黑洞
是我们了解量子引力性质和行为的理想系统, 一方面
黑洞为我们研究经典引力(广义相对论意义下) 的各
种有趣行为提供了理想模型, 另一方面它又可以看
成为一个宏观量子系统, 其特有的热力学性质如熵、
温度以及引力的全息性质本质上又是量子的, 因此
为我们研究量子引力提供了一个重要窗口. 弦/M- 理
论中基本动力学客体p- 膜所对应的黑膜可视为黑洞
的高维推广
从这种意义上来说, 虽然黑洞与普通物质一样
服从热力学四定律, 但黑洞的热力学本质上是量子
的, 没有经典对应, 反映的是一种宏观量子效应. 由
于黑洞是由引力相互作用所支配, 因此其热力学的
量子本质在一定意义上也反映了引力的量子特性, 因
此研究黑洞的热力学为我们了解量子引力打开了一
个窗口.
黑洞不可避免地有所谓的Hawking 辐射, 因此
渐进平坦的黑洞不可能具有热力学稳定性. 这可以
简单地从比如史瓦西(Schwarzschild) 黑洞的如下反
直觉关系判断. 该黑洞的熵和温度与其所谓的ADM
能量M 关系如下:
SBH = 4 M2; TBH =
1
8 M
: (6)
当其ADM 能量增大时, 其温度反而减少, 从而给出
对应的比热小于零(C < 0), 因此其热力学不稳定. 要
正确地研究黑洞的热力学及相关的相和相变, 我们
首先应保证黑洞在热力学意义达到稳定.
York 等人的工作告诉我们, 实现黑洞系统热力
学的稳定性需要考虑系综[10;11]. 换句话说, 我们不仅
要考虑黑洞, 还要考虑黑洞所处的环境. 与普通系统
不同的是, 自引力系统在空间上具有不均匀性, 确定
对应的系综不仅要取定相应的热力学量, 还要标定
这些量在空间何处取确定的值.
学意义达到稳定.
York 等人的工作告诉我们, 实现黑洞系统热力
学的稳定性需要考虑系综[10;11]. 换句话说, 我们不仅
要考虑黑洞, 还要考虑黑洞所处的环境. 与普通系统
不同的是, 自引力系统在空间上具有不均匀性, 确定
对应的系综不仅要取定相应的热力学量, 还要标定
这些量在空间何处取确定的值. 为简单起见, 本文的
讨论将局限于具有球对称的黑洞(膜) 情形. 对这种
情形, 建立相应的系综可把黑洞放入一个半径大于黑
洞视界半径且与其同心的空腔内. 该空腔具有确定的
半径和温度. 当黑洞在空腔壁处的局域温度与空腔的
温度达到一致时, 黑洞就与外热源达到了热平衡(见
图1). 当空腔内的电荷给定时, 我们就定义了所谓的
正则系综, 而当空腔壁上的电势
[PDF]弦論與規範場論的對應關係
psroc.phys.ntu.edu.tw/bimonth/v25/775.pdf
http://www.douban.com/note/345881799/
电子在磁场中因为受到总是垂直于电子的运动方向的洛伦兹力，于是就形成一个圈。磁场很强的情况下，电子的轨道半径很小，因此电子都束缚在圈中没办法到处乱跑，一个萝卜一个坑，把所有这些轨道填满了就没地方可以去了（这也就是电子把逐个Landau能级填满）。但是当靠近样品边缘的时候，电子没有办法跑出一整个轨道了，于是只能沿着样品的边缘跳，画出一个接一个的半圆弧。也就是说，电流是可以沿着边缘传导的。而且因为电子只能沿着单一方向转圈，边缘上电流是“单行道”，只能沿一个方向传输，（也即上面所说的“手征边缘态”）。
通俗的整数量子Hall效应的直观解释是这样说：电子在磁场中因为受到总是垂直于电子的运动方向的洛伦兹力，于是就形成一个圈。磁场很强的情况下，电子的轨道半径很小，因此电子都束缚在圈中没办法到处乱跑，一个萝卜一个坑，把所有这些轨道填满了就没地方可以去了（这也就是电子把逐个Landau能级填满）。但是当靠近样品边缘的时候，电子没有办法跑出一整个轨道了，于是只能沿着样品的边缘跳，画出一个接一个的半圆弧。也就是说，电流是可以沿着边缘传导的。而且因为电子只能沿着单一方向转圈，边缘上电流是“单行道”，只能沿一个方向传输，（也即上面所说的“手征边缘态”）。
直接来看，拓扑不变性最朴素的理解是指体系作用量所定义的那个积分流形在同胚变化下保持不变。举个例子，点电荷产生的电场，我们知道只要选取的Gauss面包含点电荷，那么不论Gauss面怎么取，电场在这上的积分都是不变的，而不同Gauss面之间就差一个同胚变换，也就是说电场在Gauss面上的积分就是拓扑不变的
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direct interpretation for IQHE
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这种经典解释的图像看起直观，但并真的不是量子力学里面所描述的图像：显然量子力学里面没有什么一个个固定的圆形轨道，我们之前就讨论过Landau能级，再次需要再次提醒大家注意这个才是真正的物理图景。但这个通俗直观的解释也有其精妙的地方：我们知道在量子力学中，动量算符为$\hat{p}=-i\hbar\nabla$，这个算符作用到波函数上最明显的意义并不是得到动量（经典意义下动量是$\vec{p}=m\;\vec{v}$），而是计算出了波函数的相位增加的梯度。那么回顾在对称规范条件下得到的一个个在平面上排列成WS晶格的Landau能级（见上面Landau states的图），每个点上的波函数其相位按逆时针方向增长，角动量算符为 $[r\times p]_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\;\theta}$。那么在这个意义下，电子也确实可以算是在“转圈圈”
Phantom_Ghost的日记
Chern-Simons规范理论
2014-04-17 17:49:43
Author：$Tom\;Gao$
$\mathfrak{1}$.
Chern-Simons场论是一种二维的拓扑场论，其本身亦是一种规范场论。实际上规范理论在本科学习电磁理论/电动力学时候就有所接触，实际上电磁理论就是最简单的规范场论，电磁场是$U(1)$ 纤维丛上的联络（注意与广义相对论不同的是，引力场是Riemann流形上的联络，对引力引入规范场论将会导致圈量子引力论：LQG）。量子场论中最为著名的规范场论就是Yang-Mills理论，$U(1)$是Abelian规范场，而Yang-Mills理论是一种量子非Abelian规范场论。而我们这里的主题是奇特的规范场，如开头所说，Chern-Simons场论是一种拓扑的规范场论。系统的Lagrangian里面存在一个特殊的拓扑不变量：Chern-Simons项（或 Chern-Simons不变量）：
\[
Tf(\Omega)=\int_C {f(\Omega^k)}
\]
$df(\Omega^k)$是$(2k-1)$-形式，$T$是Chern-Weil同态，这就是一种Chern-Simons形式；$C$是流形$M$上的2k-1维的闭圈。
数学中Chern–Simons形式是某种二阶示性类，在规范理论中是种颇有意思的东西。
由它（3-形式）可定义Chern–Simons理论的作用量。陈省身与James Harris Simons于1974年合作发表了一篇历史性文章，文中提出了 Chern–Simons理论。
$M$为Riemann流形，其联络$A\in \Omega^1(P(M),\mathfrak{g}l(n))$ 是标架丛$P(M)$上的1-形式Lie代数。给定一流形与1-形式Lie代数，$A$为上面的向量场。可由此定义一族p-形式：
在一维情形，Chern–Simons 1-形式为： $\text{Tr}[A]$
在三维情形， Chern–Simons 3-形式为：$\text{Tr}[F\wedge A-\frac{1}{3}A\wedge A\wedge A]$
五维时，Chern–Simons 5-形式为：$\text{Tr}[F\wedge F\wedge A-\frac{1}{2}F\wedge A\wedge A\wedge A+\frac{1}{10}A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A]$
其中曲率张量定义为：$F=dA+A\wedge A$
通常的Chern–Simons $\omega_{2k-1}$形式 由以下方式给出：
$d\omega_{2k-1}=\text{Tr}(F^k)$
其中由楔积定义$F^k$。等式右边正比于联络$A$的第k陈类。
一般地，由定义可知Chern–Simons p-形式中的p是任意奇数2k-1。（可参考规范理论的定义）
若$M$是平庸 2k-1维流形（i.e.三维可定向流形），那么存在映射 $s: M\rightarrow P(M)$ ；并且从$s^{*}\omega_{2k-1}$ 在p维流形上的积分是整体几何不变量，且是模增加一整数的规范不变量。
不同映射得出整个积分值不同，通过以上所说的方式定义出来的不变量称为Chern-Simons不变量：$cs(M)\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}$
由此我们知道了Chern-Simons项在奇数的时空中才出现，其一般形式是用正则形式 (可以参照上面提到的量子场论的Yang-Mills规范场进行比较)构建出来的体系的拓扑不变量，数学上叫陈类，物理上也常常称为环绕数（在后面讨论量子Hall效应会理解其缘由）。一般形式就是$\omega=\int{\Omega^k}$，$\Omega$是曲率形式，对应Yang-Mills规范场强，$\omega$的一般形式的理论已经由Chern和Simons建立。$\omega$可以认为就对应这里的Yang-Mills规范场强，就是$F$。直接来看，拓扑不变性最朴素的理解是指体系作用量所定义的那个积分流形在同胚变化下保持不变。举个例子，点电荷产生的电场，我们知道只要选取的Gauss面包含点电荷，那么不论Gauss面怎么取，电场在这上的积分都是不变的，而不同Gauss面之间就差一个同胚变换，也就是说电场在Gauss面上的积分就是拓扑不变的。C-S的拓扑不变性亦可以这样去理解。Y-M作用量和C-S作用量如何比较出拓扑不变性不同的体现，总的来说可以按照上面说的那样从微分同胚变换角来验证一下；或者最简单的考察它们的积分：很多情况下C-S项只是一个类似表面项的东西，所以它类似全微分，积分结果是常数，而Y-M作用量显然不是这样。具体证明将涉及到纤维丛分类的内容，实际上Y-M理论就是主丛的一种具体模型。
数学上Chern–Simons理论可用于计算纽结不变量 和3-流形不变量，例如 Jones多项式。
Chern–Simons理论的作用量$S$正比于Chern–Simons 3-形式的积分
\[
S=\frac{k}{4\pi}\int_M \text{Tr}\,(A\wedge dA+\tfrac{2}{3}A\wedge A\wedge A)
\]
常数 ''$k$'' 称为该理论的“水平”。经典物理的Chern–Simons理论与“水平”$k$的选取无关。
特别地，Chern–Simons理论是通过单Lie群来建立，并且需要确定“水平”数此数乘在作用量上）。作用量是与规范相关的，然而仅当“水平”数是整数以及规范场强度在三维时空任意的边界上为零，量子统计中的配分函数才被良好地定义。
系统由作用量对$A$的变分极值导出的运动方程描述
场地曲率为
\[
F = dA + A \wedge A
\]
场方程为：
\[
0=\frac{\delta S}{\delta A}=\frac{k}{2\pi} F
\]
因此经典场的曲率处处为零，即联络是平的 。因此Lie单群$G$的Chern–Simons理论的解正是流形$M$上$G$主丛平坦联络。 整个平坦联络由围绕着基流形上不可缩闭合路径的和乐决定。 更准确的，它们是从$M$的基本群到规范群$G$一一对映的共轭同态等价类。
若$M$有边界$\partial{M}$ ，则有额外的量来描述$\partial{M}$上的 $G$主丛的平凡选择。这样的选择表征着一个从$\partial{M}$到$G$的映射。该映射的动力学由$\partial{M}$上k“水平”的Wess–Zumino–Witten模型(WZW)描述。
要对Chern–Simons理论进行正则量子化，人们须要定义流形$M$的每块二维曲面 $\Sigma$ 上的态。量子场论中的态对应着Hilbert空间中的投影射线子空间中的元素。 在Schwarz-类型拓扑场论中没有时间先后的概念，那么我们可以选取$\Sigma$为Cauchy曲面。实际上态可以定义在任何曲面上。$\Sigma$ 是余维的，因此可沿着$\Gamma$剪切$M$。裁剪之后$M$称为无边界流形，并在$\Gamma$的动力学中可由 WZW模型描述. Edward Witten指出这种对应在量子力学中也成立。 态的Hilbert空间总是有限维的，并能正则地定义为Lie群G水平k的 WZW模型中的共形区域的空间。 共形区域是局部全纯（正则）的，其反全纯因子乘积都加到二维共形场论的关联函数中去。
例如当$\Sigma$是球面 $S^2$，其Hilbert空间是一维的，因而只存在一个态。当$\Sigma$是环面$T^2$，态对应着水平k时的仿射Lie群G可积群表示。研究Witten对Chern–Simons理论的解的方法时没有必要讨论更高阶类的共形区域的特征。
Chern–Simons理论的可观察量是 规范不变算符组成的$n$点关联函数。最常研究的规范不变算符类型是Wilson圈。 一个Wilson圈是$M$上绕一圈的和乐，在给出的 Lie群$G$的表示中求迹。我们对Wilson圈的乘积感兴趣, 在不失一般性下，我们只注意其不可约表示$R$。
更具体地，给定一个不可约表示$R$和$M$的圈$K$，可以定义的Wilson圈 $W_R(K)$ 为：
\[
W_R(K) =\text{Tr}_R \, \mathcal{P} \, \exp{i [\oint_K A]}
\]
其中 $A$ 是1-形式的联络我们取逆时针路径积分的Cauchy主值，$\mathcal{P} \, \exp$ 是路径编序指数。
$\mathfrak{2}$.
1982年,崔崎,Stormer和Gossard等人发现了分数量子霍尔效应, 第二 年，Laughlin[4]就给出了一个理论解释。他讨论了一个二维电子气体模型，指出当Landau能级的填充因子偏离基态能量本征值时，系统状态可以由某种元激发来描写,这些元激发具有分数电荷.Halperin在随后发表的一篇文章中指出,Laughlin理论中的元激发准粒子就是服从分数统计的任意子。在Laughlin和Halperin的开创性工作之后, 还有其它很多人探讨了用等效场理论解释分数量子霍尔效应的可能性，在这些工作中,张守晟,Hansson和Kivelson[6]的工作具有相当的重要性。张守晟从微观哈密顿量出发，导出了Chern-Simons-Landau-Ginsberg（CSLG）理论，这一理论所采用的思路和方法都与Laughlin理论相差很大，但它们之间是完全等价的（对此在本文后面会详细阐述）。在Laughlin的诺贝尔奖演说词中曾提到了张守晟等人的这一工作。
现在来简单看看二维系统里荷电粒子系统与Chern-Simons场作用。
\[
L=\sum_{i=1}^{N}\;{ {\frac{1}{2}m\dot{x}^2_i +q[-a_0(x_i)+{\dot{x}^2_i}\cdot{a(x_i)} ]} +\frac{\kappa}{2}\int d^2x\;\varepsilon^{\rho\sigma\tau}a_{\rho}\partial_{\sigma}a_{\tau} }
\]
Lagrangian中$a_{\mu}$是C-S field，$a=(a_0，a_i)$。 类比电磁场$A_{\mu}$，但是这里换成了$a_{\mu}$ C-S场。Lagrangian中间的项是和荷电粒子耦合项。 $i$是标记第几个粒子的指标。
不妨对比一下单粒子在电磁场中的作用：
\[
L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2_i + {\frac{q}{c}}{A}\cdot{\dot{r}} - q\phi
\]
电磁场里面是二级反对称张量: $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$ 那种样子。电磁场的Lagrangian里面的场能量项正比于$F_{\mu\nu}F_{\mu\nu}$。
C-S场里面C-S项中是与 $\varepsilon^{\rho\sigma\tau}$ 这样的三阶反对称张量缩并而不是常见的度规张量$g^{\mu\nu}$，这意味着C-S项具有一种标度(scale)不变性。$\kappa$无量纲“水平”参数决定统计性质（在后面会看到）。
电子和电磁场的最小耦合拉格朗日量为：
\[
L_{QED}=\bar{\Psi}(i \rlap{/}\partial -m)\Psi -\frac{1}{4}(F_{\mu\nu})^2 -e\bar{\Psi}\gamma^{\mu}\Psi A_{\mu}
\]
我们马上就可见到,这个C-S场$a_{\rho}$实际上是一种虚拟的场，它并不代表真实的物理自由度.为此来看拉氏量对飞的，即得$a$场的运动方程：
\[
q j_0(x)=\kappa\;\varepsilon^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}a_{\beta}
\]
在规范条件下
\[
\partial_{\beta}a_{\beta}=0
\]
就解出Chern-Simons规范场：
\[
a_{\alpha}=-\frac{q}{2\pi\kappa}\int{d^2y\;\varepsilon^{\alpha\beta}\frac{(x-y)_{\beta}}{|x-y|^2}\rho(y)} =-\frac{q}{2\pi\kappa}\sum_i {\varepsilon^{\alpha\beta}\frac{(x-x_i)_{\beta}}{|x-x_i|^2}}
\]
初接触这新奇的理论时，我们心里都不面怀着疑问：C-S场为何出现于FQH这种凝聚态系统，或者换句话说2+1维分数量子Hall效应的有效场论是如何构造出来的？
从最物理层面上看，由于FQH就是由不可压缩多体强关联电子态构成的Laughling液体产生。就是由于电子间长程关联(Coulomb相互作用)的动力学效应相当于局域产生C-S场的虚拟磁通。然后造成了分数统计以及所谓分数电荷。而且这所谓分数荷的准粒子并非点状模型，而是带了一根虚拟的奇异弦，也就是当初Wilzeck构造的较为直观的图像：任意子模型 ，以及后来的CSLG理论的复合玻色子以及费米子。对于C-S 场这种有效场的演生的物理意义诠释，最早就是 Zhang, Hansson和Kivelson 著名的工作，另外Haldane还有个解释。再就是通过Laughlin波函数也可以反推出Chern-Simons项。其实这种形式的Lagrangian，作为平均场论，是规范不变、且能给出二维Laughlin液体态系统中的守恒电流的简单形式，然后引入了一个可以产生这种关系的$U(1)$规范场。只从数学形式来看Chern-Simons场论只是个拓扑规范场论，这并没有告诉我们它的物理图景。Fradkin(1991)和张首晟(1989)的两篇论文比较详细地讲了如何从平均场角度把Chern-Simons场论从微观理论中构造出来。Hall效应的原始哈密顿量，就是二维相互作用电子气在磁场中的哈密顿量。在Lopez和Fradkin的工作中，通过一个变换把这个H映射成了将一个磁通捆绑在电子上的新的哈密顿量，这个哈密顿量所描述的电子附带磁通的准粒子，就是复合费米子（可能和对偶有关）。其实复合费米子也是一个非常物理的构造，可见Jain于1989发表的的文章。
谈及分数量子Hall效应，都知道Laghlin波函数对该系统的描述很成功，构造Laughlin波函数有些人说是猜的，而其实这样说并不太妥当。固然起初直觉上Laughlin就像Wilzeck那样把电子看做是绑了一个磁通的复合粒子，然后进一步从对称规范解得的Landau能级各个态出发，为了反映出复合电子之间交换的奇特性质构造出描述整个电子系统多体波函数——Laughlin波函数：
\[
\psi_m(z_1,...,z_N)=[ \prod_{i<j}^N{(z_i-z_j)^m ]exp(-\sum_{j=1}^N\;{z_j^{*}z_j})}
\]
单从形式上看是多体波函数的形式构造 ，m是奇数是源于电子的交换反对称性，且是填充数倒数。正是Laughlin抓住了FQH系统的元激发的分数统计性质，才使得他的理论大获成功。
然而实际上这种形式也正是决定了其分数统计性质；我们可以反过来看待，若先不考虑具体的Laughlin波函数形式，从二维的分数统计出来看，Laughlin波函数的形式是必然的。我们考察的量子多体系统的交换统计。在全同粒子系统中，交换两个粒子坐标的操作用置换群描写。置换群包含 两个元素,单位算子$I$(即不做变换)和置换算子$P$。将置换算子$P$作用在系统波函数上。由于$PP=I$，可知置换算子的本征值为$P=+1,-1$，其对应的本征函数分别是对称的和反对称的,而相应的粒子分别是玻色子和费米子。 我们知道QHE多体系统中的低能激发产生的准粒子是任意子，带着个虚拟磁通，而任意子交换过程中而磁通会贡献相位的，而交换粒子的这个相位将决定统计性质，那么统计关系就会不一样：电子1的规范势是和电子2相关联的，可以类比为，电子1绕电子2转一圈就像绕着一个虚拟磁通转了一圈，那么1跟2电子的整体波函数就会多出一个与磁通相关的不可积相位，磁通决定着相位因子若取不同的值在统计上会有不一样的效果。
整数量子统计：$|\psi_1\psi_2\rangle=\pm |\psi_2\psi_1\rangle$
分数量子统计：$|\psi_1\psi_2\rangle={e}^{i\theta} |\psi_2\psi_1\rangle$
在一般的量子统计中，我们从不考虑粒子交换的路径会对统计性质有什么影响。因为在三维空间，两个粒子无论以什么方式互相绕一圈，形成任意的闭合曲线，这条闭合曲线总可以连续收缩为一点，它们都是拓扑等价的，或说所有闭合曲线属于同一拓扑等价类。路径的不同不会对置换群的表示有任何影响。但在二维平面（空间），情况则截然不同。 考虑平面上的一条闭合曲线,该平面上它包围区域里有一个奇点。如果在三维空间中，这条曲线可以绕过奇点而收缩为一点,但如果在二维平面里，那么这条曲线在收缩过程中就不可避免地碰到这个点，从而永远无法收缩为一点。这 就造成了二维平面中置换两个粒子坐标时粒子所走过的路径并不属于同一等价类。因此必须对路径进行分类，这样一来置换群的概念也要推广以区分不同等价类的路径。
描述这一问题的标准数学语言是同伦群。同伦群的精确定义比较抽象，我们这里用一个简单的例子来说明。考虑二维平面，由于绕一个点N周的所有闭合曲线都是拓扑等价的，可以把绕点N周的所有闭合曲线组成的等价类作为同伦群的一个元素，很容易验证它们满足群的定义。这个群叫一阶同伦群，也称为基本群。 N个全同粒子系统的二维位形空间非常复杂，这个位形空间的同伦群是个无限群。位形空间分成若干不相连的区域，路径分成不相连的分支，每个分支作为一个元素组成所谓的辫子群。直观地说，两个全同粒子在二维平面中运动，它们划过的世界线相互缠绕，编成一条辫子，编辫子的不同方式就构成辫子群的元素。与此对应，任意子系统的波函数的Hilbert空间不再是置换群的表示，而是辫子群的表示，也就是说，在二维平面里只用置换群对路径分类是不够的，必须用辫子群做进一步的考查。
现在以微分几何的角度来更细致地描述分数统计的数学结构：
Hilbert纤维丛的基流形每一点上都有一根纤维，由于我们的流形是位形空间构成，所以这跟纤维就是量子力学中以坐标标记的单分量的Hilbert空间$\mathscr{h}_x$。波函数属于这个单分量Hlibert空间，因此可以不是十分严格地将其说成是定义在该点的纤维上的截面。 这在假定波函数具有单值性的情况下，是办的到的，因为这时流形拓扑可缩，其纤维丛平庸。那么平移位置基矢是可以在每点使得态矢唯一:$\langle x|x^{'}\rangle=\delta(x-x^{'})$当然，在考虑一般的切丛时候，纤维的截面是矢量场，因此态矢才是截面整体抽象表示不依赖于坐标基矢，波函数只能说是截面的局域依赖于基矢表示。 不过我们要讨论2D的系统，存在多值波函数，这时候就不那么简单就认为波函数就和态矢一一对应了。那这时就要通过收缩约化流形来讨论，就是接下来要讲的内容。
将基流形上的多值多体波函数$\psi_m$(依赖参数$m$，交换时产生相因子)映射到单值波函数$\psi$ (它是原来的基流形收缩约化掉交换后的新的基流形纤维的单值截面，是交换对称的)的由单值波函数表示：
$\Psi(x_1,x_2,t)\backsimeq\xi_m(x_1,x_2|x_1^{'},x_2^{'})\;\psi_m(x_1^{'},x_2^{'},t)$ ($m$不求和)
其中的组合系数$\xi_m$就是辫子群中的群元；特别的，$\xi_0$就是幺元。这时可看到m是两根弦之间的缠绕的环绕数，它标记着粒子间某种交换。
在流形中引入联络，由平移条件：
$D_k\xi(x)\equiv(\frac{\partial}{\partial{x^k}}-ib_k(x))\xi(x)=0$
引入一个联络$b_k(x)$，其部分决定于系统的动力学，部分决定于规范选择。由此可从$\xi_0$出发得到所有$\xi_m$， 类比构造几何相位的方法，即像典型的A-B相位那样对规范势(联络)绕圈作积分：
\[
exp\{ i\oint_{C_{\alpha}} { \sum_{i=1}^{n}{ {b^{(i)} }\cdot{dx^{(i)}} } } \}={e}^{-im_{\alpha}\theta}
\]
这样也就给出与辫子群同构的和乐群(给出一阶同伦群到规范群$U(1)$的映射，其本身也是辫子群的幺正一维表示，对于闭合路径$C_{\alpha}$，积分应该得到${e}^{im_{\alpha} \theta}$，并且在无外场时自然要求流形的曲率张量为零。为了得到这样的联络，使用平凡的Abelian联络——Kohno联络1形式：$b_k(x)dx^k=b_z dz+b_{\bar{z}}d\bar{z}\equiv b(z,\bar{z})$ ，鉴于我们只考察多体系统的统计性质，那么联络$b_k(x)$便只联系于和乐群 $\Pi_1({\widetilde{M}}^n)$，而不考虑外力场时，$b(z,\bar{z})$的曲率为零：$F_{z\bar{z}}=db(z,\bar{z})=0$，换言之，除了流形中的奇点，物理组态空间是局域处处平坦的。然而正是那些奇点的存在，使得我们能上面平凡的联络得出非平凡的和乐群元。为了得到和乐群元，我们需要一个非平凡的Abelian Kohno联络：$b(z,\bar{z})\equiv b_z dz+b_{\bar{z}}d\bar{z}=\partial_{z_i} {U}dz_i+\partial_{\bar{z_i}} {U}d\bar{z_i}$，有$db=d^2U=0$
\[
U=i\frac{\theta}{2\pi}\sum_{1\leqslant i<j\leqslant m}{ln(z_i-z_j)}
\]
由之前提出的联络平移条件得出：
\[
[d_z-ib_z(z_1,...,z_n)]\xi (z_1,...,z_n)=0
\]
\[
[d_{\bar{z}}-ib_{\bar{z}}(\bar{z}_1,...,\bar{z}_n)]\xi (\bar{z}_1,...,\bar{z}_n)=0
\]
解出$\xi_m$：
\[
\xi(z)=\prod_{i<j}(\frac{z_i-z_j}{z_i^{(0)}-z_j^{(0)}})^{-\theta/2\pi} \xi_0(z^{(0)})
\]
\[
\xi(\bar{z})=\prod_{i<j}(\frac{\bar{z}_i-\bar{z}_j}{\bar{z}_i^{(0)}-\bar{z}_j^{(0)}})^{\theta/2\pi} \xi_0(\bar{z}^{(0)})
\]
那么对于$\widetilde{M}^n$上一个闭合曲线$C_{\alpha}$，则有
$\xi_{\alpha}(z,\bar{z})=\xi_{\alpha}(z)\xi_{\alpha}(\bar{z})=exp(-i\theta m_{\alpha})\xi_0(z,\bar{z})$
波函数$\psi_m(z,\bar{z})$与$\xi_m(z,\bar{z})$多值性正好相反保证了截面$\Psi(z,\bar{z})$的单值性：
$\Psi(z,\bar{z})=\xi_m(z)\xi_m(\bar{z})\psi_m(z,\bar{z})$
自然得到Laughlin波函数形式
\[
\psi_m(z,\bar{z})=\prod_{i<j}^m {(z_i-z_j)^{\theta/2\pi} (\bar{z_i}-\bar{z_j})^{-\theta/2\pi} \tilde{\psi}(z,\bar{z})}
\]
(这里$\tilde{\psi}(z,\bar{z})$就是基流形收缩约化掉交换后的新的基流形纤维的单值截面)。$\theta$是决定着统计性质的参数，称为统计角。
比较Wilzeck的任意子模型的哈密顿量Hamiltonian和Chern-Simons场的作用量，构造不同直观地讲是前者是构造荷电带虚拟磁通的任意子，后者是荷电玻色子与Chern-Simons场耦合的结果。引入了C-S 场后，和荷电粒子耦合就会出现这种虚拟的磁通(规范势)，
\[
j^{\rho}=\sum_i {(\dot{x}_i)^{\rho} \delta^2 (x-x_i)}
\]
由此可见非零场强只定域在粒子世界线上，因此粒子间不存在经典的Lorentz力，这也就是为何称为虚拟规范势的原因。在二维平面上有磁通量$\Phi$穿过的环形区域内一个带有分数电荷准拉必然带有非定域信息(因为这些准粒子是有效平均场的低能激发，是整体而非局域的)，从图中可看到$\theta=0$处有一条看不见的"奇异弦"。这样就模拟出Wilzeck的复合粒子（任意子）。
处于强磁场下在三维空间运动的电子还填不满第一Landau能级时($\nu<1$),它们是自旋完全极化的费米子(相反方向极化的能态因巨大的Zeeman劈裂超过Landau能级的问距而可略去不计)。前面提到张首晟引入Chern-Simons规范场后把相互作用的电子气映照成为自由玻色子气，即电子在数学上等价于一些带有虚拟的C-S磁通量的"复合玻色子"，故此理论可称为CSLG理论。现在具体讨论填充因子为$\nu=\frac{1}{3}$的二维分数量子Hall效应，在CSLG有效场理论中进行二次量子化，这时每个电子平均分到3个$\phi_0$量子磁通.这是指与$A$联系的外磁场。在Chern-Simons有效场论中还有一个C-S规范场$a$，每个由于每个玻色子带有3个$\phi_0$的"虚拟磁通量"。玻色子与3个$\phi_0$的虚拟磁通结合后形成的一个个复合体，它们相互交换时因A-B效应而获得一个附加的相位因子使玻色子换位时的对称性转变为反对称性，即复合粒子成为费米子，它是的原来真实电子的低能激发态（电性相反的“准空穴”）。因$q/e=-1$，这些"虚拟的情磁通"方向与外$A$场的磁通的方向相反，彼此抵消的结果使这些玻色子的合磁通为零，即总得结果最终是FQH系统中的真实电子低能激发成为自由玻色子准粒子。己知无磁场的低温下的玻色子会发送"Bose-Einstein凝聚"（BEC），从而产生超导性(即带电的超流性)。由此也可以解释强关联电子体系的不可压缩性。因为任何电子密度的局域改变，必然引起相伴随的$a$场磁通的变化，使原来被抵消了的外磁场又再出现来而导致整个系统能量增大（填充因子产生改变）。而超导的Meissner效应告诉我们，超导体内是排斥(弱)磁场的(太强的磁场会破坏超导)，所以现在电子体系的密度必须保持均匀不变，因此超导系统中的Cooper对形成的BEC也是不可压缩量子液体。
Chern-Simons理论中的统计规范场没有独立的动力学自由度,因而并不描写有独立动力学的粒子，它的唯一作用在于给出分数统计所要求的额外相因子。从场方程可以明显地看出这一点：统计规范场的场量完全由物质流确定,因此它的方程确切地说是一个约束条件。引人Chern-Simons项另一个好处是可以清晰地讨论$T$、$P$破缺, 这里$T$代表时间反演,P代表宇称变换。从数学上可以证明， 具有分数统计性质的任意子体系会破坏空间、时间反演对称性，也就是存在C-S场耦合的系统其基态在$TP$反演下不对称。 因此，考查T或P的破缺与否是判断C-S理论是否正确的一个重要检验方法。值得注意的是QCD的 $\theta$真空也会破坏$T$、$P$对称性。
“水平”的单圈重整化
若在Chern–Simons规范理论添加物质，则整体来看它将不再是拓扑的。然而若增加$n$个Majorana费米子，那么由于宇称（奇偶性）反常，当积掉这些Majorana费米子后将导致出现“水平”单圈重整化$−n/2$的纯Chern–Simons理论，换言之k水平的含费米子的理论等价于$k − n/2$水平的无费米子理论。这与后面要提到的粒子物理中的情形(Pecci-Quinn理论)类似。
量子Hall效应是凝聚态里出现Chern-Simons有效场的典型系统，而除此之外，还有一些别的系统也能出现Chern-Simons有效场，从而造成分数量子统计。
高温超导
作为强关联电子结构材料的高温超导体的发现是八十年代物理学的一件大事，在这类材料发现后不久，感觉敏锐的Anderson就明确指出了高转变温度超导材料中铜氧面 的重要性，他预期铜离子之间的磁交换作用可能会在理论中有重要的地位。 Anderson认为，应以Mott转变作为高温超导理论的出发点，因为超导电性出现在金属-绝缘体转变的附近。他的思想被发展成共振价键理论(RVB)，RVB 态的准粒子激发是自旋子(spinon)和空穴子(holon),Kalmeyer和Laughlin通过比较认为，自旋子和空穴子的行为和任意子相似，服从分数统计（相对于FQHE系统的统计角 $\theta=\frac{\pi}{3}$，高温超导里目前的机制认为其统计角为 $\theta=\frac{\pi}{2}$）。除此之外，利用任意子方法处理高温超导现象的工作，还包括文小刚，Wilczek和Zee提出的手征自旋态和手征自旋液体概念等。 但是需要指出,，高温超导体的问题极为复杂。正常态的反常和超导态的反常都异乎寻常地多，至今还没有那个理论能得到大家的公认，甚至如Mott所说：“有多少理论物理学家，就有多少高温超导理论”。用任意子和分数统计研究高温超导现象，虽然已经有了一些结果，但缺乏明确的实验证据的支持，这方面的探讨至今仍在进行当中。
特殊晶格的强关联Mott绝缘体
t-J是 Hubbard model 在大$U$（关联能很强）情形下推出的有效模型。参数J的大小正是$t^2/U$的幂次。 清华高等研究所翁征宇一组研究超立方晶格中的t-J模型，在半满带时 t-J 退化为反铁磁体的Heisenberg模型，系统中费米子（算符）的符号则可通过Marshall符号变换（slave-fermion分解）后可规完全规范变换掉，在掺杂情形中体态符号的也可以规范变换掉, 留下纯粹的“不可约”符号结构，也就是电子会发生电荷-自旋自由度分离，变成空穴子和自旋子的元激发。通过在实的位形空间的运动的路径中空穴子与其自身还有与自旋子之间的交换都感生出一个$\pi$相位的磁通，从而会在算符中出现负号。研究配分函数高温展开一直到所有阶，以及半满带中多空穴传播子还有在基态能量进行微扰展开，就会看到与正常Fermi气体系统完全不同的奇特性质。系统出现这种符号结构（sign structure）表明掺杂Mott绝缘体的量子态出现交换统计（mutual statistics）。
在量子Hall液体中，玻色子以及费米子两种统计性质截然不同的准粒子通过在Chern-Simons有效场中产生的分数统计，通过交换能相互转化。而在上面的超立方晶格的Mott绝缘体中空穴子和spinon自旋子交换亦可相互转换。这一点和高能物理中的超对称性多少有些类似的意思，亦有人在这方面做过些工作。
SUSY C-S 拉格朗日量：
\[
\mathcal{L}_{sCS}=\frac{\kappa}{4}(\epsilon_{abc}A_a\partial_b{A_c}-\frac{i}{4}(C\sigma_a)_{\alpha\beta}A_{\alpha}\partial_{a}{A_{\beta}}+i(C\sigma_a)_{\alpha\beta}A_{\alpha}\partial_{\beta}{A_{\alpha}} )
\]
$\mathfrak{3}$.
我们已经知道Chern-Simons项是个拓扑不变量，其本质是第三陈类。那么回过头来我们发现量子霍尔效应的电导率包含的系数正是个第一陈类积分而得的陈数。
人们对凝聚态系统里出现的拓扑不变量的发现是物理学的一座里程碑，它的发现将可能孕育着凝聚态物理乃至整个物理学界的革命。我们不妨稍微“偏一下题”，来讨论一下量子Hall效应以及拓扑绝缘体中的拓扑不变量。
在上世纪80年代以前人们对物质状态进行分类的主要依据是体系的对称性。依据传统的相变理论。不同的量子态可以通过Landau自发对称性破缺的原理来理解，对称性由序参量描述对称性破缺意味着序参量不为零的有序相的出现。举例来说，晶体破坏了空间连续平移对称性；铁磁体破坏了空间旋转对称性；超导体破坏U(1)规范对称性。而整数量子Hall效应与分数量子Hall效应的发现打破了传统的Landau相变理论。因为量子Hall态的产生并没有破坏任何对称性（不存在局域序参量），无法纳入Landau自发对称性破缺的理论框架中。因此要理解量子Hall态需要引入拓扑序的概念，相应的，量子Hall态就是一种拓扑相。而Hall电导是整数是量子化的$\sigma_{xy}$ 对样品的大小形状载流子密度甚至迁移率均不敏感这说明存在某种内在的不变量。我们知道数学上拓扑学是研究拓扑空间中的几何不变量的学问。在凝聚态物理上，拓扑的概念是针对有能隙系统（绝缘体超导体）而言。每个有能隙的多体系统都由相应的哈密顿量来描述，如果两个系统的哈密顿量可以通过连续形变（譬如调节哈密顿量里的参数）而光滑过渡。即形变过程中，不闭合体能隙。那么我们称这两个系统属于同一个拓扑等价类。关闭体能隙伴随着量子相变，体能隙的闭合意味着动量空间中出现奇点，也就是在BZ流形上产生“洞”（亏格不为零）。为了判断两个系统是否属于同一个拓扑等价类须要引入在同胚映射下不变的代数量：拓扑不变量。它可以是一个数（例如欧拉示性数、陈数）。也可以是构建在拓扑空间上的某种代数结构，如同伦群、同调群、上同调群等。
具有不同的拓扑有序态的系统必须由不同的拓扑不变量来进行描述。1982 年Thouless等人（TKNN）在一片奠基性文章中利用Kubo公式就算了二维周期性晶格系统的Hall电导，并指出$\sigma_{xy}$对系统自身变化的不敏感性来源于QHE体系的拓扑不变性，描述它的拓扑不变量称为 TKNN数，用整数n表示。其能带的拓扑性与一般绝缘体截然不同，以第一陈类来对定义在复数域尚德任意维哈密顿量进行拓扑分类。 QHE态中n为非零的整数对应量子电导前的系数，普通绝缘体n为零，普通绝缘体和真空有相同的拓扑分类。因此整数量子霍尔系统的拓扑不变量就由第一陈数来表征。QHE态和真空拓扑性不同其和真空的界面上拓扑不变量必须发生变化这导致了无能隙导电的边缘态出现。
Laughlin在对整数量子Hall效应时候，考虑到系统中的电子波函数整体相位相干性，引入横向周期性边界条件将位形空间构造成环带形状（torus:$S^1\times S^1$），在此从近自由的单电子模型出发在系统的哈密顿量中加上磁场，解二维环带域（计入在相应的长宽两组周期性边界条件）Schrödinger方程，得到能级Landau levels。实际的样品中，需要考虑存在杂质并束缚电子使之成为定域态，有掺杂的情况,每一Landau能级己扩展为能带（扩展边缘态）。一定范围内磁场变化时候电子落在定域束缚态中使得自由电子数目不增加，从而出现Hall电导平台。
以TKNN（Thouless-Kohmoto-Nightingale-deNijs) 拓扑不变量角度去阐述IQHE则是更现代的凝聚态理论。二维IQHE系统的有效场理论哈密顿量为：
\[
H=-i\hbar v_F(\sigma_x\partial_x+\sigma_y\partial_y)+m(y)\sigma_z
\]
解出的能谱中含有无能隙手征边缘态的谱线，其中的手性费米子不能反向散射，因而整数量子Hall系统是破坏时间反演对称的。边界上的边缘态数量为：$n=-\frac{\sigma_{xy}}{e^2/h}$，一般IQHE系统中$n=1$。
$*$这里要顺带说一下，通俗的整数量子Hall效应的直观解释是这样说：电子在磁场中因为受到总是垂直于电子的运动方向的洛伦兹力，于是就形成一个圈。磁场很强的情况下，电子的轨道半径很小，因此电子都束缚在圈中没办法到处乱跑，一个萝卜一个坑，把所有这些轨道填满了就没地方可以去了（这也就是电子把逐个Landau能级填满）。但是当靠近样品边缘的时候，电子没有办法跑出一整个轨道了，于是只能沿着样品的边缘跳，画出一个接一个的半圆弧。也就是说，电流是可以沿着边缘传导的。而且因为电子只能沿着单一方向转圈，边缘上电流是“单行道”，只能沿一个方向传输，（也即上面所说的“手征边缘态”）。
这种经典解释的图像看起直观，但并真的不是量子力学里面所描述的图像：显然量子力学里面没有什么一个个固定的圆形轨道，我们之前就讨论过Landau能级，再次需要再次提醒大家注意这个才是真正的物理图景。但这个通俗直观的解释也有其精妙的地方：我们知道在量子力学中，动量算符为$\hat{p}=-i\hbar\nabla$，这个算符作用到波函数上最明显的意义并不是得到动量（经典意义下动量是$\vec{p}=m\;\vec{v}$），而是计算出了波函数的相位增加的梯度。那么回顾在对称规范条件下得到的一个个在平面上排列成WS晶格的Landau能级（见上面Landau states的图），每个点上的波函数其相位按逆时针方向增长，角动量算符为 $[r\times p]_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\;\theta}$。那么在这个意义下，电子也确实可以算是在“转圈圈”
Kohmoto在描述整数量子Hall效应的拓扑结构时，将普通固体晶格系统的Brillouin区(Brillouin Zone:$BZ$)推广到包含磁场效果的Brillouin 区（magnetic Brillouin zone），他强调二维 Brillouin区因为k-空间的周期性而产生周期性边界条件而形成一个环圈（$BZ = T^2$）这种结构，这种 $BZ$是紧致的并且无边界。而这是个微妙且十分重要的因素，接下来会体现。
Hall电导公式为：$\sigma_{xy} = -\frac{e^2}h C_1$，其中$C_1 = \frac i{2\pi}\int_{BZ} F = \frac i{2\pi}\int_{BZ} dA$称为第一陈类（或TKNN数）。
然而当使用Stokes定理 $\int_M dA = \int_{\partial M} A$（$\partial M$ 是流形$M$的边界）时，由于 $BZ= T^2$ and the fact that the 环面并没有边界$\partial T^2$，所以这似乎会得出 $\int_{\partial BZ} A = 0$ 故而 $\sigma_{xy}=0$。但是前面提到过了这里有个微妙而很重要的一点：仅当$A$是局域地而非整体地构造在流形$BZ$上时才可使用 Stokes定理，它不能整体地去计算。以微分几何的语言来描述，就是有丛（即非简单标架丛）的情况下，Stokes定理使用是有这种条件限制的。 因此我们必须将 $BZ$环面分割成一块块小区域来达到局域地在每一小块区域上构造 $A$ 的目的，那么就能产生边界了。 $A$ 在不同块的边界上的值不一致便使得 $\sigma_{xy}$ 非零。按照de Rahm上同调，$F$ 属于环面的非平凡第二上同调类 ； 换句话说$F = dA$仅适用于局域而非整体。
在这二维的情形里，环面可以由球面代替（这需要代数拓扑方面的证明），事实上具有非平凡一阶同伦群的QHE系统并不依赖于$BZ$，在这里中人们可以将环面转换成球面，除去 $\Pi_1(S^2)=0$。而如前面所述，正是由于这个特点才能给出非零的横向霍尔电导率$\sigma_{xy}$。这是因为从基流形 $M$ 到分类空间 $BG$, $[M,BG]$ 的映射的同伦类才是重要的。 对于$G=U(1)$丛， 我们有$BG=\mathbb CP^\infty$。因为$[S^2,BG]=\Pi_2(\mathbb CP^\infty) = \Pi_1(U(1)) = \mathbb Z$，球面$M=S^2$上有非零 $\sigma_{xy}$。直白点说，IQHE系统的单电子态在Hilbert空间里，然而复投影空间 $H/C^{*}$（又称Ray空间或射线空间）才是实际的物理状态空间（因为H里的一个态乘上一个非0复数还是表示同一个物理状，因此mod去复相位因子）。这样对于某个能带，能量本征态$|u_k\rangle$（k在magnetic Brillouin zone里）所在的物理状态（由$|u_k\rangle$乘上任意非0复数构成）就可以理解为 $S^1\times S^1\rightarrow H/C^{*}$ 的映射，从k映射到对应的能量本征物理状态。磁场大小决定了系统能带结构和其BZ流形的丛结构以及其上面的同伦等价类，从而构造出相对应的映射，所以每个能带（扩展Landau能级）对应着一个主丛和陈类，于是由TKNN的结果，每个能带相应联系一个量子化的霍尔电导，故而得到了整数量子Hall效应
这里将不集中注意在数学证明的描述，而更多在物理直观层面上阐述。在更高维以及其他类型的拓扑绝缘体，将 $BZ$ 取为环面和球面是有差异的。 如果是球面BZ的系统，那么只能得到强拓扑绝缘体；而相对地取环面$BZ=T^2$ 时则得到弱拓扑绝缘体。 其差异就是：弱拓扑绝缘体联系着一叠低维系统，这只有存在平移对称性的时候才可实现，换言之他们对杂质以及无序不具有鲁棒性(robust) 。人们对强拓扑绝缘体更感兴趣，因此往往假设$BZ$是球面 。例如从拓扑绝缘体的 K-理论 分类表上可以看到 ，相应取代环面的球面的部分，若不然则剩下些无乏味可陈的状态了。
我们简要地通过与电磁理论类比从物理直觉上感受一下测量量$\sigma_{xy}$ ，若不采用微分几何的抽象符号记法则第一陈类写为：
$C_1 = \frac i{2\pi}\oint_M \mathbf B\cdot d\mathbf S$,
$\mathbf B = \nabla_k\times \mathbf A$ 可认为是k-空间（动量或波矢空间）的一种磁场。这无疑就是 磁场版本Gauss定律它量度着闭合面$M$中的总磁通量，也就是闭合于$M$内的总磁荷。 考虑球面 $M=S^2$ ，$C_1 = n$非零，这意味着球面内存在总荷为 $n$ 的磁单极子。 传统的电磁理论中$C_1$一定为零，因为我们已经假定不存在磁荷；这是磁场的Gauss定律的内容：$\nabla\cdot\mathbf B = 0$（即Maxwell方程组里面磁场是无源的）。那么这里我们讨论了的k-空间里的“磁场”的类似定律形式应为 $\nabla\cdot\mathbf B = \rho_m$， $\rho_m$ 是磁荷密度。 若$M=BZ=T^2$ ，则直观上看起来也相似，$C_1$ 就变成了环面里面的总磁荷。
换言之，我们常见底 $\mathbf B = \nabla\times\mathbf A$ 在没有周围没有磁单极子时，仅在整体情况下正确（与上面所说的二维量子Hall效应的情形正好相反）。
而实际上，从Laughlin的另一种观点来看也可以看到和TKNN的拓扑不变量观点的联系。
在计算二维样品上的波函数的时候，要设定相位的边界条件（注意这不是规定边上的相位），不同的边界条件对应不同的波函数解。解系统的Schrödinger方程时候，需要两组边界条件。考虑系统上的所有态，边界条件就是任何态在边界上的相位差：$(0, y)$和$(L_x, y)$ 以及 $(x, 0)$和$(x, L_y)$ ，它们两组之间的相位差，记做$\phi_1$和$\phi_2$。它们取值都是$0$到$2\pi$；即左右的相位差可取$0$到$2\pi$，上下的相位差可取$0$到$2\pi$。这两组边界条件组成的集合与S1做直积，就做成为一个环面。这样看来$(\phi_1,\phi_2)$构成$T^2$。$T^2$上不同的点$(\phi_1,\phi_2)$（不同的边界条件在物理上和电场有关，即边界条件实际上对应电场的影响；参见Laughlin构造的环面模型图）有不同的波函数解，从而可以映射到$H/C^{*}$上。所以说$T^2$到$H/C^{*}$的映射又可以从边界条件上理解。若把沿边界的相位分布看做$S^1\times S^1$上的截面（也就是环面上的一条曲线），那么这条曲线在环面上的环绕数正比于规范相位。即边界条件应被视为环面上的闭合曲线（环绕数为1）。
在IQHE涉及微分几何的研究中还有一件有意思的事情。Charles Kane也以此观点将量子Hall效应与环圈类比，绝缘体与球面类比。然而他提到了 “Gauss-Bonnet定理” 并籍此对拓扑绝缘体进行讨论。其实需要 Gauss-Bonnet定理在这里并不起到任何真正的作用，它仅仅只是个类比。 对于一个无边界二维流形 $M$，定理表明有 $\int_M K dA = 2\pi (2-2g)$。 这里 $K$ 是Gauss曲率，$g$是亏格。 对于环面，$g=1$ 并且积分为零。这与 $C_1$ 并不同。 The Gauss-Bonnet定理是讨论的是几何流形的拓扑 例如 $BZ$ 环面)，但是与 $\sigma_{xy}$ 有关的是环面流形上的纤维丛的拓扑而非环面本身； 或者说这是关于Bloch波函数怎样整体的表现的。真正起作用的是开头就提到的Chern-Weil理论，可以视为Gauss-Bonet定理的推广。 磁场 $\mathbf B$，或者相当的场强 $F$，是 $BZ$流形上 $U(1)$丛的几何曲率. Chern-Weil理论描述的是对该曲率的积分：
\[
C_1 = \frac i{2\pi}\int_{BZ} F
\]
它就是$U(1)$ 丛上的拓扑不变量（再次类比电磁理论，开头提到电磁场是$U(1)$纤维丛上的联络，而A-B相则是其中的拓扑不变量）。 就像Gauss-Bonnet定理表述的是对Gauss曲率的积分是流形上的拓扑不变量。 因此这种说法主要是为了让人们对 $C_1$ 有更直观的几何理解，毕竟我们知道BZ实际上是动量空间，经典的微分几何里面的Gauss-Bonnet定理是描述几何的位形空间，其Gauss曲率的几何直观意义要比 $F$曲率要看着“直观”些。
此外凝聚态物理中Chern–Simons理论也能描述分数量子Hall效应中态的拓扑序。
拓扑序中的“拓扑”意味着对任何局部微扰都具有鲁棒性而呈现的拓扑保护性 （任何的局部微扰指的是 $\delta H=\sum_i{H_i}$ 形式的厄米算符，其中 $H_i$ 只作用在有限范围区域）。依据这种定义，拓扑绝缘体并非真正意义上的“拓扑” 因其不具有对任何局部微扰都鲁棒的特性，就例如破坏 $U(1)$ 和时间反演对称性的情况。 因此对于拓扑绝缘体更合适应称为“$U(1)$和时间反演对称性保护的绝缘体”，它是对称性保护拓扑序（SPT order）系统的一个例子。
拓扑序(对任何局部微扰都具有鲁棒性的意义下）态的一些例子 ：
$1)$ $\nu=\frac{1}{3}$ 分数量子Hall态
$2)$ $Z_2$ 自旋液体态
$3)$ $\nu=1$ 整数量子Hall态
$4)$ $E_8$ 玻色量子Hall态
例子中的 3) 、 4) 系统里没有非平凡拓扑准粒子激发 (i.e. 无 非平凡统计以及拓扑简并），但却有无能隙且不受局部环境扰动影响的边缘态。
拓扑序的内容极为丰富，在这里对此不展开讲述。
拓扑绝缘体和拓扑不变量
拓扑绝缘体与普通绝缘体相同点都是具有体能隙，而区别在于前者的边界上存在着后者没有的稳定边缘态。我们不妨把拓扑绝缘体类比成Möbius带，而普通绝缘体为简单的环带。Möbius和简单环带的拓扑结构截然不同。我们找不到这两者间单的连续光滑的微分同胚映射，除非剪断Möbius重新粘合。同理，拓扑绝缘体的表面态或边缘态因为其能带结构的非平凡拓扑结构而具有稳定性，除非关闭体能隙（从而将拓扑绝缘体能带的拓扑结构改变）才会使得其边缘态破坏。
当系统存在时间反演对称性时，系统不存在Hall电流而Hall电导为零。因此不论系统是否具有其他的拓扑性质第一陈数都等于零，这样就不能用第一陈数来对具有时间反演对称性的系统进行拓扑分类。2005 年Kane和Mele提出了用$Z_2$拓扑数来表征时间反演不变系统拓扑性质的方法。按照他们提出的方法，所有时间反演不变的二维绝缘体系统可以用Z_2 数分成两类：一类是普通绝缘体对应$Z_2=0$ ；另一类是拓扑绝缘体对应$Z_2=1$ 。这个概念还可以推广到时间反演不变的三维系统。 这时需要用4个$Z_2$拓扑数1个强拓扑数3个弱拓扑数来描述系统的拓扑性质。按照这种分类方法三维时间反演不变绝缘体系统可以分为平凡的普通绝缘体弱拓扑绝缘体和强拓扑绝缘体三类。其中强拓扑绝缘体由于在所有方向的表面上都有狄拉克色散形式的表面态，这在理论和实验上都引起了广泛关注。确定一个具有时间反演对称性的绝缘体系统是否具有非平庸的拓扑性质最直接的方法是计算系统的$Z_2$拓扑不变量。
时间反演对称算符为：$\Theta=exp(i\pi S_y/\hbar) K$，其中$K$是取复共轭操作算符；对于自旋-$1/2$ ：$\Theta^2=-1$ 。时间反演对称的Bloch Hamiltonian须满足：$\Theta\mathscr{H(k)}\Theta^{-1}=\mathscr{H(-k)}$。在这一约束下存在一个只有两个取值的不变量
$\nu=0,1$，可标志两个拓扑类，这个$\nu$ 就是 $Z_2$拓扑不变量。现在定义一个幺正矩阵： $w_{mn}(k)=\langle u_m(k)|\Theta|u_n(-k)\rangle$。L.Fu和C.L.Kane提出了用时间反演极化定义$Z_2$拓扑不变量的方法，在体 二维Brillouin区中存在四个特殊时间反演不变点$\Lambda_a$。定义：$\delta_a=\frac{Pf[w(\Lambda_a)]}{\sqrt{Det[w(\Lambda_a)]}}$，$\delta_a=\pm 1$
($Pf[w(\Lambda_a)]$为对反对称矩阵$w$的Paffian)
$Z_2$拓扑绝缘体中$Z_2$拓扑不变量计算公式为：$(-1)^{\nu}=\prod_{a=1}^{4}\delta_a$
若在二维系统在垂直方向的自旋$S_z$ 守恒，则有：$n_{\delta}=(n_{\uparrow}-n_{\downarrow})/2$
陈氏类积分中 $n_{\uparrow}$、$n_{\downarrow}$ 相互独立，其差值定义了量子Hall电导。这样下来，$Z_2$不变量就简化为 $\nu=n_{\sigma}mod 2$
$*$ Chern-Simons不变量也被描述为$\eta$不变量。自伴算符 $A$ 的不变量通定义为$\eta_A (0)$，$\eta$是如下函数的解析延拓：
\[
\eta(s)=\sum_{\lambda\ne 0} \frac{\operatorname{sgn}(\lambda)}{|\lambda|^s}
\]
求和遍及算符$A$的非零特征值。
$\mathfrak{4}$.
除了在凝聚态理论中出现的Chern-Simons项（拓扑不变量）之外，在量子场论里面也有拓扑场论的身影。凝聚态里面的Chern-Simons的出现是因为考虑将强关联的Laughlin液体系统映射转换成平均场的无相互作用复合粒子（任意子）系统来描述而涌现的一种有效场论。而QCD出现手征反常问题也有人使用的Chern-Simons理论来解决，这时Chern-Simons项则是出现在通过能标的手征截断后得出的有效场论的Lagrangian里面。
上面已经简要介绍了C-S形式，那么马上简单地看一下2+1维时空中的3-形式：
$\omega = A\wedge dA + \frac{2}{3} A\wedge A\wedge A = A\wedge F - \frac{1}{3} A\wedge A\wedge A$
这是Chern-Simons 3-形式 (非Abel理论 $ A\wedge A=0$)，$d\omega=F\wedge F$ 的积分是个四维的第一陈类(此为递降形式规则)。
在积掉 Weyl fermions（或确切地说是手征fermions，因为QCD中是存在着耦合产生的质量，它在3+1维中对ABJ手征反常有贡献）后，$F\wedge F$会出现在有效作用量中。 因此有效作用量中 $F\wedge F$ 联系着反常。反常是拓扑的即意味着基流形上的规范丛是非平凡丛 (i.e. 不是由基流形与规范群的直积构成)。
同样地，C-S 3-形式 $\omega$ 来自积掉2+1维中有质量的费米子的结果 。 “积掉”意味着在外面考虑的低能有效理论的能标下它们太“重”而难以产生， i.e. 它们不出现于路径积分当中,因此我们考虑低能有效理论，以$D\psi$为测度来做路径积分——手征截断（chiral cut）。
2+1维中有质量的费米子与3+1维中的Weyl费米子以这种方式关联着：2+1维 中的质量 $m$ 等价于3+1维中的 $p^3$ （注意这里指是四维动量$p^{\mu}=(p^0,p^1,p^2,p^3)$里的第四分量），i.e.2+1维中的动量空间是3+1维中动量空间的子空间并有固定关系$p^3=m$ 。
这就是如何通过积掉费米子产生拓扑项的一个例子。
2+1维度与3+1维理论之间的联系：
${EFT}$
$(2+1)D\;massive\;fermion$$\longrightarrow$$(2+1)D\;C-S$
${m\sim p^3}\downarrow $ $\downarrow {A\wedge A=0}$
$(3+1)D\;Weyl\;fermion$$\longrightarrow$$(3+1)D\;F\wedge F$
${EFT}$
$(3+1)D\;Weyl\;fermion$$\longrightarrow$$(3+1)D\;F\wedge F$ 表示的是Pecci-Quinn形式
${EFT}$
这其中的费米子本身无质量，其质量是通过与某种SSB复标量进行Yukawa耦合产生（有效质量），这种耦合具有手征转动。而质量项和动能项因这种手征转动( i.e. ${e}^{i\theta\gamma_5}$)有差异。积掉费米子得到有效场论(EFT)的有效作用量中就会存在 $\theta\;F\wedge F$项。
这就是Pecci-Quinn理论，拓扑项$F\wedge F$源于积掉fermion的操作。
在粒子物理学中，由Roberto Peccei和Helen Quinn提出的Peccei–Quinn理论是为解决强CP问题最著名方案的。该理论通过在拉格朗日量中引入被称为$\theta$参数CP破坏项扩展了QCD。鉴于实验上从未观测到$\theta$的值，因此它应该是很小或甚至为零。Peccei–Quinn理论认为 $\theta$参数应为动力学场而不是常量。Peccei–Quinn理论预言的轴子的存在。场势能项导致其自动消除真空期望值，使得$\theta$参数有效值为零。
Peccei–Quinn对称性是一种可能的附加成分——荷电复标量场中的整体$U(1)$对称性。
这种对称性经由这个标量场获得的VEV而自发破缺，而轴子是对称性破缺的无质量Goldstone玻色子。如果对称性是个规范对称性那么轴子被规范玻色子“吃掉”的，这意味着规范玻色子变成有质量而轴子成了非物理真实存在的自由度。这在单单唯象角度来看是可取的，因为它至少不会留下无质量粒子出现，而这种粒子也确实没在实验中发现过。
Peccei–Quinn对称性 symmetry可能并不精确的，因其被QCD瞬子反常破坏了。 如果存在一个补偿项能破坏这种瞬子来消去QCD反常，那么轴子将变成无质量Goldstone玻色子并且$\theta$不再是固定的。轴子的有效势为是一个潜在的上面的QCD标度上的势场总和，它包含着诱导出非微扰QCD效应的势场项。 如果轴子是基本的或出现在远高于QCD的能标上，5维轴子耦合项 $a\;\mathrm{Tr}[ F \wedge F ]$ （Chern-Simons形式）将被 $\frac{1}{\Lambda}$ 标度所限制，其中$\Lambda$是轴子出现的能标。正因为如此，为了使θ是能产生最小有效势，裸势场的强度必须比瞬子诱导势小许多阶（由为$\Lambda$因子标度）。这需要相当多的调节以得到近似整体对称性，理论中有没有”流“存在。
Chern-Simons场论的论是一种低维拓扑场论，更加普遍的一般性的拓扑量子场论（TQFT）可以参看Witten写的几篇教学论文。
参考文献
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hep-th/9902115
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Composite-fermion approach for the fractional quantum Hall effect
Fractional quantum Hall effect and Chern-Simons gauge theories
Effective-field-theory model for the fractional quantum Hall effect
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http://en.wikipedia.org/wiki/Chern-Simons_theory
http://en.wikipedia.org/wiki/Chern%E2%80%93Simons_form
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Wen X.G. & F.Wilczek & A.Zee, Phys.Rev. B39(1989),11413.
$\mathfrak{1}$.
Chern-Simons场论是一种二维的拓扑场论，其本身亦是一种规范场论。实际上规范理论在本科学习电磁理论/电动力学时候就有所接触，实际上电磁理论就是最简单的规范场论，电磁场是$U(1)$ 纤维丛上的联络（注意与广义相对论不同的是，引力场是Riemann流形上的联络，对引力引入规范场论将会导致圈量子引力论：LQG）。量子场论中最为著名的规范场论就是Yang-Mills理论，$U(1)$是Abelian规范场，而Yang-Mills理论是一种量子非Abelian规范场论。而我们这里的主题是奇特的规范场，如开头所说，Chern-Simons场论是一种拓扑的规范场论。系统的Lagrangian里面存在一个特殊的拓扑不变量：Chern-Simons项（或 Chern-Simons不变量）：
\[
Tf(\Omega)=\int_C {f(\Omega^k)}
\]
$df(\Omega^k)$是$(2k-1)$-形式，$T$是Chern-Weil同态，这就是一种Chern-Simons形式；$C$是流形$M$上的2k-1维的闭圈。
数学中Chern–Simons形式是某种二阶示性类，在规范理论中是种颇有意思的东西。
由它（3-形式）可定义Chern–Simons理论的作用量。陈省身与James Harris Simons于1974年合作发表了一篇历史性文章，文中提出了 Chern–Simons理论。
$M$为Riemann流形，其联络$A\in \Omega^1(P(M),\mathfrak{g}l(n))$ 是标架丛$P(M)$上的1-形式Lie代数。给定一流形与1-形式Lie代数，$A$为上面的向量场。可由此定义一族p-形式：
在一维情形，Chern–Simons 1-形式为： $\text{Tr}[A]$
在三维情形， Chern–Simons 3-形式为：$\text{Tr}[F\wedge A-\frac{1}{3}A\wedge A\wedge A]$
五维时，Chern–Simons 5-形式为：$\text{Tr}[F\wedge F\wedge A-\frac{1}{2}F\wedge A\wedge A\wedge A+\frac{1}{10}A\wedge A\wedge A\wedge A\wedge A]$
其中曲率张量定义为：$F=dA+A\wedge A$
通常的Chern–Simons $\omega_{2k-1}$形式 由以下方式给出：
$d\omega_{2k-1}=\text{Tr}(F^k)$
其中由楔积定义$F^k$。等式右边正比于联络$A$的第k陈类。
一般地，由定义可知Chern–Simons p-形式中的p是任意奇数2k-1。（可参考规范理论的定义）
若$M$是平庸 2k-1维流形（i.e.三维可定向流形），那么存在映射 $s: M\rightarrow P(M)$ ；并且从$s^{*}\omega_{2k-1}$ 在p维流形上的积分是整体几何不变量，且是模增加一整数的规范不变量。
不同映射得出整个积分值不同，通过以上所说的方式定义出来的不变量称为Chern-Simons不变量：$cs(M)\in\mathbb{R}/\mathbb{Z}$
由此我们知道了Chern-Simons项在奇数的时空中才出现，其一般形式是用正则形式 (可以参照上面提到的量子场论的Yang-Mills规范场进行比较)构建出来的体系的拓扑不变量，数学上叫陈类，物理上也常常称为环绕数（在后面讨论量子Hall效应会理解其缘由）。一般形式就是$\omega=\int{\Omega^k}$，$\Omega$是曲率形式，对应Yang-Mills规范场强，$\omega$的一般形式的理论已经由Chern和Simons建立。$\omega$可以认为就对应这里的Yang-Mills规范场强，就是$F$。直接来看，拓扑不变性最朴素的理解是指体系作用量所定义的那个积分流形在同胚变化下保持不变。举个例子，点电荷产生的电场，我们知道只要选取的Gauss面包含点电荷，那么不论Gauss面怎么取，电场在这上的积分都是不变的，而不同Gauss面之间就差一个同胚变换，也就是说电场在Gauss面上的积分就是拓扑不变的。C-S的拓扑不变性亦可以这样去理解。Y-M作用量和C-S作用量如何比较出拓扑不变性不同的体现，总的来说可以按照上面说的那样从微分同胚变换角来验证一下；或者最简单的考察它们的积分：很多情况下C-S项只是一个类似表面项的东西，所以它类似全微分，积分结果是常数，而Y-M作用量显然不是这样。具体证明将涉及到纤维丛分类的内容，实际上Y-M理论就是主丛的一种具体模型。
数学上Chern–Simons理论可用于计算纽结不变量 和3-流形不变量，例如 Jones多项式。
Chern–Simons理论的作用量$S$正比于Chern–Simons 3-形式的积分
\[
S=\frac{k}{4\pi}\int_M \text{Tr}\,(A\wedge dA+\tfrac{2}{3}A\wedge A\wedge A)
\]
常数 ''$k$'' 称为该理论的“水平”。经典物理的Chern–Simons理论与“水平”$k$的选取无关。
特别地，Chern–Simons理论是通过单Lie群来建立，并且需要确定“水平”数此数乘在作用量上）。作用量是与规范相关的，然而仅当“水平”数是整数以及规范场强度在三维时空任意的边界上为零，量子统计中的配分函数才被良好地定义。
系统由作用量对$A$的变分极值导出的运动方程描述
场地曲率为
\[
F = dA + A \wedge A
\]
场方程为：
\[
0=\frac{\delta S}{\delta A}=\frac{k}{2\pi} F
\]
因此经典场的曲率处处为零，即联络是平的 。因此Lie单群$G$的Chern–Simons理论的解正是流形$M$上$G$主丛平坦联络。 整个平坦联络由围绕着基流形上不可缩闭合路径的和乐决定。 更准确的，它们是从$M$的基本群到规范群$G$一一对映的共轭同态等价类。
若$M$有边界$\partial{M}$ ，则有额外的量来描述$\partial{M}$上的 $G$主丛的平凡选择。这样的选择表征着一个从$\partial{M}$到$G$的映射。该映射的动力学由$\partial{M}$上k“水平”的Wess–Zumino–Witten模型(WZW)描述。
要对Chern–Simons理论进行正则量子化，人们须要定义流形$M$的每块二维曲面 $\Sigma$ 上的态。量子场论中的态对应着Hilbert空间中的投影射线子空间中的元素。 在Schwarz-类型拓扑场论中没有时间先后的概念，那么我们可以选取$\Sigma$为Cauchy曲面。实际上态可以定义在任何曲面上。$\Sigma$ 是余维的，因此可沿着$\Gamma$剪切$M$。裁剪之后$M$称为无边界流形，并在$\Gamma$的动力学中可由 WZW模型描述. Edward Witten指出这种对应在量子力学中也成立。 态的Hilbert空间总是有限维的，并能正则地定义为Lie群G水平k的 WZW模型中的共形区域的空间。 共形区域是局部全纯（正则）的，其反全纯因子乘积都加到二维共形场论的关联函数中去。
例如当$\Sigma$是球面 $S^2$，其Hilbert空间是一维的，因而只存在一个态。当$\Sigma$是环面$T^2$，态对应着水平k时的仿射Lie群G可积群表示。研究Witten对Chern–Simons理论的解的方法时没有必要讨论更高阶类的共形区域的特征。
Chern–Simons理论的可观察量是 规范不变算符组成的$n$点关联函数。最常研究的规范不变算符类型是Wilson圈。 一个Wilson圈是$M$上绕一圈的和乐，在给出的 Lie群$G$的表示中求迹。我们对Wilson圈的乘积感兴趣, 在不失一般性下，我们只注意其不可约表示$R$。
更具体地，给定一个不可约表示$R$和$M$的圈$K$，可以定义的Wilson圈 $W_R(K)$ 为：
\[
W_R(K) =\text{Tr}_R \, \mathcal{P} \, \exp{i [\oint_K A]}
\]
其中 $A$ 是1-形式的联络我们取逆时针路径积分的Cauchy主值，$\mathcal{P} \, \exp$ 是路径编序指数。
$\mathfrak{2}$.
1982年,崔崎,Stormer和Gossard等人发现了分数量子霍尔效应, 第二 年，Laughlin[4]就给出了一个理论解释。他讨论了一个二维电子气体模型，指出当Landau能级的填充因子偏离基态能量本征值时，系统状态可以由某种元激发来描写,这些元激发具有分数电荷.Halperin在随后发表的一篇文章中指出,Laughlin理论中的元激发准粒子就是服从分数统计的任意子。在Laughlin和Halperin的开创性工作之后, 还有其它很多人探讨了用等效场理论解释分数量子霍尔效应的可能性，在这些工作中,张守晟,Hansson和Kivelson[6]的工作具有相当的重要性。张守晟从微观哈密顿量出发，导出了Chern-Simons-Landau-Ginsberg（CSLG）理论，这一理论所采用的思路和方法都与Laughlin理论相差很大，但它们之间是完全等价的（对此在本文后面会详细阐述）。在Laughlin的诺贝尔奖演说词中曾提到了张守晟等人的这一工作。
现在来简单看看二维系统里荷电粒子系统与Chern-Simons场作用。
\[
L=\sum_{i=1}^{N}\;{ {\frac{1}{2}m\dot{x}^2_i +q[-a_0(x_i)+{\dot{x}^2_i}\cdot{a(x_i)} ]} +\frac{\kappa}{2}\int d^2x\;\varepsilon^{\rho\sigma\tau}a_{\rho}\partial_{\sigma}a_{\tau} }
\]
Lagrangian中$a_{\mu}$是C-S field，$a=(a_0，a_i)$。 类比电磁场$A_{\mu}$，但是这里换成了$a_{\mu}$ C-S场。Lagrangian中间的项是和荷电粒子耦合项。 $i$是标记第几个粒子的指标。
不妨对比一下单粒子在电磁场中的作用：
\[
L=\frac{1}{2}m\dot{x}^2_i + {\frac{q}{c}}{A}\cdot{\dot{r}} - q\phi
\]
电磁场里面是二级反对称张量: $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$ 那种样子。电磁场的Lagrangian里面的场能量项正比于$F_{\mu\nu}F_{\mu\nu}$。
C-S场里面C-S项中是与 $\varepsilon^{\rho\sigma\tau}$ 这样的三阶反对称张量缩并而不是常见的度规张量$g^{\mu\nu}$，这意味着C-S项具有一种标度(scale)不变性。$\kappa$无量纲“水平”参数决定统计性质（在后面会看到）。
电子和电磁场的最小耦合拉格朗日量为：
\[
L_{QED}=\bar{\Psi}(i \rlap{/}\partial -m)\Psi -\frac{1}{4}(F_{\mu\nu})^2 -e\bar{\Psi}\gamma^{\mu}\Psi A_{\mu}
\]
我们马上就可见到,这个C-S场$a_{\rho}$实际上是一种虚拟的场，它并不代表真实的物理自由度.为此来看拉氏量对飞的，即得$a$场的运动方程：
\[
q j_0(x)=\kappa\;\varepsilon^{\alpha\beta}\partial_{\alpha}a_{\beta}
\]
在规范条件下
\[
\partial_{\beta}a_{\beta}=0
\]
就解出Chern-Simons规范场：
\[
a_{\alpha}=-\frac{q}{2\pi\kappa}\int{d^2y\;\varepsilon^{\alpha\beta}\frac{(x-y)_{\beta}}{|x-y|^2}\rho(y)} =-\frac{q}{2\pi\kappa}\sum_i {\varepsilon^{\alpha\beta}\frac{(x-x_i)_{\beta}}{|x-x_i|^2}}
\]
初接触这新奇的理论时，我们心里都不面怀着疑问：C-S场为何出现于FQH这种凝聚态系统，或者换句话说2+1维分数量子Hall效应的有效场论是如何构造出来的？
从最物理层面上看，由于FQH就是由不可压缩多体强关联电子态构成的Laughling液体产生。就是由于电子间长程关联(Coulomb相互作用)的动力学效应相当于局域产生C-S场的虚拟磁通。然后造成了分数统计以及所谓分数电荷。而且这所谓分数荷的准粒子并非点状模型，而是带了一根虚拟的奇异弦，也就是当初Wilzeck构造的较为直观的图像：任意子模型 ，以及后来的CSLG理论的复合玻色子以及费米子。对于C-S 场这种有效场的演生的物理意义诠释，最早就是 Zhang, Hansson和Kivelson 著名的工作，另外Haldane还有个解释。再就是通过Laughlin波函数也可以反推出Chern-Simons项。其实这种形式的Lagrangian，作为平均场论，是规范不变、且能给出二维Laughlin液体态系统中的守恒电流的简单形式，然后引入了一个可以产生这种关系的$U(1)$规范场。只从数学形式来看Chern-Simons场论只是个拓扑规范场论，这并没有告诉我们它的物理图景。Fradkin(1991)和张首晟(1989)的两篇论文比较详细地讲了如何从平均场角度把Chern-Simons场论从微观理论中构造出来。Hall效应的原始哈密顿量，就是二维相互作用电子气在磁场中的哈密顿量。在Lopez和Fradkin的工作中，通过一个变换把这个H映射成了将一个磁通捆绑在电子上的新的哈密顿量，这个哈密顿量所描述的电子附带磁通的准粒子，就是复合费米子（可能和对偶有关）。其实复合费米子也是一个非常物理的构造，可见Jain于1989发表的的文章。
谈及分数量子Hall效应，都知道Laghlin波函数对该系统的描述很成功，构造Laughlin波函数有些人说是猜的，而其实这样说并不太妥当。固然起初直觉上Laughlin就像Wilzeck那样把电子看做是绑了一个磁通的复合粒子，然后进一步从对称规范解得的Landau能级各个态出发，为了反映出复合电子之间交换的奇特性质构造出描述整个电子系统多体波函数——Laughlin波函数：
\[
\psi_m(z_1,...,z_N)=[ \prod_{i<j}^N{(z_i-z_j)^m ]exp(-\sum_{j=1}^N\;{z_j^{*}z_j})}
\]
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Landau states(symmetric gauge)
|
单从形式上看是多体波函数的形式构造 ，m是奇数是源于电子的交换反对称性，且是填充数倒数。正是Laughlin抓住了FQH系统的元激发的分数统计性质，才使得他的理论大获成功。
然而实际上这种形式也正是决定了其分数统计性质；我们可以反过来看待，若先不考虑具体的Laughlin波函数形式，从二维的分数统计出来看，Laughlin波函数的形式是必然的。我们考察的量子多体系统的交换统计。在全同粒子系统中，交换两个粒子坐标的操作用置换群描写。置换群包含 两个元素,单位算子$I$(即不做变换)和置换算子$P$。将置换算子$P$作用在系统波函数上。由于$PP=I$，可知置换算子的本征值为$P=+1,-1$，其对应的本征函数分别是对称的和反对称的,而相应的粒子分别是玻色子和费米子。 我们知道QHE多体系统中的低能激发产生的准粒子是任意子，带着个虚拟磁通，而任意子交换过程中而磁通会贡献相位的，而交换粒子的这个相位将决定统计性质，那么统计关系就会不一样：电子1的规范势是和电子2相关联的，可以类比为，电子1绕电子2转一圈就像绕着一个虚拟磁通转了一圈，那么1跟2电子的整体波函数就会多出一个与磁通相关的不可积相位，磁通决定着相位因子若取不同的值在统计上会有不一样的效果。
整数量子统计：$|\psi_1\psi_2\rangle=\pm |\psi_2\psi_1\rangle$
分数量子统计：$|\psi_1\psi_2\rangle={e}^{i\theta} |\psi_2\psi_1\rangle$
在一般的量子统计中，我们从不考虑粒子交换的路径会对统计性质有什么影响。因为在三维空间，两个粒子无论以什么方式互相绕一圈，形成任意的闭合曲线，这条闭合曲线总可以连续收缩为一点，它们都是拓扑等价的，或说所有闭合曲线属于同一拓扑等价类。路径的不同不会对置换群的表示有任何影响。但在二维平面（空间），情况则截然不同。 考虑平面上的一条闭合曲线,该平面上它包围区域里有一个奇点。如果在三维空间中，这条曲线可以绕过奇点而收缩为一点,但如果在二维平面里，那么这条曲线在收缩过程中就不可避免地碰到这个点，从而永远无法收缩为一点。这 就造成了二维平面中置换两个粒子坐标时粒子所走过的路径并不属于同一等价类。因此必须对路径进行分类，这样一来置换群的概念也要推广以区分不同等价类的路径。
描述这一问题的标准数学语言是同伦群。同伦群的精确定义比较抽象，我们这里用一个简单的例子来说明。考虑二维平面，由于绕一个点N周的所有闭合曲线都是拓扑等价的，可以把绕点N周的所有闭合曲线组成的等价类作为同伦群的一个元素，很容易验证它们满足群的定义。这个群叫一阶同伦群，也称为基本群。 N个全同粒子系统的二维位形空间非常复杂，这个位形空间的同伦群是个无限群。位形空间分成若干不相连的区域，路径分成不相连的分支，每个分支作为一个元素组成所谓的辫子群。直观地说，两个全同粒子在二维平面中运动，它们划过的世界线相互缠绕，编成一条辫子，编辫子的不同方式就构成辫子群的元素。与此对应，任意子系统的波函数的Hilbert空间不再是置换群的表示，而是辫子群的表示，也就是说，在二维平面里只用置换群对路径分类是不够的，必须用辫子群做进一步的考查。
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braid group manipulation
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现在以微分几何的角度来更细致地描述分数统计的数学结构：
Hilbert纤维丛的基流形每一点上都有一根纤维，由于我们的流形是位形空间构成，所以这跟纤维就是量子力学中以坐标标记的单分量的Hilbert空间$\mathscr{h}_x$。波函数属于这个单分量Hlibert空间，因此可以不是十分严格地将其说成是定义在该点的纤维上的截面。 这在假定波函数具有单值性的情况下，是办的到的，因为这时流形拓扑可缩，其纤维丛平庸。那么平移位置基矢是可以在每点使得态矢唯一:$\langle x|x^{'}\rangle=\delta(x-x^{'})$当然，在考虑一般的切丛时候，纤维的截面是矢量场，因此态矢才是截面整体抽象表示不依赖于坐标基矢，波函数只能说是截面的局域依赖于基矢表示。 不过我们要讨论2D的系统，存在多值波函数，这时候就不那么简单就认为波函数就和态矢一一对应了。那这时就要通过收缩约化流形来讨论，就是接下来要讲的内容。
将基流形上的多值多体波函数$\psi_m$(依赖参数$m$，交换时产生相因子)映射到单值波函数$\psi$ (它是原来的基流形收缩约化掉交换后的新的基流形纤维的单值截面，是交换对称的)的由单值波函数表示：
$\Psi(x_1,x_2,t)\backsimeq\xi_m(x_1,x_2|x_1^{'},x_2^{'})\;\psi_m(x_1^{'},x_2^{'},t)$ ($m$不求和)
其中的组合系数$\xi_m$就是辫子群中的群元；特别的，$\xi_0$就是幺元。这时可看到m是两根弦之间的缠绕的环绕数，它标记着粒子间某种交换。
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braid group
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在流形中引入联络，由平移条件：
$D_k\xi(x)\equiv(\frac{\partial}{\partial{x^k}}-ib_k(x))\xi(x)=0$
引入一个联络$b_k(x)$，其部分决定于系统的动力学，部分决定于规范选择。由此可从$\xi_0$出发得到所有$\xi_m$， 类比构造几何相位的方法，即像典型的A-B相位那样对规范势(联络)绕圈作积分：
\[
exp\{ i\oint_{C_{\alpha}} { \sum_{i=1}^{n}{ {b^{(i)} }\cdot{dx^{(i)}} } } \}={e}^{-im_{\alpha}\theta}
\]
这样也就给出与辫子群同构的和乐群(给出一阶同伦群到规范群$U(1)$的映射，其本身也是辫子群的幺正一维表示，对于闭合路径$C_{\alpha}$，积分应该得到${e}^{im_{\alpha} \theta}$，并且在无外场时自然要求流形的曲率张量为零。为了得到这样的联络，使用平凡的Abelian联络——Kohno联络1形式：$b_k(x)dx^k=b_z dz+b_{\bar{z}}d\bar{z}\equiv b(z,\bar{z})$ ，鉴于我们只考察多体系统的统计性质，那么联络$b_k(x)$便只联系于和乐群 $\Pi_1({\widetilde{M}}^n)$，而不考虑外力场时，$b(z,\bar{z})$的曲率为零：$F_{z\bar{z}}=db(z,\bar{z})=0$，换言之，除了流形中的奇点，物理组态空间是局域处处平坦的。然而正是那些奇点的存在，使得我们能上面平凡的联络得出非平凡的和乐群元。为了得到和乐群元，我们需要一个非平凡的Abelian Kohno联络：$b(z,\bar{z})\equiv b_z dz+b_{\bar{z}}d\bar{z}=\partial_{z_i} {U}dz_i+\partial_{\bar{z_i}} {U}d\bar{z_i}$，有$db=d^2U=0$
\[
U=i\frac{\theta}{2\pi}\sum_{1\leqslant i<j\leqslant m}{ln(z_i-z_j)}
\]
由之前提出的联络平移条件得出：
\[
[d_z-ib_z(z_1,...,z_n)]\xi (z_1,...,z_n)=0
\]
\[
[d_{\bar{z}}-ib_{\bar{z}}(\bar{z}_1,...,\bar{z}_n)]\xi (\bar{z}_1,...,\bar{z}_n)=0
\]
解出$\xi_m$：
\[
\xi(z)=\prod_{i<j}(\frac{z_i-z_j}{z_i^{(0)}-z_j^{(0)}})^{-\theta/2\pi} \xi_0(z^{(0)})
\]
\[
\xi(\bar{z})=\prod_{i<j}(\frac{\bar{z}_i-\bar{z}_j}{\bar{z}_i^{(0)}-\bar{z}_j^{(0)}})^{\theta/2\pi} \xi_0(\bar{z}^{(0)})
\]
那么对于$\widetilde{M}^n$上一个闭合曲线$C_{\alpha}$，则有
$\xi_{\alpha}(z,\bar{z})=\xi_{\alpha}(z)\xi_{\alpha}(\bar{z})=exp(-i\theta m_{\alpha})\xi_0(z,\bar{z})$
波函数$\psi_m(z,\bar{z})$与$\xi_m(z,\bar{z})$多值性正好相反保证了截面$\Psi(z,\bar{z})$的单值性：
$\Psi(z,\bar{z})=\xi_m(z)\xi_m(\bar{z})\psi_m(z,\bar{z})$
自然得到Laughlin波函数形式
\[
\psi_m(z,\bar{z})=\prod_{i<j}^m {(z_i-z_j)^{\theta/2\pi} (\bar{z_i}-\bar{z_j})^{-\theta/2\pi} \tilde{\psi}(z,\bar{z})}
\]
(这里$\tilde{\psi}(z,\bar{z})$就是基流形收缩约化掉交换后的新的基流形纤维的单值截面)。$\theta$是决定着统计性质的参数，称为统计角。
比较Wilzeck的任意子模型的哈密顿量Hamiltonian和Chern-Simons场的作用量，构造不同直观地讲是前者是构造荷电带虚拟磁通的任意子，后者是荷电玻色子与Chern-Simons场耦合的结果。引入了C-S 场后，和荷电粒子耦合就会出现这种虚拟的磁通(规范势)，
\[
j^{\rho}=\sum_i {(\dot{x}_i)^{\rho} \delta^2 (x-x_i)}
\]
由此可见非零场强只定域在粒子世界线上，因此粒子间不存在经典的Lorentz力，这也就是为何称为虚拟规范势的原因。在二维平面上有磁通量$\Phi$穿过的环形区域内一个带有分数电荷准拉必然带有非定域信息(因为这些准粒子是有效平均场的低能激发，是整体而非局域的)，从图中可看到$\theta=0$处有一条看不见的"奇异弦"。这样就模拟出Wilzeck的复合粒子（任意子）。
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Anyon
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处于强磁场下在三维空间运动的电子还填不满第一Landau能级时($\nu<1$),它们是自旋完全极化的费米子(相反方向极化的能态因巨大的Zeeman劈裂超过Landau能级的问距而可略去不计)。前面提到张首晟引入Chern-Simons规范场后把相互作用的电子气映照成为自由玻色子气，即电子在数学上等价于一些带有虚拟的C-S磁通量的"复合玻色子"，故此理论可称为CSLG理论。现在具体讨论填充因子为$\nu=\frac{1}{3}$的二维分数量子Hall效应，在CSLG有效场理论中进行二次量子化，这时每个电子平均分到3个$\phi_0$量子磁通.这是指与$A$联系的外磁场。在Chern-Simons有效场论中还有一个C-S规范场$a$，每个由于每个玻色子带有3个$\phi_0$的"虚拟磁通量"。玻色子与3个$\phi_0$的虚拟磁通结合后形成的一个个复合体，它们相互交换时因A-B效应而获得一个附加的相位因子使玻色子换位时的对称性转变为反对称性，即复合粒子成为费米子，它是的原来真实电子的低能激发态（电性相反的“准空穴”）。因$q/e=-1$，这些"虚拟的情磁通"方向与外$A$场的磁通的方向相反，彼此抵消的结果使这些玻色子的合磁通为零，即总得结果最终是FQH系统中的真实电子低能激发成为自由玻色子准粒子。己知无磁场的低温下的玻色子会发送"Bose-Einstein凝聚"（BEC），从而产生超导性(即带电的超流性)。由此也可以解释强关联电子体系的不可压缩性。因为任何电子密度的局域改变，必然引起相伴随的$a$场磁通的变化，使原来被抵消了的外磁场又再出现来而导致整个系统能量增大（填充因子产生改变）。而超导的Meissner效应告诉我们，超导体内是排斥(弱)磁场的(太强的磁场会破坏超导)，所以现在电子体系的密度必须保持均匀不变，因此超导系统中的Cooper对形成的BEC也是不可压缩量子液体。
Chern-Simons理论中的统计规范场没有独立的动力学自由度,因而并不描写有独立动力学的粒子，它的唯一作用在于给出分数统计所要求的额外相因子。从场方程可以明显地看出这一点：统计规范场的场量完全由物质流确定,因此它的方程确切地说是一个约束条件。引人Chern-Simons项另一个好处是可以清晰地讨论$T$、$P$破缺, 这里$T$代表时间反演,P代表宇称变换。从数学上可以证明， 具有分数统计性质的任意子体系会破坏空间、时间反演对称性，也就是存在C-S场耦合的系统其基态在$TP$反演下不对称。 因此，考查T或P的破缺与否是判断C-S理论是否正确的一个重要检验方法。值得注意的是QCD的 $\theta$真空也会破坏$T$、$P$对称性。
“水平”的单圈重整化
若在Chern–Simons规范理论添加物质，则整体来看它将不再是拓扑的。然而若增加$n$个Majorana费米子，那么由于宇称（奇偶性）反常，当积掉这些Majorana费米子后将导致出现“水平”单圈重整化$−n/2$的纯Chern–Simons理论，换言之k水平的含费米子的理论等价于$k − n/2$水平的无费米子理论。这与后面要提到的粒子物理中的情形(Pecci-Quinn理论)类似。
量子Hall效应是凝聚态里出现Chern-Simons有效场的典型系统，而除此之外，还有一些别的系统也能出现Chern-Simons有效场，从而造成分数量子统计。
高温超导
作为强关联电子结构材料的高温超导体的发现是八十年代物理学的一件大事，在这类材料发现后不久，感觉敏锐的Anderson就明确指出了高转变温度超导材料中铜氧面 的重要性，他预期铜离子之间的磁交换作用可能会在理论中有重要的地位。 Anderson认为，应以Mott转变作为高温超导理论的出发点，因为超导电性出现在金属-绝缘体转变的附近。他的思想被发展成共振价键理论(RVB)，RVB 态的准粒子激发是自旋子(spinon)和空穴子(holon),Kalmeyer和Laughlin通过比较认为，自旋子和空穴子的行为和任意子相似，服从分数统计（相对于FQHE系统的统计角 $\theta=\frac{\pi}{3}$，高温超导里目前的机制认为其统计角为 $\theta=\frac{\pi}{2}$）。除此之外，利用任意子方法处理高温超导现象的工作，还包括文小刚，Wilczek和Zee提出的手征自旋态和手征自旋液体概念等。 但是需要指出,，高温超导体的问题极为复杂。正常态的反常和超导态的反常都异乎寻常地多，至今还没有那个理论能得到大家的公认，甚至如Mott所说：“有多少理论物理学家，就有多少高温超导理论”。用任意子和分数统计研究高温超导现象，虽然已经有了一些结果，但缺乏明确的实验证据的支持，这方面的探讨至今仍在进行当中。
特殊晶格的强关联Mott绝缘体
t-J是 Hubbard model 在大$U$（关联能很强）情形下推出的有效模型。参数J的大小正是$t^2/U$的幂次。 清华高等研究所翁征宇一组研究超立方晶格中的t-J模型，在半满带时 t-J 退化为反铁磁体的Heisenberg模型，系统中费米子（算符）的符号则可通过Marshall符号变换（slave-fermion分解）后可规完全规范变换掉，在掺杂情形中体态符号的也可以规范变换掉, 留下纯粹的“不可约”符号结构，也就是电子会发生电荷-自旋自由度分离，变成空穴子和自旋子的元激发。通过在实的位形空间的运动的路径中空穴子与其自身还有与自旋子之间的交换都感生出一个$\pi$相位的磁通，从而会在算符中出现负号。研究配分函数高温展开一直到所有阶，以及半满带中多空穴传播子还有在基态能量进行微扰展开，就会看到与正常Fermi气体系统完全不同的奇特性质。系统出现这种符号结构（sign structure）表明掺杂Mott绝缘体的量子态出现交换统计（mutual statistics）。
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hole-spin exchanges
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在量子Hall液体中，玻色子以及费米子两种统计性质截然不同的准粒子通过在Chern-Simons有效场中产生的分数统计，通过交换能相互转化。而在上面的超立方晶格的Mott绝缘体中空穴子和spinon自旋子交换亦可相互转换。这一点和高能物理中的超对称性多少有些类似的意思，亦有人在这方面做过些工作。
SUSY C-S 拉格朗日量：
\[
\mathcal{L}_{sCS}=\frac{\kappa}{4}(\epsilon_{abc}A_a\partial_b{A_c}-\frac{i}{4}(C\sigma_a)_{\alpha\beta}A_{\alpha}\partial_{a}{A_{\beta}}+i(C\sigma_a)_{\alpha\beta}A_{\alpha}\partial_{\beta}{A_{\alpha}} )
\]
$\mathfrak{3}$.
我们已经知道Chern-Simons项是个拓扑不变量，其本质是第三陈类。那么回过头来我们发现量子霍尔效应的电导率包含的系数正是个第一陈类积分而得的陈数。
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QHE
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人们对凝聚态系统里出现的拓扑不变量的发现是物理学的一座里程碑，它的发现将可能孕育着凝聚态物理乃至整个物理学界的革命。我们不妨稍微“偏一下题”，来讨论一下量子Hall效应以及拓扑绝缘体中的拓扑不变量。
在上世纪80年代以前人们对物质状态进行分类的主要依据是体系的对称性。依据传统的相变理论。不同的量子态可以通过Landau自发对称性破缺的原理来理解，对称性由序参量描述对称性破缺意味着序参量不为零的有序相的出现。举例来说，晶体破坏了空间连续平移对称性；铁磁体破坏了空间旋转对称性；超导体破坏U(1)规范对称性。而整数量子Hall效应与分数量子Hall效应的发现打破了传统的Landau相变理论。因为量子Hall态的产生并没有破坏任何对称性（不存在局域序参量），无法纳入Landau自发对称性破缺的理论框架中。因此要理解量子Hall态需要引入拓扑序的概念，相应的，量子Hall态就是一种拓扑相。而Hall电导是整数是量子化的$\sigma_{xy}$ 对样品的大小形状载流子密度甚至迁移率均不敏感这说明存在某种内在的不变量。我们知道数学上拓扑学是研究拓扑空间中的几何不变量的学问。在凝聚态物理上，拓扑的概念是针对有能隙系统（绝缘体超导体）而言。每个有能隙的多体系统都由相应的哈密顿量来描述，如果两个系统的哈密顿量可以通过连续形变（譬如调节哈密顿量里的参数）而光滑过渡。即形变过程中，不闭合体能隙。那么我们称这两个系统属于同一个拓扑等价类。关闭体能隙伴随着量子相变，体能隙的闭合意味着动量空间中出现奇点，也就是在BZ流形上产生“洞”（亏格不为零）。为了判断两个系统是否属于同一个拓扑等价类须要引入在同胚映射下不变的代数量：拓扑不变量。它可以是一个数（例如欧拉示性数、陈数）。也可以是构建在拓扑空间上的某种代数结构，如同伦群、同调群、上同调群等。
具有不同的拓扑有序态的系统必须由不同的拓扑不变量来进行描述。1982 年Thouless等人（TKNN）在一片奠基性文章中利用Kubo公式就算了二维周期性晶格系统的Hall电导，并指出$\sigma_{xy}$对系统自身变化的不敏感性来源于QHE体系的拓扑不变性，描述它的拓扑不变量称为 TKNN数，用整数n表示。其能带的拓扑性与一般绝缘体截然不同，以第一陈类来对定义在复数域尚德任意维哈密顿量进行拓扑分类。 QHE态中n为非零的整数对应量子电导前的系数，普通绝缘体n为零，普通绝缘体和真空有相同的拓扑分类。因此整数量子霍尔系统的拓扑不变量就由第一陈数来表征。QHE态和真空拓扑性不同其和真空的界面上拓扑不变量必须发生变化这导致了无能隙导电的边缘态出现。
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topological boundary
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electron wave function of IQHE
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Laughlin在对整数量子Hall效应时候，考虑到系统中的电子波函数整体相位相干性，引入横向周期性边界条件将位形空间构造成环带形状（torus:$S^1\times S^1$），在此从近自由的单电子模型出发在系统的哈密顿量中加上磁场，解二维环带域（计入在相应的长宽两组周期性边界条件）Schrödinger方程，得到能级Landau levels。实际的样品中，需要考虑存在杂质并束缚电子使之成为定域态，有掺杂的情况,每一Landau能级己扩展为能带（扩展边缘态）。一定范围内磁场变化时候电子落在定域束缚态中使得自由电子数目不增加，从而出现Hall电导平台。
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Laughlin's Tori
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expanding states
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以TKNN（Thouless-Kohmoto-Nightingale-deNijs) 拓扑不变量角度去阐述IQHE则是更现代的凝聚态理论。二维IQHE系统的有效场理论哈密顿量为：
\[
H=-i\hbar v_F(\sigma_x\partial_x+\sigma_y\partial_y)+m(y)\sigma_z
\]
解出的能谱中含有无能隙手征边缘态的谱线，其中的手性费米子不能反向散射，因而整数量子Hall系统是破坏时间反演对称的。边界上的边缘态数量为：$n=-\frac{\sigma_{xy}}{e^2/h}$，一般IQHE系统中$n=1$。
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chiral edge state
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$*$这里要顺带说一下，通俗的整数量子Hall效应的直观解释是这样说：电子在磁场中因为受到总是垂直于电子的运动方向的洛伦兹力，于是就形成一个圈。磁场很强的情况下，电子的轨道半径很小，因此电子都束缚在圈中没办法到处乱跑，一个萝卜一个坑，把所有这些轨道填满了就没地方可以去了（这也就是电子把逐个Landau能级填满）。但是当靠近样品边缘的时候，电子没有办法跑出一整个轨道了，于是只能沿着样品的边缘跳，画出一个接一个的半圆弧。也就是说，电流是可以沿着边缘传导的。而且因为电子只能沿着单一方向转圈，边缘上电流是“单行道”，只能沿一个方向传输，（也即上面所说的“手征边缘态”）。
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direct interpretation for IQHE
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这种经典解释的图像看起直观，但并真的不是量子力学里面所描述的图像：显然量子力学里面没有什么一个个固定的圆形轨道，我们之前就讨论过Landau能级，再次需要再次提醒大家注意这个才是真正的物理图景。但这个通俗直观的解释也有其精妙的地方：我们知道在量子力学中，动量算符为$\hat{p}=-i\hbar\nabla$，这个算符作用到波函数上最明显的意义并不是得到动量（经典意义下动量是$\vec{p}=m\;\vec{v}$），而是计算出了波函数的相位增加的梯度。那么回顾在对称规范条件下得到的一个个在平面上排列成WS晶格的Landau能级（见上面Landau states的图），每个点上的波函数其相位按逆时针方向增长，角动量算符为 $[r\times p]_z=-i\hbar\frac{\partial}{\partial\;\theta}$。那么在这个意义下，电子也确实可以算是在“转圈圈”
Kohmoto在描述整数量子Hall效应的拓扑结构时，将普通固体晶格系统的Brillouin区(Brillouin Zone:$BZ$)推广到包含磁场效果的Brillouin 区（magnetic Brillouin zone），他强调二维 Brillouin区因为k-空间的周期性而产生周期性边界条件而形成一个环圈（$BZ = T^2$）这种结构，这种 $BZ$是紧致的并且无边界。而这是个微妙且十分重要的因素，接下来会体现。
Hall电导公式为：$\sigma_{xy} = -\frac{e^2}h C_1$，其中$C_1 = \frac i{2\pi}\int_{BZ} F = \frac i{2\pi}\int_{BZ} dA$称为第一陈类（或TKNN数）。
然而当使用Stokes定理 $\int_M dA = \int_{\partial M} A$（$\partial M$ 是流形$M$的边界）时，由于 $BZ= T^2$ and the fact that the 环面并没有边界$\partial T^2$，所以这似乎会得出 $\int_{\partial BZ} A = 0$ 故而 $\sigma_{xy}=0$。但是前面提到过了这里有个微妙而很重要的一点：仅当$A$是局域地而非整体地构造在流形$BZ$上时才可使用 Stokes定理，它不能整体地去计算。以微分几何的语言来描述，就是有丛（即非简单标架丛）的情况下，Stokes定理使用是有这种条件限制的。 因此我们必须将 $BZ$环面分割成一块块小区域来达到局域地在每一小块区域上构造 $A$ 的目的，那么就能产生边界了。 $A$ 在不同块的边界上的值不一致便使得 $\sigma_{xy}$ 非零。按照de Rahm上同调，$F$ 属于环面的非平凡第二上同调类 ； 换句话说$F = dA$仅适用于局域而非整体。
在这二维的情形里，环面可以由球面代替（这需要代数拓扑方面的证明），事实上具有非平凡一阶同伦群的QHE系统并不依赖于$BZ$，在这里中人们可以将环面转换成球面，除去 $\Pi_1(S^2)=0$。而如前面所述，正是由于这个特点才能给出非零的横向霍尔电导率$\sigma_{xy}$。这是因为从基流形 $M$ 到分类空间 $BG$, $[M,BG]$ 的映射的同伦类才是重要的。 对于$G=U(1)$丛， 我们有$BG=\mathbb CP^\infty$。因为$[S^2,BG]=\Pi_2(\mathbb CP^\infty) = \Pi_1(U(1)) = \mathbb Z$，球面$M=S^2$上有非零 $\sigma_{xy}$。直白点说，IQHE系统的单电子态在Hilbert空间里，然而复投影空间 $H/C^{*}$（又称Ray空间或射线空间）才是实际的物理状态空间（因为H里的一个态乘上一个非0复数还是表示同一个物理状，因此mod去复相位因子）。这样对于某个能带，能量本征态$|u_k\rangle$（k在magnetic Brillouin zone里）所在的物理状态（由$|u_k\rangle$乘上任意非0复数构成）就可以理解为 $S^1\times S^1\rightarrow H/C^{*}$ 的映射，从k映射到对应的能量本征物理状态。磁场大小决定了系统能带结构和其BZ流形的丛结构以及其上面的同伦等价类，从而构造出相对应的映射，所以每个能带（扩展Landau能级）对应着一个主丛和陈类，于是由TKNN的结果，每个能带相应联系一个量子化的霍尔电导，故而得到了整数量子Hall效应
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torus
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sphere
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这里将不集中注意在数学证明的描述，而更多在物理直观层面上阐述。在更高维以及其他类型的拓扑绝缘体，将 $BZ$ 取为环面和球面是有差异的。 如果是球面BZ的系统，那么只能得到强拓扑绝缘体；而相对地取环面$BZ=T^2$ 时则得到弱拓扑绝缘体。 其差异就是：弱拓扑绝缘体联系着一叠低维系统，这只有存在平移对称性的时候才可实现，换言之他们对杂质以及无序不具有鲁棒性(robust) 。人们对强拓扑绝缘体更感兴趣，因此往往假设$BZ$是球面 。例如从拓扑绝缘体的 K-理论 分类表上可以看到 ，相应取代环面的球面的部分，若不然则剩下些无乏味可陈的状态了。
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Periodic Table of TI and SC
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我们简要地通过与电磁理论类比从物理直觉上感受一下测量量$\sigma_{xy}$ ，若不采用微分几何的抽象符号记法则第一陈类写为：
$C_1 = \frac i{2\pi}\oint_M \mathbf B\cdot d\mathbf S$,
$\mathbf B = \nabla_k\times \mathbf A$ 可认为是k-空间（动量或波矢空间）的一种磁场。这无疑就是 磁场版本Gauss定律它量度着闭合面$M$中的总磁通量，也就是闭合于$M$内的总磁荷。 考虑球面 $M=S^2$ ，$C_1 = n$非零，这意味着球面内存在总荷为 $n$ 的磁单极子。 传统的电磁理论中$C_1$一定为零，因为我们已经假定不存在磁荷；这是磁场的Gauss定律的内容：$\nabla\cdot\mathbf B = 0$（即Maxwell方程组里面磁场是无源的）。那么这里我们讨论了的k-空间里的“磁场”的类似定律形式应为 $\nabla\cdot\mathbf B = \rho_m$， $\rho_m$ 是磁荷密度。 若$M=BZ=T^2$ ，则直观上看起来也相似，$C_1$ 就变成了环面里面的总磁荷。
换言之，我们常见底 $\mathbf B = \nabla\times\mathbf A$ 在没有周围没有磁单极子时，仅在整体情况下正确（与上面所说的二维量子Hall效应的情形正好相反）。
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monopole
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而实际上，从Laughlin的另一种观点来看也可以看到和TKNN的拓扑不变量观点的联系。
在计算二维样品上的波函数的时候，要设定相位的边界条件（注意这不是规定边上的相位），不同的边界条件对应不同的波函数解。解系统的Schrödinger方程时候，需要两组边界条件。考虑系统上的所有态，边界条件就是任何态在边界上的相位差：$(0, y)$和$(L_x, y)$ 以及 $(x, 0)$和$(x, L_y)$ ，它们两组之间的相位差，记做$\phi_1$和$\phi_2$。它们取值都是$0$到$2\pi$；即左右的相位差可取$0$到$2\pi$，上下的相位差可取$0$到$2\pi$。这两组边界条件组成的集合与S1做直积，就做成为一个环面。这样看来$(\phi_1,\phi_2)$构成$T^2$。$T^2$上不同的点$(\phi_1,\phi_2)$（不同的边界条件在物理上和电场有关，即边界条件实际上对应电场的影响；参见Laughlin构造的环面模型图）有不同的波函数解，从而可以映射到$H/C^{*}$上。所以说$T^2$到$H/C^{*}$的映射又可以从边界条件上理解。若把沿边界的相位分布看做$S^1\times S^1$上的截面（也就是环面上的一条曲线），那么这条曲线在环面上的环绕数正比于规范相位。即边界条件应被视为环面上的闭合曲线（环绕数为1）。
在IQHE涉及微分几何的研究中还有一件有意思的事情。Charles Kane也以此观点将量子Hall效应与环圈类比，绝缘体与球面类比。然而他提到了 “Gauss-Bonnet定理” 并籍此对拓扑绝缘体进行讨论。其实需要 Gauss-Bonnet定理在这里并不起到任何真正的作用，它仅仅只是个类比。 对于一个无边界二维流形 $M$，定理表明有 $\int_M K dA = 2\pi (2-2g)$。 这里 $K$ 是Gauss曲率，$g$是亏格。 对于环面，$g=1$ 并且积分为零。这与 $C_1$ 并不同。 The Gauss-Bonnet定理是讨论的是几何流形的拓扑 例如 $BZ$ 环面)，但是与 $\sigma_{xy}$ 有关的是环面流形上的纤维丛的拓扑而非环面本身； 或者说这是关于Bloch波函数怎样整体的表现的。真正起作用的是开头就提到的Chern-Weil理论，可以视为Gauss-Bonet定理的推广。 磁场 $\mathbf B$，或者相当的场强 $F$，是 $BZ$流形上 $U(1)$丛的几何曲率. Chern-Weil理论描述的是对该曲率的积分：
\[
C_1 = \frac i{2\pi}\int_{BZ} F
\]
它就是$U(1)$ 丛上的拓扑不变量（再次类比电磁理论，开头提到电磁场是$U(1)$纤维丛上的联络，而A-B相则是其中的拓扑不变量）。 就像Gauss-Bonnet定理表述的是对Gauss曲率的积分是流形上的拓扑不变量。 因此这种说法主要是为了让人们对 $C_1$ 有更直观的几何理解，毕竟我们知道BZ实际上是动量空间，经典的微分几何里面的Gauss-Bonnet定理是描述几何的位形空间，其Gauss曲率的几何直观意义要比 $F$曲率要看着“直观”些。
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genus
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此外凝聚态物理中Chern–Simons理论也能描述分数量子Hall效应中态的拓扑序。
拓扑序中的“拓扑”意味着对任何局部微扰都具有鲁棒性而呈现的拓扑保护性 （任何的局部微扰指的是 $\delta H=\sum_i{H_i}$ 形式的厄米算符，其中 $H_i$ 只作用在有限范围区域）。依据这种定义，拓扑绝缘体并非真正意义上的“拓扑” 因其不具有对任何局部微扰都鲁棒的特性，就例如破坏 $U(1)$ 和时间反演对称性的情况。 因此对于拓扑绝缘体更合适应称为“$U(1)$和时间反演对称性保护的绝缘体”，它是对称性保护拓扑序（SPT order）系统的一个例子。
拓扑序(对任何局部微扰都具有鲁棒性的意义下）态的一些例子 ：
$1)$ $\nu=\frac{1}{3}$ 分数量子Hall态
$2)$ $Z_2$ 自旋液体态
$3)$ $\nu=1$ 整数量子Hall态
$4)$ $E_8$ 玻色量子Hall态
例子中的 3) 、 4) 系统里没有非平凡拓扑准粒子激发 (i.e. 无 非平凡统计以及拓扑简并），但却有无能隙且不受局部环境扰动影响的边缘态。
拓扑序的内容极为丰富，在这里对此不展开讲述。
拓扑绝缘体和拓扑不变量
拓扑绝缘体与普通绝缘体相同点都是具有体能隙，而区别在于前者的边界上存在着后者没有的稳定边缘态。我们不妨把拓扑绝缘体类比成Möbius带，而普通绝缘体为简单的环带。Möbius和简单环带的拓扑结构截然不同。我们找不到这两者间单的连续光滑的微分同胚映射，除非剪断Möbius重新粘合。同理，拓扑绝缘体的表面态或边缘态因为其能带结构的非平凡拓扑结构而具有稳定性，除非关闭体能隙（从而将拓扑绝缘体能带的拓扑结构改变）才会使得其边缘态破坏。
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NI and TI (anology for band)
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当系统存在时间反演对称性时，系统不存在Hall电流而Hall电导为零。因此不论系统是否具有其他的拓扑性质第一陈数都等于零，这样就不能用第一陈数来对具有时间反演对称性的系统进行拓扑分类。2005 年Kane和Mele提出了用$Z_2$拓扑数来表征时间反演不变系统拓扑性质的方法。按照他们提出的方法，所有时间反演不变的二维绝缘体系统可以用Z_2 数分成两类：一类是普通绝缘体对应$Z_2=0$ ；另一类是拓扑绝缘体对应$Z_2=1$ 。这个概念还可以推广到时间反演不变的三维系统。 这时需要用4个$Z_2$拓扑数1个强拓扑数3个弱拓扑数来描述系统的拓扑性质。按照这种分类方法三维时间反演不变绝缘体系统可以分为平凡的普通绝缘体弱拓扑绝缘体和强拓扑绝缘体三类。其中强拓扑绝缘体由于在所有方向的表面上都有狄拉克色散形式的表面态，这在理论和实验上都引起了广泛关注。确定一个具有时间反演对称性的绝缘体系统是否具有非平庸的拓扑性质最直接的方法是计算系统的$Z_2$拓扑不变量。
时间反演对称算符为：$\Theta=exp(i\pi S_y/\hbar) K$，其中$K$是取复共轭操作算符；对于自旋-$1/2$ ：$\Theta^2=-1$ 。时间反演对称的Bloch Hamiltonian须满足：$\Theta\mathscr{H(k)}\Theta^{-1}=\mathscr{H(-k)}$。在这一约束下存在一个只有两个取值的不变量
$\nu=0,1$，可标志两个拓扑类，这个$\nu$ 就是 $Z_2$拓扑不变量。现在定义一个幺正矩阵： $w_{mn}(k)=\langle u_m(k)|\Theta|u_n(-k)\rangle$。L.Fu和C.L.Kane提出了用时间反演极化定义$Z_2$拓扑不变量的方法，在体 二维Brillouin区中存在四个特殊时间反演不变点$\Lambda_a$。定义：$\delta_a=\frac{Pf[w(\Lambda_a)]}{\sqrt{Det[w(\Lambda_a)]}}$，$\delta_a=\pm 1$
($Pf[w(\Lambda_a)]$为对反对称矩阵$w$的Paffian)
$Z_2$拓扑绝缘体中$Z_2$拓扑不变量计算公式为：$(-1)^{\nu}=\prod_{a=1}^{4}\delta_a$
若在二维系统在垂直方向的自旋$S_z$ 守恒，则有：$n_{\delta}=(n_{\uparrow}-n_{\downarrow})/2$
陈氏类积分中 $n_{\uparrow}$、$n_{\downarrow}$ 相互独立，其差值定义了量子Hall电导。这样下来，$Z_2$不变量就简化为 $\nu=n_{\sigma}mod 2$
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$N_K=\Delta\nu\;mod2$
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$*$ Chern-Simons不变量也被描述为$\eta$不变量。自伴算符 $A$ 的不变量通定义为$\eta_A (0)$，$\eta$是如下函数的解析延拓：
\[
\eta(s)=\sum_{\lambda\ne 0} \frac{\operatorname{sgn}(\lambda)}{|\lambda|^s}
\]
求和遍及算符$A$的非零特征值。
$\mathfrak{4}$.
除了在凝聚态理论中出现的Chern-Simons项（拓扑不变量）之外，在量子场论里面也有拓扑场论的身影。凝聚态里面的Chern-Simons的出现是因为考虑将强关联的Laughlin液体系统映射转换成平均场的无相互作用复合粒子（任意子）系统来描述而涌现的一种有效场论。而QCD出现手征反常问题也有人使用的Chern-Simons理论来解决，这时Chern-Simons项则是出现在通过能标的手征截断后得出的有效场论的Lagrangian里面。
上面已经简要介绍了C-S形式，那么马上简单地看一下2+1维时空中的3-形式：
$\omega = A\wedge dA + \frac{2}{3} A\wedge A\wedge A = A\wedge F - \frac{1}{3} A\wedge A\wedge A$
这是Chern-Simons 3-形式 (非Abel理论 $ A\wedge A=0$)，$d\omega=F\wedge F$ 的积分是个四维的第一陈类(此为递降形式规则)。
在积掉 Weyl fermions（或确切地说是手征fermions，因为QCD中是存在着耦合产生的质量，它在3+1维中对ABJ手征反常有贡献）后，$F\wedge F$会出现在有效作用量中。 因此有效作用量中 $F\wedge F$ 联系着反常。反常是拓扑的即意味着基流形上的规范丛是非平凡丛 (i.e. 不是由基流形与规范群的直积构成)。
同样地，C-S 3-形式 $\omega$ 来自积掉2+1维中有质量的费米子的结果 。 “积掉”意味着在外面考虑的低能有效理论的能标下它们太“重”而难以产生， i.e. 它们不出现于路径积分当中,因此我们考虑低能有效理论，以$D\psi$为测度来做路径积分——手征截断（chiral cut）。
2+1维中有质量的费米子与3+1维中的Weyl费米子以这种方式关联着：2+1维 中的质量 $m$ 等价于3+1维中的 $p^3$ （注意这里指是四维动量$p^{\mu}=(p^0,p^1,p^2,p^3)$里的第四分量），i.e.2+1维中的动量空间是3+1维中动量空间的子空间并有固定关系$p^3=m$ 。
这就是如何通过积掉费米子产生拓扑项的一个例子。
2+1维度与3+1维理论之间的联系：
${EFT}$
$(2+1)D\;massive\;fermion$$\longrightarrow$$(2+1)D\;C-S$
${m\sim p^3}\downarrow $ $\downarrow {A\wedge A=0}$
$(3+1)D\;Weyl\;fermion$$\longrightarrow$$(3+1)D\;F\wedge F$
${EFT}$
$(3+1)D\;Weyl\;fermion$$\longrightarrow$$(3+1)D\;F\wedge F$ 表示的是Pecci-Quinn形式
${EFT}$
这其中的费米子本身无质量，其质量是通过与某种SSB复标量进行Yukawa耦合产生（有效质量），这种耦合具有手征转动。而质量项和动能项因这种手征转动( i.e. ${e}^{i\theta\gamma_5}$)有差异。积掉费米子得到有效场论(EFT)的有效作用量中就会存在 $\theta\;F\wedge F$项。
这就是Pecci-Quinn理论，拓扑项$F\wedge F$源于积掉fermion的操作。
在粒子物理学中，由Roberto Peccei和Helen Quinn提出的Peccei–Quinn理论是为解决强CP问题最著名方案的。该理论通过在拉格朗日量中引入被称为$\theta$参数CP破坏项扩展了QCD。鉴于实验上从未观测到$\theta$的值，因此它应该是很小或甚至为零。Peccei–Quinn理论认为 $\theta$参数应为动力学场而不是常量。Peccei–Quinn理论预言的轴子的存在。场势能项导致其自动消除真空期望值，使得$\theta$参数有效值为零。
Peccei–Quinn对称性是一种可能的附加成分——荷电复标量场中的整体$U(1)$对称性。
这种对称性经由这个标量场获得的VEV而自发破缺，而轴子是对称性破缺的无质量Goldstone玻色子。如果对称性是个规范对称性那么轴子被规范玻色子“吃掉”的，这意味着规范玻色子变成有质量而轴子成了非物理真实存在的自由度。这在单单唯象角度来看是可取的，因为它至少不会留下无质量粒子出现，而这种粒子也确实没在实验中发现过。
Peccei–Quinn对称性 symmetry可能并不精确的，因其被QCD瞬子反常破坏了。 如果存在一个补偿项能破坏这种瞬子来消去QCD反常，那么轴子将变成无质量Goldstone玻色子并且$\theta$不再是固定的。轴子的有效势为是一个潜在的上面的QCD标度上的势场总和，它包含着诱导出非微扰QCD效应的势场项。 如果轴子是基本的或出现在远高于QCD的能标上，5维轴子耦合项 $a\;\mathrm{Tr}[ F \wedge F ]$ （Chern-Simons形式）将被 $\frac{1}{\Lambda}$ 标度所限制，其中$\Lambda$是轴子出现的能标。正因为如此，为了使θ是能产生最小有效势，裸势场的强度必须比瞬子诱导势小许多阶（由为$\Lambda$因子标度）。这需要相当多的调节以得到近似整体对称性，理论中有没有”流“存在。
Chern-Simons场论的论是一种低维拓扑场论，更加普遍的一般性的拓扑量子场论（TQFT）可以参看Witten写的几篇教学论文。
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