，并让它的两边相对于水平面有一轻微的抬高。这样，薄膜高于水平面的高度将是拉普拉斯方程的一个解(这种垂直偏离越小，解的近似程度就越高)。(三维)拉普拉斯方程在牛顿引力理论和静电理论里扮演着重要角色，因为这个方程满足自由空间引力场(或静电力场)的势函数。
柯西-黎曼方程的解可由二维拉普拉斯方程的解直接导出。如果我们有满足▽²α=0 的α,则可按β=∫（əα/əx ）dy 来构造β;这样，我们会发现两个柯西-黎曼方程都得到满足。
这里二阶导数算子▽²称为( 二维)拉普拉斯算子，定义为,▽²=ə²/əx² +ə²/əy².
拉普拉斯算子在许多物理领域有着重要应用。例如，假如我们合在金属丝框架上张起一层肥皂液膜，并让它的两边相对于水平面有一轻微的抬高。这样，薄膜高于水平面的高度将是拉普拉斯方程的一个解(这种垂直偏离越小，解的近似程度就越高)。(三维)拉普拉斯方程在牛顿引力理论和静电理论里扮演着重要角色，因为这个方程满足自由空间引力场(或静电力场)的势函数。
柯西-黎曼方程的解可由二维拉普拉斯方程的解直接导出。如果我们有满足▽²α=0 的α,则可按β=∫（əα/əx ）dy 来构造β;这样，我们会发现两个柯西-黎曼方程都得到满足。
我们具体地考虑这样的结论，即任何定义在复平面单位圆上的连续函数f都能够表示为一个超函数。这个论断还可以表述为:任何连续的f都能够表示为两部分之和，一部分全纯地扩展到单位圆的内部，另一部分全纯地扩展到单位圆的外部。这里我们将复平面完全看成是黎曼球面。
这个断言也等价于存在f 的傅立叶级数表示，这里f被看成是一个实变量的周期函数。为简单计，我们假定f是实值的，复值情形可按照将f分成实部和虚部来进行。
存在这样的定理:我们能够将f连续地扩展到圆的内部，在圆内f满足 ▽²f =O。
这一事实直观上很容易理解，我们不妨借助对肥皂膜的讨论来说明。为此，按某个固定的小数ε将f适当地缩小为新函数εf. 可以想见，现在这个金属丝框架处于复平面的单位圆上，其两边略微抬高一个量εf.张起的肥皂液膜的高度在圆上和圆内分别给出εf和f。
这个断言也等价于存在f 的傅立叶级数表示，这里f被看成是一个实变量的周期函数。为简单计，我们假定f是实值的，复值情形可按照将f分成实部和虚部来进行。
存在这样的定理:我们能够将f连续地扩展到圆的内部，在圆内f满足 ▽²f =O。
这一事实直观上很容易理解，我们不妨借助对肥皂膜的讨论来说明。为此，按某个固定的小数ε将f适当地缩小为新函数εf. 可以想见，现在这个金属丝框架处于复平面的单位圆上，其两边略微抬高一个量εf.张起的肥皂液膜的高度在圆上和圆内分别给出εf和f。
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